một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

A ĐẶT VẤN ĐỀ Bài tốn viết phương trình đường thẳng dạng tốn hay khơng q khó chương trình lớp 12, để làm tốn dạng địi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học khơng gian, mối quan hệ đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu Mức độ tư lời giải toán vừa phải, nhẹ nhàng, lơgíc hấp dẫn người học Là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều phần phương pháp toạ độ không gian đề thi tốt nghiệp THPT thi vào đại học, cao đẳng Là giáo viên giảng dạy Trường THPT Thường Xuân 2- trường miền núi vùng đặc biệt khó khăn- tơi thấy nhìn chung đối tượng học sinh mức trung bình yếu, mức độ tư vừa phải, em gặp nhiều khó khăn để định hướng cách giải toán; em dễ nhầm lẫn giải tốn dạng Vì vậy, để hệ thống hóa lại kiến thức liên quan đến toán viết phương trình đường thẳng khơng gian, phân loại tốn điển hình mang tính khái qt đồng thời đề xuất hướng giải toán dạng có vai trị quan trọng việc hình thành cho học sinh phương pháp kĩ giải tốn, giúp em có định hướng rõ ràng hơn, tiếp cận cách đơn giản- dễ nhớ bước giúp học sinh hình thành lối tư giải vấn đề đứng trước tốn dạng này, học sinh “vùng khó” Từ thực tế với mong muốn tổng hợp tài liệu để đồng nghiệp áp dụng q trình giảng dạy, học sinh áp dụng q trình tự học, tơi đúc rút kinh nghiệm dạy học thân đưa sáng kiến kinh nghiệm “ số tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian" B GIẢI QUYẾT VẤN DỀ Cơ sở lí luận vấn đề Bài tốn viết phương trình đường thẳng dạng tốn hay khơng q khó chương trình lớp 12 Cùng với phương pháp tọa độ, học sinh có nhìn khác hình học; thấy mối liên hệ hình học giải tích,thốt lối tư trực quan hình học mà em học lâu Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trong trình giảng dạy chương phương pháp toạ độ không gian, thấy đa phần học sinh lúng túng, kỹ giải toán hình khơng gian cịn yếu, khả vận dụng kiến thức có để giải tập chưa cao… Bên cạnh tập sách giáo khoa chương Phương pháp tọa độ khơng gian chương trình hình học khối 12 đưa chưa cân đối, tập bản, đa phần tập khó, đặc biệt khó học sinh yếu, học sinh trường “vùng khó” dẫn đến học sinh có tư tưởng nản e sợ khơng học Do dạy tập, đặc biệt với chương này, tìm tịi, chọn tập, kết hợp tập sách giáo khoa, thiết kế trình tự giảng hợp lý giảm bớt khó khăn giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, từ đạt kết cao kiểm tra, đánh giá Đề tài thực phạm vi lớp 12A 2, 12A5, 12A6- ban CB trường THPT Thường Xuân 2, buổi ôn tập chuyên đề sau học xong chương phương pháp toạ độ không gian, buổi ôn thi tốt nghiệp khối 12 năm học 2012 -2013 +) Quá trình thực đề tài * Trước thực đề tài: Tôi yêu cầu em học sinh thực làm số tập: Bài tốn: Trong khơng gian với hệ Oxyz, viết phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng d trường hợp sau: a/ d qua điểm M( c1; 2; ) có phương ud = ( 2; -4 ; 1) b/ d qua điểm N(2; -1; 3) song song với đường thẳng d1 : x +1 y + z = = −2 c/ d qua M(2; -1; 3) vng góc với mp(P): x + 2y - 3z + = d/ d qua điểm A(2; -1; 3), B (4; 0; 1) */Số liệu cụ thể trước thực đề tài Kết lớp 12A2 ( sĩ số 29) Làm Làm sai Số h/s khơng có lời lời giải Câu a 20 Câu b 18 Câu c 18 Câu d 19 Kết lớp 12A5 ( sĩ số 36) Số h/s làm Số h/s làm sai Số h/s khơng có lời lời giải Câu a 19 10 Câu b 18 14 Câu c 18 15 Câu d 17 15 Kết lớp 12A6 ( sĩ số 38) Số h/s làm Số h/s làm sai Số h/s khơng có lời lời giải Câu a 15 15 Câu b 13 16 Câu c 12 18 Câu d 20 12 Như với tốn quen thuộc kết thấp sau nêu lên lời giải phân tích hầu hết em học sinh hiểu tỏ hứng thú Giải pháp tổ chức thực Vấn đề 1: Hệ thống kiến thức Véc tơ phương đường thẳng * u ≠ có giá song song trùng với đường thẳng d u véc tơ phương đường thẳng d * u véc tơ phương d k u ( k ≠ ) véc tơ phương d 2.Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng * n ≠ có giá vng góc với mặt phẳng ( α ) n véc tơ pháp tuyến (α ) * n véc tơ pháp tuyến ( α ) k n ( k ≠ ) véc tơ pháp tuyến ( α ) Phương trình tổng quát mặt phẳng * Phương trình tổng quát ( α ) có dạng Ax + By + Cz + D = ( A2 + B2 + C2 ≠ 0) v * Nếu ( α ) có phương trình Ax + By + Cz + D= véc tơ pháp tuyến ( α ) n (A;B;C) * Nếu ( α ) qua điểm M(x0;y0;z0) nhận n (A;B;C) làm véc tơ pháp tuyến phương trình ( α ) : A(x- x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = * Nếu ( α ) chứa hay song song với giá hai véc tơ khác phương a =(a1;a2;a3) b (b1;b2;b3) pháp tuyến ( α ) n = [ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1) * Nếu ( α ) cắt trục Ox, Oy , Oz A(a;0;0 ), B (0;b;0) , C(0;0;c) ( α ) có phương trình : x y z + + = ; (a.b.c ≠ 0) (phương trình mặt phẳng theo a b c đoạn chắn ) Phương trình đường thẳng Nếu điểm M(x0 ; y0 ; z0)∈ d véc tơ phương d u (a; b ; c )  x = x0 + at  * phương trình tham số đường thẳng d :  y = y0 + bt  z = z + ct  * phương trình tắc d : ;( t tham số) x − x0 y − y0 z − z0 = = ; (a.b.c ≠ ) a b c Các kiến thức khác * Cho A(xA;yA;zA) điểm B(xB; y B ; zB) - véc tơ AB = (xB-xA ; yB-yA; zB-zA ) - Toạ độ trung điểm I AB I= ( x A + xB y A + y B z A + z B ; ; ) 2 * a = (a1;a2;a3) b = (b1;b2;b3) - Tích có hướng a b véc tơ ký hiệu [ a , b ] [ a , b ] = ( a2.b3 - a3.b2 ; a3.b1-a1.b3 ; a1.b2 - a2.b1) Chú ý : -) [ a , b ] ⊥ a [ a , b ] ⊥ b - )Nếu a b phương a1 a2 a3 = = b1 b2 b3 - ) Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ký hiệu n -) Véc tơ Chỉ phương đường thẳng ký hiệu u Vấn đề 2: Nêu phương pháp chung để giải toán: Trong tốn Viết phương đường thẳng d phương pháp chung xác định véc tơ phương đường thẳng ( gọi tắt phương) toạ độ điểm mà đường thẳng qua sau dựa vào cơng thức định nghĩa ( trang 83 sgk hh12) để viết phương trình đường thẳng CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng 1: Xác định toạ độ điểm toạ độ véc tơ phương đường thẳng cho trước Hướng dẫn: Dựa vào định nghĩa ( trang 83 sgk hh12) Ví dụ: Xác định toạ độ điểm M véc tơ phương u đường thẳng d trường hợp sau:  x = + 3t  a) d :  y = −3 − t  z = − 2t  ;( t tham số) b) d: x − y +1 z = = Lời giải a/ Ta có M(2 ;-3 ;5)∈ d, phương d u =(3; -1; -2) b/ Ta có M(2 ;-1 ;0)∈ d, phương d u =(3; 2; 4) Dạng : Viết phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng d biết d qua điểm M(x0;y0;z0) có phương u = (a; b; c) Hướng dẫn:  x = x0 + at  * phương trình tham số đường thẳng d :  y = y0 + bt  z = z + ct  ;( t tham số) x − x0 y − y0 z − z0 = = ; (a.b.c ≠ ) a b c * phương trình tắc d : Ví dụ : Trong khơng gian với hệ Oxyz Viết phương trình tham số phương trình tắc d trường hợp sau: a/ d qua điểm M(2; 1; 3) có phương u =(3; -1; -2) b/ d qua điểm M(1;0;3) có phương u =(0; -1; -2) c/ d qua gốc toạ độ có phương u =(3; 1; -2) Lời giải  x = + 3t  a/ Ta có phương trình tham số d :  y = − t ( t tham số )  z = − 2t  x − y −1 z − = = −1 −2 x =  b/ phương trình tham số d là:  y = − t ( t tham số )  z = − 2t  phương trình tắc d là: Khơng có phương trình tắc  x = 3t  c/ phương trình tham số d  y = t ( t tham số )  z = −2t  phương trình tắc d x y z = = −2 Dạng 3: Viết phương trình tham số đường thẳng d biết d qua hai điểm A,B cho trước Hướng dẫn: - Chỉ phương d AB - Chọn điểm qua A B ( Đưa tốn dạng 2) Ví dụ : Trong khơng gian với hệ Oxyz Viết phương trình tham số d trường hợp sau: a/ d qua A(2; 3; 5) B(-1; 2; ) b/ d qua M(-2; 1; 3) N (1; 1; -1) c/ d qua M(-1; 2; 3) gốc toạ độ Lời giải a/ Do d qua A B nên phương d AB =(-3; -1; -5)  x = − 3t  lấy A(2; 3; 5) ∈ d phương trình tham số d  y = − t  z = − 5t  ( t tham số ) b/ Do d qua M N nên phương d MN =(3; 0; -4)  x = −2 + 3t  phương trình tham số d là:  y =  z = − 4t  ( t tham số ) c/ Do d qua M O nên véc tơ phương d OM =(-1; 2; 3)  x = −1 − t  phương trình tham số d là:  y = + 2t  z = + 3t  ( t tham số ) Dạng : Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( α ) Hướng dẫn: - pháp tuyến nα mặt phẳng ( α ) phương d ⇒ đưa toán dạng Ví dụ : Trong khơng gian với hệ Oxyz Viết phương trình tham số d trường hợp sau : a/ d qua M(2; 3; 1) vng góc với ( α ): x + 2y – 3z + = b/ d qua gốc toạ độ vng góc với ( α ): 3x - 5y + 2z -2 = c/ d qua M(2; -3; 1) vng góc với mặt phẳng (Oxy) d/ d qua M(2; -3; 1) vng góc với mặt phẳng (Oxz) e/ d qua M(2; -3; 1) vng góc với mặt phẳng (Oyz) Lời giải a) Do d ⊥ ( α ) nên phương d u =(1; 2; -3) ⇒ phương trình tham số x = + t  d  y = + 2t ( t tham số)  z = − 3t  b/ Do d ⊥ ( α ) nên phương d u =(3; -5; 2) ⇒ phương trình tham số  x = 3t  d  y = −5t ( t tham số)  z = 2t  c/ Do d ⊥ (Oxy) nên phương d k =(0; 0; 1) ⇒ phương trình tham số x =  d  y = −3 z = + t  ( t tham số) d/ Do d ⊥ (Oxz) nên phương d j =(0; 1; 0) ⇒ phương trình tham số x =  d  y = −3 + t z =  ( t tham số) e/ Do d ⊥ (Oyz) nên phương d i =(1; 0; 0) ⇒ phương trình tham số x = + t  d  y = −3 z =  ( t tham số) Dạng 5: Đường thẳng d qua điểm M song song với đường thẳng d’ Hướng dẫn: - phương d’chính phương d ⇒ đưa tốn dạng Ví dụ : Trong khơng gian Oxyz Viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau: x = + t  a/ d qua điểm M(2; 2; -1) song song với d’  y = + 2t ( t tham số)  z = − 3t  x − y +1 z = = 2 x + y − z + = (1) c/ d qua điểm M(0; 2; 1) song song với d’  3 x − y + z + = (2) b/ d qua điểm M(-1;2;3) song song với d’: d/ d qua điểm M(2; 3; 4) song song với trục ox Lời giải a/ Do d // d’ ⇒ phương d u = (1; 2; -3) x = + t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = + 2t ( t tham số)  z = −1 − 3t  b/ Do d // d’ ⇒ phương d u = (3; 2; 4)  x = −1 + 3t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = + 2t ( t tham số)  z = + 4t  c/ Ta có n = (2; 3; -1) n = (3; -1; 2) Véc tơ phương d’ u ’=[ n 1, n 2] = (5; -7 ; -11) Do d // d’ ⇒ phương d u = (5; -7; -11)  x = 5t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = − 7t ( t tham số)  z = − 11t  d/ Do d // trục ox ⇒ phương d i = (1; 0; 0) x = + t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = ( t tham số) z =  Dạng : Đường thẳng d qua điểm M song song với mặt phẳng (P) (Q) Hướng dẫn : - Chỉ phương d u = [ n P, n Q] ; Đưa tốn dạng Ví dụ1: Trong khơng gian với hệ Oxyz Viết phương trình tham số d biết d qua điểm M(3; 1; 5) song song với hai mặt phẳng: (P): 2x + 3y - 2z +1 = (Q): x – 3y + z -2 = Lời giải Ta có n P = (2; 3; -2); n Q=(1; -3; 1) Do d //(P) d//(Q) nên phương d u = [ n P, n Q]= (-3; -4; -9)  x = − 3t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = − 4t  z = − 9t  ( t tham số) Ví dụ2: Trong khơng gian với hệ Oxyz Viết phương trình tham số d biết d qua điểm M(-2; 1; 5) song song với mặt phẳng (P): 3x + 2y - 4z +1 = mặt phẳng (Oxy) Lời giải Ta có pháp tuyến (P) : n P = (3; 2; -4); Pháp tuyến (Oxy) k =(0; 0; 1) Do d //(P) d//(Oxy) nên phương d u = [ n P, k ]= (2; -3; 0)  x = −2 + 2t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = − 3t z =  ( t tham số) Dạng : Viết phương trình đường thẳng qua điểm M, song song với mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng d’.( d’ khơng vng góc với (P)) Hướng dẫn : - Xác định pháp tuyến (P) phương d’.( n P u ’ ) - Chỉ phương d u = [ n P, u ’] (Đưa tốn dạng 2) Ví Dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz Viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau: a/ d qua điểm M(2; 3; 0), song song (P): 3x – 2y +z+1 = vng góc với d’: x −1 y +1 z + = = b/ d qua điểm M(-2; 1; 3) song song với mặt phẳng (Oxz) vng góc với  x = + 3t  d’:  y = − t  z = + 2t  ( t tham số ) Lời giải a/ Ta có : - Pháp tuyến (P) n P = (3; -2; 1); phương d’ u ’= (2; 3; 4) Do d//(P) d ⊥ d’ ⇒ phương d u = [ n P, u ’] = (-11; -10; 13)  x = − 11t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = − 10t  z = 13t  ( t tham số) b/ Ta có : - Pháp tuyến (Oxz) j = (0; 1; 0) - Chỉ phương d’ u ’= (3; -1; ) Do d//(Oxz) d ⊥ d’ ⇒ phương d u = [ j , u ’] = (2; 0; -3)  x = −2 + 2t  ⇒ phương trình tham số d là:  y =  z = − 3t  ( t tham số) Dạng : Đường thẳng d qua điểm M vng góc với hai đường thẳng khơng phương d1 d2 Hướng dẫn : -Xác định phương d1 d2 ( u u 2) Chỉ phương d u = [ u 1, u 2] Đưa tốn dạng Ví dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz Viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp sau:  x = − 3t  a/ d qua điểm M(2; -3; 4) vng góc với d1:  y = + t  z = −1 + 2t  d2: ( t tham số ) x +1 y z + = = b/ d qua điểm M(1; 2; 3) vuông góc với trục Oy đường thẳng  x + y − z + = ( P)  x − y + z − = (Q ) d’  Lời giải a/ Ta có : Chỉ phương d1 u = (-3; 1; 2) Chỉ phương d2 u = (2; 5; ) Do d ⊥ d1 d ⊥ d2 ⇒ phương d u =[ u 1, u 2]= (-7; 13; -17)  x = − 7t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = −3 + 13t  z = − 17t  ( t tham số) b/ Xét đường thẳng d’ ta có : - Pháp tuyến (P) n P = (1; 3; -2 ) - Pháp tuyến (Q) n Q = (2; -1; 3) ⇒ Chỉ phương d’ u ’ = [ n P, n Q] = (7; -7; -7) Hay phương d’ u ’ = (1; -1; -1); phương trục oy j = (0; 1; 0) Do d ⊥ d’ d ⊥ oy ⇒ phương d u =[ u ’, j ]= (1; 0; 1) x = + t  ⇒ phương trình tham số d là:  y = z = + t  ( t tham số) Dạng : Viết phương trình tham số đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q), ( (P) (Q) không song song ) Hướng dẫn : - Xác định pháp tuyến (P) (Q) , ( n P n Q ) - Chỉ phương d u = [ n P, n Q] -Xác định điểm thuộc d: ( cách giải hệ tạo phương trình hai mặt phẳng cho trước giá trị ẩn.) ( Đưa tốn dạng 2) Ví Dụ : Trong khơng gian Oxyz Viết phương trình tham số đường thẳng d giao tuyến (P): x + y + z - = (Q): 2x - 3y +z +3 = Lời giải - Pháp tuyến (P) n P = (1; 1; ); Pháp tuyến (Q) n Q = (2; -3; 1) ⇒ Chỉ phương d u = [ n P, n Q] = (4; 1; -5) x + y + z − = cho x = ⇒ y=1 z = 2 x − y + z + = Toạ độ điểm M ∈ d thoả mãn hệ  ⇒ M(0; 1; ) ∈ d  x = 4t  ⇒ phương trình tham số d  y = + t  z = −5t  ( t tham số ) Nhận xét: Bài toán chất tốn chuyển từ phương trình tổng qt đường thẳng dạng phương trình tham số Dạng 10 : Đường thẳng d song song cách hai đường thẳng song song d1 d2 nằm mặt phẳng chứa d1 d2 Hướng dẫn: - Chỉ phương d phương d1 d2 - Xác định toạ độ điểm M ∈ d1, N∈ d2 ⇒ toạ độ trung điểm I MN ∈ d Đưa tốn dạng Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng  x = + 3t  x − y +1 z = = d1:  y = −3 + t ( t tham số ) d2: −2  z = − 2t  Viết phương trình tham số đường thẳng d nằm mặt phẳng chứa d d2 đồng thời cách hai đường thẳng Lời giải Do d1//d2 d cách d1, d2 ⇒ phương d u = (3; 1; -2) Lấy M(2; -3; 4) ∈ d1 , N(4; -1; 0) ∈ d2 ⇒ toạ độ trung điểm I MN I(3; -2; 2) ∈ d 10  x = + 3t  ⇒ phương trình tham số d  y = −2 + t  z = − 2t  ( t tham số ) Nhận xét : - phương trình d d1 khác toạ độ điểm qua - Giả sử d d2 thay phương trình tổng quát cách xác định điểm qua véc tơ phương tương tự dạng Dạng 11 : Đường thẳng d phân giác góc tạo d1 d2 cắt Hướng dẫn :- Xác định toạ độ giao điểm I d1 d2 - Lấy điểm A ∈ d1 ( A khác I) - Xác định B ∈ d2 cho IA = IB (tìm hai điểm B B2 thoả mãn) + Với điểm B1 ⇒ trung điểm I1 AB1 ⇒ d qua I I1 + Với điểm B2 ⇒ trung điểm I2 AB2 ⇒ d qua I I2 Đưa toán dạng Ví dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz Viết phương trình tham số d phân giác góc tạo hai đường thẳng x −1 y +1 z = = d1: −1 x = − t  d2:  y = 2t ( t tham số )  z = −1 + t  Lời giải  x = + 2t '  Phương trình tham số d1 là:  y = −1 + t '  z = −t '  3 − t = + 2t '  xét hệ 2t = −1 + t ' ⇒ t=0 t’=1 thoả mãn phương trình hệ − + t = −t '  ⇒ d1 cắt d2 điểm I(3; 0; -1) Lấy A(1; -1; 0) ∈ d1 B ∈ d2 ⇒ toạ độ B(3-t; 2t; -1+t) IA = IB ⇒ t = t = -1 Vậy có hai điểm B thoả mãn B1(2; 2; 0) B2(4; -2; -2) * gọi I1 trung điểm AB1 ⇒ I1=( ; ; 0) 2 −3 ⇒ phân giác thứ qua I I1 II1 =( ; ; 1) ⇒ phương d 2 u = (-3; 1; 2)  x = − 3t  ⇒ phân giác thứ  y = + t ( t tham số )  z = −1 + 2t  11 −3 * gọi I2 trung điểm AB2 ⇒ I1=( ; ; -1) 2 −3 ⇒ phân giác thứ qua I I2 II =(- ; ; 0) ⇒ phương d 2  x = − 3t  u = (-1; -3; 0) ⇒ phân giác thứ hai  y = + t ( t tham số )  z = −1 + 2t  Dạng 12 : Đường thẳng d đường vng góc chung hai đường thẳng d d2 chéo Phân tích : giả sử d đường vng góc chung d1 d2 chéo d giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) :(P) chứa d d1 ; (Q) chứa d d2 Hướng dẫn : - Xác định phương d1 d1 u u - Chỉ phương d u =[ u 1, u 2] - Viết pt mặt phẳng (P) chứa d d1 - Viết pt mặt phẳng (Q) chứa d d2 - d giao tuyến (P) (Q) ( Đưa toán dạng ) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho hai đường thẳng chéo nhau: d1: x −1 y +1 z − = = d2: x −1 y + z +1 = = 2 Viết phương trình tham số đường thẳng d đường vng góc chung d d2 Lời giải: Ta có : phương d1 là: u 1=(2; 3; 1); Chỉ phương d2 : u 2= (3; 2; 2) d đường vng góc chung d1 d2 ⇒ Chỉ phương d u = [ u 1, u 2] = (4; -1; -5) Gọi (P) chứa d d1 ⇒ pháp tuyến (P) n P=[ u 1, u ]=(-14; 14; -14) Hay pháp tuyến (P) n P = (-1; 1; -1) Điểm M(1; -1; 5) ∈ (P) ⇒ phương trình (P) là: -1(x-1)+1(y+1)-1(z-5) =0 ⇔ -x +y - z +7 = Gọi (Q) chứa d d2 ⇒ pháp tuyến (Q) n Q=[ u , u 2]=(8; -23; 11) Điểm N(2; -1; -1) ∈ (Q) ⇒ phương trình (Q) là: 8(x-2)- 23(y+1)+ 11(z+1) =0 ⇔ 8x- 23y +11z43=0 − x + y − z + = 8 x − 23 y + 11z − 43 = 22 22 Cho y = ⇒ x = z = ⇒ điểm A( ; 1; ) ∈ d 3 3 Xét hệ  12 22  x= + 4t   Vậy phương trình tham số d :  y = − t ( t tham số )   z = − 5t  Dạng 13 : Đường thẳng d qua điểm M, vng góc với đường thẳng d cắt đường thẳng d2 Phân tích : - d cắt d2 N ⇒ N ∈ d2 N ∈ d - Khi MN phương d ⇒ MN u = ⇒ toạ độ điểm N - Đưa toán dạng Hướng dẫn : - Xác định dạng toạ độ điểm N ∈ d2 - Lập véc tơ MN =? , xác định phương d1 - d ⊥ d1 ⇒ MN u = ⇒ toạ độ điểm N - d đường thẳng qua M N biết ( dạng 3) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz Lập phương trình đường thẳng d qua  x = −3 x +1 y + z +  = = M(2; 3; 3) vng góc với d 1: cắt d2 :  y = − t ( t tham z = + t  số) Lời giải: Ta có: phương d1 : u = (1; 3; 1) Do d cắt d2 ⇒ N(-3; - t; 1+ t ) ∈ d ⇒ MN = (-5; -1 – t ; -2 + t ) phương d d ⊥ d1 ⇒ MN u = ⇒ t = -5 ⇒ MN = (-5; 4; -7)  x = − 5t  ⇒ phương trình tham số d :  y = + 4t  z = − 7t  ( t tham số) Dạng 14 : Viết phương trình tham số đường thẳng d hình chiếu d mặt phẳng (P) Phương pháp : - Xác định pháp tuyến n P (P), phương u d1 - gọi (Q) mặt phẳng chứa d vuông góc với (P) ⇒ phương trình (Q) - d giao tuyến (P) (Q) (Dạng 9) Ví dụ : Trong khơng gian với hệ Oxyz Viết phương trình tham số đường  x = + 3t  thẳng d hình chiếu d1 :  y = − t mặt phẳng (P) : 2x- 3y + z +1 = z = + t  Lời giải : Ta có : M(2 ; ; ) ∈ d1 Chỉ phương d1 u 1= (3; -1; 1); Pháp tuyến (P) n P=(2; -3; 1) 13 Do d hình chiếu d1 (P) ⇒ d giao tuyến (P) mặt phẳng (Q) chứa d1 vng góc với (P) ⇒ pháp tuyến (Q) n Q=[ u 1, n P] = (2; -1; -7) ⇒ phương trình (Q) : 2( x - 2) – (y – 1) – 7( z - 3) = ⇔ 2x –y -7z +18 = ⇒ phương d : u =[ n P, n Q] = ( 22; 16; ) Hay phương d u =(11; 8; 2) 2 x − y + z + = 31 31 cho z=1 ⇒ x= - y = - ⇒ A(- ;- ; 1) ∈ d 4 2 x − y − z + 18 = 31   x = − + 11t   ⇒ phương trình tham số d :  y = − + 8t ( t tham số )   z = + 2t   Xét hệ:  Dạng 15 : Viết phương trình tham số đường thẳng d biết d vng góc với (P) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 đường thẳng d2 Phương pháp: - giả sử d cắt d1 d2 M N ⇒ dạng toạ độ M N ⇒ MN ? - d vng góc (P) ⇒ pháp tuyến n P (P) phương MN ⇒ toạ độ M, N ( Đưa toán dạng 9) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ Oxyz Viết phương trình tham số đường thẳng d biết d vng góc với mặt phẳng (P): x + 2y +z + = đồng thời cắt x = + t  hai đường thẳng d1:  y = + 3t d2:  z = − 2t  x = − t '   y = + t'  z = + 2t '  ( t t’ tham số ) Lời giải: Giả sử d cắt d1 M ⇒ toạ độ M (3 + t; + 3t; - 2t) d cắt d2 N ⇒ toạ độ N (2- t’; + t’; + 2t’) ⇒ MN =( -t’ - t - 1; t’ - 3t +1; 2t’ +2t +3) Pháp tuyến (P) n P= (1; 2; 1) Do d vng góc với (P) ⇒ MN n P phương − t '−t − t '−3t + 2t '+2t + −1 t’= − 13 ⇒ t= = = 12 11 ⇒ M( ; ; ) ∈ d1 , MN =( ; ; ) ⇒ phương d u =(1; 2; 1) 4 3 ⇒ 14 11  x = +t    ⇒ phương trình tham số d :  y = + 2t   z = + t  ; ( t tham số ) Dạng 16 : Viết phương trình tham số đường thẳng d biết d song song với hai mặt phẳng (P) (Q) đồng thời cắt hai đường thẳng d1 d2 Phân tích: - d // (P) d//(Q) ⇒ phương d tích có hướng hai pháp tuyến (P) (Q) - d cắt d1 d2 M N ⇒ dạng toạ độ M M ⇒ MN phương với phương d ⇒ toạ độ cụ thể M ⇒ phương trình tham số d Hướng dẫn: - Xác định pháp tuyến (P) (Q) n P n Q - Xác định phương d u = [ n P, n Q] - Xác định dạng toạ độ giao điểm M,N d với d1 d2 - Lập MN , MN // u ⇒ toạ độ M ⇒ phương trình tham số d Ví dụ: Viết phương trình tham số d biết d song song với hai mặt phẳng (P): x + 2y - z +1 = 0; (Q): - x - y + 2z -2 = đồng thời cắt hai đường thẳng d 1: x = + t x = − t'    y = − t , d2:  y = + 2t '  z = + 2t z = − t'   Lời giải Ta có: pháp tuyến (P) là: n P= ( 1; 2; -1) Pháp tuyến (Q) là: n Q= (-1; -1; 2) Do d //(P) d//(Q) ⇒ phương d u = [ n P, n Q]= ( 3; -1; 1) Giả sử d cắt d1 M ⇒ toạ độ M M(1+t; 2-t; 1+2t) ∈ d d cắt d2 N ⇒ toạ độ N N(3-t’; 1+2t’; 2-t’) ∈ d MN = (-t - t’+2; t +2t’ -1; -2t –t’ +1 ) − t − t '+2 t + 2t '−1 − 2t − t '+1 = = −1 13 ⇒ M( ; ; ) 7 MN // u ⇒ ⇒ t = t’ = 15   x = + 3t  13  Vậy phương trình tham số d là:  y = − t   z = + t  ; ( t tham số ) Bài tập tự luyện : Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm A(0; 2; 1) B(1; -1; 3) Viết phương trình tham số đường thẳng AB ( đề thi tốt nghiệp BTTHPTnăm 2007) Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm M(3; 4; 1), N(2; 3; 4) Viết phương trình tắc đường thẳng MN ( đề thi tốt nghiệp BTTHPT lần năm 2007) Bài3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm M(1; 0; 2) N(3; 1; 5) Viết phương trình tham số đường thẳng qua M N ( đề thi tốt nghiệp THPTphân ban lần năm 2007) Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho điểm M(-1; 2; 3) mặt phẳng ( α ) : x – 2y + 2z +5 = Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với ( α ) ( đề thi tốt nghiệp BTTHPTnăm 2008) Bài 5: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho điểm M(1; 2; 3) mặt phẳng ( α ) : 2x – 3y + 6z +35 = Viết phương trình đường thẳng qua M vng góc với ( α ) ( đề thi tốt nghiệp THPT không phân ban năm 2008) Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho điểm A(3; -2; -2) mặt phẳng ( α ): 2x – 2y + z - = Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với ( α ) ( đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2008) Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm A(1; 4; 2), B(-1; 2; 4) Viết phương trình đường thẳng d qua trọng tâm G tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB) ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2007) Bài 8: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai mặt phẳng (P): 2x +3y – 4z +5 =0 (Q): 3x + y – z +4 = Viết phương trình tham số đường thẳng d giao tuyến (P) (Q) (Đề 16 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 9: Lập phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng x−3 y −3 z −3 = = d1: x = − t  d2:  y = 2t (Đề 11 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) z = + t  16  x = −4 − t  Bài 10: Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d:  y = −1 + 8t  z = −3t  mặt phẳng (P): 3x + 2y +z – = 0.(Đề 10 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 11: Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng Oxy cắt x = + t  hai đường thẳng d1:  y = + 5t  z = −1 + 4t  (t ∈ R); x = − t'  d2:  y = + 2t ' z = + t '  (t’ ∈ R ) (Đề 14 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y −1 z + = d1: = −1  x = −1 + 2t  d2:  y = + t z =  (t ∈ R) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z =0 cắt hai đương thẳng d1 d2 ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối A năm 2007) Bài 13: Trong không gian hệ toạ độ Oxyz lập phương trình đương thẳng d song song với với hai mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z -20 = 0, (Q): 3x - 4y + 9z + = cắt hai đường thẳng d1: x + y − z +1 x−4 y z−2 = = = = , d2: −3 −2 (Đề 17 tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 14: Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(2; 3; )vng góc với  x = −3 x +1 y + z +  = = đường thẳng d1: cắt đường thẳng d2:  y = − t 1 z = − t  (t ∈ R) (Đề tài liệu ôn tập tốt nghiệp năm 2009) Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) hai đường thẳng d1: x−2 y +2 z −3 = = , −1 d2: x −1 y −1 z +1 = = −1 Viết phương trình đường thẳng d qua A vng góc với d1 cắt d2 ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng khối D năm 2006) Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) đường  x = −3 + 2t  thẳng d:  y = − t  z = −1 + 4t  , viết phương trình đường thẳng d’ qua điểm A , cắt vng góc với đường thẳng d khối B năm 2004) ( đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 17 x =  Bài 17: Cho hai đường thẳng d1:  y = ( t ∈ R), d2: z = − t   x = −2 + 2t '  y = (t’ ∈ R) z =  Viết phương trình đường phân giác góc tạo d1 d2 Bài 18: Viết phương trình đường thẳng d song song , cách d 1, d2 thuộc mặt phẳng chứa hai đường thẳng d1, d2 d1: x+2 y −5 z −9 = = ; −1 ĐÁP ÁN: x = t  Bài :  y = − 3t  z = + 2t  ; d2 : x y+3 z+7 = = −1 (tham số t ∈ R) x − y − z −1 = = −1 −1  x = + 2t  Bài :  y = t (tham số t ∈ R)  z = + 3t  Bài :  x = −1 + t  Bài :  y = − 2t  z = + 2t  (tham số t ∈ R)  x = + 2t  Bài :  y = − 3t  z = + 6t  (tham số t ∈ R)  x = + 2t  Bài :  y = −2 − 2t  z = −2 + t  (tham số t ∈ R) x y−2 z−2 = = −1  x = −1 + t  Bài : d :  y = −1 − 10t  z = −7t  Bài : x = + t  Bài : d :  y = −2 − 2t  z = + 5t  (tham số t ∈ R) (tham số t ∈ R) 18 34   x = − 13 + 13 t  167 40  − t Bài 10:  y = − 13 13  z = t   x =  Bài 11:  y =  z = −1 + t  x − y z +1 = = −4  x = −2 + 8t  Bài 13 :  y = −3t  z = − 4t  (tham số t ∈ R) (tham số t ∈ R) Bài 12: (tham số t ∈ R) x−2 y −3 z −3 = = −5 x −1 y − z − = = Bài 15 : −3 −5 x+4 y+2 z−4 = = Bài 16 : −1 Bài 14 :  x = −t x = t   Bài 17 : có hai phân giác :  y = (t ∈ R )  y = z = t z = t    x = −1 + 3t  Bài 18 :  y = − t (tham số t ∈ R)  z = + 4t  (t ∈ R) KIỂM NGHIỆM Là dạng toán hay em tỏ say mê, hứng thú học tập coi thành công người giáo viên Kết thúc đề tài tổ chức cho em học sinh lớp 12A2, 12A5, 12A6 làm đề kiểm tra 45 phút với nội dung tốn viết phương trình mặt phẳng thuộc dạng có đề tài Kết khả quan, cụ thể sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp 12A2 18% 48% 30% 4% Lớp 12A5 17% 56% 25% 2% Lớp 12A6 13% 40% 37% 10% Rõ ràng có khác biệt em học sinh trước sau học thực đề tài Như chắn phương pháp mà nêu đề tài giúp em phân loại tập nắm vững phương pháp làm trình bày giúp em tự tin học tập thi 19 C KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy thu số kết định sau : 1) Học sinh trung bình trở lên nắm vững số phương pháp biết vận dụng vào giải tập bản, tập vận dụng sách giáo khoa 2) Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn sử dụng phương pháp trình bày đề tài để giải toán 3) Là phương pháp tham khảo cho học sinh thầy cô giáo 4) Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp xây dựng thêm tốn đường thẳng Xây dựng phương pháp giảng dạy theo quan điểm đổi việc mà toàn xã hội ngành quan tâm Tuy nhiên khơng có phương pháp vạn theo nghĩa giải tốn Vấn đề đặt q trình giảng dạy ln ln cố gắng tìm tịi suy nghĩ, cải tiến phương pháp giảng dạy cho thích hợp để khơng ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy Vì thời gian có hạn, với phạm vi sáng kiến kinh nghiệm nên đề tài mà tơi nghiên cứu hạn chế mong độc giả góp ý kiến để đề tài hồn thiện Thường Xuân, ngày 20 tháng năm 2013 XÁC NHẬN CỦA BGH Người thực Tôi xin cam đoan SKKN tự làm, không chép nội dung người khác Vũ Thị Hoa 20 ... 2; 4) Dạng : Viết phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng d biết d qua điểm M(x0;y0;z0) có phương u = (a; b; c) Hướng dẫn:  x = x0 + at  * phương trình tham số đường thẳng d :  y...  z = −5t  ( t tham số ) Nhận xét: Bài toán chất tốn chuyển từ phương trình tổng qt đường thẳng dạng phương trình tham số Dạng 10 : Đường thẳng d song song cách hai đường thẳng song song d1 d2... 2007) Bài3 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz Cho hai điểm M(1; 0; 2) N(3; 1; 5) Viết phương trình tham số đường thẳng qua M N ( đề thi tốt nghiệp THPTphân ban lần năm 2007) Bài 4: Trong không gian