Bài toán khoảng cách và góc liên quan đến phương trình đường thẳng trong không gian

CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính khoảng cách Loại 1:Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và đi qua điểm M0... Viết phương trình đường thẳng a nằm trong P và cách d một khoản

BÀI GIẢNG SỐ 05: KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG

A CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính khoảng cách

Loại 1:Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

và đi qua điểm M0 Khi đó khoảng

cách từ điểm M đến đường thẳng (d) được cho bởi:  ,   0;

MM u

d M d

u



 



Ví dụ 1:Tính khoảng cách

a) Từ điểm M2; 3; 1   đến đường thẳng : 2 1 0

x y z d

   







b) Từ điểm M2; 3;1 đến đường thẳng : 2 1 1



Bài giải:

a Gọi u

là VTCP của đường thẳng (d) u7; 5;1 

và M04; 3; 0 ( )d

Ta có: MM 0 2; 6;1 

0; 1;5;3

MM u

   Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là:  ,   1 25 9 35 7

75 15

49 25 1

b Gọi u

là VTCP của đường thẳng (d) u1; 2; 2 

và M02;1; 1  ( )d

Ta có: MM0     4; 2; 2MM u0; 8; 10; 6  

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là:  ,   64 100 36 10 2

3

1 4 4

 

1 : 4

d y t

z t

 









 



sao cho khoảng cách từ M đến 2

2

1

z

 





 



 



bằng 2

Bài giải:

Vì M d1 M1t t t; ; 4 

Đường thẳng d2 có VTCP u  1; 2; 0

và qua điểm M02; 4;1

Ta có: MM0 1t; 4t;1 4 tMM u0;    2 8 ; 1 4 ;t   t t6

Khoảng cách từ M đến  d2 là:          

2 2

,



Mà d M , d2 2

2

81 28 41

2 81 28 41 2 5 81 28 41 20 5

81t 28t 21 0

Phương trình (1) vô nghiệm Vậy không có giá trị nào của M thỏa mãn

x y z

   Xác định tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho khoảng cách từ M đến   bằng OM

Bài giải:

Đường thẳng   đi qua điểm A(0; 1; 0) và có VTCP u  2;1; 2

Do M thuộc Ox nên M (t; 0; 0) AM t; 1; 0  AM u; 2; 2 ;t  t 2

 

2

,

3

d M

u

 

 



Ta có:    

2

2 3

t

t t

t

 



 

 Vậy M11; 0; 0 , M22; 0; 0

Loại 2 Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng 1 và 2

Bài toán 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Phương pháp:

Bước 1: Lấy một điểm M thuộc và đường thẳng  1

Bước 2:Khi đó d   1 , 2 d M ,2 

Ví dụ 1:Cho hai đường thẳng  1

:

x y z

 và 2

:

x y z

  Tính khoảng cách giữa  1 và 2

Bài giải:

 1 có VTCP u 1 1; 2;1 

và qua M 1 2; 1; 2  

2có VTCP u  2  2; 4; 2 

và qua M 2 1; 1; 3  

1 2 1;0; 1 1 2; 2 4; 0; 4

  

Ta thấy  1 và 2song song với nhau nên d    1 , 2 d M 1,2  1 2 2

2

;

M M u u



 



16 0 16 32 2 3

3

 

 

Vậy    1 2 

2 3 ,

3

Viết phương trình đường thẳng (a) nằm trong (P) và cách d một khoảng là

Bài giải:

Đường thẳng (d) qua A2;3; 3 và có VTCP là u d 4; 2;1

Vì đường thẳng (a) và (d) cùng nằm trong mặt phẳng (P) và hai đường thẳng đó cách nhau một khoảng là nên (a) // (d) đường thẳng (a) có VTCP là u  4; 2;1

  



 



  



x 2 4t d: y 3 2t

z 3 t

 P :  x  y  2 z  5  0

14

14

Gọi u

là VTCP của đường thẳng   qua A và vuông góc với (d) thì

; 3 1; 3; 2

d

d p p

u u

u u n

u n

 





 

  

 

Phương trình đường thẳng  

2 3

3 6

 





   

   

 Lấy M2 3 ;3 9 ; 3 6 t  t   t   

Đường thẳng (a) cần tìm là đường thẳng qua M và song song với (d)

AM   t  t  t  t    t

Với 1 3;0; 1  : 3 1

Với 1 1; 6; 5  : 1 6 5

t  M   a     

Bài toán 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp:

Bước 1: Đường thẳng 1 đi quaM1và có VTCP là u1

, đường thẳng2qua M2và có VTCP làu2

1 2

; ,

;

u u M M d

u u

  

 

a) 1

1

1

z

 





  



 



và 2

2 3 : 2 3 3

z t

 





  



 



Bài giải:

 d1 có VTCP u11; 1; 0 

và qua điểm M11; 1;1 

 d2 có VTCP u23;3;3

và qua điểm M22; 2; 0 

1 2 1; 1; 1 , 1; 2 3; 3; 0

  

1; 2 1 2 0

u u M M

  

Vậy d    d1 , d2 0

1

 









   



a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau

b) Gọi MN là đoạn vuông góc chung của hai đuờng thẳng Hãy viết phương trình đường vuông góc chung MN

Bài giải:

a  d1 có VTCP u11; 1; 2 

và qua điểm M11;1; 2 

 d2 có VTCPu22;1; 1 

và qua điểm M24;8;8

1 2 5; 7;10 , 1; 2 1;5;3 1; 2 1 2 5 35 30 70 0

            

Vậy hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau

b Chuyển  d2 về dạng tham số:

4 2 '

8 '

8 '

  





 



  

 Gọi M1t;1  t; 2 2t   d1 ,N 4 2 ';8t t';8t'   d2

 5 2 ' ; 7 ' ;10 ' 2 

       

Vì MN là đoạn vuông góc chung của  d1 và  d2 nên 1

2

MN u





 

 

0; 2; 4 ,  8; 4;14

   

Phương trình đường thẳng MN là

8

2 4

4 14

 





 



   



Bài toán 3: Các bài toán khoảng cách tổng hợp

Vi dụ 1:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4) và đường thẳng

() : 1 2

x y z

 Tìm tọa độ điểm M trên () sao cho:MA2MB228

Bài giải:

Chuyển ( ) về dạng tham số:  

1

2

z t

 





    

 

 Lấy M    M1  t; 2 t t; 2 

MA t t  t MA t  t   t



2

6t 20t 40

MB t t  t MB  t  t   t  t  t



12 48 76 28

       12t2 48t 48  0  t 2

Vậy M(-1; 0; 4)

Ví dụ 2: Cho ba điểm A3; 2;3 ,  B1; 0;5 , C7; 2; 2 và đường thẳng  : 1 2 3



a Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng (d) để 2 2

MA MB đạt giá trị nhỏ nhất

b Tìm tọa độ điểm N trên đường thẳng (d) để NA  NBNC

đạt giá trị nhỏ nhất

Bài giải:

a Gọi I là trung điểm của ABI2; 1; 4 

MA MB MA MB  MI IA  MI IB

MI MI IA IA MI MI IB IB

       

       

Từ đó ta thấy 2 2

MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, tức là M là hình chiếu của I trên (d)

Chuyển (d) về dạng tham số:  

1 : 2 2 ,

3 2

 







  



  1 ; 2 2 ;3 2 

M  d M t  t  t IM t1;3 2 ; 2 t t1

M là hình chiếu của I trên (d) nên

IM uIM u  t   t  t   t 

   

1

t

  Vậy M2; 0;5

b Gọi G là trọng tâm tam giác ABCG1;0; 2

Ta có:   NANBNC 3NG 3NG

Từ đó ta thấy   NANBNC

đạt giá trị nhỏ nhất khi NG nhỏ nhất, tức là N là hình chiếu của

G trên (d)

Gọi (P) là mặt phẳng qua G và vuông góc với (d).Khi đó (P) có VTPT làn u1; 2; 2 

Khi

đó phương trình mặt phẳng (P) là: x 2y 2z  3 0

Vì    d  P  N nên tọa độ N là nghiệm của hệ

1

2 2

3 2

 



  





 





Vậy N1; 2;3

Ví dụ 3: (A_2008) Trong hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường

:

a) Tìm toạ độ hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d

b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất

Bài giải:

Chuyển (d) về dạng tham số:  

1 2 :

2 2

 









  



a Đường thẳng (d) có VTCP u2;1; 2

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (d) H1 2 ; ; 2 2 t t  tAH 2t1;t5; 2t1

Vì AH  d  AH u 02 1 2  t t 2 2 t10 t 1

Vậy H3;1; 4

b Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên ( )

Ta có d A ,   AK AH( tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó khoảng cách

từ A đến ( ) lớn nhất khi và chỉ khi AK = AH hay K H

Vậy mặt phẳng ( ) qua H và nhận véctơ AH1; 4;1 

là VTPT nên có phương trình là

1 x3 4 y1 1 z4 0 x 4y  z 3 0

Dạng 2: Tính Góc

Loại 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp:Cho đường thẳng    d1 , d2 lần lượt có VTCP làu a b c1( ; ; ),1 1 1 u2a b c2; ;2 2

Khi đó góc

tạo bởi hai đường thẳng    d1 , d2 là  với 0

2





 

 được tính theo công thức:

1 2

1 2

.

os

.

u u

c

u u

 

 

  1 2 1 2 1 2

a a b b c c



Chú ý:

a Điều kiện cần và đủ để    d1  d2 là cos  0 a a1 2b b1 2c c1 2 0

b Trong nhiều bài toán ta lại áp dụng kết quả sau của hình không gian, bằng cách thực hiện các bước:

 1      

2

/ /

, / /

IA d

IB d







Bước 2: Tính góc:

- Nếu biết tọa độ của IA IB,

 

thì sử dụng công thức tính góc của hai đường thẳng

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc trong tam giác vuông hoặc dùng định lý coossin trong tam giác thường

Ví dụ 1:Lập phương trình đường thẳng đi qua A4;1; 1  căt   và tạo với   một góc bằng 0

45 ,

biết  

0

1

x







  



Bài giải:

Đường thẳng   đi qua điểm B0;1;1và có VTCP u 0;1;1

Giả sử đường thẳng (d) cần tìm có VTCP là ud a b c; ; 

Gọi (P) là mặt phẳng qua A và chứa   Khi đó VTPT của (P) được xác định bởi:

; 2; 4; 4

p

n AB u  

  

Chọn n p 1; 2; 2 

Vì (d) cắt   nên    d  P , do đó: ud np u n d p 0a2b2c0a2b2c

(1)

Vì góc giữa (d) và   bằng 0

45 nên: 0

os45

2

d

d

c







 

 

2

2





  



Với b = 2c thì a = 2c nên ud 2 ; 2 ;c c c

Chọn u d 2; 2;1

Khi đó phương trình đường thẳng (d) là:

 

4 2

1

 





 



   



,tR

Với c = 2b thì a = -2b nên ud   2 ; ; 2b b b

Chọn u  d  2;1; 2

Khi đó phương trình đường thẳng (d)

là:  

4 2

1 2

 





 



   



,tR

1

1 2

3 4

 





  



  



và tạo với trục Ox góc 600

Bài giải:

Goi (d) là đường thẳng cần tìm và (d) có VTCP ua b c; ; 

 d1 có VTCP là u 1 2;1; 4

, trục Ox có VTCP là u 2 1; 0; 0

Vì (d) vuông góc với  d1 nên uu1 u u  102a b 4c0

   

Vì (d) tạo với Ox một góc bẳng 0

2

os60

2

c

 

 

 

3

    4a2 16c2 16acc2  3a2

Chọn c 1,a  8 47 b  20  2 47

phương trình (d) là:

1 ( 8 47)

1 (12 2 47) ( ) 1

    





   



và

1 ( 8 47)

1 (12 2 47 ) ( ) 1

    





   



Loại 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp:Mặt phẳng (P) có VTPTn a b c( ; ; )1 1 1



, đường thẳng (d) có VTCP làu a b c 2; ;2 2



Khi đó

góc tạo bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) là  với 0

2





 

 được tính theo công thức:

.

sin

.

n u

n u

 

 

  1 2 1 2 1 2

a a b b c c



Chú ý: Điều kiện để (d)// (P) hoặc  d ( )P là sin  0 a a1 2b b1 2c c1 2 0

a)

1 2

2

 





  



  



và  P : 2xy 2z  1 0.

Bài giải:

 d có VTCP là u  2;3; 1 

(P) có VTPT là n  2; 1; 2 

Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng (d) và (P) Khi đó sin . 4 3 2 1

4 9 1 4 1 4 3 14

n u

n u

 

 

2 0

x y z

x y z

   



 

   



và  : 3xy  z 1 0.

Bài giải:

Đường thẳng ( )  có VTCP là u  4;5; 1 

Mặt phẳng   có VTPT là n  3; 1;1 

Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng ( )  và   Khi đó: sin . 12 5 1 6

77

16 25 1 9 1 1

n u

n u

 

 

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với

A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0; 1) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc  biết 1

cos

6

 

Bài giải:

a Gọi (P) là mặt phẳng chứa A’C và song song với MN Khi đó d A C MN ' , d M , P 

Ta có: 1;1; 0 , 1; 0; 0 , 1;1;0

C M  N 

' 1;1; 1 , 0;1; 0 ' ; 1; 0;1

A C  MN  A C MN

   

Mặt phẳng (P) đi qua điểm A’(0; 0; 1), nhận n1; 0;1

là VTPT có phương trình là:

1 x0 0 y0 1 z1 0   x z 1 0

1

0 1

1 2

2 2

d A C MN d M P

 

b Gọi mặt phẳng cần tìm là    2 2 2 

Q byczd  a b c 

Vì (Q) qua A’(0; 0; 1) và C (1; 1; 0) nên 0

0

c d

a b d

 



    



  



Do đó, (Q) có dạng: axbya b z  a b 0

Mặt phẳng (Q) có VTPT là na b a b; ;  

, mặt phẳng Oxy có VTPT k0; 0;1

Vì góc giữa (Q) và Oxy là  mà os = 1

6

c  nên os ; 1

6

c n k  

2

2 2

1

6

a b



2 2

 



   

 Với a 2b Chọn b  1,a 2  ( ) : 2Q x   y z 1 0

Với b 2a Chọn a 1,b   2 ( ) :Q x 2y  z 1 0

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( )  có phương trình: 1 2

x y z

 

 và mặt phẳng  P :x2y z 0 Gọi C là giao điểm của ( )  và (P), M là điểm thuộc ( )  Tính khoảng cách

6

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 5; 3) và đương thẳng

a Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đương thẳng (d)

b Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến ( ) lớn nhất

ĐS: a H (3; 1; 4) b x – 4y + z – 3 = 0

Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và hai đường

x y z x y z

 Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)

ĐS: 1  2

18 53 3 0;1; 3 , ; ;

35 35 35

Bài 4:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a, hai mặt phẳng

(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 0

60 Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a ĐS:

3

S BCNM

V a ,  ,  2 39

13

a

d AB SN 

x y z

( ) : 2P xy 2z  9 0

a Tìm tọa độ điểm I thuộc (d) sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2

b Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) và mp(P) Viết phường tham số của đường thẳng   nằm trong mp (P), biết   đi qua A và vuông góc với (d)

ĐS: a I1( 3;5; 7), I2(3; 7;1) b  : 1 ,

4

x t







  



Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,

AC cắt BD tại gốc tọa độ O Biết A2; 0; 0 , B0;1; 0 , S0; 0; 2 2 Gọi M là trung điểm của SC

a Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM

b Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt SD tại N Tính thể tích khối chóp S.ABMN

ĐS: a) 0   2 6

30 , ,

3

d SA BM

   b) V S ABMN.  2

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên

mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB Góc giữa đường thẳng SC và mp (ABC) bằng 0

60 Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA

và BC theo a ĐS:

3 7 12

SABC

a

8

a

d SA BC 

Bài 8: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A1;0; 0 , B0; ; 0 ,b  C0; 0;c, trong đó b c , 0

và mặt phẳng  P :y  z 1 0 Xác định b, c biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng 1

2

bc

Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh

1; 2;1 ,  2;1;3 , 2; 1;1

A B  C  và D0;3;1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho

khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) ĐS:  : 4 2 7 15 0

( ) : 2 3 5 0





  



Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x2y2z 5 0 và hai điểm

 3;0;1 , 1; 1;3

A  B  Trong các đường thẳng đi qua A và song song với mp (P), hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

ĐS:  : 3 1

x y z

