Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 4 Hàm số mũ và lôgarit

CHUYÊN ĐỀ - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Lũy thừa thức: an  (với a  n  ¥ * ) n a m n a  a  n a m (với a  r  r m ,n ,nƠ *) n a lim a rn (với a  0,  ¡ , rn  ¤ lim rn   ) Khi n lẻ, b  n a  bn  a (với a) b  Khi n chẵn, b  n a   n b  a (với a  ) - Biến đổi lũy thừa: Với số a  0, b  0,  tùy ý, ta có: a a   a   ; a : a   a  ;  a   a   a.b    a b ;  a : b   a : b  - So sánh: Nếu  a  b thì: a  b    0; a  b    Lôgarit: - Lôgarit số a:   log a b  a  b (  a  b  ) - Lôgarit số 10: log10 b  lg b hay logb - Lôgarit số e: loge b  ln b  e  2,7183 - Tính chất: log a  log a ab  b với a  0, a  aloga b  b với a  0, b  0, a  - Biến đổi lôgarit điều kiện xác định: log a  b.c   log a b  log a c log a b 1  log a b  log a c,log a     log a c c c log a b   log a b (với  ), log a n b  log a b ( n  ¥ * ) n - Đổi số điều kiện xác định: Trang logb x  log a x hay log a b.logb x  log a x log a b logb a  1 hay log a b.logb a  1;log a b  log a b  log a b Hàm số lũy thừa y  x : Liên tục tập xác định     Đạo hàm x '  ax 1 , u '   u 1u ' ;  x n /  n n x  x  0 ,  n u  n 1 /  u' n u n1 n , với u  u  x   Hàm số y  x đồng biến  0;    ; nghịch biến  0;    Hàm số mũ: Liên tục tập xác định ¡ , nhận giá trị thuộc  0;   lim a x   x  0 a  0 ; lim a x    a  x  a   a       a  '  a u 'ln a;  e  '  e u ' với u  u  x  Đạo hàm: a x '  a x ln a; e x '  e x ; u u u u Đồng biến ¡ a  , nghịch biến ¡  a  Hàm số lôgarit y  log a x : Liên tục tập xác định  0;  , nhận giá trị thuộc ¡  lim log a x   x   Đạo hàm  log a x  '   log a u  '  a   ; lim log a x    a  x0  a   a  1 1 ;  ln a  '  ;  ln x  '  x ln a x x u' u' u' ;  ln u  '  ;  ln u  '  với u  u  x  u ln a u u Hàm số y  log a x đồng biến  0;  a  , nghịch biến  0;   a  Giới hạn: ln 1  x  ex 1  1 lim 1    e;lim  1;lim 1 x  x 0 x x  x x x 0 Trang 2 CÁC BÀI TỐN Bài tốn 4.1: Thực phép tính    1 2     0,75 3 A  81      ; B  0,001   2  64      125   32  Hướng dẫn giải   A   3 4                         Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851   3 B  10 3 1 3 1 80 1 1      58  3  27 27 27 5  2 3     2 3   2    10  22  24    111  16 16 Bài toán 4.2: Đơn giản biểu thức điều kiện xác định: a 1 P a a  a a a a a a a  1; Q    a 1 a3  a3 a3  a 4 Hướng dẫn giải  P   a  a  1 a  a  1  a  1 a 1 4 Q a 1 a 1  a a 1  a 1 1  a   a 1  a   1  a   1  a   2a a 1  a   a   a  1 Bài toán 4.3: Trục mẫu Trang 233 a) b)  13  48 Hướng dẫn giải 3   233 2 a)  nên   1 3   13  48  b) Vì  13  48     33   1   42     1 1  32     Bài tốn 4.4: Khơng dùng máy, tính giá trị đúng: a) 15  6  15  6 b) 75  75 Hướng dẫn giải  a) Ta có  nên   18  12  12  30  12 15  6  15  6  2 3 2  6 2 15  6  15  6  x; x  Cách khác: Đặt Ta có x  30  225  216  36 nên chọn x   b) Ta có:      2    Tương tự    Do         1  1  2 Cách khác: Đặt x     Ta có:   x3       10                      10  3x Ta có phương trình: Trang    x3  3x  10   x  2 x  2 x    x  2 Bài tốn 4.5: Tính gọn a) 49  20  49  20 b) 2 2 2  2 2 2 Hướng dẫn giải a) Ta có 49  20  25  10 24  24   Tương tự: Suy 4  3  4  5   3 49  20   (do 3 2) 49  20  49  20  b) Đặt M    2  , N    2  Ta có: MN  2      2 1 M  N    M  N  2M N      1  1  M  N    M  N  2MN        Vậy 2 2 2 2 2  2 2 2  M  N  1 Bài toán 4.6:   23  513 23  513   1 Tính A  x3  x   3 4   a) Cho x   4 6 2k  k  200  9999      b) Tính B  1 2 k 1  k 1 99  101 Hướng dẫn giải a) Đặt a  23  513 23  513 ,b  4 Trang 23 , ab  3x   a  b  a  b3  Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 Vì  3x  1  27 x3  27 x  x   27  x3  x  1   3x  1  29 nên  3x  1 A   3x  1  29  a  b    a  b   29  27 27 23 a3  b3  3ab  a  b    a  b   29  29    27 27 b) Với k    2k  k   k 1  k   B      k 1  k 1   k  1  2 k 1   k  1  k  1 k  1   k 1  k 1  k 1  k 1  k 1   Do 1 3  13  43  23  53  33  63  43   1013  993   2 1 999  1013  3 3  1   101  100   2 999  101 101  2  a x  a x a x  a x a x  a x ; ch  x   ; th  x   x với a  0, a  Chứng minh 2 a  a x 2th  x  ch2  x   sh2  x   , th  x    th  x  Bài toán 4.7: Cho sh  x   Trang Hướng dẫn giải  a x  a x   a x  a x  Ta có ch  x   sh  x       2      2 a x  a 2 x   a x  a 2 x   1 4  a x  a 2 x   a x  a x  Ta có:  th  x     x  2x x  a  a 2 x  a a  2 nên  2th  x  a x  a  x a x  a 2 x  2 x  th2  x  a  a  x  a x  a 2 x   a x  a  x  a x  a  x  2  a x  a  x  a x  a 2 x   a x  a 2 x  th  x  a x  a 2 x Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh: 1 1 1 1 n  n  n  n    a b c a  bn  c n a b c abc a) Nếu b) Nếu ax n  by n  cz n , 1    thì: x y z ax n1  by n1  cz n1  n a  n b  n c n Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết suy 1 1    a b abc c   a  b   a  b  c  c  abc  ab  a  b  c    a  b  b  c  c  a    có số đối mà ta có n lẻ  đpcm b) VT = n 1 1 ax n by n cz n    n ax n      n ax n  x n a  y n b  z n c x y z x y z 1 1  VT      n a  n b  n c  đpcm x y z Bài tốn 4.9: Tính: a) 3log3 18  18;35log3  3log3  25  32 1   8 log   23  log  2 3 log 3  2log2  53  125 Trang      32  b) log 0,5   5           log 25  25  32   2 log 36  log 14  3log 21  log    log 7  2  14.21  Bài toán 4.10: Rút gọn biểu thức: a) A  log3 2.log 3.log 5.log 6.log8 b) B  a log a b b logb a Hướng dẫn giải a) A  log3 2.log 3.log5 4.log6 5.log 6.log8  log log3 log log5 log log log 1   log8  log 2  log3 log log5 log log log8 log8 3 b) Đặt x  log a b  log a b  x  b  a x 1  logb a  x x Mặt khác logb a  Do đó: B  a x  a x2 x  Bài toán 4.11: a) Cho log6 15  x,log12 18  y , tính log 25 24 theo x, y b) Cho a  log 3, b  log3 5, c  log7 , tính log140 63 theo a, b, c Hướng dẫn giải log 2.32  2log log 3.5 log  log   a) Ta có x  y  log 2.3  log log 22.3  log Suy log  y 1 x   y  xy ;log  2 y 2 y log 23.3 5 y Do log 25 24   log  x   y  xy    b) log140 63  log140 32.7  2log140  log140  2    log3 140 log 140 log3  5.7  log  22.5.7  Trang   2log3  log3  log3 2log  log  Ta có log3  log3  1  ,log  log 2.log 3.log3  cab ; log a 1   log log 2.log ca Vậy log140 63  b a ca  2ac   2c  cab  abc  2c  Bài toán 4.12: Cho số thực a, b, c thỏa mãn: alog3  27, blog7 11  49, clog11 25  11 Tính T  a  log3 2  b log7 11  c log11 25 Hướng dẫn giải Ta có:  T  alog3  27 log3  log3  49   blog7 11 log7 11   log7 11  11   clog11 25 log11 25  log11 25   11  25  469 Bài tốn 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) a b) logc b  blogc a n  n  1 1 1      log a b log a2 b log a3 b log an b 2log a b Hướng dẫn giải a) alogc b  blogb a b) VT = logc b  blogc b.logb a  blogc a n     log a b log a b log a b log a b  1     n  n  n  1  log a b 2log a b Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a  c  b2 logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a b) Nếu a, b, c lập cấp số nhân log a d  logb d log a d  logb d  log c d log c d Trang Hướng dẫn giải a) Theo giả thiết: a   b  c  b  c  Xét a  : Xét a  log a  b  c   log a  b  c    1  2 logbc a logbc a nên logbc a  logbc a  2logbc a.logbc a c log d   1 b b) Ta có log a d  log b d    log d a log d b  log d a  log d b  c log d   1 a Tương tự: log b d  log c d    log d b log d c  log d b  log d c  Vì a, b, c lập thành cấp số nhân nên Do c b c b   log d    log d   a a b a log a d  logb d log d c log a d   logb d  log c d log d a log c d Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a số thực dương đôi khác khác Chứng minh: a) Nếu log a x   log a x.log a z , log a y   log a y.log a x thì: a A  log x.log a y.log a z.log x a.log y a.log z a  x y z b) Nếu x  y  z  x y  z  x  y  z  x  y  z    x y y x  y z z y  z x x z log x log y log z Hướng dẫn giải a) Từ giả thiết, ta có: log a x   log a x.log a z  log a x  1   log a z  log a z log a z a z Do đó: log x a log a z  Tương tự log y a log a x  z x Mà log a y   log a y.log a z , nên log a y   log a y log a y   log a z   log a z log a y   log a z   log a y.log a z Trang 10   Ta chứng minh quy nạp    ax  b  Suy y  n  m 1 m!a m   m 1  ax  b  m 1  n  1!2n1  1  n  1!3n1    n n  x  1  3x  1 n 1 n 1 Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: Bài tốn 4.31: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 a) y  ex x b) y  x e x Hướng dẫn giải e x  x  1 , y '   x  a) D  ¡ \ 0 , y '  x2 BBT  x − y' − +    y   e Vậy hàm số nghịch biến khoảng  ;0   0;1 đồng biến khoảng 1;  , đạt CT 1;e    b) D  ¡ , y '  x  x e x , y '   x  x  BBT x  − y' y   + − 4e2 Trang 19  Vậy hàm số đồng biến khoảng  0;2  , nghịch biến khoảng  ;0   2;  , đạt CĐ  2;4e  , CT  0;0 2 Bài toán 4.32: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số:   b) y  x  ln 1  x  a) y  ln x  Hướng dẫn giải a) D   ; 1  1;   , y '  2x x 1 Khi x  1 y '  nên hàm số nghịch biến  ; 1 Khi x  y '  nên hàm số đồng biến 1;  Hàm số khơng có cực trị b) D   1;   , y '   y  , y'   x  1 x 1 x y '  0, x   0;   nên hàm số đồng biến  0;  y '  0, x   1;0  nên hàm số nghịch biến  1;0  Ta có y ''  1  x   nên đạt cực tiểu x  0, yCT  Bài toán 4.33: Cho a, b, c thực dương Chứng minh hàm số ax bx cx f  x  x   đồng biến với x dương b  cx cx  ax ax  bx x x x x x x  a x  a ln a  b  c   a  b ln b  c ln c  ' Ta có  x x  b c  bx  c x   a xb x  ln a  ln b   a x c x  ln a  ln c  b x  cx  /  a xb x ln a  ln b  a x c x ln a  ln c   ax      Do f '  x     x   x   sym  b  c  sym  bx  c x    Trang 20  a xb x ln a  ln b a xb x ln a  ln b        2 x x sym   a x  c x    b  c   a b x sym  a  b  a  b  2c    ln a  ln b   a  c  b  c  x x x x x x x x x x Bài toán 4.34: So sánh số: a) 13 23 b)  15 10  28 Hướng dẫn giải a) 13  20 135  20 371293; 23  20 234  20 279841 Ta có 371293  279841 nên b) 13  23  15      10  28 Bài toán 4.35: So sánh số: 600 a)   b)    3 400 33 Hướng dẫn giải   a) Ta có: 3600  33 5400   52    b) Ta có    3 200 200  27200  25200 Vậy 3600  5400 1    3 3  Ta có   1 Vì số   nên    3 1    3    5 1    3  3  18  20 :      3  33 Bài toán 4.36: Hãy so sánh số: a) log3 log log6 11 b) log6 0,99 Hướng dẫn giải a) Ta có log3  log 1  , suy log3  log 3 Trang 21 b) Ta có log6 1,1  nên 3log6 1,1  30  (vì  ) log6 0,99  nên 7log6 0,99  70  (vì  1) Suy 3log6 1,1  7log6 0,99 Bài toán 4.37: Hãy so sánh số: b) log  log9 25 a) log8 27  log9 25 Hướng dẫn giải a) log8 27  log8 25  log9 25 b) log  log  log8 27  log9 25 Bài toán 4.38: a) Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: So sánh hai số     1000 1000 22 22 HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu” Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851 N2 b) Chứng minh với n số 2, n  22  222 2222 Hướng dẫn giải a) Ta thấy 22 22 24  22  22 16 Mà 210  1024  1000,26  64  216  210.26  64000 nên 22 22  264000 Mặt khác: 12  22  33   10001000  1000.10001000  10001001   210  1001 Từ suy 22 22  210010  264000  12  22  33   10001000 b) Ta chứng minh quy nạp 2n2  n, n  Với n số 2, đặt an  2nN , bn  222 2222 2 Ta có 222  10n  24 n nên Trang 22 bn   24 n  24 n  24 n.2  22 4n 5n n2 Và mặt khác an2  5n  22N  8.2n2  22 Nên an  22 an   2n1   22  bn Ta có đpcm 5n Bài tốn 4.39: Chứng minh: a) log n  n  1  log n1  n   với số nguyên n  b) a m  bm  c m , m  1, a  b  c với a  0, b  Hướng dẫn giải   a) A  log n  n  1  log n n 1  1  1    log n 1   n  n     B  log n1  n    log n1  n  1 1     log n1 1    n 1  n 1 Ta có  1   1   1  log n 1    log n 1   n n 1  n  n 1   log n 1       log n1 1   n 1  n 1   1   log n 1    log n1 1   Do A  B  n  n 1 m m a b b) Ta có a  b  c        c c m m m Mà a  b  c, a  0, b  nên  m a a Suy với m       c c m a b  1,0   c c m b b ;     c c m a b a b Từ ta có:         c c c c Bài toán 4.40: a) Cho a, b, c  Chứng minh a a bb cc  ab bc c a b) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn Chứng minh: Trang 23 2     3 b  b  c  c  a  a         Hướng dẫn giải a) Giả sử a  max a; b; c - Xét a  b  c : BĐT  a ab bbc  cac Vì a  b  c  nên a ab bbc  cab bbc  cac - Xét a  c  b : BĐT  a ab  bcb ca c Vì a  c  b  nên bcb cac  acb aac  aa b b) Không tính tổng quát, ta giả sử a cạnh lớn cạnh tam giác Khi đó, ta có 3 a  b  c , a  b  c nên: 2 2 2 2         2 3 3 3 a a   a a   b c   c b   b c   b c                 Do a, b, c độ dài cạnh tam giác nhọn nên b2  c  a 3 x  a ; y  b ; z  c y3  z  x3  Ta có: y  z   y  z  y z  y  z   y  z  y z   y  z    x3   x 2 3 2 Suy y  z  x hay b  c  a  đpcm 2 Bài toán 4.41: a) Cho a, b, c  Chứng minh  abc  a b  c  a a bb c c 1  4  b) Cho số x, y, z, t   ;1 Chứng minh: 1 1 1    1  log x  y    log y  z    log z  t    logt  x    4 4 4    4  Hướng dẫn giải a) BĐT  log  abc  a b  c  log  a a bb cc    a  b  c  log  abc   3 log a a  log bb  log cc    a  b  c  log a  log b  log c    a log a  b log b  c log c    a  b  log a  log b    b  c  log b  log c    c  a  log c  log a   Trang 24 BĐT số 10  nên x  y   log x  log y  x  y  log x  log y nên  x  y  log x  log y   , x  0, y  1  b) Ta có:  a     a   a với a 2  Và  x, y, z, t  nên hàm nghịch biến, đó: VT  log x y  log y z  log z t  logt x   log x y  log y z  log z t  logt x   log x y.log y z.log z t.logt x   Bài toán 4.42: Chứng minh: a) nn1   n  1 , n  ¥ , n  n b) n x n  y n  n1 x n1  y n1 với n nguyên, n  x, y  Hướng dẫn giải a) Với n  ¥ , n  , bất đẳng thức tương đương  n  1 ln n  n ln  n  1  Xét f  x   n 1 n  ln  n  1 ln n x ln x    3;  f '  x   ln x ln x Do f đồng biến  3;  nên: n   n   f  n  1  f  n  (đpcm) b) Với x  y  , bất đẳng thức Với xy  , bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với n x  x n 1    n1     y  y n 1 Xét f  t   t n1.1  t  Ta có f '  t   n 1 1  t  n 1 n  n 1  t  n n 1 n n 1 1 tn 1 t n 1 với t   0;   ; f 't    t  BBT x f 't   + − Trang 25 f t  1 Suy f  t   với t   0;    đpcm Bài toán 4.43: Chứng minh bất đẳng thức sau với x  x2 b) e   x  a) e  x  x x c) ln 1  x   x  x2 Hướng dẫn giải a) Xét hàm số f  x   e x  x  1, x  f '  x   e x   0, x  nên f đồng biến  0;  f liên tục  0;  nên f đồng biến 0;   : x   f  x   f    : đpcm x2  x  1, x  f '  x   e x  x  b) Xét f  x   e  x Theo câu a) f '  x   nên f đồng biến  0;  x   f  x   f  0  : đpcm x2  0, x  c) BĐT: ln 1  x   x  Xét f  x   ln 1  x   x  x2 x2 , x  0, f '  x   0 1 x f liên tục  0;  nên f đồng biến  0;  Do đó: x   f  x   f    : đpcm Bài toán 4.44: Chứng minh:     2 a) 4sin x  2tan x  23 x  , x   0; b) e x  x với x x  2x  2 Hướng dẫn giải a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 4sin x  2tan x  4sin x.2tan x  22sin xtan x 2 Ta cần chứng minh: 22sin x tan x2  23 x2  2sin x  tan x  3x Trang 26 Xét f  x   2sin x  tan x  3x,0  x  f '  x   2cos x   1   2cos x  3 2 3  cos x cos x    : x   f  x   f    : đpcm  2 nên f đồng biến 0; b) Nếu x  BĐT Nếu x  , x  x   0, x nên BĐT  x  x   x Xét f  x   x  x  2, x  x e f '  x   x  2, f '  x    x  Lập BBT f  x   f 1  Xét g  x   x e x  xe x  x , x  0, g ' x   x ; g ' x   x    ex e2 x e Lập BBT max g  x   g  x   Vì f  x   max g  x   đpcm e Bài toán 4.45: Chứng minh bất đẳng thức sau: a) e x  cos x   x  x2 , x   b) e x  e x  2ln x   x , x  Hướng dẫn giải x2 a) Xét hàm số f  x   e  cos x   x  , D  ¡ x f '  x   e x  sin x   x; f '  x    x  f ''  x   e x   cos x  0, x nên f '  x  đồng biến ¡ , ta có: f '  x   f '  0  0, x; f '  x   f '    0, x  BBT: x f ' x   −  f  x Trang 27 x2 Vậy f  x   e  cos x   x   0, x x   b) Xét hàm số f  x   e x  e x  2ln x   x , D  0;   f '  x   e x  e x  Vì e x  e x   x2  x2 : f ' x    x   nên f '  x   0, x  Do f  x  đồng biến  0;  nên f  x   f     đpcm Bài toán 4.46: Cho  x  1;0  y  x  y Chứng minh rằng:  y x   ln  ln 4 y  x  1 y 1 x  Hướng dẫn giải Do x  y , không giảm tổng quát, giả sử y  x Xét hàm số  2t  1  t f t    4t , với  t   f '  t   1 t t 1  t  Vậy ln f t  hàm đồng  0;1 biến mà yx nên ta có f  y  f  x hay y x  y  ln  x y  x  nên suy ra: 1 y 1 x  y x   ln  ln    đpcm y  x  1 y 1 x  b   1  Bài toán 4.47: Cho a  b  Chứng minh  2a  a    2b  b      a Hướng dẫn giải Với a  b  , bất đẳng thức tương đương b b b a  4a    4b   a b  a    b     1    1      b.ln   1  a.ln   1  a Xét f  x   b ln 1  x  x ln 1  4a  a  ln 1  4b  b ,x  Trang 28 f ' x   1  x ln x  ln 1  x    x.ln x  1  x  ln 1  x    x x  1  x   nên f nghịch biến: a  b   f  a   f  b  : đpcm Bài toán 4.48: Cho p  1, q  thỏa p  q  pq a, b  Chứng minh ab  a p bq  p q Hướng dẫn giải Xét hàm số f  a   f ' a   a p 1 a p bq   ab với a  p q  b, f '  a    a p 1 ba b p 1 Mà p   pq   p  1 q  1  nên a  bq 1   Lập BBT f  f bq 1   đpcm Bài toán 4.49: Cho a, b  a  b  Chứng minh bất đẳng thức eaxby  a.e x  b.e y , x, y Hướng dẫn giải Ta có b   a  a  nên BĐT: e ax 1 a  y  e y e  a.e x  1  a  e y a x  y   e y  a  e x y  1 e a x  y   a.e x y  a   f '  t   a  eat  et  , f ' t   t  Xét f  t   eat  a.et  a  1, t  ¡ BBT x  f' f  + − Suy f  t   0, t  đpcm Bài toán 4.50: Cho a, b, c  Chứng minh a) ab  ba  b)  a  b    b  c    c  a   c a b Trang 29 Hướng dẫn giải a) Nếu a  b  ab  ba  Nếu  a, b  Xét f  x   1  x     x, x  0,0     f '  x    1  x   1        0  1  x 1    nên x   f  x   f     1  x     x  Áp dụng a  1 a 1 , x   ab   1 x  xb a  b  ab Tương tự: b a  b) Trong b  c  a (*) b 1   ab  ba  1  ya a  b  ab a  b, b  c, c  a có số, chẳng hạn a  b  số  a  b c    c  a   ba  ab  suy đpcm Còn số bé dùng bất đẳng thức (*) b BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 4.1: Thực phép tính 1 A  27     16  0,75 B   0,5  250,5 4  1  6250,25     4 1  19  3 3 Hướng dẫn Dùng quy tắc mũ Kết A  12, B  10 Bài tập 4.2: Rút gọn biểu thức: 2  ax3  a3 x  ax  a a a) R     với a  0, x  0, a  x  1   x x a  x ax   a  a2  b a  a2  b b) S  , với a, b  0, a  b  2 Hướng dẫn  a) Kết R  ax 1   b) Kết S  a  a x  x a  a  a2  b a  a2  b  2 Trang 30 Bài tập 4.3: Tính gọn a) 42  42  b)  80   80  Hướng dẫn a) Viết bình phương đủ thức hay đặt ẩn phụ VT bình phương Kết 42  42  b) Viết lập phương đủ thức hay đặt ẩn phụ VT lập phương Kết  a Bài tập 4.4: Trong khai triển nhị thức:   b   80   80  21 b   , tìm hệ số số hạng chứa a b có số mũ b Hướng dẫn Dùng nhị thức Niutơn:  a  b   n C a k 0 Kết C21  k n nk bk 21!  293 930 9!12! Bài tập 4.5: a) Tính log 50 theo log3 15  a,log3 10  b b) Tính ln 6, 25 theo c  ln 2, d  ln Hướng dẫn a) Đưa số Kết 2a  2b  b) Đưa số e Kết 2d  2c Bài tập 4.6: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh: a) Nếu a  b2  7ab log ab   log a  log b  b) Nếu log12 18  a,log 24 54  b , ab   a  b   Hướng dẫn a) a  b2  7ab   a  b   9ab biến đổi tương đương điều cần chứng minh b) Đưa số 2: log  3b  2a  log  3b 2a Bài tập 4.7: Tìm giới hạn sau: sin x a) lim x x 0 e  7x  2x   x b) lim x 0 tan x Trang 31 Hướng dẫn a) Chia tử mẫu thức cho x Kết  ln b) Thêm bớt tử thức chia tử mẫu thức cho x Kết 12 Bài tập 4.8: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y  x  1.log3 x b) y  ln  x  1 x Hướng dẫn a) Kết y '  x2   ln x x2  x log3 x ln  x  1  b) Kết y '  x 1 x2   f  x  1 x , x, y  ¡ Tính f '  x  f x  y  f x f y         Bài tập 4.9: Cho f liên tục ¡ :  Dùng định nghĩa kẹp giới hạn Kết f '  x   e x Bài tập 4.10: So sánh số: a)  30 3 63 b)  3  31 Hướng dẫn a) So trung gian Kết  3 b) Kết   31  30   27   64  63 Bài tập 4.11: a) Không dùng bảng số máy tính, so sánh: log log  log 5 2 b) Cho số không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  Tìm GTNN K 1    2ln 1  x   y  2ln 1  y   z  2ln 1  z   x Hướng dẫn Trang 32 a) Đặt a  log Suy log  log 5 b  2 5  10a Kết log  10b  log  log  2 b) Dùng bất đẳng thức AM-GM Trang 33 ... Bài tốn 4. 5: Tính gọn a) 49  20  49  20 b) 2 2 2  2 2 2 Hướng dẫn giải a) Ta có 49  20  25  10 24  24   Tương tự: Suy 4  3  4  5   3 49  20   (do 3 2) 49  20  49 ... 2 Hướng dẫn giải a) y '  4e4 x  2e x , y ''  16e4 x  2e x , y '''  64e4 x  2e x nên: y ''' 13 y ' 12 y   64e4 x  2e x   13 4e4 x  2e x   12  e4 x  2e x   b) y '  x... Đăng ký mua file word trọn chuyên đề khối 10,11,12: Bài toán 4. 31: Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số: HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851