Chuyên đề mặt cầu trong không gian (Phương pháp tọa độ trong không gian)Chuyên đề mặt cầu trong không gian (Phương pháp tọa độ trong không gian)Chuyên đề mặt cầu trong không gian (Phương pháp tọa độ trong không gian)Chuyên đề mặt cầu trong không gian (Phương pháp tọa độ trong không gian)Chuyên đề mặt cầu trong không gian (Phương pháp tọa độ trong không gian)
Chuyên đề mặt cầu CHUYÊN ĐỀ VỀ MẶT CẦU A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : * Mặt cầu tập hợp điểm M cách điểm I cố định khoảng không đổi * Điểm I cố định gọi tâm mặt cầu * Khoảng cách không đổi R : Gọi bán kính mặt cầu Phƣơng trình mặt cầu : - Giả sử điểm cố định I=(a;b;c) R khoảng khơng đổi M=(x;y;z) theo định nghĩa : IM R x a y b z c 2 R x a y b z c R2 2 - Nếu khai triển (1) ta có : x2 y z 2ax 2by 2cz d a b2 c R d 1 2 - Nhƣ (1) (2) gọi phƣơng trình tổng quát mặt cầu Riêng trƣờng hợp phƣơng trình (2) muốn phƣơng trình mặt cầu phải thỏa mãn điều kiện : R a b2 c d * Điều kiện cần đủ để mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 tiếp xúc với cầu (S) : Khoảng cách từ tâm I cầu đế mặt phẳng (P) phải bán kính (S) : h I; P aA bB cC D A2 B C R 3 Khi mặt phẳng (P) gọi tiếp diện cầu (S) B MỘT SỐ DẠNG TỐN THƢỜNG GẶP BÀI TỐN 1: LẬP PHƢƠNG TRÌNH MẶT CẦU Để lập đƣợc phƣơng trình mặt cầu ta phải biết tọa độ tâm I cầu : ( Có ba ẩn số - ba tọa độ I ) biết bán kính R mặt cầu , nhƣ có bốn ẩn số Vì tốn cho ta phải thiết lập đƣợc bốn phƣơng trình ta giải đƣợc Đặc biệt tâm I mặt cầu mà nằm đƣờng thẳng d , ta chuyển đƣờng thẳng d sang tham số , ba tọa độ I ta biểu diễn qua ẩn t , sau ta cần tìm phƣơng trình đủ Sau tham khảo số dạng toán hay gặp kỳ thi tôt nghiệp nhƣ thi đại học năm gần Lập (S).đi qua bốn điểm : Bƣớc 1: Viết phƣơng trình (S) dạng (2) Bƣớc 2: Cho (S) qua lần lƣợt bốn điểm ta đƣợc bốn phƣơng trình Bƣớc 3: Giải hệ bốn phƣơng trình tìm đƣợc , suy bốn ẩn : a,b,c d Bƣớc 4: Thay bốn ẩn tìm đƣợc vào (2) ta suy phƣơng trình (S) Trang Chuyên đề mặt cầu VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ ( TN-02-03) Trong không với tọa độ Oxyz , bốn điểm A,B,C,D có tọa độ xác định hệ thức gian cho A(2;4;-1) , OB i j k ; C (2;4;3); OD 2i j k 1/ Chứng minh : AB AC, AC AD, AD AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD 2/ Viết phƣơng trình tham số đƣờng vng góc chung hai đƣờng thẳng AB CD Tính góc đƣờng thẳng mặt phẳng (ABD) Viết phƣơng trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D Viết phƣơng trình tiếp diện cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) GIẢI 1/ Chứng minh : AB AC, AC AD, AD AB Tính thể tích khối tứ diện ABCD Ta có : A(2;4;-1),B(1;4;-1),C(2;4;3) D(2;2;-1) suy : AB 1;0;0 AB AC AC 0;0; AC AD AB AC; AC AD, AD AB AD 0; 2;0 AD AB 2/ Viết phƣơng trình tham số đƣờng vng góc chung hai đƣờng thẳng AB CD Tính góc đƣờng thẳng mặt phẳng (ABD) y Do đƣờng vng góc chung : D N A I z J x 0 1 1 AB u AB, CD ; ; CD 2 4 4 0 2 x 0; 4; / / u 0; 2; 1 : y 2t z 1 t Vì : CD 0; 2; 4 qua A(2;4;-1) E C B - Mặt phẳng (ABD) qua A(2;4;-1) có n AC 0;0;4 / / k 0;0;1 ABD : z u k 1 - Gọi ; ABD sin cos u , k 1.1 u k Viết phƣơng trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D Viết phƣơng trình tiếp diện cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) Cách 1: Gọi (S) : x2 y z 2ax-2by 2cz d a2 b2 c2 R2 d 0 2 - (S) qua A(2;4;-1) suy : 4a +8b-2c-d= 21 (1) - (S) qua B(1;4;-1) suy : 2a +8b-2c-d= 18 (2) - (S) qua C(2;4;3) suy : 4a +8b+6c-d= 29 (3) Trang Chuyên đề mặt cầu - (S) qua D(2;2;-1) suy : 4a +4b-2c-d= (4) Nhƣ giải hệ bốn phƣơng trình ta có : a ; b 4, c 1; d S x y z 3x y z 2 Cách 2: - Tâm đƣờng tròn đáy tam giác (ABC) J trung điểm BC , suy J( ; 4;1 ) - Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua J vng góc với (ABC) d có véc tơ x phƣơng u k 0;0;1 : y z 1 t - Lập phƣơng trình mặt phẳng (P) qua K(2;3;-1) trung điểm AD vng góc với AD suy (P) có véc tơ pháp tuyến k 0;0;1 P : z 1 - Tâm I cầu (S) giao d với (P) I có tọa độ nghiệm hệ : x y 3 t t I ; 4;1 2 z 1 t z 1 2 3 1 S : x y 4 z - Tính bán kính R IA = 2 2 Ví dụ 2.( TN : 2003-2004 ) Trong không gia tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;-1;2),B(1;3;2),C(4;3;2) D(4;-1;2) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện Gọi A’ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oxy Hãy viết phƣơng trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A’,B,C,D Viết phƣơng trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) điểm A’ GIẢI Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện AB 0; 4;0 - Ta có : AC 3; 4;0 AB, AC AD A,B,C,D đồng phẳng AD 3;0;0 Gọi A’ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oxy Hãy viết phƣơng trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A’,B,C,D - Nếu A’ hình chiếu A (Oxy) A’(1;-1;0) - Gọi (S) mặt cầu qua bốn điểm (S): x2 y z 2ax-2by 2cz d a b2 c2 R2 d Trang * Chuyên đề mặt cầu - (S) qua A’(1;-1;0) : 1+1-2a+2b+d=0 ; hay : 2a-2b-d=2 (1) - (S) qua B(1;3;2) : 1+9+4-2a-6b-4c+d=0 ; hay : 2a+6b+4c-d=14 (2) -(S) qua C(4;3;2) : 16+9+4-8a-6b-4c+d=0 ; hay : 8a+6b+4c-d=29 (3) -(S) qua D(4;-1;2) : 16+1+4-8a+2b-4c+d=0 ; hay : 8a-2b+4c-d =21 (3) Từ bốn phƣơng trình ta có hệ Giải hệ ta tìm đƣợc : a=5/2,b=2,c=1 d=-1 Thay vào (*) : S : x2 y z 5x-4 y 2z-1 Viết phƣơng trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) điểm A’ Nếu (P) tiếp diện (S) A’(1;-1;0) : IA ;3;1 / / n 3;6; làm véc tơ pháp 2 tuyến Cho nên (P): 3(x-1)+6(y+1)+2z=0 ; Hay (P): 3x+6y+2z+3=0 Ví dụ 3.(ĐH-KD-2008) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3) Viét phƣơng trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D ? GIẢI Gọi phƣơng trình (S) : x y z 2ax 2by 2cz d 2 * Nếu (S) qua bốn điểm A,B,C,D ta thay tọa độ bốn điểm vào (*) ta có hệ : a 6b 6c d 18 a b 2 6a 6c d 18 d 3 3 3 27 b S : x y z 2 2 2 6b 6c d 18 6a 6a 6b 6c d 27 6b c d BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài ( ĐHQG-KA-98 ) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A(a;0;0),B(o;b;0),C(o;o;c) ( a,b,c>0 ) Dựng hình hộp chữ nhật có O,A,B,C làm bốn đỉnh Gọi D đỉnh đối diện O Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABD) Tìm tọa độ hình chiếu C lên mặt phẳng (ABD) Lập phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ? Bài 2.( HVCNBCVT-99) Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a với A(a;0;0) ,D(0;0;0),C(0;a;0),D’(0;0;a) Gọi M trung điểm AD, N tâm hình vng CC’D’D Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’MN ? Gọi (P) mặt phẳng qua (BMN) Tính diện tích thiết diện hình lập phƣơng tạo bới mặt phẳng (BMN) ? Bài 3.( HVHCQG-2000) Trang Chuyên đề mặt cầu Trong không gian Oxyz , cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ cho A trùng với gốc tọa độ O ,B(1;0;0),D(0;1;0),A’(0;0;1) Gọi M trung điểm AB , N tâm hình vng ADD’A’ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) qua bốn điểm C,D’M,N ? Tìm bán kính đƣờng trịn (C ) giao (S) với mặt mặt cầu (S’) qua A’BC’D ? Tính diện tích thiết diện hình lập phƣơng tạo mặt phẳng (CMN) Bài ( ĐHAn Giang-2001) Cho hình lập phƣơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên BB’,CC’,DD’ Với AB=a ,hai điểm M,N CC’sao cho CM=MN=NC’ Xét mặt cầu (K)đi qua bốn điểm A,B’M N Chứng minh điểm A’,B thuộc mặt cầu (K) Tính độ dài bán kính mặt cầu (K) Bài ( BK-KD-2011) Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC cạnh a Trên dƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng (P) B C lấy hai điểm D E nằm phía mp(P) cho BD a , CE a Tính độ dài cạnh AD ,AE DE tam giác ADE Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE ? Bài 6.(ĐHCĐ-2001) Trong khơng gian Oxyz , cho A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3) H hình chiếu vng góc O mặt phẳng (ABC) Tính diện tích tam giác ABC độ dài OH Gọi D điểm đối xứng với O qua H Chứng minh tứ diện ABCD tứ diện Tính thể tích tứ diện ABCD ? Viết phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ? Bài ( ĐHKTCN-2001) Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(3;6;-2),B(6;0;1),C(-1;2;0),D(0;4;1) Chứng minh ABCD tứ diện Viết phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ? Viết phƣơng trình đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC ? Tìm tâm bán kính đƣờng trịn ? Bài ( CĐKTKT-2004) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm S(2;2;6),A(4;0;0),B(4;4;0),C(0;4;0) Chứng minh S.ABCO hình chóp tứ giác ? Viết phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCO ? BÀI TỐN 2: LẬP MẶT CẦU (S) CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN I LẬP PHƢƠNG TRÌNH (S) BIẾT (S) QUA BA ĐIỂM A,B,C VÀ TÂM NẰM TRÊN MỘT MẶT PHẲNG (P) CHO SẴN HOẶC TIẾP XÚC VỚI (P) CÁCH GIẢI Trang Chuyên đề mặt cầu Bƣớc 1: Viết phƣơng trình mặt cầu dƣới dạng tổng quát , sau cho (S) qua ba điểm A,B,C ta đƣợc ba phƣơng trình Bƣớc 2: Thay tạo độ tâm I với a,b,c vào phƣơng trình mặt phẳng (P) ta đƣợc phƣơng trình thứ tƣ Vậy ta có hệ bốn phƣơng trình bốn ẩn Bƣớc 3: Giải hệ , ta suy a,b,c d Thay vào phƣơng trình tổng qt ta có phƣơng trình (S) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.(ĐH-KD-2004 ) Cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0) ,C(1;1;1) mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 Viết phƣơng trình mặt cầu (S) qua A,B,C có tâm thuộc (P) GIẢI 2 Mặt cầu (S) có dạng : x y z 2ax 2by 2cz d * (S) qua A,B,C ta thay tọa độ A,B,C vào (*) ta đƣợc hệ ba phƣơng trình : 4a 2c d 2a 2c c 2a d d 2a d 2 S : x 1 y z 1 2a 2b 2c d b c b a b c a a Ví dụ 2.Lập mặt cầu (S) qua ba điểm A(-2;4;1) ,B(3;1;-3),C(-5;0;0) có tâm thuộc mặt phẳng (P) : 2x+y-z+3=0 GIẢI Gọi (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R Nếu (S) qua A,B,C có tâm thuộc mặt phẳng (P) ta có hệ : 4a+8b+2c-d=21 A S 4a+8b+2c-d=21 4a+8b+2c-d=21 a 10a 6b 8c 21 3a 4b c b 2 6a 2b 6c d B S 10a d 25 C S 3a 4b c 3b c c 2a b c I P 6a 7b 3c 24 34a=34 d 35 Vậy mặt cầu (S) có phƣơng trình x2 y z 2x y 6z 35 Chú ý : Dạng tốn cịn có dạng Lập mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho sẵn CÁCH GIẢI Bƣớc 1: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua I vng góc với (P) ud nP Bƣớc 2: Tìm tọa độ H giao d với (P) ( H I tiếp diểm ) Bƣớc 3: Tính độ dài IH = R P Trang H Chuyên đề mặt cầu VÍ DỤ ÁP DỤNG Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x+y-z+5=0 điểm A(0;0;4),B(2;0;0) Viết phƣơng trình mặt cầu qua O,A,B tiếp xúc với mặt phẳng (P) GIẢI Cách 1: Gọi (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R có dạng tổng qt : Nếu (S) qua O,A,B ta có hệ ba phƣơng trình : d a 8c d 16 c c b a a 4a-d=4 2a b c 5b 10b c 2 b 5 12 b2 22 d R 11 2 Vậy (S) : x 1 y 1 z 2 Cách 2: Nhận xét : A ,B nằm hai trục Ox Oz , OAB thuộc mặt phẳng (Oxz) vng góc với trục Oy Tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác OAB trung điểm M(1;0;2) AB Lập đƣờng thẳng d qua M vuông góc với mp(OAB) ( Là trục đƣờng trịn qua OAB x ) d song song với Oy u j 0;1;0 d : y t Tâm I mặt cầu thuộc d z tọa độ I(1;t;2) Vì (S) tiếp xúc với (P) : h(I,P)=R =IO t2 2t 25 t 2t 1 t I 1;1; Do mặt cầu (S) có phƣơng trình : x 1 y 1 z 2 Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x+2y-2z+2=0 , điểm I có tọa độ I(1;2;2) a/ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) b/ Tìm tọa độ giao điểm (S) với đƣờng thẳng qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1) c/ Lập phƣơng trình mặt phẳng qua M,N tiếp xúc với (S) GIẢI a/ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) - Lập đƣờng thẳng d qua I(1;2;2) vng góc với (P) u n 1; 2; 2 Cho nên d có phƣơng trình : x=1+t ; y=2+2t;z=2-2t - Tìm tọa độ H giao d với (P) , tọa độ H nghiệm hệ : Trang 2 Chuyên đề mặt cầu x 1 t y 2t 8 1 t 2t 2t 9t 3 t H ; ; 3 3 z 2t x y 2z 2 Vậy : IH 1 216 3 3 216 2 Cho nên : S : x 1 y z 24 (*) b/ Tìm tọa độ giao điểm (S) với đƣờng thẳng qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1) - x 1 t Đƣờng thẳng (MN) qua M(1;2;1) có véc tơ phƣơng u 1; 1;0 ( MN ) : y t z - Nếu (MN) cắt (S) : thay giao điểm A (MN) với cầu (S) vào (*) A(t+1;2-t;1) 30 30 30 30 30 Do có hai điểm : A1 1 ;2 ;1 ; A2 1 ;2 ;1 2 2 ta có : t 1 t 1 24 2t 24 15 t - 2 c/ Lập mặt phẳng (P) qua (MN) tiếp xúc với (S) x y 1 z 1 - Đƣờng thẳng (MN) giao hai mặt phẳng : - Suy (P) qua (MN) (P) thuộc chùm : x+y-1+m(z-1)=0 hay : x+y+mz-1-m=0 (*) - Nếu (P) tiếp xúc với (S) : m 2 6 24 m 24 1 m 2 6 x y 6 z 1 6 Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng : x y 6 z 1 6 h I , P R - 2m m II LẬP (S) CÓ TÂM I ĐỒNG THỜI CẮT (P) THEO MỘT ĐƢỜNG TRÕN XÁC ĐỊNH ( Biết bán kính-hoặc chu vi-hoặc diện tích ) I K B CÁCH GIẢI Bƣớc 1: Lập phƣơng trìnhđƣờng thẳng d qua I vng góc với (P) u n P Bƣớc 2: Tìm tọa độ tâm K đƣờng trịn giao tuyến giao d với (P) Từ tìm đƣợc IK Bƣớc 3:Dựa vào giả thiết cho biết đƣờng trịn (C ) ta tính đƣợc r Bƣớc 4: Tính R2 IK r Thay vào phƣơng trình mặt cầu Trang Chuyên đề mặt cầu MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(1;2;-2) đƣờng thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng 2x-y-5=0 y-z+3=0 1.Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I ,đồng thời mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0 cắt (S) theo giao tuyến đƣờng trịn có chu vi 8 2.Viết phƣơng trình tiếp diện (S) qua d ? GIẢI 2425 d Theo giả thiết : 8 2 r r ( bán kính đƣờng 2 tròn C ) Vậy : R d r 16 25 R S : x 1 y 2 z 2 25 Tính h(I,P)= Mặt phẳng tiếp diện (S) gọi (Q) Do mp(Q) qua d (Q) thuộc chùm mặt phẳng : m(2x-y-5)+n(y-z+3)=0 ; hay : 2mx-(m-n)y-nz+3n-5m =0 (*) H(I,Q)= 7n 5m 7n 5m 25 5m2 2mn 2n2 10m n 4m m n n 2 Nếu chọn : m=1, n=-10 , thay vào phƣơng trình (*) ta có phƣơng trình tiếp diện : 2x-11y+10z-35=0 Ví dụ Lập phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) định đƣờng thẳng d có phƣơng trình giao tuyến hai mặt phẳng : 5x-4y+3z+20=0 , 3x-4y+z-8=0 dây cung có độ dài 16 GIẢI Ta tính h(I,d) x 2t - Đƣờng thẳng d viết lại : y 5 t Gọi H điểm z 15 2t I A B d H bất thuộc d H(1+2t;-5+t;-15-2t) kỳ IH 2t 1; t 8; 2t 14 u 2;1; 2 IH u ' 2t 1 t 8 2t 14 9t 18 t 2 AB IH 64 225 269 Vậy : H 5; 10; 10 IH 25 100 100 225 R 2 Vậy : S: x 2 y 3 z 1 289 IM , u - Ta cịn có cách tính IH cơng thức : h I , d ; M 1; 5; 15 u 2 Trang Chuyên đề mặt cầu 2 14 14 IM , u 2 2 302 302 152 2025 IM 1;8;14 IH 15 3 1 u 2 AB 16 Theo cách tính : R IH 225 225 64 269 2 2 Ví dụ 3.( ĐHLN-2001) x t Trong không gian tọa độ Oxyz cho đƣờng thẳng d: y 1 2t mp (P): 2x-y-2z-2=0 z t 1/ Lập phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đƣờng thẳng d tâm I cách mặt phẳng (P) khoảng đồng thời (S) cắt (P) theo đƣờng trịn có bán kính 2/ Viết phƣơng trình mặt phẳng ® qua d tạo với (P) góc nhỏ GIẢI 1/ Lập phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đƣờng thẳng d tâm I cách mặt phẳng (P) khoảng Nếu I d I t; 1 2t; t h I , P 2 t 2t 1 t 1 6t 13 t I1 ; ; 6t Tính khoảng cách từ hai tâm đến (P) 11 11 14 6t 6 t I2 ; ; 6 6 1 13 11 14 1 2 2 2 2 6 6 6 6 h I1 , P 2; h I , P Do : 1 4 1 2 1 13 R1 13 S1 : x y z 13 6 3 6 2 14 1 11 R2 13 S2 : x y z 13 6 3 6 x 1 2/ Đƣờng thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng : x 1 y 1 2x y z2 x z Do mặt phẳng (R ) qua d (R ) thuộc chùm : 2x+y+1+m(x+z-2)=0 Hay mp( R) : (2+m)x+y+mz+1-2m=0 (*) Mp( R) có n1 m 2;1; m ; nP 2; 1; 2 n1.nP Vậy : cos n1 nP m 2m m 2 m2 2m 4m Do nhỏ cos lớn m=-1 Trang 10 5 m 12 3 Chuyên đề mặt cầu Vậy thay vào (*) ta có mp( R): x+y-z+3=0 Chú ý : Dạng tốn cịn có cách giải khác : Giả sử ( R) mặt phẳng qua d cắt (P) theo giao B tuyến A=d giao với (P) B điểm d Kẻ BH ( P), BC BHC BHC d Là góc phẳng nhị diện tạo (P) ( R) H A P Vì HC HC HA tan BH BH số HC HA Nên có giá trị nhỏ C trùng với A d Vậy ( R) mặt phẳng qua AB cắt (P) theo giao tuyến ABH Ta có : C vd 1;2;1 , nP 2; 1; 2 vd , nP 3;0; 3 / / v 1;0;1 Mặt khác ta lại có : vd , v 2;2; 2 / / 1;1; 1 nR Để ý M(0;-1;2) thuộc d nằm ( R) Ta có phƣơng trình mặt phẳng ( R) : x+y+1-(z-2)=0 ,Hay : x+y-z+3=0 BÀI TOÁN 3: LẬP MẶT PHẲNG-ĐƢỜNG THẲNG KHI CHO PHƢƠNG TRÌNH CỦA MẶT CẦU (S) I LẬP MẶT PHẲNG TIẾP XÖC VỚI MẶT CẦU Chú ý : - Giả sử cần lập mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) có tâm I(a;b;c;) bán kính R Mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 đƣợc xác định tối thiểu phải biết đƣợc ba ẩn số Trong điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) có kiện h(I,P)=R aA bB cC D A2 B C R - Vì cho thêm tối thiểu hai dự kiện Lập mặt phẳng (P) vng góc với đƣờng thẳng d cho sẵn ( song song với mặt phẳng (Q) cho sẵn ) tiếp xúc với cầu (S) CÁCH GIẢI Bƣớc 1: Nếu (P) vng góc với d nP ud A; B; C P : Ax By Cz m * Bƣớc 2: Nếu (P) tiếp xúc với cầu (S) : aA bB cC m A2 B C R 1 Bƣớc 3: Giải (1) ta tìm đƣợc ẩn m thay vào (*) ta có mặt phẳng (P) Trƣờng hợp (P) song song với (Q) véc tơ pháp tuyến (Q) (P) MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA 2x y 4z mặt cầu (S) có phƣơng trình : x y 2z Ví dụ 1; Cho đƣờng thẳng d : Trang 11 Chuyên đề mặt cầu x2 y z 4x y 6z Hãy lập phƣơng trình mặt phẳng (P) vng góc với d tiếp xúc với mặt cầu (S) GIẢI 4 4 Đƣờng thẳng d có véc tơ phƣơng u n1 , n2 ; 1 2 Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;3) có bán kính R= 20 Do (P) vng góc với d có dạng : 2x+z+m=0 (*) Nếu (P) tiếp xúc với (S) : h I , P 2.2 m 1 P : 2x z 2;0;1 nP 1 1 1 ; m 20 m 10 m 17 Vậy có hai mặt phẳng : P2 : 2x z 17 Ví dụ 2.( Bài 87- tr137-BTHH12NC) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu : S : x2 y z 10x y 26z 113 x y z 13 Và hai đƣờng thẳng d : ; 3 x 7 3t d ' : y 1 2t z a/ Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) vng góc với d b/ Viết phƣơng trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) song song với d ,d’ GIẢI a/ Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) vng góc với d Mặt cầu (S) có tâm I(5;-1;-13) có bán kính R= 308 Đƣờng thẳng d có véc tơ phƣơng u 2; 3;2 nP Nếu (P) vng góc với d (P): 2x-3y+2z+m=0 (*) Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : h I , P 10 26 m 494 308 m 13 17.308 m 13 5236 Tóm lại có hai mặt phẳng : 2x-3y+2z 13 5236 =0 b/ Viết phƣơng trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) song song với d ,d’ ud 2; 3; 3 2 2 3 ud , ud ' ; ; Ta có : 4;6;5 nQ 2 0 3 2 ud ' 3; 2;0 Vậy (Q) có dạng : 4x+5y+6z+m=0 (*) m 103 308 m 51 154 16 36 25 m 205 Q1 : 4x y 6z 103 Vậy có hai mặt phẳng (Q) : Q2 : 4x y 6z 205 Nếu (Q) tiếp xúc với (S) : h I , Q 20 65 m Lập mặt phẳng (P) chứa đƣờng thẳng d tiếp xúc với cầu (S) CÁCH GIẢI Trang 12 Chuyên đề mặt cầu Bƣớc 1: Chuyển đƣờng thẳng d sang dạng giao tuyến hai mặt phẳng Bƣớc 2: Nếu (P) chứa d (P) thuộc chùm mặt phẳng Viết phƣơng trình chùm mặt phẳng sau chuyển dạng mẫu mực Bƣớc 3: Sử dụng điều kiện : (P) tiếp xúc với (S) h(I,P) = R , ta thu đƣợc phƣơng trình mặt phẳng (P) VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.( MĐC-98) Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho đƣờng thẳng d : x 13 y z mặt cầu (S) có 1 phƣơng trình : x2 y z 2x y 6z 67 Hãy lập phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa d tiếp xúc với (S) GIẢI ( Chuyển d dạng giao tuyến hai mặt phẳng ) Đƣờng thẳng d giao hai mặt phẳng : x 13 z 1 4x z 52 4 y z y 1 z I d M u Nếu (P) chứa d (P) thuộc chùm : 4x+z-52+m(4y-z+4)=0 ; Hay : 4x+4my+(1-m)z+4m-52=0 (*) Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) có bán kính R=9 Cho nên (P) tiếp xúc với (S) : Khoảng cách từ tâm I đến (P) bán kính : P H m 1 9m 45 17m 2m 17 2m m m 16 16m 1 m P : 2x y z 28 Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng : P2 : 8x y z 100 8m 3(1 m) 4m 52 2 8x 11y 8z 30 mặt x y 2z Ví dụ Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đƣờng thẳng d : cầu (S) có phƣơng trình : x2 y z 2x y 4z 15 Hãy viết phƣơng trình mặt phẳng (P) chứa d tiếp xúc với cầu (S) GIẢI Cầu (S) có tâm I(-1;3;-2) có bán kính R= 29 Mặt phẳng (P) chứa d (P) thuộc cùm mặt phẳng : 8x-11y+8z-30+m(x-y-2z)=0 ; hay : (8+m)x-(11+m)y+(8-2m)z-30=0 (*) Néu (P) tiếp xúc với (S) : h I , P m 11 m 8 2m 30 8 m 11 m 8 2m 2 29 Trang 13 87 6m 6m 249 29 Chuyên đề mặt cầu m 6.m2 6.m 249 3.87 m2 m m 2 Nếu m=1: (P) : 9x-12y+6z-30=0 ; hay : 3x-4y+2z-10=0 Nếu m=-2 (P): 6x-9y+12z-30=0 , hay (P): 2x-3y+4z-10=0 Nhƣ có hai mặt phẳng chứa d tiếp xúc với (S) II MẶT PHẲNG CẮT MẶT CẦU – TÌM TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƢỜNG TRÕN GIAO TUYẾN BÀI TỐN : Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) bán kính R Mặt phẳng (P) Ax+By +Cz+D=0 Chứng minh (P) cắt (S) Tìm tọa độ tâm bán kính đƣờng trịn giao tuyến CÁCH GIẢI Bƣớc 1: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua tâm cầu I vng góc với mặt phẳng (P) : u n A; B; C Bƣớc 2: Tìm tọa độ giao điểm K d với (P) ( Đó tâm đƣờng trịn giao tuyến ) Sau tính độ I dài đoạn thẳng d=IK R d Bƣớc 3: Để tính bán kính đƣờng trịn ( C) ta sử dụng K công thức : r R2 d R2 IK r MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1.( Bài 3.59-Ơn chƣơng III-tr117-BTHH12CB) Trong khơng gian cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) D(1;1;0) a/ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D / b/ xác định tâm bán kính đƣờng trịn giao tuyến mặt phẳng(ACD) với mặt cầu (S) GIẢI a/ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D Từ hình vẽ , dễ dàng tìm đƣợc tọa độ tâm cầu (S) I : - Gọi J trung điểm AB J ; ;0 2 - Kẻ đƣờng thẳng m qua J song song với Oz cắt CD I ( I trung điểm CD ) Do : 1 C K I B O J A D 1 1 I ; Bán kính cầu (S) đoạn thẳng 2 2 1 OI= 4 Ta có : 1 1 1 AC 1;0;1 , AD 0;1;0 AC , AD ; ; 1;0; 1 / / n 1;0;1 1 0 0 1 Trang 14 Chuyên đề mặt cầu Mặt phẳng (ACD) qua A(1;0;0) có véc tơ pháp tuyến AC, AD 1;0; 1 ACD : x z b/ xác định tâm bán kính đƣờng tròn giao tuyến mặt phẳng(ACD) với mặt cầu (S) - x t Gọi d đƣờng thẳng qua tâm cầu I vng góc với (ACD) d : y z t - Đƣờng thẳng d cắt ACD) điểm H tọa độ H nghiệm hệ : 1 1 1 t t 1 t H ; ; 2 2 2 - trùng với I Vì (ACD) cắt (S) theo đƣờng trịn lớn có bán kính bán kính (S) r R Ví dụ 2.( Bài 3.54-Ôn chƣơng III-tr116-BTHH12CB) Cho mặt phẳng (P): 2x-3y+4z-5=0 mạt cầu (S): x2 y z 3x y 5z a/ Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S) b/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Từ chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đƣờng tròn mà ta ký hiệu (C ) Xác định bán kính r tâm H đƣờng tròn (C ) GIẢI a/ Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S) 25 26 Mặt cầu (S) có tâm I= ; 2; ; R 2 4 3 5 2 2 29 R b.Ta có khoảng cách từ tâm I đến (P) : h( I , P) 16 29 Chứng tỏ : (P) cắt cầu (S) theo giao tuyến đƣờng trịn Tìm tâm bán kính ( C) x 2t Đƣờng thẳng d qua I vng góc với (P) : y 2 3t z 4t Đƣờng thẳng d cắt (P) H ( tâm đƣờng tròn ) : Tọa độ H nghiệm hệ : Trang 15 Chuyên đề mặt cầu x 2t y 2 3t 5 119 34 81 2t 2 3t 4t t H ; ; 29 29 58 2 58 z 4t 2x y 4z Bán kính r ( C) : r R h2 I , P 26 64 249 249 r 26 58 58 Ví dụ ( ĐH-Đà lạt -2001) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(0;1;2) ,A(1;2;3) ,B(0;1;3) 1/ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I qua A ? 2/ Viết phƣơng trình mặt phẳng (P) qua B có véc tơ pháp tuyến n 1;1;1 3/ Chứng minh (P) cắt (S) theo đƣờng tròn ( C) Tìm tâm bán kính ( C) ? GIẢI 1/ Viết phƣơng trình mặt cầu (S) có tâm I qua A ? 2 Nếu (S) qua A(1;2;3) , IA=R R2 IA2 1 0 1 2 Vậy (S) : x 1 y 2 z 3 2/ Lập mặt phẳng (P) qua B(0;1;3) có n 1;1;1 , (P) : x+y+z-4=0 (*) 2 3/ Chứng minh (P) cắt (S) : Ta có h I , P 1 R P S x t Tìm tọa độ tâm : Lập d qua I ( 0;1;2) vng góc với (P) : d : y t z t x t y 1 t 1 7 Tâm H ( C) d cắt (P) , d : 3t t H ; ; 3 3 z t x y z Bán kính r ( C) : r R h2 I , P r 3 BÀI TOÁN 4: TÌM ĐIỂM TRÊN CẦU (S) THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – (S) CHỨA THAM SỐ BÀI TOÁN : Cho mặt cầu (S) : F(x,y,z)=0 (1) F(x,y,z,m)=0 (2) Mặt phẳng (P) hay đƣờng thẳng d ( cho phƣơng trình ) 1/ Tìm điểm M (S) cho khoảng cách từ M đến (P) nhỏ , lớn 2/ Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 hai điểm M,N cho MN=a ( số ) 3/ Tìm quỹ tích tâm I (S) CÁCH GIẢI Trang 16 Chuyên đề mặt cầu 1/ Tìm điểm M (S) cho khoảng cách từ M đến (P) nhỏ , lớn Bƣớc 1: Lập phƣơng trình đƣờng thẳng d qua I vng góc với (P) Bƣớc 2: Tìm tọa độ H ,K giao d với (Q) Sau tính IH IK H,K điểm cần tìm 2/ Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 hai điểm M,N cho MN=a ( số ) Bƣớc 1: Chuyển d sang tham số Lập hệ để tìm giao d (S) suy g(t,m)=0 Bƣớc 2: Lấy d điểm H , tính IH theo công thức (1) Bƣớc 3: Sử dụng IH R MN Từ (1) (2) suy m cần tìm 3/ Tìm quỹ tích tâm I (S) * Sử dụng phƣơng pháp tìm quỹ tích hàm số MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho (S) : x2 y z 2x 2z mặt phẳng (P) : 2x-2y+z+6=0 Tìm điểm A (S) cho khoảng cách từ A đến (P) lớn , nhỏ ? GIẢI 2 Mặt cầu (S) : x 1 y z 1 I 1;0; 1 , R x 2t Đƣờng thẳng d qua I(1;0;-1) vng góc với (P) : d : y 2t z 1 t Đƣờng thẳng d cắt (S) thơng qua phƣơng trình : 1 2t 1 2t 1 t 1 2 9t 13 7 1 t A ; ; h( A, P) t 5 t A ; ; h( A, P) 3 3 3 2x y z mặt cầu x y 2z Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho đƣờng thẳng d : (S) : x2 y z 4x y m Tìm m để d cắt (S) hai điểm M,N cho MN=8 GIẢI Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0) bán kính R= m 13 m m 13 * 2 MN 8 Mặt khác ta có : IH R r 13 m 13 m m IH m (1) 2 2 Trang 17 Chuyên đề mặt cầu Lại có IH=h(I,d) Ta có d qua M(0;1;-1) có véc tơ phƣơng tích có hƣớng hai véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng : 2 1 1 2 2 u n, n ' ; ; 6;3;6 / / u ' 2;1; ; MI 2; 2;1 1 2 2 MI , u ' 36 36 Do : h I , P (2) 1 u' Từ (1) (2) : m m 12 Vậy với m=-12 thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz , cho họ : Sm : x2 y z 4mx 2my 6z m2 4m 1/ Tìm m để Sm phƣơng trình mặt cầu ? 2/ Chứng minh tâm I Sm nằm đƣờng thẳng cố định ( với giá trị m tìm đƣợc ) GIẢI 1/ Tìm m để Sm phƣơng trình mặt cầu ? Sm : x 2m y m z 3 4m2 4m (*) Để Sm phƣơng trình mặt cầu : 4m2 4m ' 36 32 Do với 2 m (*) ln phƣơng trình (S) 2/ Ta có tọa độ tâm I Sm x 2m x y : y m Đây giao hai mặt z z phẳng Do giao tuyến chúng đƣờng thẳng cố định ( ví khơng phụ thuộc vào m ) MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYÊN Bài ( ĐH-Thủy lợi -2000) Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2 y z 6x y 2z mặt phẳng (P) : x+2y+2z+11=0 a/ Tìm tọa độ tâm bán kính (S) b/ Tìm điểm M mặt cầu (S) cho khoảng cách từ đến mặt phẳng (P) ngắn ? Bài ( ĐHAN-KA-98) Cho tam diện vuông Oxyz phần tám mặtcầu đơn vị : x y z (x,y,z ), góc tam diện Một mặt phẳng (P) tiếp xúc với phần tám mặt cầu điểm M cắt trục Ox, Oy,Oz thứ tự A,B,C cho OA=a,OB=b,OC=c (a,b,c>0) 1 1 ? a b2 c2 b/ Chứng minh : 1 a 1 b2 1 c2 64 Tìm vị trí M dấu đẳng thức xảy ? a/ Chứng minh : Trang 18 Chuyên đề mặt cầu Bài ( ĐHQG-A-99) Cho đƣờng tròn ( C) giao tuyến cầu (S) : x2 y z 4x y 6z 17 với (P) có phƣơng trình : x-2y+2z+1=0 1/ Tìm tọa độ tâm bán kính đƣờng trịn ( C) 2/ Lập phƣơng trình mặt cầu (S’) chứa đƣờng trịn ( C) có tâm nằm mặt phẳng (Q) : x+y+z+3=0 Cho họ : Cm : x2 y z m 1 x m 2 y 6m ( với m tham số ) 1/ Tìm quỹ tích tâm I họ Cm 2/ Tìm tọa độ tâm thuộc họ mà tiếp xúc với Oy 2x y 2z 12 Lập phƣơng trình đƣờng trịn ( C) có tâm 4x y z Bài Cho đƣờng thẳng : I(1;-1;-2) cắt hai điểm A,B cho AB=8 Bài ( ĐH-Thủy lợi -2000) Cho mặt cầu (S) : x2 y z 6x y 2z Và mặt phẳng (P) : x+2y+2z+11=0 1/ Tìm tọa độ tâm bán kính ( C) giao (P) với (S) ? 2/ Tìm tọa độ điểm M (S) cho khoảng cách từ đến (P) nhỏ ? Bài ( ĐH-YHP-2000) Cho điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) ( a,b,c>0) : 1 2 a b c 1/ Chứng minh a,b,c thay đổi mặt phẳng (ABC) qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định ? 2/ Tìm tâm bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC ? chứng minh : r 1 BỔ SUNG THÊM Bµi Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (Pm): 2x+2y+z m2-3m=0 mặt cầu (S): (x-1)2+(y+1)2+(z-1)2=9 a.Tìm m để mặt phẳng (Pm) tiếp xúc mặt cầu (S) Với m tìm đ-ợc, hÃy xác định toạ độ tiếp điểm mặt phẳng (Pm) mặt cÇu (S) b Cho m=2 Chøng minh r»ng mp(P2) tiÕp xúc với (S) Tìm toạ độ tiếp điểm c Xác định m để (Pm) cắt (S) theo đ-ờng tròn (C) có bán kính r=2 Bài2 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0), C(1;1;1) mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 Viết ph-ơng trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABCA 1B1C1 với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1 (4;0;4) a Tìm toạ độ đỉnh A1, C1 Viết ph-ơng trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt Trang 19 Chuyờn mt cu phẳng (BCC1B1) b Gọi M trung điểm A1B1 Viết ph-ơng trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 Mặt phẳng (P) cắt đ-ờng thẳng A1C1 N Tính độ dài đoạn MN Bài Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0;0;4) a Tìm toạ độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy cho tứ giác OABC hình chữ nhật Viết ph-ơng trình mặt cầu qua bốn điểm O, B, C, S b Tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đ-ờng thẳng SC Bài Trong kg với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho ba điểm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2) a Viết ph-ơng trình mặt phẳng (P) qua gốc toạ độ O vuông góc với BC Tìm toạ độ giao điểm đ-ờng thẳng AC với mặt phẳng (P) b CM ABC tam giác vuông Viết ph-ơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Bài Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x+y-z+5=0 điểm A(0;0;4), B(2;0;0) a Viết ph-ơng trình hình chiếu vuông góc đ-ờng thẳng AB mặt phẳng (P) b Viết ph-ơng trình mặt cầu qua O, A, B tiếp xúc với mặt phẳng (P) Bài Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho điểm S(2;2;6), A(4;0;0), B(4;4;0), C(0;4;0) a CMR hình chóp SABCO hình chóp tứ giác b Viết ph-ơng trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCO Bài Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đ-ờng thẳng d: x y z mặt cầu (S): x2+y2+z2+4x-6y+m=0 Tìm m để đ-ờng thẳng d cắt mặt x y 2z cầu (S) hai điểm M, N cho khoảng cách hai điểm Bài Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho A(0;3;-3), B(1;1;3) đ-ờng x 2t th¼ng d: y 5 2t z 1 t a CMR ABd b Tìm hình chiếu A, B d c Tìm Md để MA+MB nhỏ d Viết ph-ơng trình mặt cầu nhỏ qua A, B tiÕp xóc d Bµi 10 Gäi (C) lµ giao tun mặt cầu (S): (x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=100 (P): 2x-2y-z+9=0 Xác định toạ độ tâm bán kính (C) Bài11 Trang 20 Chun đề mặt cầu Trong kg gian víi hƯ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 đ-ờng thẳng d: x y z 1 1 a ViÕt PTCT cđa c¸c đ-ờng thẳng giao tuyến mp(P) với mặt phẳng toạ độ Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết A, B, C giao điểm t-ơng ứng mp(P) với trục toạ độ Ox, Oy, Oz D giao điểm đ-ờng thẳng d với mặt phẳng toạ độ Oxy b Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D Xác định toạ độ tâm bán kính đ-ờng tròn giao tuyến mặt cầu (S) với mp(ACD) Bài12 Trong kg Đềcác vuông góc Oxyz cho A(-3;1;2) mp(P): 2x+3y+z-13=0 a HÃy viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng d qua A vuông góc với mp(P) Tìm toạ ®é giao ®iĨm M cđa d vµ (P) b ViÕt ph-ơng trình mặt cầu tâm A bán kính R=4 CMR mặt cầu cắt mp(P) tìm bán kính đ-ờng tròn giao mặt cầu mp(P) Bài13 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông Oxyzcho điểm A, B, C, D có toạ độ xác góc định bëi A(2;4;-1); OB i j k ; C(2;4;3); OD 2i j k a CMR ABAC; ABAD; ACAD vµ tÝnh thĨ tÝch cđa tứ diện ABCD b Viết PTTS đ-ờng vuông góc chung đ-ờng thẳng AB CD c Viết PTmp(ABD) tính góc đ-ờng thẳng với mp(ABD) d Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D Bài14 Trong kg hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho I(1;2;2) mp(P): x+2y-2z+2=0 a Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với (P) Tìm tiếp điểm b Tìm giao điểm (S) với đ-ờng thẳng qua điểm M(1;2;1); N(2;1;1) c Lập ph-ơng trình mp qua MN tiếp xúc với (S) Bài15 Trong kg vuông góc Oxyz cho mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x+4y-6z=0 a Xác định vị trí t-ơng đối (S) với đ-ờng thẳng d qua M(1;-1;1), N(2;1;5) Tìm toạ độ giao điểm (S) d (nếu có) Xác định tâm tính bán kính đ-ờng tròn giao tuyến (S) với mp Oxy b Tìm m để mp(P): x-y-z-m=0 tiếp diện (S) Khi tìm góc tạo (P) tiếp diện (Q) cđa (S) biÕt (Q) qua gèc O Bµi 16 Cho hình chóp tứ giác SABCD có độ dài tất cạnh a a CMR đáy ABCD hình vuông b Năm điểm S, A, B, C, D nằm mặt cầu Tìm tâm bán kính mặt cầu Bài17 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện OABC có O gốc toạ độ, AOx, BOy COz mp(ABC) có ph-ơng trình 6x+3y+2z-6=0 a Tính thể tích khối tứ diện OABC b Xác định toạ độ tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện OABC Bài18 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt cầu Trang 21 Chuyên đề mặt cầu (S): x2+y2+z2=2(x+2y+3z) a Gäi A, B, C giao điểm (khác điểm O(0;0;0)) mặt cầu (S) với trục 0x, 0y, 0z Xác định A, B, C viết ph-ơng trình mặt phẳng (ABC) b Xác định tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp ABC Bài19 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho mặt cầu (S) có ph-ơng trình x2+y2+z2=4 mặt phẳng (P) có ph-ơng trình x+y+z=1 a Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) chứng tỏ mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đ-ờng tròn b Viết ph-ơng trình đ-ờng tròn (C) giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S) HÃy xác định toạ độ tâm H tính bán kính đ-ờng tròn (C) Bài20 Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho A(0;-2;0), B(2;1;4) mặt phẳng (): x+y-z+5=0 a Viết PTTS đ-ờng thẳng d qua A B b Tìm đ-ờng thẳng d điểm M, cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng () c Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) có đ-ờng kính AB Xét vị trí t-ơng đối mặt cầu (S) mặt phẳng () Bµi 21 5 x y 3z 20 điểm I(2;3;-1) 3x y z Cho đ-ờng thẳng : a Tính khoảng cách từ điểm I đến đ-ờng thẳng b Viết ph-ơng trình mặt cầu (S) tâm I cắt đ-ờng thẳng hai điểm phân biƯt A, B cho AB=8 Bµi 22 Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến đ-ờng thẳng Trên lấy hai điểm A, B với AB=a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với AC=BD=AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) theo a Bài 23 Cho hình chóp tứ giác SABCD, biết đỉnh S(3;2;4), A(1;2;3), C(3;0;3) Gọi H tâm hình vuông ABCD a Viết ph-ơng trình mặt cầu ngoại tiếp h×nh chãp SABCD b TÝnh thĨ tÝch cđa khèi chãp có đỉnh S, đáy thiết diện tạo hình chóp SABCD với mp qua H vuông góc với SC Bài 24 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD tai gốc 0, biÕt A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 ) Gäi M lµ trung điểm SC a Tính góc khoảng cách hai đ-ờng thẳng SA BM b Giả sử mp(ABM) cắt đ-ờng thẳng SD N Tính thể tích khối chãp SABMN Bµi 25 Trang 22 Chuyên đề mặt cầu 8 x 11y z 30 tiếp xúc với mặt cầu x y 2z Lập ph-ơng trình mp chứa đ-ờng thẳng: x2+y2+z2+2x-6y+4z-15=0 Bài 26 Lập ph-ơng trình mp tiếp xúc với mặt cầu: x2+y2+z2-10x+2y+26z-113=0 song song với hai ®-êng th¼ng : x y z 13 x y 1 z , ’: 3 Bài 27 Lập pt mặt cầu có tâm I: x y 1 z 1 vµ tiÕp xóc víi hai mp 3 2 (P): x+2y-2z-2=0, (Q): x+2y-2z+4=0 Bài 28 Cho mặt cầu (S): (x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=9 mp(P): x+2y+2z+11=0 Tìm điểm M mặt cầu cho khoảng cách từ M đến mp(P) ngắn Bài 29 Cho hai đ-ờng thẳng d1: x y2 z4 x y z 10 , d2: 1 2 1 a Viết ptđt d song song với 0x cắt d1 M, cắt d2 N Tìm toạ ®é M, N b Ad1, Bd2 AB vu«ng gãc d1 d2 Viết pt mặt cầu đ-ờng kính AB Bài 30 Cho A(3;6;-2), B(6;0;1), C(-1;2;0), D(0;4;1) a CMR A, B, C, D đỉnh tứ diện Tính thể tích tứ diện b Viết PT mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định toạ độ tâm bán kính mặt cầu c Viết ph-ơng trình đ-ờng tròn qua A, B, C Xác định toạ độ tâm bán kính đ-ờng tròn Bài 31.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đƣờng thẳng: d1 : x y 1 z x2 y3 z d2 : 1 2 Viết phƣơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đƣờng thẳng d d2 Bài 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xác định toạ độ tâm bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3) Trang 23