Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm và các dạng toán liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN THỊ THU HẰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Thị Thu Hằng MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội - 2012 Lời nói đầu Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực quan trọng Giải tích tốn học Hiện nay, có nhiều cách tiếp cận phương trình hàm với nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nghiên cứu định tính (xác định số đặc trưng hàm số) nghiên cứu tính định lượng (ước lượng số nghiệm, xác định dạng nghiệm cụ thể), nghiên cứu nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, xác định nghiệm liên tục hay gián đoạn Trong đó, tính ổn định nghiệm phương trình hàm số hướng nghiên cứu tiếp cận phương trình hàm Năm 1940, nhiều buổi chuyên đề câu lạc toán học trường đại học Washington, S M Ulam đưa nhiều câu hỏi số lượng lớn vấn đề chưa giải Trong đó, ơng có đưa câu hỏi có liên quan đến tính ổn định đồng cấu sau: Cho G1 , G2 hai nhóm, metric nhóm d(., ) tương ứng Với  > cho trước, tồn số δ > cho hàm h : G1 → G2 cho bất phương trình: d(h(xy), h(x)h(y)) < δ, ∀x, y ∈ G1 có tồn đồng cấu H : G1 → G2 cho d(h(x), H(x)) <  với ∀x ∈ G1 ? Câu hỏi ông đặt tiền đề cho loạt vấn đề nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm, mở hướng điều tra mà ngày ta gọi vấn đề ổn định khái niệm tính ổn định tốn học xem vấn đề nhìn nhận rộng sau: thay đổi chút giả thuyết định lý ta khẳng định vấn đề gần đúng? Với phương trình hàm tổng quát câu hỏi đưa sau: giả thuyết nghiệm phương trình có khác với nghiệm phương trình trước khơng? Tương tự ta thay phương trình bất phương trình nghiệm bất phương trình cho có gần với nghiệm phương trình ban đầu i Lời nói đầu Nếu câu trả lời ta nói phương trình Cauchy ổn định Những dạng câu hỏi sở cho tốn tính ổn định Luận văn "Một số vấn đề ổn định phương trình hàm dạng tốn liên quan" trình bày số khái niệm phương trình hàm Cauchy (phương trình hàm cộng tính, hàm mũ, hàm nhân tính, hàm logarit) phương trình hàm D’ Alambert đồng thời đưa dạng tổng quát nghiệm tổng quát phương trình hàm lớp hàm liên tục, gián đoạn trường số phức Từ đưa kết tính ổn định phương trình hàm Bố cục luận văn gồm chương Chương 1: Cơ sở lý thuyết Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm phương trình hàm Cauchy (phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm mũ, phương trình hàm nhân tính, phương trình hàm logarit) phương trình hàm D’ Alambert đồng thời đưa dạng tổng quát nghiệm phương trình lớp hàm liên tục, hàm không liên tục lớp hàm trường phức hai phương trình hàm Chương 2: Tính ổn định phương trình hàm Mục đích chương trình bày tính ổn định phương trình hàm trình bày chương Tính ổn định phương trình hàm nghiên cứu từ năm 1940 mà đặt móng cho vấn đề câu hỏi S M Ulam Năm 1941, D H Hypers người trả lời câu hỏi Ulam, ông cho định lý nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm cộng tính khơng gian Banach Định lý dãy hàm xấp xỉ cộng tính cho trước, tồn hàm cộng tính xấp xỉ dãy hàm cộng tính cho trước đó, hồn tồn tính tốn trực tiếp hàm cộng tính từ hàm cho trước Sau 30 năm sau đó, vào năm 1977, làm nghiên cứu sinh cho trương đại học California, Th M Rassias đưa điều kiện làm yếu điều kiện dạng sai phân Cauchy định lý Hypers Định lý có sức ảnh hưởng lơn đến nhà toán học nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm.Trong hội nghị khoa học Quốc tế, Th M Rassias đưa câu hỏi để hồn thiện định lý mình, sau Z Gajda người hồn thiện định lý ông Năm 1979, J Baker, J Lawrence F Zorzitto chứng minh xét loạt hàm xác định nửa nhóm có tính chất xấp xỉ mũ (nhân tính) bị chặn hàm mũ (nhân ii Lời nói đầu tính) Tương tự việc xét tính ổn định phương trình hàm Cauchy trên, Forti chứng minh định lý tính ổn định hàm logarit xác định nửa nhóm phương pháp trực tiếp cách chứng minh định lý Hypers.Tiếp theo, chương tiếp tục đưa kết nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm cosin (hay cịn gọi phương trình hàm d’ Alambert), tỉnh ổn định nghiên cứu nhà toán học J Baker P Găvruta Đồng thời, ta mở rộng nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm Wilson (Af g ), (Agf ) , phương trình hàm (Af gf g ), (Af ggf ) có liên quan đến phương trình hàm d’ Alambert iii Bảng kí hiệu tập số nguyên tập số nguyên không âm tập số thực dương tập số thực tập số thực khác không tập số thực không âm tập số thực dương tập số phức F trường vô hướng, R C Rez phần thực số phức z = a + bi Imz phần ảo số phức z = a + bi   với x >  1 signx = với x =   −1 với x < Z Z+ Z∗+ R R∗ R+ R∗+ C [0, 1] ]0, 1] = {x ∈ R|0 ≤ x ≤ 1} = {x ∈ R|0 < x ≤ 1} ]0, 1[ = {x ∈ R|0 < x < 1} µ(E) độ đo tập E số phức liên hợp z z¯ v Mục lục Lời mở đầu i Lời cảm ơn iv Bảng kí hiệu v CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Phương trình hàm Cauchy 1.1.1 Phương trình hàm cộng tính 1.1.2 Phương trình hàm mũ 1.1.3 Phương trình hàm logarit 1.1.4 Phương trình hàm nhân tính 1.2 Phương trình hàm d’ Alambert TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2.1 Tính ổn định phương trình hàm Cauchy 2.1.1 Tính ổn định phương trình hàm cộng tính 2.1.2 Tính ổn định phương trình hàm mũ 2.1.3 Tính ổn định phương trình hàm logarit 2.1.4 Tính ổn định phương trình hàm nhân tính 2.2 Tính ổn định phương trình hàm d’ Alembert 2.2.1 Tính ổn định phương trình hàm cosin (A) 2.2.2 Tính ổn định phương trình hàm (Af g ), (Agf ), (Agg ) 2.2.3 Tính ổn định phương trình hàm (Af gf g ) (Af ggf ) 1 18 23 26 29 36 36 36 48 50 52 53 53 60 71 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 78 vi Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT Trong chương này, đề cập đến hai dạng tốn lý thuyết phương trình hàm phương trình hàm Cauchy phương trình hàm D’ Alambert Chúng đóng vai trị nịng cốt để giải lớp hàm khác xác định hàm số đại số lượng giác tương ứng 1.1 Phương trình hàm Cauchy Trong lý thuyết phương trình hàm, phương trình hàm Cauchy nghiên cứu từ lâu tính chất hữu hiệu việc ngành khoa học tự nhiên Chúng xin đưa số dạng phương trình Cauchy sau: f (x + y) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x) + f (y), (Phương trình hàm mũ) f (xy) = f (x) + f (y), (Phương trình hàm logarit) f (xy) = f (x)f (y), 1.1.1 (Phương trình hàm cộng tính) (Phương trình hàm nhân tính) Phương trình hàm cộng tính Định nghĩa 1.1.1 Một hàm f : R → R với R tập số thực, gọi hàm cộng tính thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính: f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R (1.1) Phương trình hàm (1.1) xem xét A.M Legendre (1791) C F Gauss (1890) sau 30 năm A L Cauchy (1821) người tìm cơng thức nghiệm tổng qt Phương trình có ý nghĩa Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT đặc biệt tốn học Nó bắt gặp hầu hết ngành học toán học, khởi đầu phép tính hàm số Lớp hàm cộng tính liên tục Định lí 1.1.2 Cho f : R → R hàm cộng tính Nếu f liên tục f có dạng: f (x) = ax, ∀x ∈ R (1.2) với a số thực Hơn nữa, f hàm xác định với x, y không âm dương liên tục f có dạng (1.2) Chứng minh Trước hết, với x = y = từ (1.1) ta thu được: f (0) = Cho y = −x thay vào (1.1) ta thu được: f (0) = f (x) + f (−x) = ⇔ f (−x) = −f (x) vậy, f hàm lẻ Bây giờ, ta f đồng hữu tỷ nghĩa với x ∈ R số r số hữu tỷ thì: (1.3) f (rx) = rf (x) Thật vậy, từ (1.1) phương pháp quy nạp ta thu được: f (x1 + x2 + + xn ) = f (x1 ) + f (x2 ) + + f (xn ) với xk = x, (k = 1, 2, , n) thay vào phương trình ta có: f (nx) = nf (x), ∀n ≥ (1.4) Hơn nữa, với số n nguyên âm, sử dụng f hàm lẻ (1.4) ta thu được: f (nx) = −f (−nx) = −(−n)f (x) = nf (x) Do (1.4) với số n nguyên Với số hữu tỷ r có dạng r = m = nr Ta có: f (nrx) = f (mx) ⇔ nf (rx) = mf (x) m ⇔ f (rx) = f (x) = rf (x), n ∀x ∈ R m n ⇒ Chương CƠ SỞ LÝ THUYẾT Như f hữu tỷ Do lấy f (1) = c cho x = thay vào (1.3) ta có: f (r) = rf (1) = cr ∀r ∈ Q Từ suy f hàm tuyến tính tập số hữu tỷ Mặt khác, giả sử f hàm cộng tính, liên tục tập số thực Với số thực x tùy ý ln tồn dãy {rn } số hữu tỷ với rn → x Do f cộng tính nên f tuyến tính tập số hữu tỷ Nghĩa f (rn ) = arn , ∀n ∈ N Sử dụng tính liên tục hàm f ta có: f (x) = f ( lim rn ) = lim arn = ax n→∞ n→∞ Nhận xét: Như vậy, từ định lý ta thấy hàm cộng tính có tính liên tục tuyến tính nghĩa đồ thị hàm cộng tính liên tục có dạng đường thẳng (khơng thẳng đứng) qua gốc tọa độ Hơn nữa, tính liên tục hàm f (1.1) làm yếu chí điều kiện liên tục trở thành liên tục điểm hàm f có dạng tuyến tính Điều G Darboux chứng minh định lý sau Định lí 1.1.3 Nếu f liên tục điểm x0 ∈ R cho trước f thỏa mãn tính cộng tính liên tục R Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết ta có: lim f (x) = f (x0 ), x→x0 với x1 ∈ R ta có: f (x) = f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) ∀x ∈ R Từ suy ra: lim f (x) = lim f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) x→x1 x→x1 = f (x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) = f (x1 ) Vì x1 ∈ R tùy ý nên f hàm liên tục tập R ... văn "Một số vấn đề ổn định phương trình hàm dạng tốn liên quan" trình bày số khái niệm phương trình hàm Cauchy (phương trình hàm cộng tính, hàm mũ, hàm nhân tính, hàm logarit) phương trình hàm. .. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM 2.1 Tính ổn định phương trình hàm Cauchy 2.1.1 Tính ổn định phương trình hàm cộng tính 2.1.2 Tính ổn định phương trình hàm mũ ... đưa dạng tổng quát nghiệm phương trình lớp hàm liên tục, hàm không liên tục lớp hàm trường phức hai phương trình hàm Chương 2: Tính ổn định phương trình hàm Mục đích chương trình bày tính ổn định