Tài liệu Các bài cực trị liên quan đến phương trình đường thẳng docx

. Các bài cực trị liên quan đến phương trình đường thẳng Bài 1. Cho đường thẳng và hai điểm . Tìm điểm trên đường thẳng sao cho: a) nhỏ b) lớn nhất Hướng dẫn giải Trước tiên ta kiểm tra nằm cùng phía hay khác phía đối với đường thẳng . Ta có: Suy ra nằm cùng phía đối với đường thẳng . a) Gọi là điểm đối xứng của qua và là giao điểm của với . Khi đó là trung điểm của . Phương trình đường thẳng hay Tọa độ của là nghiệm của hệ: Suy ra tọa độ Gọi là giao điểm của và Phương trình đường thẳng hay Tọa độ của là nghiệm của hệ: Khi đó là điểm cần tìm. Thật vậy: Với mọi điểm ta có và dấu xảy ra khi và chỉ khi b) Ta có thể trình bày như câu a) hoặc có thể trình bày theo cách sau: Ta có . Dấu xảy ra khi và chỉ khi thuộc đường thẳng và nằm ngoài đoạn thẳng . Mà cùng phía đối với đường thẳng nên điểm cần tìm chính là giao của đường thẳng và đường thẳng Phương trình đường thẳng . Suy ra tọa độ của điểm cần tìm là Bài 2. Cho đường thẳng và hai điểm . Tìm điểm trên đường thẳng sao cho: a) là nhỏ nhất c) lớn nhất Hướng dẫn giải Trước tiên ta kiểm tra cùng phía hay khác phía đối với đường tròn. Ta có , suy ra khác phía đối với đường thẳng a) Ta có và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nằm giữa hay là giao của đường thẳng và (Vì khác phía đối với đường thẳng ). Phương trình đường thẳng Tọa điểm là nghiệm của hệ: Vậy là điểm cần tìm. b) Để ý rằng là khác phía đối với đường thẳng nên khi áp dụng bất đẳng thức thì không tồn tại để dấu bằng xảy ra. Do đó ta phải làm như sau: Gọi là điểm đối xứng của qua đường thẳng .Khi đó ta có . Dấu xảy ra khi và chỉ khi thuộc đường thẳng và nằm ngoài đoạn thẳng hay là giao điểm của và Ta tính được tọa độ điểm là Phương trình đường thẳng hay Suy ra tọa độ của điểm là nghiệm của hệ: Vậy tọa độ điểm cần tìm là Bài 3. Cho đường thẳng và hai điểm . Tìm điểm trên đường thẳng sao cho: a) nhỏ nhất. b) nhỏ nhất. Hướng dẫn giải a) Gọi là trung điểm của . Khi đó ta có: Vậy nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất, khi đó là hình chiếu của trên . Tọa độ điểm Phương trình đường thẳng qua và vuông góc với là: Khi đó cần tìm chính là giao điểm của và . Tọa độ của là nghiệm của hệ phương trình: Vậy là điểm cần tìm. b) Gọi điểm là điểm thỏa . Khi đó ta có Ta có là cố định, nên không đổi. Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất, khi đó là hình chiếu của trên đường thẳng Tọa độ điểm Suy ra tọa độ điểm cần tìm là Nhận xét: Chúng ta có thể làm tương tự với những biểu thức cực trị có dạng hoặc . . Các bài cực trị liên quan đến phương trình đường thẳng Bài 1. Cho đường thẳng và hai điểm . Tìm điểm trên đường thẳng sao cho: a). đối với đường thẳng nên điểm cần tìm chính là giao của đường thẳng và đường thẳng Phương trình đường thẳng . Suy ra tọa độ của điểm cần tìm là Bài 2.