Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề diện tích đa giác và sử dụng diện tích đa giác trong chứng minh

Chuyên đề: 28 DIỆN TÍCH ĐA GIÁC VÀ PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH I NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ: Đa giác lồi Đa giác Tổng góc đa giác n cạnh (n – 2) 1800 (n − 3).n Số đường chéo đa giác n cạnh Tổng góc ngồi đa giác n cạnh 3600 Trong đa giác đều, giao điểm O hai đường phân giác hai góc tâm đa giác Tâm O cách đỉnh, cách cạnh đa giác đều, có đường tròn tâm O qua đỉnh đa giác gọi đường tròn ngoại tiếp đa giác Diện tích tam giác: S = a.h (a: cạnh đáy; h: chiều cao tương ứng) S = a.b.sin C ( a = AB; b = CA ) Diện tích hình chữ nhật S = ab Diện tích hình vng S = a2 10 Diện tích hình bình hành S = ah (h chiều cao kẻ từ đỉnh đến cạnh a) 11 Diện tích hình thoi S = AC.BD (AC; BD hai đường chéo) 12 Diện tích hình thang S = ( AB + CD ) AH (AB, CD hai đáy; AH: chiều cao) 13 Một số kết cần nhớ a) SABM = SACM ( AM trung tuyến tam giác ABC) b) AA’ // BC => SABC = SA’BC S ABD BD = c) (D thuộc BC tam giác ABC) S DBC CD S ABD AH = d) (AH; DK đường cao tam giác ABC DBC) S DBC DK S AMN AM AN = e) (M thuộc BC; N thuộc AC tam giác ABC) S ABC AB AC II PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH: Sử dụng cơng thức tính diện tích để thiết lập mối quan hệ độ dài đoạn thẳng - Ta biết số cơng thức tính diện tích đa giác cơng thức tính diện tích hình tam giác, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi … biết độ dài số yếu tố ta tính diện tích nhữnh hình Ngược lại biết quan hệ diện tích hai hình chẳng hạn biết diện tích hai tam giác có hai đáy suy chiều cao tương ứng Như công thức diện tích cho ta quan hệ độ dài đoạn thẳng Sử dụng cơng thức tính diện tích hình giúp ta so sánh độ dài đoạn thẳng - Để so sánh độ dài đoạn thẳng phương pháp diện tích, ta làm theo bước sau: Xác định quan hệ diện tích hình Sử dụng cơng thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đẳng thức có chứa độ dài Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Từ điểm O tam giác ta vẽ OH ⊥ AB ; OI ⊥ BC ; OK ⊥ CA Chứng minh O di động tam giác tổng OH + OI + OK không đổi Giải Gọi độ dài cạnh tam giác a, chiều cao h Ta có: S AOB + S BOC + SCOA = S ABC 1 1 A a.OH + a.OI + a.OK = a.h 2 2 1 K a (OH + OI + OK ) = a.h H 2 ⇒ (OH + OI + OK ) = h (không đổi) C B I Nhận xét : - Có thể giải ví dụ cách khác khơng thể ngắn gọn phương pháp diện tích trình bày - Bài toán O thuộc cạnh tam giác - Nếu thay tam giác đa giác tổng khoảng cách từ O đến cách cạnh không thay đổi Ví dụ 2: Chứng minh định lý Pitago: Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng: Giải: - Dựng phía ngồi ∆ABC hình vng BCDE; ABFG; ACMN - Muốn chứng minh BC = AB + AC ta phải chứng minh S BCDE + S ABFG = S ACMN - Vẽ đường cao AH kéo dài cắt DE K ta chứng minh S ABFG = S BHKE S ACMN = SCHKD - Nối AE; CF ∆FBC = ∆ABE (c-g-c) ⇒ S FBC = S ABE (1) ∆FBC hình vng ABFG có chung đáy BF, đường cao ứng với đáy (là AB) ⇒ S FBC = S ABFG (2) Tương tự: ⇒ S ABE = S BHKE (3) Từ (1); (2) (3) ⇒ S BHKE = S ABFG Chứng minh tương tự ta được: SCHKD = S ACMN Do đó: S BHKE + SCHKD = S ABFG + S ACMN S BCDE = S ABFG + S ACMN (đpcm) N \ G A M \ F B \ H \ E \ K \ C \ D \ Nhận xét: - Điểm mấu chốt cách giải vẽ hình phụ: vẽ thêm ba hình vng Ta phải chứng minh: BC = AB + AC mà BC2; AB2; AC2 diện tích hình vng có cạnh BC; AB; AC - Để chứng minh S BCDE = S ABFG + S ACMN ta vẽ đường cao AH kéo dài để chia hình vng BCDE thành hai hình chữ nhật khơng có điểm chung chứng minh hai hình chữ nhật có diện tích diện tích hai hình vuông Bài tập áp dụng: (Khoảng tập) III TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ - Đặt diện tích cần tìm ẩn đưa phương trình hệ phương trình với ẩn - Giải phương trình hệ phương trình để tìm nghiệm Ví dụ 1: Cho ∆ABC có diện tích đơn vị, cạnh AB lấy M AC lấy N cho AM = 3BM BN cắt CM O Tính diện tích ∆AOB ∆AOB Giải: A\ Đặt SAOB = x; SAOC = y (x,y > 0) N M S OAM = (vì AM = ) Ta có: \ \ AB O B\ S OAB C \ 3x ⇒ S OAM = \ AN AN = nên S OAN = Vì = AC C AC ⇒ S OAN = 4y 4y 4 4y = mà S BAN = S ABC = nên x + (1) 5 5 3x mặt khác: S CAM = SCOA + SOAM = y + 3 mà: S CAM = S ABC = 4 3x = đó: y + (2) 4 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình 5x + 4y = (3) 3x + 4y = (4) Lấy (3) trừ (4) theo vế ta x = Thay x = vào (3) ta x = Vậy S AOB = S AOC = Ví dụ 2: Giả sử MNPQ hình vng nội tiếp tam giác ABC, với M ∈ AB; N ∈ AC P; Q ∈ BC Tính cạnh hình vng biết BC = a đường cao AH = h Giải: Gọi I giao điểm AH với MN Đặt cạnh hình vng MNPQ x (x > 0), Ta có: 1 S AMN = MN AI = x (h − x ) 2 1 S BMNC = ( BC + MN ) MQ = (a + x ) x A 2 \ S ABC = a.h I M N \ \ \ Ta lại có: S ABC = S AMN + S BMNC nên 1 a.h = x (h − x ) + x(a + x) 2 C Q H P B ah \ Hay: a.h = x(a + h) ⇒ x = \ \ \ a+h ah Vậy cạnh hình vng MNPQ a+h Bài tập áp dụng: khoảng IV BẤT ĐẲNG THỨC DIỆN TÍCH: - Ta sử dụng hệ bất đẳng thức Côsi: hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số - Để sử dụng bất đẳng thức đại số ta đặt độ dài cần xác định x biểu thị đại lượng cần tìm giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) biểu thức có biến x tìm điều kiện x để biểu thức có giá trị nhỏ (hay giá trị lớn nhất) Ví dụ 1: Ta có: SBAN = SBAO + SOAN = x + Cho tam giác ANC vuông A, AB = 4cm Trên hai cạnh AB AC lấy điểm M, N cho AM = CN Xác định vị trí M, N cho tứ giác BCMN có diện tích nhỏ Tính diện tích nhỏ Giải: B Đặt: S BCMN = S ; AM = CN = x => AN = - x S = SABC - SAMN M 4.4 x(4 − x) x (4 − x) S= − = 8− 2 x(4 − x) A C S nhỏ ⇔ lớn N x(4 − x) ⇔ lớn Vì x + (4 – x) = (không đổi) nên x(4 – x) lớn ⇔ x=4–x ⇔ x = (hệ bất đẳng thức Côsi Khi M N trung điểm AB AC 2(4 − 2) S = − = 6cm 2 Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O bán kính r nội tiếp tam giác ABC Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AC BC tạio M N Chứng minh SCMN ≥ 2r Giải: Đặt SCMN = S Ta có SCMN = SOCM + SOCN = ( MC + NC )r Theo bất đẳng thức Côsi: A M ( MC + NC ) ≥ CM CN ≥ 25 1 (Vì S = ( MC + NC ).sin C ≤ CM CN ) 2 ⇒ S = ( MC + NC ).r ≥ 2S r C B N ⇒ S ≥ S r Dấu “=” xảy CM = CN hay MN ⊥ OC Bài tập áp dụng: Khoảng V BÀI TẬP VỀ DIỆN TÍCH VÀ CHỨNG MINH Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD, đáy AB = 3cm, AD = 4cm, BC = 6cm, CD = 9cm Tính diện tích hình thang Giải Vẽ BE // AD ta có: 3+9 S= h = 6h (cm2) A B ∆CBE cân C I IC2 = 36 – = 32 IC = E C D K 4.4 S BCE = =8 2 5.2 = S ABCD = 6h = = 16 Ví dụ 2: Cho ∆ABC có chu vi 2p, cạnh BC = a, gọi góc giác ABC tiếp xúc cạnh AC K Tính diện tích ∆ AOK + Giải AK = AL; CK = CM; BM = BL CM + AK + BM = 2p AK = p – (BM + CM) AK = p – a ⇒ h = BK = α · KAO = OK = (p - a)tan SAOK = · BAC = α , đường tròn nội tiếp tam C K A M L α B 1 α AK AO = ( p − a ) tan 2 * Bài tập áp dụng: Cho ∆ ABC có góc nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’ trực tâm H HA ' HB ' HC ' + + Tính tổng: AA ' BB ' CC ' Một tam giác có độ dài đường cao số nguyên bán kính đường tròn ngoại tiếp Chứng minh tam giác Cho µ = β, , C µ =δ , đường tròn nội tiếp tam giác có bán kính ∆ ABC biết µA = α , , B r; P, Q, R tiếp điểm Tính diện tích tam giác PQR AM AN = = Gọi AB AC O giao điểm BN CM Gọi H, L chân đường vng góc kẻ từ A, C tới đường thẳng BN a/ Chứng minh CL = AH b/ Chứng minh: SBOC = SBOA Kẻ CE BD vng góc với AO Chứng minh BD = CE c/ Giả sử SABC = 30 cm2, tính SAMON Cho hình thang ABCD, đáy AB, O giao điểm hai đường chéo AC BD a/ Chứng minh rằng: SOAD = SOBC b/ SOAB.SOCD = (SOBC)2 Cho ∆ ABC Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho HƯỚNG DẪN GIẢI S HBC HA '.BC HA ' = = Ta có: (1) S ABC AA '.BC AA ' S HAB HC ' = Tương tự: (2) S ABC CC ' A B’ C’ H B A’ C S HAC HB ' = (3) S ABC BB ' Cộng (1), (2) (3) ta được: HA ' HB ' HC ' S HBC + S HAB + S HAC S ABC =1 + + = = S ABC S ABC AA ' BB ' CC ' Đặt a = BC, b = AC, c = AB Gọi x, y, z độ dài đường cao tương ứng với cạnh a, b, c tam giác Vì bán kính đường tròn nội tiếp nên x, y, z > Giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ Theo kết 1: ⇒ ⇒ z ≤ ⇒ z=3 Từ: 1 + + =1 ≤ x y z z 1 1 + + =1 ⇒ + = x y z x y hay 3(x+y) = 2xy ⇒ (2x-3)(2y-3) = = = ⇒ x = y = x = 6; y =2 (loại) Vậy = y = z a = b = c OP = OQ = OR = r SPQR = S OPR + SOPQ + SOQR r sin(1800 - α ) = r2sin α SORQ = r2sin β SORQ = r2sin δ Do SPQR = r2 (sin α + sin β + sin δ ) SPQR = a/ CN = AN ⇒ SBNC = 2S BNA A SBNC = SBNA   ⇒ CL = AH BNchung  H M L O  BO.CL  B   BO AH  ⇒ SBOC = 2SBOA (1) b/ SBOA =  CL= 2AH    E SBOC = Chứng minh tương tự N C D A SBOC = 2SCOA (2) T (1) v (2) ⇒ SBOA = SCOA (3) Kẻ CE ⊥ AO, BD ⊥ CE Ta chứng minh được: BD = CE c/ Giả sử SBOC = 2a (cm2) ⇒ SBOA = a (cm2), SCOA= a (cm2) Ta tính được: SABC = 4a (cm2) ⇒ a = cm2 Ta lại có SONA = SOMA = a= (cm2) Vậy: SOAMN = cm2 a/ Kẻ đ ờng cao AH v BH’, ta c ó: AH = BH’ Ta có: SADC = SBDC = AH DC BH '.DC A ⇒ SADC = SBDC ⇒ SODA = SOBC L b/ Kẻ đường cao BK ∆ ABC, ta c ó: SOAB OA = SOBC OC SOAD OA = D A Tương tự: SOCD OC S S ⇒ OAB = OAD ⇒ (SOBC)2 = SOAB.SOCD ( Vì SOBC = SOAD) SOBC SOCD B K H’ C ... khơng có điểm chung chứng minh hai hình chữ nhật có diện tích diện tích hai hình vng Bài tập áp dụng: (Khoảng tập) III TÍNH DIỆN TÍCH ĐA GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ - Đặt diện tích cần tìm ẩn đưa... phương pháp diện tích trình bày - Bài tốn O thuộc cạnh tam giác - Nếu thay tam giác đa giác tổng khoảng cách từ O đến cách cạnh khơng thay đổi Ví dụ 2: Chứng minh định lý Pitago: Trong tam giác vng,...- Để so sánh độ dài đoạn thẳng phương pháp diện tích, ta làm theo bước sau: Xác định quan hệ diện tích hình Sử dụng cơng thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đẳng thức có chứa độ dài