Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit (LV thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KHẮC HIẾN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM MŨ VÀ LOGARIT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KHẮC HIẾN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM MŨ VÀ LOGARIT Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn iii Lời nói đầu 1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Tính chất hàm mũ logarit 1.1.1 Tính chất hàm mũ 1.1.2 Tính chất hàm logarit 1.2 Các đặc trưng hàm số mũ hàm số logarit 1.3 Các định lý bổ trợ Bất đẳng thức toán cực trị lớp hàm mũ 2.1 2.2 Các dạng bất đẳng thức liên quan tới hàm mũ 16 2.1.1 Các bất đẳng thức 16 2.1.2 Biểu diễn hàm mũ 19 Các ứng dụng 20 2.2.1 2.3 16 Ứng dụng bất đẳng thức tìm cực trị lớp hàm mũ 20 2.2.2 Phương pháp đổi biến tìm cực trị hàm mũ 23 2.2.3 Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm mũ 26 Thiết lập số dạng bất đẳng thức cực trị hàm mũ 28 ii 2.3.1 Xây dựng bất đẳng thức cực trị hàm mũ phương pháp đổi biến 2.3.2 2.4 Xây dựng toán cực trị hàm số mũ từ bất đẳng thức biết 29 Một số dạng toán có liên quan tới cực trị hàm mũ 33 2.4.1 Cực trị bất đẳng thức tích phân 33 2.4.2 Một số dạng khác có liên quan tới cực trị hàm mũ 38 Bất đẳng thức toán cực trị lớp logarit 3.1 3.2 43 3.1.1 Các bất đẳng thức 43 3.1.2 Biểu diễn hàm logarit 44 Các ứng dụng 45 3.2.2 Ứng dụng bất đẳng thức tìm cực trị hàm logarit 45 Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm logarit 49 Xây dựng toán cực trị lớp hàm logarit 3.3.1 3.3.2 54 Xây dựng toán cực trị lớp hàm logarit phương pháp đặt ẩn phụ 3.4 43 Các dạng bất đẳng thức liên quan tới hàm logarit 3.2.1 3.3 28 54 Xây dựng toán cực trị lớp hàm logarit từ bất đẳng thức đại số 55 Các toán cực trị liên quan tới hàm logarit 58 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 67 iii Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn văn Mậu Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Giáo sư, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Nguyễn văn Mậu, người đưa đề tài dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn em suốt trình nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giảng dạy Phòng Đào tạo thuộc Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để em theo học lớp học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán D khóa 1/2014 - 1/2016 động viên giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Dương, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Cẩm Giàng - Cẩm Giàng Hải Dương, gia đình bạn bè tạo điều kiện cho học tập hoàn thành kế hoạch học tập Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2015 Nguyễn Khắc Hiến Lời nói đầu Lý chọn đề tài Các toán cực trị bất đẳng thức nội dung quan trọng giải tích đại số Rất nhiều dạng toán khác quy việc ước lượng, tìm cực trị hàm số Học sinh thường gặp khó khăn giải toán dạng Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc gia quốc tế, Olympic toán sinh viên trường đại học, cao đẳng hay đề cập đến toán cực trị, bất đẳng thức Tuy nhiên, kiến thức cực trị bất đẳng thức lại vô rộng Đã có nhiều giáo trình, tài liệu, đề tài đề cập đến vấn đề Đặc biệt toán cực trị bất đẳng thức có liên quan đến hàm mũ logarit Việc giải toán dạng đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức lớp hàm đồng thời nắm kiến thức liên quan phải biết vận dụng cách sáng tạo, logic Chính lý mà chọn đề tài "Các toán cực trị lớp hàm mũ logarit" nhằm hệ thống số phương pháp tìm cực trị lớp hàm Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa dạng toán cực trị lớp hàm mũ logarit với phương pháp giải tương ứng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các toán cực trị lớp hàm mũ logarit, đồng thời giải số toán bất đẳng thức, bất phương trình mũ logarit Phương pháp nghiên cứu Tham khảo, phân tích, hệ thống hóa tài liệu, chuyên đề nhằm rút kết luận có tính khái quát Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài tạo nên tư liệu lý thú lớp hàm mũ logarit, phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Cấu trúc luận văn Luận văn gồm ba chương phần mở đầu, kết luận Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tác giả trình bày tính chất hàm mũ logarit, đặc trưng lớp hàm đồng thời trình bày số bất đẳng thức, định lý đại số giải tích Chương Trình bày ứng dụng bất đẳng thức tìm cực trị lớp hàm mũ , sử dụng đạo hàm để tìm cực trị lớp hàm này, với bất đẳng thức, cực trị có liên quan Chương Trình bày ứng dụng định lý đến toán cực trị hàm logarit, việc sử dụng đạo hàm để tìm cực trị Ngoài vấn đề có liên quan đến hàm logarit Thái Nguyên, ngày 28 tháng 11 năm 2015 Học viên: Nguyễn Khắc Hiến Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Tính chất hàm mũ logarit 1.1.1 Tính chất hàm mũ Định nghĩa 1.1 Cho a số dương bất kỳ, khác Hàm số dạng y = ax gọi hàm số mũ số a Xét hàm số mũ y = ax , < a = (với a = hàm số y = 1x = hàm số hằng) Tập xác định D = R Tập giá trị T = (0, +∞) (ax1 )x2 = ax1 x2 ; ax1 ax2 = ax1 +x2 ; (ab)x = ax bx ax ax a = ( )x x x a b b Hàm số đồng biến R a > = ax1 −x2 ; Hàm số nghịch biến R < a < Giới hạn liên tục (a) Hàm số y = ax liên tục điểm mà xác định, tức ∀x ∈ R, lim ax = ax0 x→x0 (b) Ta có lim (1 + x) x = e x→0 ex − = lim x→0 x Đạo hàm hàm số mũ (a) Hàm số y = ax có đạo hàm điểm x ∈ R (ax ) = ax ln a nói riêng ta có (ex ) = ex (b) Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm J (một khoảng tập số thực) hàm số y = au(x) có đạo hàm J (au(x) ) = u (x)au(x) ln a nói riêng ta có (eu(x) ) = u (x)eu(x) 1.1.2 Tính chất hàm logarit Định nghĩa 1.2 Hàm số x → liên tục khoảng (0, +∞) Với x x > 0, ta đặt x ln x = dt t Số ln x gọi logarit tự nhiên logarit nêpe số dương x Từ định nghĩa suy ln = Định lý 1.1 Hàm số ln : (0, +∞) → R có đạo hàm, tăng nghiêm ngặt (0, +∞), nhận giá trị R có tính chất sau (a) (ln |x|) = x với x = (b) (ln xy) = ln x + ln y, x > 0, y > x (c) ln( ) = ln x − ln y, x > 0, y > y (d) ln xr = r ln x, với x > 0, r ∈ Q Chứng minh Ta có (ln |x|) = > với x > Do hàm ln x tăng nghiêm ngặt khoảng (0, +∞) a) Hiển nhiên hàm số x → ln |x| xác định với x = Nếu x > (ln |x|) = (ln x) = x 1 Nếu x < (ln |x|) = (ln(−x)) = (−1) = −x x Vậy (ln |x|) = với x = x b) Cố định y > xét hàm số x → ln(xy) Với x > 0, ta có (ln(xy)) = xy y= x Do ln(xy) = ln x + C, x > Với x = 1, ta C = ln y Từ có đẳng thức cần chứng minh 1 c) Trong công thức b), với x = , ta có ln = − ln y Từ suy y y x ln y 1 = ln(x ) = ln x + ln = ln x − ln y y y d) Nếu n số nguyên dương từ b) suy ln xn = ln(x.x x) = ln x + ln x + · · · + ln x = n ln x, x > Nếu y = √ n x, x > y n = x Từ n ln y = ln x, ln √ n x= ln x n p Nếu r số hữu tỉ dương, r = q p, q hai số nguyên dương 55 Nhận xét 3.4 Bằng phép đổi biến t = g(loga x), ta xây dựng toán tìm cực trị hàm f (g(loga x)) Và việc giải chúng có cực trị hàm số f (t) 3.3.2 Xây dựng toán cực trị lớp hàm logarit từ bất đẳng thức đại số Ví dụ 3.11 (MO Rumanian 2004) Với a, b, c > chứng minh a b bc(c + a) + c ca(a + b) + 27 ab(b + c) ≥ 2(a + b + c)2 Giải Đặt a bc(c + a) b + c ca(a + b) + ab(b + c) = M Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có a + bc b a ≤ bc(c + a) + ca(a + b) c ab = √ b a+b+ ca(a + b) √ a c+a+ bc(c + a) = b + ca √ c b+c ab(b + c) c + ab(b + c) 2(a + b + c) = 2M (a + b + c) Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có a + bc b + ca c ab ≥3 1 + + a b c hay a + bc b + ca c ab 27 ≥ a+b+c Suy 27 M≥ 2(a + b + c)2 56 Ví dụ 3.12 Cho a, b, c > Chứng minh a3 (a + b3 b)3 + (b + c3 c)3 + (c + ≥ a)3 Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 + + ≥ (1 + b/a)3 (1 + c/b)3 (1 + a/c)3 Đặt x = b/a, y = c/b, z = a/c Suy x, y, z > xyz = Vậy bất đẳng thức tương đương với 1 + + ≥ (1 + x)3 (1 + y)3 (1 + z)3 Đặt z = min{x, y, z} Từ xyz = suy z ≤ xy ≥ Ta có nhận xét 1+x + 1+y ≥ 1+ √ xy Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức sau ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √ ≥ − + xy + xy + y √ √ xy − x y − xy ≥ √ √ (1 + x)(1 + xy) (1 + x)(1 + xy) √ √ √ √ √ √ x( y − x) y( y − x) ≥ √ √ (1 + x)(1 + xy) (1 + y)(1 + xy) √ √ √ √ √ √ ( y − x)( x + y x − y − x y) ≥0 (1 + x)(1 + y) √ √ √ ( y − x)2 ( xy − 1) ≥0 (1 + x)(1 + y) 1+x − √ 57 Bất đẳng thức cuối xy ≥ Mặt khác, dễ dàng chứng minh a3 + b a+b ≥( 2 )3 Từ bất đẳng thức này, ta có 1 1 + ≥ ( + ) ≥ ( √ )3 3 (1 + x) (1 + y) 1+x 1+y + xy Vậy nên, ta cần chứng minh (1 + √ + ≥ xy)3 (1 + z)3 1 xy, a ≥ suy a2 = xy = , z = Bất đẳng thức z a tương đương với Đặt a = √ + (1 + a)3 (1 + ) a2 ≥ hay a6 + ≥ (1 + a)3 (1 + a2 )3 Tiếp tục biến đổi bất đẳng thức này, cho ta (a − 1)2 (5a7 + 25a6 + 51a5 + 71a4 + 55a3 + 51a2 + 17a13) ≥ Bất đẳng thức a ≥ Dấu đẳng thức xảy a = 1, x = y, hay x = y = z = Vậy a3 b3 c3 + + ≥ (a + b)3 (b + c)3 (c + a)3 Dấu đẳng thức a = b = c 58 3.4 Các toán cực trị liên quan tới hàm logarit Bài toán 3.9 Tìm < a = để bất phương trình x ≥ + loga x nghiệm với x > ln x Giải Ta có x ≥ + loga x ⇔ x − ≥ ln a Xét trường hợp: • Trường hợp x = ⇒ ln x = 0: bất phương trình đuungs với < a = Khi x = dấu "=" xảy x−1 ln x • Trường hợp < x < ⇒ ln x < 0: ta có x − ≥ ln a ⇔ ln x ≤ ln a Xét hàm số f (x) = x − − ln x xác định liên tục nửa khoảng (0, 1] x−1 Ta có f (x) = − < 0, ∀x ∈ (0, 1) x x suy f (x) hàm số nghịch biến nửa khoảng (0, 1] = x−1 suy ∀x ∈ (0, 1) ta có f (x) > f (1) ⇔ x−1−ln x > ⇔ < ln x x−1 1 Do ≤ nghiệm với x ∈ (0, 1) ⇔ ≥1⇔ ln x ln a ln a < a ≤ e ln x • Trường hợp x > ⇒ ln x > 0, ta có x − ≥ x−1 ⇔ ≥ ln a ln x ln a Xét hàm số f (x) = x − − ln x xác định liên tục nửa khoảng [1, +∞) x−1 Ta có f (x) = − x = x > 0, ∀x > 59 suy f (x) hàm số đồng biến nửa khoảng [1, +∞) suy ∀x ∈ [1, +∞) ta có f (x) > f (1) ⇔ x − − ln x > ⇔ x−1 ln x > x−1 1 ≥ nghiệm với x ∈ [1, +∞) ⇔ ≤ Do ln a ln a ln x 0 Dấu đẳng thúc xảy x = x2 Bài toán 3.10 Tìm < a = để bất phương trình loga (1 + x) ≥ x − nghiệm với x ≥ Giải Xét trường hợp: • Trường hợp x = 0: bất phương trình nghiệm với < a = • Trường hợp x > ⇒ + x > ⇒ ln(1 + x) > x2 x2 Ta có loga (1+x) ≥ x− x2 ln(1 + x) ⇔ ≥ x− ln a x− ⇔ ln a ≥ ln(1 + x) x2 Xét hàm số f (x) = ln(1 + x) − x + xác định liên tục nửa khoảng [0, +∞) x2 −1+x= > 0, ∀x > 1+x 1+x suy f (x) đồng biến nửa khoảng [0, +∞) Ta có f (x) = 60 x2 suy ∀x > 0, ta có f (x) > f (0) ⇒ ln(1 + x) − x + > ⇒ x2 x− < ln(1 + x) x2 x− 1 nghiệm ∀x > ≥ ln a ln(1 + x) ln a ⇔ < a ≤ e Do đó, ≥ Nhận xét 3.6 Từ toán 3.10 ta có bất đẳng thức ln(1 + x) ≥ x2 x− , ∀x ≥ Dấu đẳng thức xảy x = Bài toán 3.11 Tìm < a = để bất phương trình sau nghiệm với x > x+2 x+1 loga > loga (3.1) x x+1 x+1 x x+1 x 1 Giải Ta có 3.1 ⇔ loga 1 + > loga 1 + x+1 x x 1 Dùng định lý Lagrange để chứng minh 1 + hàm tăng với x x > Xét hàm số f (t) = ln(t), t > Ta có hàm f (t) thỏa mãn định lý Lagrange đoạn [x; x + 1], ∃c ∈ (x; x + 1), cho f(x + 1) − f(x) = f (c) ⇔ ln(1 + x) − ln x = , x > c (3.2) 61 Từ x d ln 1 + dx 1 d = [x(ln(1 + x) − ln x)] x dx = ln(1 + x) − ln x + x − x+1 1 x = ln(1 + x) − ln x − 1 = c x+1 − x+1 > 0, 3.2 x 1 ln x hàm tăng, 1 + hàm tăng với x > x x+1 x 1 > 1 + , ∀x > Từ suy 1 + x+1 x Vậy 3.1 nghiệm với x > a > Nhận xét 3.7 Từ toán 3.1, ta có bất đẳng thức: x+2 x+1 ln > ln , ∀x > x x+1 x+1 x Bài toán 3.12 Chứng minh + x ln x + + x2 ≥ + x2 , ∀x ∈ R Giải Xét hàm số f (t) = ln t + + t2 , t ∈ R Rõ ràng f (t) > với t > f (t) = t = Do đó, với < x, ta có x ln t + + t2 dt > 62 Suy x x + t2 t ln t + √ − 0 tdt >0 + t2 hay x ln x + + x2 − + t2 x > 0 Với t < ln t + + t2 = − ln − t + + t2 < 0, nên x < 0, ta có + t2 dt < ln t + x Với x = bất đẳng thức trở thành đẳng thức Vậy + x ln x + + x2 ≥ + x2 , ∀x ∈ R Bài toán 3.13 Với x > y > Chứng minh 1+x (x − y)[2 − (x + y)] ≤ ln 1+y Giải Nhận xét rằng, với t > 0, ta có 1+t > − t Do đó, với 0 (t − ) x y 63 Vậy nên 1+x x2 − y > (x − y − ) ln 1+y Vậy ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.14 Với x>y>0 Chứng minh n+ n! ≤ n e1−n , n ∈ N∗ Giải Xét hàm số y = ln x với ≤ x ≤ n Gọi S diện tích hình thang cong giới hạn đường y = 0, x = n, y = ln x Khi đó, ta có n ln xdx = (x ln x − x) S= n = n ln n − n + 1 Gọi Ai điểm có tọa độ (i, ln i) , i = 1, 2, , n A điểm có tọa độ (n, 0) Khi diện tíchS1 đa giác A1 A2 An−1 An A xác định theo công thức S1 = [ln + ln + ln + · · · + ln (n − 1) + ln (n − 1) + ln n] 1 = ln + ln + · · · + ln n − ln n = ln (n!) − ln n 2 Do S1 < S nên ta thu ln (n!) < n + ln n + − n, hay (n!) < e n+ ln n n+ e1−n ⇔ n! ≤ n e1−n , n ∈ N∗ Sử dụng bất đẳng thức tích phân để tìm cực trị 64 Bài toán 3.15 Tìm giá trị nhỏ biểu thức f (x) = (3 + ln 2) x − 2x+1 − ln 2.x2 , x ∈ [0, 2] Giải Nhận xét rằng, hàm f (x) liên tục đồng biến [0, b] a ∈ [0, b] a b f (x)dx ≤ a b f (x)dx Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với a (b − a) b f (x)dx ≤ a f (x)dx a Do f (x) đồng biến [0, a] [a, b] nên a (b − a) a f (x)dx ≤ (b − a) f (a)dx = (b − a)a.f (a) b b f (a)dx ≤ a =a a f (x)dx a Vậy bất đẳng thức chứng minh Ta có g(t) = 2t + t hàm số đồng biến [0, 2], nên từ bất đẳng thức trên, với x ∈ [0, 2], ta có x (2t + t)dt ≤ x t t + ⇔ 2 ln 2 2x+1 ⇔ ln (2t + t)dt +x − x t ≤ x + ln 2 ln t 4x ≤ ln 2 x + 2x − ln ⇔ 2x+1 + x2 ln − ≤ 4x + 2x ln − x ⇔ (3 + ln 2) x − 2x+1 − ln 2.x2 ≥ −2 65 Vậy giá trị nhỏ f (x) -2 x = x = Định lý 3.1 Với < a < b, ta có b−a b b−a b < ln a < a Chứng minh Với x ∈ (a, b), ta có < b x < a nên b b dx < b a b x dx < a a dx a hay b−a < ln |x| b a b b−a < a Vậy b−a < ln b b−a b a < a Định lý 3.2 Với s, t > 0, ta có √ s.t ≤ t−s s+t ≤ ln t − ln s Chứng minh Trước hết, với t ≥ ta có (t + 1)2 ≤ 1 ≤ √ + √ t t 2t t (3.3) ⇔ 4t ≤ (t + 1)2 ⇔ (t − 1)2 ≥ (t + t √ Trong vế phải sau rút gọn ta được: t + ≥ t Vế trái 3.3 1)2 ≤ Với < a < b Lấy tích phân theo vế 3.3 đoạn [1, b/a], ta b/a b/a dt ≤ t dt ≤ (t + 1)2 b/a 1 ( √ + √ )dt t 2t t 66 b−a b/a (t + 1) dt = 2( b+a b/a b a ) ( √ dt = t −1 b/a √ dt = − 2t t a +1 b b−a b−a ) ≤ ln b − ln a ≤ √ b+a ab √ b−a b+a ⇒ ab ≤ ≤ ln b − ln a ⇒ 2( Từ kết Định lý 3.2, cách thay t = ax , s = bx ta có kết sau Hệ 3.1 Với < a < b ta có ax − bx ax + bx ≤ (ab) ≤ x(ln a − ln b) x hay a−b a−b ax + bx a − b ≤ x(ab) x ≤x a − bx ln a − ln b ax − b x x Nhận xét 3.8 Thay s = ex , t = ey , ta có bất đẳng thức mũ: e x+y ey − ex ex + ey ≤ ≤ y−x 67 Kết luận Các kết luận văn "Các toán cực trị lớp hàm mũ logarit" đạt được: • Hệ thống số phương pháp tìm cực trị lớp hàm mũ logarit • Xây dựng số lớp toán tìm cực trị, chứng minh bất đẳng thức hàm số mũ hàm số logarit dựa vào phương pháp đặt ẩn phụ bất đẳng thức đại số • Tổng hợp số lớp toán bất đẳng thức, cực trị có liên quan đến hàm số mũ hàm số logarit • Từ kết cực trị bất đẳng thức, giải toán phương trình, bất phương trình mũ, biện luận nghiệm phương trình, bất phương trình 68 Tài liệu tham khảo [1] Lê Hải Châu (2007), Các toán thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam(1990 - 2006), NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (1993), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2005), Bất đẳng thức, định lý áp dụng, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu (2006), Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc , NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu, Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng, Nguyễn Đăng Phất (2008), Chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng, NXB Giáo dục [7] Đinh Thị Nam (2011), Một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình siêu việt, Luận văn thạc sỹ, Đại học Đà Nẵng [8] Eugen Constantinescu (2004), Inequalities for logarithmic and exponential functions, General Mathematics Vol 12, No , 47–52 69 [9] B Mond (2000), Inequalities for exponential functions and means, II, Nieuw Archief voor Wiskunde, 57 [10] D.S Mitrinovic (1970), Analytic Inequalities, Springer [11] Rajendra Bhatia (2008), The Logarithmic Mean, Indian Statistical Institute [12] Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems in real analysis: Advanced calculus on real axis, Springer ... Chính lý mà chọn đề tài "Các toán cực trị lớp hàm mũ logarit" nhằm hệ thống số phương pháp tìm cực trị lớp hàm Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa dạng toán cực trị lớp hàm mũ logarit với phương pháp... tìm cực trị lớp hàm mũ 20 2.2.2 Phương pháp đổi biến tìm cực trị hàm mũ 23 2.2.3 Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm mũ 26 Thiết lập số dạng bất đẳng thức cực trị hàm mũ. .. 49 Xây dựng toán cực trị lớp hàm logarit 3.3.1 3.3.2 54 Xây dựng toán cực trị lớp hàm logarit phương pháp đặt ẩn phụ 3.4 43 Các dạng bất đẳng thức liên quan tới hàm logarit 3.2.1