Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 13 KHỐI tứ DIỆN và KHỐI CHÓP lê hoành phò file word

Chuyên đề 13:KHỐI TỨ DIỆN VÀ KHỐI CHÓP 1.KIẾN THỨC TRỌNG TÂM - Hình chóp tam giác , tứ giác, - Hình chóp đều: đáy đa giác cạnh bên Trung đoạn hình chóp đoạn nối đỉnh với trung điểm cạnh đáy Hình chóp hình chiếu đỉnh chóp tâm đáy Thể tích khối chóp: V = B.h Thể tích hình chóp cụt: V = ( ) S1 + S1S + S h Tỉ số thể tích khối chóp tam giác: S ( AB ' C ') S ( ABC ) = AB ' AC ' V ( S AB ' C ' ) SA ' SB ' SC ' ; = AB AC V ( S ABC ) SA SB SC Chú ý: 1) Tứ diện hay hình chóp tam giác có cách chọn đỉnh chóp 2) Tứ diện nội tiếp hình hộp, tứ diện gần (có cặp cạnh đối nhau) nội tiếp hình hộp chữ nhật tứ diện nội tiếp hình lập phương 3) Khi tính tốn đại lượng, cần đặt ẩn tìm phương trình để hướng dẫn giải ẩn Để tính diện tích, thể tích có ta tính gián tiếp cách chia nhỏ phần lấy phần lớn trừ phần dư dùng tỉ số 4) Thể tích khối lăng trụ: V = B.h CÁC BÀI TỐN Bài tốn 13 1: Tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC vng góc với đơi có OA = a, OB = b, OC= c Gọi α , β , γ góc hợp mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) với (ABC) a) Chứng minh cos α + cos β + cos γ = b) Tính diện tích tam giác HAB, HBC HCA Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu vng góc đỉnh O xuống mặt phẳng (ABC) H trực tâm tam giác ABC với đường cao AA', BB', C C' ^ · 'B a) Ta có α = O A' A, β = OB Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ^ ^ · ' C nên cos α = cos O A' A = sin O A A ' = γ = OC Tương tự cos β = OH a OH OH , cos γ = b c 1 1 OH OH OH Từ hệ thức = + + ⇒ + + =1 OH a b c a b c Vậy cos α + cos β + cos γ = abc b) Ta có: OH = nên: S HBC = S HAB = a b + b 2c + c a 2 b2c 2 a 2b + b c + c a a 2b 2 a 2b + b c + c a S HBC = SOBC cos α Tương tự: ; S HAC = c2a2 a 2b + b c + c a ∧ ∧ ∧ Bài tốn 13 2: Tứ diện OABC có OA = OB = OC = a AO B = AO C = 60°, B O C = 90° a) Chứng minh ABC tam giác vuông OA ⊥ BC b) Tìm đường vng góc chung tính khoảng cách hai đường thẳng OA BC Chứng minh (ABC) vng góc (OBC) Hướng dẫn giải ^ ^ a) Vì A O B = A O C = 60°, OA = OB = OC = a nên AB = AC = a Suy ∆ ABC = ∆ OBC Vậy tam giác ABC vuông cân A Gọi J trung điểm cùa BC OJ ⊥ BC, AJ ⊥ BC nên OA ⊥ BC b) Gọi I trung điểm OA, OJ = AJ nên IJ ⊥ OA, IJ đoạn vng góc chung OA BC  a   a 2 a a IJ = OJ − OI =  − ÷ = ⇒ IJ = ÷ ÷   2 2 Ta có OJ ⊥ BC, AJ ⊥ BC, IJ = OA nên tam giác OAJ vng I Do góc mp(OBC) mp(ABC) góc OJA= 90° Vậy mp(OBC) ⊥ mp(ABC) Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài tốn 13 3: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có cặp cạnh đối nhau: AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Hướng dẫn giải Dựng tứ diện APQR cho B, C, D trung điểm cạnh QR, RP, PQ Ta có AD = BC = ⇒ AQ = PQ PQ mà D trung điểm PQ ⇒ AQ ⊥ AP Chứng minh tương tự, ta có AQ ⊥ AR, AR ⊥ AP 1 Ta có: VABCD = VAPQR = AP AQ.AR 4 Xét tam giác vng APQ, AQR, ARP ta có: AP + AQ = 4c , AQ + AR = 4a , AR + AP = 4b Suy ra: AP = − a + b + c , AQ = a − b + c AR = a + b − c Vậy: VABCD = 12 ( −a + b2 + c2 ) ( a − b2 + c2 ) ( a2 + b2 − c2 ) Bài toán 13 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn giải: Gọi K trung điểm BC I = SK ∩ MN Từ giả thiết suy MN = a BC = , MN / / BC , suy 2 Ra I trung điểm SK MN Ta có ∆SAB = ∆SAC nên hai trung tuyến tương ứng AM = AN, ∆ AMN cân A, suy AI ⊥ MN Mà (SBC) ⊥ (AMN) ⇒ AI ⊥ (SBC) => AI ⊥ SK Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Do ∆SAK cân A, suy SA = AK = a 3a a a nên: − = 4 Ta có SK = SB − BK = 3a a a 10  SK  AI = SA − SI = SA −  = − = ÷   2 Vậy: S AMN = a 10 (đvđt) MN AI = 16 Bài tốn 13.5: Cho hình chóp O.ABC có cạnh bên OA = a, OB = b, OC = c chúng vng góc với đơi một: a) Tính thể tích hình chóp O.ABC b) Tính chiều cao OH diện tích tam giác ABC Hướng dẫn giải a) Ta có AO ⊥ OB AO ⊥ OC OA ⊥ (OBC) nên hình chóp O.ABC coi hình chóp A.OBC với đáy OBC đường cao AO abc Do đó: V = SOBC OA = (đvtt) b) Hạ OH ⊥ (ABC) H trực tâm đáy Ta có: 1 1 1 b c + a c + a 2b = 2+ = + + = OH a OA '2 a b c a 2b c Do đó: OH = abc a b + b2c + a 2c 2 3V a 2b + b c + a c Và V = S ABC OH ⇒ S ABC = (đvtt) = OH Bài tốn 13 6: Cho hình chóp S.ABC mà mặt bên tam giác vuông, SA = SB = SC = a Gọi M, N, E trung điểm cạnh AB, AC, BC; D điểm đối xứng s qua E; I giao điềm đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN) a) Chứng minh AD vng góc với SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI Hướng dẫn giải a) Ta có SA ⊥ (SBC) => SA ⊥ BD Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Mà BD ⊥ SB ⇒ BD ⊥ (SAB) ⇒ BD ⊥ SM Mà SM ⊥ AD (do tam giác SAB vuông cân) ⟹SM ⊥ (ABD) => SM ⊥ AD Chứng minh tương tự ta có: SN ⊥ AD => AD ⊥ (SMIN) => AD ⊥ SI b) Ta có AD = SA2 + SD = a SD 2a SD = DI DA ⇒ DI = = DA SM = MB = AB a = 2 Hạ IH ⊥ AB IH//BD Do đó: IH AI AD − DI 1 a = = = ⇒ IH = DB = DB AD AD 3 Mặt khác SM ⊥ (ABD) nên VMBSI = 1 a a a a3 SM S MBI = SM BM IH = = 6 2 36 Bài toán 13 7: Một hình chóp P.ABC có hai mặt bên (PAB) (PAC) vng góc với đáy Đáy ABC tam giác cân đỉnh A có trung tuyến AD = m, PB tạo với đáy góc α tạo với mặt phẳng (PAD) góc β a) Chứng minh PB = PA2 + AD + BD b) Tính thể tích hình chóp Hướng dẫn giải a) Hai mặt bên (PAB), (PAC) vng góc với đáy, nên giao tuyến PA vng góc với đáy · Do AB hình chiếu PB đáy nên PAD =α Tam giác ABC cân đỉnh A, nên trung tuyến AD ⊥ BC, mà PA ⊥ BC nên BC ⊥ mp(PAD) Do PD hình chiếu · PB mp(PAD) nên PBD =β Trong tam giác vng PBD ta có: PB = PD + BD Trong tam giác vuông PAD ta có: PD = PA2 + AD Vậy: PB = PA2 + AD + BD b) Đặt PB = x PA = xsin α PD = xcos β , BD = xsin Trong tam giác vng PAD ta có: PD − PA2 = AD Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 2 2 hay x ( cos β − sin α ) = m ⇒ x = m2 cos β − sin α Thể tích hình chóp 1 m sin α sin β V = S ABC PA = BD AD.PA = x sin β m.x sin α = 3 3 ( cos β − sin α ) m sin α sin β V= ( cos β − sin α ) Vậy Bài toán 13 8: Cho tứ diện ABCD điểm M, N, p thuộc cạnh BC, BD, AC cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN Mặt phẳng (MNP) cắt AD Q Tính tỉ AQ tỉ số thể tích hai phần khối tứ diện ABCD phân chia mặt phẳng AD (MNP) Hướng dân giải Gọi E = MN ∩ CD Khi Q = PE ∩ AD Gọi F trung điểm BC G điểm AC cho DG // PQ Ta có FD//MN AG PG PG ED = 1+ = 1+ = 1+ AP AP PC EC = 1+ 2MF = 1+ = MC 3 Suy AQ AP = = AD AG Gọi V thể tích tứ diện ABCD, V1 thể tích khối đa diện ABMNQP, V2 thể tích khối đa diện CDNMPQ Khi V2 = V − V1 Ta có: V1 = VABMN + VAMPN + VAPQN Vì S BMN S MNC S DNC BM BN = , = , = = , = nên S BCD S BCD S BCD BC BD 1 Suy VABMN = V ,VAMNP = , VAMNC = V 8 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải VAPQN = VADNC = V 10 Do V1 = V 7 V , suy = V2 13 20 · Bài toán 13 9: Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, ·ASB = 30°, BSC = 45°, · = 60° Tính thể tích hình chóp S.ABC CSA Hướng dẫn giải Trên ba cạnh SA, SB, SC lấy ba điểm M, N, P cho SM = SN = SP Gọi H hình chiếu S lên (MNP) ta có: SM = SN = SP HM = HN = HP => H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ MNP Theo định lý hàm số cơsin ta có: MN = − , NP = − , MP = nên S MNP = ( )( −1 ) −1 2 Vì MH bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ MNP nên: − − MN NP.PM MH = = S MNP SH= 4− SM − MH = 2 1 VSMNP = SMNP SH = 12 ( )( ) −1 ( = −1 2 −1 ) −1 (2 )( − +1 )( −1 (2 − +1 −1 abc Ta có VS ABC = SA SB SC = abc ⇒ V = SABC VS MNP SM SN SP ) )( )( −1 ) −1 12 Bài toán 13 10: Cho hai tia Ax By tạo với góc α , đường thẳng AB vng góc với Ax By; AB = d Hai điểm M, N nằm hai tia Ax By, AM = m, BN = n Tính: a) Thể tích khối tứ diện ABMN Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo AB MN Hướng dẫn giải 1 AM BN d sin α = m.n.d sin α uuuu r uuuu r b) Vẽ BM = AM ABM ' M hình chữ nhật có AB// a) VABMN = (MN M ' ) Khoảng cách h hai đường thẳng AB MN khoảng cách từ AB tới mp(MNM') hay khoảng cách từ B tới mặt phảng Hạ BH ⊥ NM' BH ⊥ mp(MNM'), h = BH Ta có S BMN = h= NM '.BH nên mn sin α m + n − 2mn cos α Bài tọán 13 11: Trong mặt phẳng (P) cho hình vng ABCD cạnh a có tâm O Trên nửa đường thẳng Ax, Cy vng góc với (P) phía (P) ta lấy hai điểm M, N Đặt AM = X, CN = y a) Tìm điều kiện cần đủ để tam giác OMN vuông O xy = a2 b) Giả sử M, N thay đổi cho tam giác OMN vuông O Tính thể tích tứ diện BDMN Hướng dẫn giải a) Trong mp(AM, CN) hạ MP ⊥ CN ta có tam giác MNP vng P Do đó: MN = NP + MP = AC + ( CN − CP ) = 2a + ( y − x ) 2 MN= MN = 2a + ( x − y ) Điều kiện cần đủ để tam giác OMN vuông O là: MN = OM + ON ⇔ MN = MA2 + AO + OC + CN ⇔ 2a + ( x − y ) = x + y + a ⇔ xy = a2 Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải b)BD ⊥ AM , BD ⊥ AC => BD ⊥ (ACM) ⇒ BD ⊥ MO Nếu MO ⊥ ON MO ⊥ (ONB), tức MO đường cao tứ diện BDMN Do đó: a  a2  a 2 VBDMN = MO; S BDN = + x  ÷ + y ÷    a a4 a2 a + ( x + y ) + x2 y = a2 a ( x + y) (đvtt) x + y2 ) = ( Bài toán 13 12: Cho khối lăng trụ ABC.A' B'C' M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm đường thẳng MB' đường thẳng AA', N giao điểm IC' AC Thiết diện khối lăng trụ cắt mp(B'C'M) hình thang B'C'NM Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần, gọi V1 thể tích phần chứa cạnh AA' V2 thể tích phần lại Giả sử khối lăng trụ ABC.A'B'C' có diện tích đáy S chiều cao AA' = h Ta có: 1 V1 = VAMNA ' B 'C ' = VIA ' B 'C ' − VIAMN = S A ' B 'C ' IA '− S AMNIA 3 1S 7 = S 2h − h = Sh = VABC A ' B 'C ' = ( V1 + V2 ) 34 12 12 12 Suy ra: 12V1 = 7(V1 + V2 ) hay V1 = V2 Bài tốn 13.13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA' = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn A'C', I giao điểm AM A'C Tính thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Hướng dẫn giải a) Hạ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) nên IH đường cao tứ diện IABC Trang http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ⇒ IH / AA ' = IH CI 2 4a = = ⇒ IH = AA ' = AA ' CA ' 3 AC = A ' C − A ' A2 = a BC = AC − AB = 2a Diện tích tam giác ABC: S ABC = AB.BC = a 2 4a Thể tích khối đa diện IABC: V = IH S ABC = b) Hạ AK ⊥ A ' B ( K ∈ A ' B ) Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') Nên AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ ( IBC ) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) AK AK = 2S AA ' B = A' B AA ' AB A ' A2 + AB = 2a 5 Bài toán 13 14: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có mặt đáy tam giác ABC vuông B AB = a, BC = 2a, AA' = 3a Một mặt phẵng (P) qua A vng góc với CA' cắt đoạn thẳng CC' BB' M N a) Tính thể tích khối chóp C.A'AB b) Chứng minh AN ⊥ A'B tính diện tích tam giác AMN Hướng dẫn giải 1 a) VCA'AB = VA'ABC = SABCAA' = a.2a.3a = a b) Ta có: CB ⊥ AB, CB ⊥ AA ' (do AA ' ⊥ ( ABC )), suy CB ⊥ ( A ' AB ) Mặt khác AN ⊥ CA ' suy AN ⊥ A ' B Ta có: VA ' AMN = S AMN A ' I 3 Vì NB//AA’,MC//(AA’B) ⇒ VA ' AMN = S MAA ' N = VMAA ' B = VCAA ' B = a Và A ' I A ' C = A ' A2 Trang 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Ta chứng minh thể tích tứ diện V1 < Thật vậy, hạ AH vng góc với (BCD), AK vng góc BC thì: 3 3 V1 = AH ≤ AK = = 4 Ta có tứ diện thoả đề tích nhỏ V1 => đpcm Bài toán 13 29: Gọi V S thể tích diện tích tồn phần tứ diện Chứng minh S3 > 288 V2 Hướng dẫn giải Gọi tứ diện cho ABCD Gọi diện tích mặt ABC, ACD, ADB, BCD là: S D , S B , SC , S A Gọi B' hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng (ACD) C' hình chiếu vng góc C lên mặt phẳng (ABD) Ta có: 1 V = S B BB ' = Sc CC ' ⇒ V = S B SC BB ' CC ' 3 Hạ BH ⊥ AB Ta có BB' ≤ BH ≤ AC Từ suy V ≤ 2 S B SC AC.BH = S B SC S D 9 Dấu đẳng thức xảy BÂC = CÂD = DÂB = 90° Lập luận tương tự ta V ≤ 2 SC S B S A , V ≤ S D S B S A V ≤ S A S B S C Do 9 2 V ≤  ÷ ( S A S B SC S D ) Vì đẳng thức khơng đồng thời xảy nên 9 V2 < S3 S3 ⇒ > 288 288 V Bài toán 13 30: Cho tứ diện SABC G trọng tâm tứ diện Một mp( α ) quay quanh AG cắt cạnh SB, SC M N Gọi V thể tích tứ diện SABC, V1 Trang 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải thể x diện 1/2 f’(x) Chứng - f(x) V1 ≤ ≤ V 2/3 1/2 SAMN + 4/9 ] tích tứ minh Z Hướng dẫn giải Gọi A' trọng tâm ∆ SBC, I trung điểm BC Ta có A,G, Đặt A' thẳng hàng, S, A', I thẳng hàng SM SN = x, = y , với ≤ x, y ≤ SB SC Ta có: V1 SM SN = = xy V SB SC Mặt khác: S SMA ' SM SA ' 2S 2x = ⇒ SMA' = S SIB SB SI S SCB Tương tự: S SNA ' y S + S SNA x + y = ⇒ SMA ' = S SCB S SCB Hay S SMN SM SN x+ y x = = xy = ⇒y= S SCB SB SC 3x − Kết hợp ta có điều kiện 1 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 2 Ta có : V1 x2 x2 Xét f ( x) = = xy = , ≤ x ≤1 V 3x − 3x − f '( x ) = 3x − x ( 3x − 1) , f '( x ) = ⇔ x = BBT: Trang 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Vậy V1 ≤ ≤ V Bài tốn 13 31: Cho tứ diện trực tâm ABCD tích V (tứ diện có cạnh đối đơi vng góc với nhau) Chứng minh với điểm tứ diện ta có bất đẳng thức sau: MA.S BCD + MB.S ACD + MC.S ABD + MD.S ABC ≥ 9V Hướng dẫn giải Hạ AA1 , MA2 vng góc với mp(BCD) Ta có: AM + MA2 ≥ AA2 ≥ AA1 ⇒ AM ≥ AA1 − MA2 Dâu băng xảy M thuộc đường cao AA1 tứ diện Do AM S BCD ≥ AA1S BCD − MA2 S BCD ≥ 3V − 3VBCD Lý luận tương tự ta có BM S ACD ≥ 3V − 3VMACD ; MC.S ABD ≥ 3V − 3VMABD MD.S AEC + MB.S ACD + MC.S ABD + MD.S ABC ≥ 12V − ( VMBCD + VMACD + VMABD + VMABC ) = 9V Dấu “=” xảy M đồng thời thuộc đường cao tứ diện ABCD nên M = trực tâm H tứ diện ABCD Bài tốn 13 32: Cho hình chóp cụt có chiều cao h, diện tích thiết diện song song cách đáy S Chứng minh thể tích V thoả mãn: Sh < V ≤ Sh Hướng dẫn giải Gọi S1 , S diện tích đáy hình chóp cụt  S + S2  Ta chứng minh : S =  ÷  ÷   Gọi S đỉnh hình chóp k chiều cao hình chóp nhỏ, ta có tỉ diện tích: 2 S1  k + h   h  = ÷ = 1 + ÷ ⇒ S2  k   k  S1 h = 1+ S2 k Trang 23 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải h  k+ ÷  S h   = ÷ = 1 + ÷ ⇒ S  k ÷  2k     S  S − =  − 1÷ ÷⇒ 4S = S2  S2  Do Thể tích hình chóp cụt: V = 1 =  3 ( S h = 1+ S2 2k S2 + S2 1 Và V =  2 1 ≥ 2S + 3 ( ( Vậy Sh ≤ V ≤ ) ( S1 + S ( ) ) S1 + S1S + S h − S1S2  h ≤ Sh  S2 + S ) + ( S1 + S2 )  h  ) 2 S1 +  h = 3Sh = Sh  Sh Bài tốn 13 33: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng qua AK cắt SB,SD M, N Đặt V1 = VSAMNK V = VSABCD Chứng minh: V1 ≤ ≤ V Hướng dẫn giải Đặt x = SM SN ;y= SB SD Ta có V1 = VSAMK + VSANK VSAMK SM SK xV = ⇒ VSANK = VSABC SB SC Tương tự VS ANK = yV V ⇒ V1 = ( x + y ) 4 Mà V1 = VSAMN + VSMNK = Do x+y=3xy ⇒ y = xyV xyV 3xyV + = 4 x ,x > 3x − Trang 24 http://dethithpt.com – Website chun đề thi thử file word có lời giải Vì y = SN x 1 ≤1⇒ ≤ ⇒ x ≥ nên ≤ x ≤ SD 3x − 2 V1 3x = xy = Ta có V 4 ( 3x − 1) Xét hàm số f ( x ) = Ta có f '( x ) = 3x với ≤ x ≤ 4(3x − 1) x ( 3x − ) ( x − 1) , f '( x ) = ⇔ x = 2 BBT: x 1/2 f’ | - + | f 3/8 ] 1/3 Z 3/8 Vậy 2/3 1 V1 ≤ ≤ V Bài toán 13 34: Cho góc vng xƠy Trên tia Ox Oy, lấy hai điểm M N cho MN = a, với a độ dài cho trước a) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN b) Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (Oxy) O, lấy điểm A cố định Hãy xác định vị trí M N cho diện tích tam giác AMN đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải a) OI = MN a = ) I thuộc góc vng xƠy nên: Tập hợp 2 điểm I phần đường tròn tâm O bán kính nằm góc xƠy b) Dựng AH ⊥ MN theo định lí ba đường vng góc OH ⊥ MN Ta có: S ∆AMN = 1 AH MN = a AH 2 Diện tích tam giác AMN lớn AH lớn Điều xảy OH lớn Trong tam giác vuông OHI ta ln ln có: Trang 25 http://dethithpt.com – Website chun đề thi thử file word có lời giải OH ≤ OI ⇒ OH ≤ a Giá trị lớn OH giá trị đạt H trùng với I, OMN tam giác vng cân Vậy diện tích lớn khi: OM = ON = a 2 Bài toán 13 35: Cho tứ diện ABCD góc hai đường thẳng AB CD α Gọi M điểm thuộc cạnh AC, đặt AM = x (0 < x < AC) Xét mặt phẳng (P) qua điểm M song song với AB, CD Xác định vị trí điểm M để diện tích thiết diện hình tứ diện ABCD cắt mp(P) ,đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải Thiết diện hình bình hành MNQR S MNQR = NM.NQ.sinMNQ Do MN // AB, NQ H CD nên góc MN NQ góc AB CD nê.n sinMNQ = sin α Ta có MN AC − x AB = ⇒ MN = ( AC − x ) AB AC AC NQ=MR, MR AM x CD = = ⇒ MR = x CD AC AC AC Nên S MNQR = AB.CD AC − x ) x sin α ≤ AB.CD sin α ( AC Từ S MNQR max ⇔ AC − x = x ⇔ x = AC Vậy M trung điểm AC diện tích lớn Bài tốn 13 36: Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác cạnh a Hình chiếu S lên mặt đáy trùng với tâm O đường tròn ngoại tiếp đáy, SO = h Một lăng trụ tam giác có đáy nằm đáy hình chóp, ba đỉnh đáy nằm ba cạnh bên hình chóp a) Tính cạnh đáy làng trụ mặt bên hình vng b) Tính thể tích iớn lăng trụ a, h không đổi Hướng dẫn giải Trang 26 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải a) Gọi MNP.M'N'P' lăng trụ, x chiều dài cạnh đáy.I trung điểm của: AB, SI ∩ M ' N ' = I ' Ta có IC = a x ,P'I ' = 2 I ' P ' SO ' SO ' x = ⇒ = IC SO SO a ⇒ SO − SO ' a − x h = ⇒ OO ' = ( a − x ) SO a a Khi lăng trụ có mặt bên hình vng ta có: OO ' = x ⇔ h ah ( a − x ) = x ⇔ ah − hx = ax ⇔ x = a a+h b) Thể tích lăng trụ: V = B.h = x2 h h ( a − x) = x ( a − x) a 4a Áp dụng bất đẳng thức BCS: x x + +a−x x x 4a x ( a − x ) = ( a − x ) ≤ 2 = 2 27 Vậy Vmax = a 2h x = a 27 Bài toán 13 37: Cho tam giác ABC, AB = AC Một điểm M thay đỗi đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) A a) Tìm quỹ tích trọng tâm G trực tâm H tam giác MBC b) Gọi O trực tâm tam giác ABC, xác định vị trí M để thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải a) Gọi D trung điểm BC Ta có: MB = MC Do MD ⊥ BC trọng tâm G tam giác MBC nằm MD thoả mãn hệ thức uuur uuuur DG = DM Vậy G ảnh M phép vị tự tâm D Vậy quỹ tích trọng tâm G tam giác MBC đường thẳng d' vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G' tam giác ABC Trang 27 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Hạ CD ⊥ AB, CF ⊥ MB ta có H = DM ∩ CF trực tâm tam giác MBC, O = DA ∩ CE trực tâm tam giác ABC Do CE ⊥ AB CE ⊥ MA nên CE ⊥ (MAB) Vì CF ⊥ MB nên EF ⊥ MB Do MB ⊥ (CEF), ta suy MB ⊥ OH Chứng minh tương tự ta có MC ⊥ OH Từ ta suy OH ⊥ (MBC) DHO = 90° Vậy quỹ tích trực tâm H tam giác MBC đường tròn đường kính DO nằm mặt phẳng (D, d) b) Gọi HH' chiều cao tứ diện OHBC, ta có H' thuộc DO Hình chóp có đáy OBC cố định nên VOHBC lớn HH' lớn Điểm H chạy đường tròn đường kính OD nên HH' lớn HH' = DO nghĩa DHH' tam giác vuông cân H', suy tam giác DMA lúc vng cân A Vậy tử diện OHBC tích đạt giá trị lớn nhất, cần chọn M d (về hai phía A) cho AM = AD Bài toán 13 38: Cho ba tia Ox, Oy, Oz vng góc với đơi tạo tam diện Oxyz Điểm M cố định năm góc tam diện Một mặt phẳng qua M cắt Ox, Oy, Oz A, B, C Gọi khoảng cách từ M đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) a, b, c Tính OA, OB, OC theo a, b, c để tứ diện OABC tích nhỏ Hướng dẫn giải: Ta có: VOABC = VMOAB + VMOBC + VMOCA Nên 1 1 OA.OB.OC = OA.OB.c + OB.OC.a + OC.OA.b 6 6 Do đó: 1= a b c + + OA OB OC Ta có: V = OA.OB.OC Điểm M cố định tức số a,b,c không đổi Do V nhỏ ⇔ OA.OB.OC nhỏ Áp dụng bất đẳng thức BC Trang 28 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải 1= a b c abc + + ≥ 33 ⇔ OA.OB.OC ≥ 27 abc OA.OB.OC nhỏ OA OB OC OA.OB.OC ⇔ a b c = = OA OB OC Vậy: V nhỏ ⇔ OA = 3a, OB = 3b, OC = 3c Bài tốn 13 39: Cho tứ diện ABCD tích V Một mặt phẵng qua trọng tâm M tứ diện cắt DA, DB, DC A', B', C' Tìm giá trị nhỏ của: T = VAA ' B 'C ' + VBA ' B 'C ' + VCA ' B ' C ' Hướng dẫn giải Gọi DA1 = ( DAM ) ∩ ( DBC ) , DB1 = ( DBM ) ∩ ( DAC ) DC1 = ( DCM ) ∩ ( DAB ) DM ∩ ( ABC ) = H trọng tâm ∆ABC nên uuur uuur uuur uuuu r DA + DB + DC = 3DH ⇒ r r uuuur DA uuuu DB uuuu DC uuuur uuuur DA '+ ⇒ DB '+ ⇒ DC ' = DM = DM DA ' DB ' DC ' Do A', B', C' ,M đồng phẳng nên 4= DA DB DC DA '+ AA ' DB '+ BB ' DC '+ CC ' + + = + + DA ' DB ' DC ' DA ' DB ' DC ' ` = AA ' BB ' CC ' AA ' BB ' CC ' + + +3⇒ + + =1 DA ' DB ' DC ' DA ' DB ' DC ' Do T= VDA ' B ' C ' ≥ Vậy minT= 27 VDABC 64 27 AA ' BB ' CC ' VDABC = = = ⇔ ( A ' B ' C ') / / ( ABC ) 64 DA ' DB ' DC ' Bài tốn 13 40: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC) 2a Với giá trị góc mặt bên mặt đáy khối chóp thể tích khối chóp nhỏ Hướng dẫn giải Hạ SO ⊥ (ABCD) O tâm hình vng ABCD Gọi EH đường trung bình hình vng ABCD Vì A D / / BC => A D // (SBC) => d(A, (SBC)) = Trang 29 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải d(E, (SBC)).Hạ EK ⊥ SH, ta có: EK ⊥ (SBC) => EK = d(A, (SBC)) = 2a Ta có BC ⊥ SH, SB ⊥ OH => SHO góc mặt bên (SBC) mặt phẳng đáy Đặt SHO = x Khi đó: EH = 2a a a a , OH = , SO = tan x = sin x sin x sinx cos x 4a Vậy S SABCD = S ABCD SO = 3cos x sin x Do V S.ABCD nhỏ y = cos x sin x đạt giá trị lớn 2 Ta có: y ' = − sin x + 2sin x cos x = s inx ( cos x − sin x )   + s inx ÷ = s inx ( − 3sin x ) = 3sin x  ÷   y ' = ⇔ cos x = π = cos α , < α < ⇔ x = α BBT: x y’ + y π α 0 Z ] Vậy S SABC đạt giá trị lớn x = α Bài toán 13 41: Trên cạnh AD hình vng ABCD có độ dài cạnh a, lấy điểm M cho: AM = x(0 < x < a) Trên nửa đường thẳng Az vng góc với mặt phẳng chứa hình vng điểm A, lấy điểm S cho SA = y (y > 0) a) Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC).Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y x b) Biết x + y = a Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.ABCM Hướng dẫn giải a) Ta có BC ⊥ AB, SA nên BC ⊥ (SAB) Do (SAB) ⊥ (SBC) Trang 30 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Vì (SAC) ⊥ (ABCD) theo giao tuyến AC nên hạ MH ⊥ AC MH ⊥ (SAC) Vậy MH khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAC) Trong tam giác vng AMH có: MH = x sin 450 = 2x Hình chóp S.ABCM có đường cao SA=y có đáy hình thang vng nên diện tích đáy S = a ( a + x) Thể tích khối chóp S.ABCM là: V = 1 y a ( a + x ) = ya ( a + x ) b) Theo giả thiết: x + y = a ⇒ y = a − x nên V2 = 2 a ( a − x2 ) ( x + a ) = a2 ( a − x ) ( a + x ) 36 36 Đặt f ( x) = V với ≤ x ≤ a , ta có a ( a + x ) ( 2a − ) a2 a3 f '( x) = − ( a + x) + 3( a − x ) ( a + x ) = 36 36 36 f '( x ) = ⇔ x = a BTT: x f’ + f Z Vậy f(x) đạt giá trị lớn x= lớn nhất: V = max f ( x) = a a ] a ,khi thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị a3 Bài tốn 13 42: Cho hình chóp S.ABCD có bảy cạnh cạnh bên SC = x Định x để thể tích khối chóp lớn Trang 31 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Hướng dẫn giải Đáy ABCD có cạnh nên hình thoi =>AC ⊥ BC Ba tam giác ABD, CBD, BSD có chung cạnh BD, cạnh lại nên nhau, trung tuyến AO.SO CO Suy tam giác ASC vuông S ta AC = x2 + Gọi H hình chiếu đỉnh S đáy (ABCD) Do SA = SB = SD = nên HA = HB = HD => H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD => H ∈ AC => SH đường cao tam giác vuông ASC Ta có SH.AC = SA.SC => SH = x x +1  x2 +  − x2 OB = AB − OA2 = −  ⇒ OB = − x2 ÷=  ÷   Điều kiện x < ⇔ < x < Ta có S ABCD = AC.OB = x + − x = 2 (x + 1) ( − X ) 1 Vậy VSABCD = S ABCD SH = x − x Ta dùng đạo hàm hay bất đẵng thức Côsi: V= x2 + − x2 x ( − x2 ) ≤ = 6 Dấu “=” x = − x ⇔ x = ⇔ x = Bài toán 13 43: Cho điểm M tứ diện ABCD Các đường thẳng MA, MB, MC, MD cắt mặt đối diện A', B',C' D' tương ứng Tìm GTNN T= MA MB MC MD + + + MA ' MB ' MC ' MD ' Hướng dẫn giải Gọi H, I hình chiếu A, M lên mặt phẳng (BCD) Ta có H, I, A' thẳng hàng Gọi V1,V2,V3,V4 thể tích tứ diện ABCD hình chóp đỉnh M với Trang 32 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải đáy tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Ta có: AH S BCD AA ' AH V = = = MA ' MI ML.S V1 BCD ⇒ MA V − V1 V = = −1 MA ' V1 V1 Tương tự MB V MC V MD V = − 1, = − 1, = −1 MB ' V2 MC ' V3 MD ' V4 ≥ 16 − = 12 Vậy minT = 12⟺M trọng tâm tứ diện ABCD BÀI LUYỆN TẬP Bài tập 13 1: Tam giác ABC có BC = 2a đường cao AD = a Trên đường thẳng vng góc với (ABC) A, lất điểm S cho SA = a Gọi E F trung điểm SB SC a) Gọi H hình chiếu A È Chứng minh AH nằm (SAD) Hãy cho biết vị trí điểm H hai điểm S D b) Tính diện tích tam giác AEF Hướng dẫn a) Chứng minh BC vng góc với (SAD) Kết H trung điểm SD b) Kết SAEF = a2 Bài 13 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SA ⊥ ( ABCD ) , SA= x Xác định x để hai mặt phẳng (SBC) (SDC) tạo với góc 60o Hướng dẫn Gọi tâm O tâm hình vng ABCD, hạ OH vng góc với SC Kết x = a Bài 13 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Tính khoảng cách cặp cạnh đối diện thể tích hình tứ diện Hướng dẫn Trang 33 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Khoảng cách cặp cạnh đối diện tứ diện độ dài đoạn nối trung a a3 điểm Kết VABCD = 12 Bài 13 4: Cho khối tứ diện ABCD tích V Tính thể tích khối đa diện có đỉnh trung điểm cạnh tứ diện ABCD Hướng dẫn So sánh thể tích Kết V Bài 13 5: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC vuông A, AB = c, AB = b Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) A, lấy điểm S cho SA = h (h > 0) M điểm di động cạnh SB Gọi I,J trung điểm BC AB a) Tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng SI AB b) Tính tỉ số thể tích hình chóp BMIJ BSCA độ dài đoạn vng góc chung hai đường AC MJ đạt giá trị lớn Hướng dẫn a) Dùng AC song song với (SIJ) Kết b) Kết bh b +42 VBMIJ = VBSCA Bài 13 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Biết trung đoạn d góc cạnh bên đáy φ, tính thể tích khối chóp Hướng dẫn Tính cạnh đáy a cách lập phương trình Kết 2d tan φ ( 2tanφ+1 ) Bài 13 : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ Hãy tính thể tích tứ diện ACA’B’ biết tam giác ABC tam giác cạnh a, AA’ = b AA’ tạo với mặt phẳng (ABC) góc 60o Hướng dẫn Xác định hình chiếu A’ lên mp(ABC) Kết VACA'B' = a b Trang 34 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài 13 : Cho hình chóp tam giác SABC có SA= x, BC = y , cạnh lại Tính thể tích hình chóp theo x,y Với x, y thể tích hình chóp lớn nhất? Hướng dẫn Gọi M trung điểm BC thể tích hình chóp chia đơi mp(SAM) Kết V= xy x +y , thể tích hình chóp lớn x = y = 1− Bài 13 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng qua A vng góc với SC cắt SB, SC H, K Tính theo a thể tích khối tứ diện SAHK Hướng dẫn Dùng tỉ số thể tích Kết VSAHK = 8a 45 ˆ = 90o , CAD ˆ = ACB = 60o , AB = AC = AD = a Bài 13 10: Cho tứ diện ABCD có BAD Tính thể tích tứ diện ABCD tính khoảng cách hai đường thẳng AC BD Hướng dẫn Xác định dạng tam giác BCD suy hình chiếu lên (BCD) Kết VABCD = a a3 d ( AC;BD ) = 12 Trang 35 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải ... toán 13 30: Cho tứ diện SABC G trọng tâm tứ diện Một mp( α ) quay quanh AG cắt cạnh SB, SC M N Gọi V thể tích tứ diện SABC, V1 Trang 21 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word. .. http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Vậy V1 ≤ ≤ V Bài toán 13 31: Cho tứ diện trực tâm ABCD tích V (tứ diện có cạnh đối đơi vng góc với nhau) Chứng minh với điểm tứ diện ta có bất... http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải Bài tốn 13 3: Tính thể tích khối tứ diện ABCD có cặp cạnh đối nhau: AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Hướng dẫn giải Dựng tứ diện APQR cho