Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 4 hàm số mũ và lôgarit lê hoành phò file word

CHUYÊN ĐỀ - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Lũy thừa thức: an  (với a �0 n ��* ) n a m n a a  a r n m (với a  r  m , n ��, n ��* ) n a  lim a rn (với a  0,  ��, rn �� lim rn   ) Khi n lẻ, b  n a � b n  a (với a) b �0 � Khi n chẵn, b  n a � �n b a � (với a �0 ) - Biến đổi lũy thừa: Với số a  0, b  0,  tùy ý, ta có: a a   a   ; a : a   a  ;  a   a   a.b    a b ;  a : b   a : b  - So sánh: Nếu  a  b thì: a  b �   0; a  b �   Lôgarit:  - Lôgarit số a:   log a b � a  b (  a �1 b  ) - Lôgarit số 10: log10 b  lg b hay log b - Lôgarit số e: log e b  ln b  e �2,7183 b - Tính chất: log a  log a a  b với a  0, a �1 a loga b  b với a  0, b  0, a �1 - Biến đổi lôgarit điều kiện xác định: log a  b.c   log a b  log a c log a b �1 �  log a b  log a c,log a � �  log a c c �c � log a b   log a b (với  ), log a n b  log a b ( n ��* ) n - Đổi số điều kiện xác định: Trang log b x  log a x hay log a b.log b x  log a x log a b log b a  1 hay log a b.log b a  1;log a b  log a b log a b  Hàm số lũy thừa y  x : Liên tục tập xác định       1   1 Đạo hàm x '  ax , u '   u u ' ;  x n /  n n x  x  0 ,  n u  n 1 /  u' n u n 1 n , với u  u  x   Hàm số y  x đồng biến  0; �   ; nghịch biến  0; �   Hàm số mũ: Liên tục tập xác định �, nhận giá trị thuộc  0; � � a  a  � �0 lim a x  � ; lim a x  � x �  a  x�� �  a  �0 �      a  '  a u 'ln a;  e  '  e u ' với u  u  x  x x x x Đạo hàm: a '  a ln a; e '  e ; u u u u Đồng biến � a  , nghịch biến �  a  Hàm số lôgarit y  log a x : Liên tục tập xác định  0; � , nhận giá trị thuộc � � a  � a  � � lim log a x  � ; lim log a x  � x �� �  a  x�0 �  a  � � Đạo hàm  log a x  '   log a u  '  1 ;  ln a  '  ;  ln x  '  x ln a x x u' u' u' ;  ln u  '  ;  ln u  '  với u  u  x  u ln a u u Hàm số y  log a x đồng biến  0; � a  , nghịch biến  0; �  a  Giới hạn: ln   x  ex 1 � 1� lim �  � e;lim  1;lim 1 x �� x �0 x x � x� x x �0 Trang 2 CÁC BÀI TOÁN Bài tốn 4.1: Thực phép tính  0,75 A  81   1 2 �1 � �1 � 3  � �  � � ; B  0,001   2  64    90  125 � �32 � � Hướng dẫn giải   A   3   3 B   10 3   � �1 �� � �1 �� � � � � � � �� � � �5 �� �2 �� � � � � 4 1 3 80 �1 � �1 � � � � �  58  3   27 27 �5 � �2 � 27 3     2 3      10  22  4    111  16 16 Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức điều kiện xác định: a 1 P a a  a a a a a a a  1; Q    a 1 a3  a a  a 4 Hướng dẫn giải  P   a  a  1 a  a  1  a  1 a 1 4 Q a 1 a 1 a a3 1 a a   a 1  a   a   a     a     a   2a  a   a  1 Bài toán 4.3: Trục mẫu a) 233 b)  13  48 Hướng dẫn giải a) 3   233 2 b) Vì  13  48      33    2  1  42   32  Trang nên   13  48 3 1     1 1    Bài toán 4.4: Khơng dùng máy, tính giá trị đúng: 15  6  15  6 a) b) 75  75 Hướng dẫn giải  a) Ta có �2   18  12 �12  30 �12 15  6  15  6  nên 2 3 2  6 2 15  6  15  6  x; x  Cách khác: Đặt Ta có x  30  225  216  36 nên chọn x   b) Ta có:      2    Tương tự    Do   3      1  1  2 Cách khác: Đặt x     Ta có:   x3       10        �    � �3   � � �      10  3x Ta có phương trình:    x  3x  10  � x  2 x  2 x   � x  2 Bài tốn 4.5: Tính gọn a) 49  20  49  20 b) 2 2 2  2 2 2 Hướng dẫn giải a) Ta có 49  20  25  10 24  24  52 6 Trang  Tương tự: Suy 4  3   3 3 2) 49  20   (do 49  20  49  20  b) Đặt M    2  , N  Ta có: MN   2   2 2 2    1 M  N   � M  N  2M N      1 2 � 1� � M  N   � M  N  2MN    � � � � Vậy 2 2 2 2  2 2 2  M  N  1 Bài toán 4.6: � �3 23  513 23  513 � � Tính A  x  x  x    a) Cho � 3� 4 � � b) Tính B  4 6 2k  k  200  9999      1 2 k 1  k  99  101 Hướng dẫn giải a) Đặt a  23  513 23  513 ,b  4 � a  b3  23 , ab  x   a  b Vì  x  1  27 x  27 x  x   27  x3  x  1   x  1  29 nên  3x  1 A   3x  1  29  a  b    a  b   29  27 27 23 a  b3  3ab  a  b    a  b   29  29    27 27 Trang b) Với k �2 2k  k   k 1  k 1  B    k  1  k 1  � k 1  � �  k  1   k  1   k  1  k  1 �  � k 1  k 1  k 1 � k 1  k 1   Do 1� 3  13  43  23  53  33  63  43   1013  993 � � � 1� 3 � 999  101   1   101  100  � 2� 999  101 101  2  Bài toán 4.7: Cho sh  x   a x  a x a x  a x a x  a x với a  0, a �1 Chứng minh ; ch  x   ; th  x   x 2 a  a x ch  x   sh  x   , th  x   2th  x   th  x  Hướng dẫn giải 2 �a x  a  x � �a x  a  x � Ta có ch  x   sh  x   � � � � � � � �  a x  a 2 x   a x  a 2 x   1 4 2x 2 x �a x  a  x �  a  a  Ta có:  th  x    � x  2x x � 2 x �a  a � a  a  2 2th  x  a x  a  x a x  a 2 x   nên  th  x  a x  a  x  a x  a 2 x    a x  ax   a x  a x  2  a x  a  x   a x  a 2 x   a x  a 2 x  th  x  a x  a 2 x Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: a) Nếu 1 1 1 1    n  n  n  n a b c abc a b c a  bn  c n Trang b) Nếu ax n  by n  cz n , 1    thì: x y z ax n 1  by n1  cz n 1  n a  n b  n c n Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết suy 1 1    a b abc c �  a  b   a  b  c  c  abc  ab  a  b  c  �  a  b   b  c   c  a   � có số đối mà ta có n lẻ � đpcm b) VT = n �1 1 � ax n by n cz n    n ax n �   � n ax n  x n a  y n b  z n c x y z �x y z � �1 1 � � VT �   � n a  n b  n c � đpcm �x y z � Bài tốn 4.9: Tính: a) 3log3 18  18;35 log  3log  25  32 log 3 �1 � 3 log 3 log  2   2log  53  �� 2  125 �8 � log 25 log 0,5 � �1 � �1 �� � � � � �� � �32 � �2 �� � � b)  25  32 �6 � 2 log 36  log 14  3log 21  log � � log 7  2 14.21 � � Bài toán 4.10: Rút gọn biểu thức: a) A  log 2.log 3.log 5.log 6.log8 b) B  a log a b b log b a Hướng dẫn giải a) A  log 2.log 3.log 4.log 5.log 6.log  log log log log log log log 1   log  log 2  log log log log log log8 log8 3 b) Đặt x  log a b � log a b  x � b  a x Mặt khác log b a  1 � log b a  x x Trang Do đó: B  a x  a x x  Bài toán 4.11: a) Cho log 15  x,log12 18  y , tính log 25 24 theo x, y b) Cho a  log 3, b  log 5, c  log , tính log140 63 theo a, b, c Hướng dẫn giải log 3.5 log  log log 2.32  2log   a) Ta có x  y  log 2.3  log log 22.3  log Suy log  y 1 x   y  xy ;log  2 y 2 y log 23.3 5 y  Do log 25 24  log  x   y  xy    b) log140 63  log140  2log140  log140  2    log 140 log 140 log  22.5.7  log  22.5.7    2log  log  log 2log  log  Ta có log  log  Vậy 1  ,log  log 2.log 3.log  cab ; log a 1   log log 2.log ca log140 63  b a ca  2ac   2c  cab  abc  2c  Bài toán 4.12: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a log3  27, b log7 11  49, c log11 25  11 Tính T  a  log3   b log7 11  c  log11 25 2 Hướng dẫn giải Ta có:  T  a log3  log   b log7 11  log 11   c log11 25  log11 25 Trang  27 log  49 log 11   11  log11 25   11  25  469 Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) a logc b  b logc a b) n  n  1 1 1      log a b log a b log a3 b log a n b 2log a b Hướng dẫn giải a) a logc b  b logb a b) VT = logc b  blog c b.log b a  blog c a n     log a b log a b log a b log a b       n  n  n  1  log a b 2log a b Bài tốn 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a  c  b log b c a  log b c a  2logb c a.logb c a b) Nếu a, b, c lập cấp số nhân log a d  log b d log a d  log b d  log c d log c d Hướng dẫn giải a) Theo giả thiết: a   b  c   b  c  Xét a  : Xét a �1 log a  b  c   log a  b  c   � 1  2 logb c a log b  c a nên log b c a  log b c a  2log b  c a.log b c a �c � log d � � 1 b) Ta có �b � log a d  log b d    log d a log d b  log d a   log d b  �c � log d � � 1 Tương tự: �a � log b d  log c d    log d b log d c  log d b   log d c  Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên Do c b �c � �b �  � log d � � log d � � a a �b � �a � log a d  log b d log d c log a d   logb d  log c d log d a log c d Trang Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a số thực dương đôi khác khác Chứng minh: a) Nếu log a x   log a x.log a z , log a y   log a y.log a x thì: a A  log x.log a y.log a z.log x a.log y a.log z a  x y z b) Nếu x y  z  x y  z  x  y z  x  y  z   x y y x  y z z y  z x x z log x log y log z Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết, ta có: log a x   log a x.log a z � log a x  Do đó: 1   log a z  log a z log a z a z log x a log a z  Tương tự log y a log a x  z x Mà log a y   log a y.log a z , nên log a y   log a y log a y �  log a z   log a z log a y  � log a z   log a y.log a z Tương tự trên, ta có log z a log a y  y Do �� � �� � A� log a x.log y a � � log a y.log z a � � log a z.log x a � � �� z � � x �� y � b) Nếu số x  y  z , y  z  x, z  x  y ba số dẫn đến x  y  z  , mâu thuẫn Do x  y  z , y  z  x, z  x  y khác �x  log y   y  z  x   y  log x   z  x  y  � Từ giả thiết thì: �y  log z   z  x  y   z  log y   x  y  z  � �z  log x   x  y  z   x  log z   y  z  x  Ta có: x  log y   y  z  x   y  log x   z  x  y  � x log y  y  log x  zx y yzx �z  x  y � � x log y  y log x  y  log x  �  1� �y  z  x � Trang 10 b) Với x   1 x  : y  ln   x  1  x  1   ln x   ln x  � y'  1  x  3x    m � �  1 m !a Ta chứng minh quy nạp � �  m 1 �ax  b �  ax  b  m m Suy y  n 1  n  1 !2n1  1  n  1 !3n1    n n  x  1  3x  1 n 1 n 1 Bài toán 4.31: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: ex a) y  x b) y  x e  x Hướng dẫn giải a) D  �\  0 , y '  e x  x  1 , y '  � x  x2 BBT � x y' − y − � � + � � � e Vậy hàm số nghịch biến khoảng  �;0   0;1 đồng biến khoảng  1; � , đạt CT  1;e    x b) D  �, y '  x  x e , y '  � x  x  BBT x � y' y − � � + − 4e 2 � Vậy hàm số đồng biến khoảng  0;2  , nghịch biến khoảng  �;0   2; � , đạt CĐ  2;4e  , CT  0;0  2 Trang 18 Bài tốn 4.32: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số:   b) y  x  ln   x  a) y  ln x  Hướng dẫn giải a) D   �; 1 � 1; � , y '  2x x 1 Khi x  1 y '  nên hàm số nghịch biến  �; 1 Khi x  y '  nên hàm số đồng biến  1; � Hàm số khơng có cực trị b) D   1; � , y '   y  , y'  � x  1 x 1 x y '  0, x � 0; � nên hàm số đồng biến  0; � y '  0, x � 1;0  nên hàm số nghịch biến  1;0  Ta có y ''  1 x  nên đạt cực tiểu x  0, yCT  Bài toán 4.33: Cho a, b, c thực dương Chứng minh hàm số ax bx cx đồng biến với x dương f  x  x   b  cx cx  ax ax  bx x x x x x x � a x � a ln a  b  c   a  b ln b  c ln c  ' Ta có � x x � b  c � �  bx  cx   a xb x  ln a  ln b   a x c x  ln a  ln c  b x  cx  / �a xb x ln a  ln b  a x c x ln a  ln c � ax �      � Do f '  x   �� x x � � b  c � sym � sym �  bx  cx  � �a xb x ln a  ln b a xb x ln a  ln b      �� 2 x x sym �  b  c   ax  cx  � � � � � � � � �  a  b   a  b  2c    �a b  ln a  ln b  a c  b c  x x x x x x x sym x x x x Bài toán 4.34: So sánh số: Trang 19 a) 13 b) 23  15 10  28 Hướng dẫn giải a) 13  20 135  20 371293; 23  20 234  20 279841 Ta có 371293  279841 nên b) 13  23  15      10  28 Bài toán 4.35: So sánh số: 600 a) �1 � b) � � 33 �3� 400 Hướng dẫn giải   a) Ta có: 3600  33 5400   52  200 200  27 200  25200 Vậy 3600  5400 5 �1 � �1 � b) Ta có � �  � � 33 �3 � �3�  Ta có  � 3 2 �1 � �� �3 �    5 2 � 18  20 : �1 � �1 � �1 � Vì số   nên � �  � � � � �  33 �3 � �3 � �3� Bài toán 4.36: Hãy so sánh số: a) log log b) 3log6 11 log6 0,99 Hướng dẫn giải a) Ta có log  log 1  , suy log  log 3 b) Ta có log 1,1  nên 3log6 1,1  30  (vì  ) log 0,99  nên log 0,99   (vì  ) log 1,1 Suy  log 0,99 Bài toán 4.37: Hãy so sánh số: a) log 27  log 25 b) log  log 25 Hướng dẫn giải a) log 27  log8 25  log 25 Trang 20 b) log  log  log8 27  log 25 Bài toán 4.38: a) So sánh hai số 11  22  33   10001000 222 22 b) Chứng minh với n số 2, n  22N  222 2222 2 Hướng dẫn giải 22 a) Ta thấy 222 24 16  22  22 Mà 210  1024  1000, 26  64 2 � 216  210.26  64000 nên 222  264000 Mặt khác: 12  22  33   10001000  1000.10001000  10001001   210  Từ suy 222 22 1001  210010  264000  12  22  33   10001000 b) Ta chứng minh quy nạp 2n   n, n �6 Với n số 2, đặt an  2nN , bn  222 2222 Ta có 222  10n  n nên bn   24 n  24 n 4n  24 n.2  22 5n Và mặt khác an 2  5n  22N  8.2 n2  22 Nên an  2 an  n2  2n 1  5n  22  bn Ta có đpcm Bài toán 4.39: Chứng minh: a) log n  n  1  log n 1  n   với số nguyên n  b) a m  b m  c m , m  , a  b  c với a  0, b  Hướng dẫn giải � 1� � 1� 1 � �  log n � � n� � n� 1 a) A  log n  n  1  log n n � � � � � B  log n1  n    log n 1  n  1 � 1 1 �  log n1 � � � n 1� � n 1� Ta có  1 � 1� � �  1 � log n �  � log n � 1 � n n 1 � n� � n 1� Trang 21 � � � � 1 � log n 1 � � � n 1� � n 1� 1 log n � � 1� � � � log n �  � log n1 � 1 � Do A  B � n� � n 1� m m �a � �b � b) Ta có a  b  c � � �  � �  �c � �c � m m m Mà a  b  c, a  0, b  nên  m a b  1,0   c c m �a � �a ��b � �b � Suy với m  � �  � �� ; � � � �c � �c ��c � �c � m m �a � �b � a b Từ ta có: � �  � �    �c � �c � c c Bài toán 4.40: a) Cho a, b, c  Chứng minh a a bb c c �a b bc c a b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn Chứng minh: 2 �2 � �2 � 3 b  b � � c  c � a  a � � �� � Hướng dẫn giải a) Giả sử a  max  a; b; c - Xét a �b �c : BĐT ۳ a a b bb c c a c Vì a �b �c  nên a a b bb c �c a b bb c  c a c - Xét a �c �b : BĐT ۳ a a b b cb c a c Vì a �c �b  nên b c b c a c �a c b a a c  a a b b) Khơng tính tổng quát, ta giả sử a cạnh lớn cạnh tam giác Khi đó, ta có 2 a  b  c , a  b  c nên: 2 2 2 �2 � �2 � �2 � �2 � 3 3 3 a  a  b  b  c  c a  a  c  c  b  b � � �� � �� � � �� � � �� � Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên b  c  a 3 3 3 x  a ; y  b ; z  c y  z  x Trang 22  Ta có: y  z   y  z  y z  y  z   y  z  y z   y  z    x3   x 2 2 Suy y  z  x hay b  c  a � đpcm Bài toán 4.41: a) Cho a, b, c  Chứng minh  abc  a b  c �a a bb c c �1 � �4 � b) Cho số x, y, z , t �� ;1� Chứng minh: � 1� � 1� � 1� � 1� log x �y  � log y �z  � log z � t  � logt �x  ��8 � 4� � 4� � 4� � 4� Hướng dẫn giải a) BĐT ۣ log  abc  a b c log  a a bb c c  �  a  b  c  log  abc  �3  log a a  log bb  log c c  �  a  b  c   log a  log b  log c  �3  a log a  b log b  c log c  �  a  b   log a  log b    b  c   log b  log c    c  a   log c  log a  �0 BĐT số 10  nên x �y   log x log y  � x y log x log y nên  x  y   log x  log y  �0 , x  0, y  � 1� b) Ta có: � a  ��0 � a  �a với a � 2� Và  x, y, z , t  nên hàm nghịch biến, đó: 2 2 VT �log x y  log y z  log z t  log t x   log x y  log y z  log z t  log t x  �8 log x y.log y z.log z t.log t x   Bài toán 4.42: Chứng minh: a) n n 1   n  1 , n ��, n  n b) n x n  y n �n 1 x n 1  y n 1 với n nguyên, n �2 x, y �0 Hướng dẫn giải a) Với n ��, n  , bất đẳng thức tương đương Trang 23  n  1 ln n  n ln  n  1 � Xét f  x   n 1 n  ln  n  1 ln n x ln x    3; � f '  x   ln x ln x Do f đồng biến  3; � nên: n   n  � f  n  1  f  n  (đpcm) b) Với x  y  , bất đẳng thức Với xy  , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với n 1 n �x � n 1 �x � n 1 � � �  � � Xét f  t   �y � �y � Ta có f '  t   t n1   t  n 1  1 t  n 1 n  n 1 t  n n 1 n n 1 1 tn 1 t n 1 với t � 0; � ; f ' t   � t  BBT x f ' t  � + − f  t 1 Suy f  t  �1 với t � 0; � � đpcm Bài toán 4.43: Chứng minh bất đẳng thức sau với x  x2 b) e   x  x a) e  x  x c) ln   x   x  x2 Hướng dẫn giải x x a) Xét hàm số f  x   e  x  1, x �0 f '  x   e   0, x  nên f đồng biến  0; � f liên tục  0; � nên f đồng biến  0; � : x  � f  x   f    : đpcm b) Xét f  x   e x  x2 x  x  1, x �0 f '  x   e  x  Theo câu a) f '  x   nên f đồng biến  0; � x  � f  x   f    : đpcm Trang 24 x2 c) BĐT: ln   x   x   0, x  Xét f  x   ln   x   x  x2 x2 , x �0, f '  x   �0 1 x f liên tục  0;� nên f đồng biến  0; � Do đó: x  � f  x   f    : đpcm Bài toán 4.44: Chứng minh: �� � � 2� sin x tan x  23 x  , x �� 0; a)  x b) e  x với x x  2x  2 Hướng dẫn giải a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 4sin x  2tan x �2 4sin x.2tan x  22sin x  tan x  Ta cần chứng minh: 22 sin x  tan x   23 x  � 2sin x  tan x  x Xét f  x   2sin x  tan x  x,0 �x  f '  x   2cos x   1   2cos x   �2   cos x cos x � � �: x  � f  x   f    : đpcm � 2� 0; nên f đồng biến � b) Nếu x �0 BĐT Nếu x  , x  x   0, x nên BĐT � x  x   x Xét f  x   x  x  2, x  x e f '  x   x  2, f '  x   � x  Lập BBT f  x   f  1  Xét g  x   x e x  xe x  x , x  0, g ' x   x ; g ' x   � x    ex e2 x e Lập BBT max g  x   g  x   Vì f  x   max g  x  � đpcm e Bài toán 4.45: Chứng minh bất đẳng thức sau: Trang 25 x2 a) e  cos x �2  x  , x x   x x b) e  e �2ln x   x , x �0 Hướng dẫn giải a) Xét hàm số f  x   e x  cos x   x  x2 ,D  � f '  x   e x  sin x   x; f '  x   � x  f ''  x   e x   cos x  0, x nên f '  x  đồng biến �, ta có: f '  x   f '    0, x; f '  x   f '    0, x  BBT: � x � f ' x  −  f  x x2 Vậy f  x   e  cos x   x  �0, x x   x x b) Xét hàm số f  x   e  e  2ln x   x , D   0; � f ' x   e x  e x  Vì e x  e  x   x2  x2 : f ' x  � x   nên f '  x   0, x  Do f  x  đồng biến  0; � nên f  x  �f    � đpcm Bài toán 4.46: Cho  x  1;0  y  x �y Chứng minh rằng: � y x � ln  ln � � y  x � 1 y 1 x � Hướng dẫn giải Do x �y , không giảm tổng quát, giả sử y  x Xét hàm số Trang 26 t  2t  1 �0 f  t   4t , với  t  � f '  t   1 t t 1 t Vậy ln f  t hàm đồng biến  0;1 mà yx nên ta có f  y  f  x hay y x  y  ln  x y  x  nên suy ra: 1 y 1 x � y x � ln  ln � � � đpcm y  x � 1 y 1 x � b a �a � �b � Bài toán 4.47: Cho a  b  Chứng minh �  a ���  b� � � � � Hướng dẫn giải Với a  b  , bất đẳng thức tương đương b b b a �4a  � �4b  � a b � a ��� b ��  1 �  1 �2 � �2 � + �b�+ ln  4 1 a Xét f  x   a.ln  b ln   x  x 1 ln   4a  ln   4b  a b ,x  � 1 �4 x ln f '  x   � x x  ln   x  � x.ln x    x  ln   x   x �1  � x   nên f nghịch biến: a  b  � f  a   f  b  : đpcm Bài toán 4.48: Cho p  1, q  thỏa p  q  pq a, b  a p bq Chứng minh ab �  p q Hướng dẫn giải a p bq   ab với a  Xét hàm số f  a   p q f ' a   a p 1  b, f '  a   � a p 1 b� ab p 1 Mà p   pq �  p  1  q  1  nên a  b q 1   q 1  � đpcm Lập BBT f  f b Trang 27 Bài toán 4.49: Cho a, b  a  b  Chứng minh bất đẳng thức e ax by �a.e x  b.e y , x, y Hướng dẫn giải Ta có b   a  a  nên BĐT: e ax   1 a  y �a.e x    a  e y  ۣ ۣ e y e� a x y  a  e x  y 1 ey e a x y  a.e x  y a f '  t   a  e at  et  , f '  t  � t  at t Xét f  t   e  a.e  a  1, t �� BBT � x � f' + f − Suy f  t  �0, t � đpcm Bài toán 4.50: Cho a, b, c  Chứng minh b)  a  b    b  c    c  a   c a) a b  b a  a b Hướng dẫn giải a) Nếu a �1 b �1 a b  b a  Nếu  a, b  Xét f  x     x     x, x  0,0     f ' x      x   1 � �    �  � �  x  1 � � � nên x  � f  x   f    �   x     x  Áp dụng a  1 a 1 , x  � ab   1 x  xb a  b  ab a Tương tự: b  b) Trong số  b  c a (*) b 1  � ab  b a  1  ya a  b  ab a  b, b  c , c  a có số, chẳng hạn a  b �1  a  b c �1   c  a   b a  a b  suy đpcm Còn số bé dùng bất đẳng thức (*) b Trang 28 BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 4.1: Thực phép tính 0,75 �1 � A  27  � � 16 � � B   0,5   250,5 4 1 3 �1�  6250,25  � �  19  3  �4� Hướng dẫn Dùng quy tắc mũ Kết A  12, B  10 Bài tập 4.2: Rút gọn biểu thức: 2 �4 ax  a3 x  ax � a a a) R  �   với a  0, x  0, a �x � 1 � a x � x x ax � � b) S  a  a2  b a  a  b , với a, b  0, a �b � 2 Hướng dẫn � 1 a) Kết R  ax � � b) Kết S  a� � a x�  x a  a  a2  b a  a2  b  2 Bài tập 4.3: Tính gọn a) 42  42  b)  80   80  Hướng dẫn a) Viết bình phương đủ thức hay đặt ẩn phụ VT bình phương Kết 42  42  b) Viết lập phương đủ thức hay đặt ẩn phụ VT lập phương Kết  80   80  21 � a Bài tập 4.4: Trong khai triển nhị thức: �3  � b b � � , tìm hệ số số hạng chứa a b có số mũ b� Hướng dẫn Dùng nhị thức Niutơn:  a  b  n  �Cnk a nk bk k 0 Trang 29 Kết C21  21!  293 930 9!12! Bài tập 4.5: a) Tính log 50 theo log 15  a,log 10  b b) Tính ln 6, 25 theo c  ln 2, d  ln Hướng dẫn a) Đưa số Kết 2a  2b  b) Đưa số e Kết 2d  2c Bài tập 4.6: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a  b  ab log ab   log a  log b  b) Nếu log12 18  a,log 24 54  b , ab   a  b   Hướng dẫn a) a  b  ab �  a  b   9ab biến đổi tương đương điều cần chứng minh b) Đưa số 2: log  2a  3b  log  2a 3b Bài tập 4.7: Tìm giới hạn sau: sin x x �0 e x  x a) lim b) lim x �0  2x   x tan x Hướng dẫn a) Chia tử mẫu thức cho x Kết  ln b) Thêm bớt tử thức chia tử mẫu thức cho x Kết 12 Bài tập 4.8: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y  x  1.log x 2 b) y  ln  x  1 x Hướng dẫn a) Kết y '  x log x x2   x2  ln x Trang 30 ln  x  1  x2  x2 b) Kết y '  � �f  x  �1  x , x, y �� Tính f '  x  �f  x  y  �f  x  f  y  Bài tập 4.9: Cho f liên tục �: � x Dùng định nghĩa kẹp giới hạn Kết f '  x   e Bài tập 4.10: So sánh số: a)  30 b) 63    31 Hướng dẫn a) So trung gian Kết  3 b) Kết   31  30   27   64  63 Bài tập 4.11: a) Không dùng bảng số máy tính, so sánh: log 5 log  log 2 b) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN K 1    2ln   x   y  2ln   y   z  2ln   z   x Hướng dẫn a) Đặt a  log Suy 5 log  log b  2 5  10a Kết log  10b  log  log  2 b) Dùng bất đẳng thức AM-GM Trang 31 Trang 32 ... toán 4. 5: Tính gọn a) 49  20  49  20 b) 2 2 2  2 2 2 Hướng dẫn giải a) Ta có 49  20  25  10 24  24  52 6 Trang  Tương tự: Suy 4  3   3 3 2) 49  20   (do 49  20  49 ...  nên hàm số nghịch biến  �; 1 Khi x  y '  nên hàm số đồng biến  1; � Hàm số khơng có cực trị b) D   1; � , y '   y  , y'  � x  1 x 1 x y '  0, x � 0; � nên hàm số đồng... � � + − 4e 2 � Vậy hàm số đồng biến khoảng  0;2  , nghịch biến khoảng  �;0   2; � , đạt CĐ  2;4e  , CT  0;0  2 Trang 18 Bài tốn 4. 32: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số:   b)