Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm và các dạng toán liên quan

-TRẦN THỊ THU HẰNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2012... Hiện nay, có khá nhiều cách tiếp cận phương trình h

-TRẦN THỊ THU HẰNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA

PHƯƠNG TRÌNH HÀM

VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012

Trần Thị Thu Hằng

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ỔN ĐỊNH CỦA

PHƯƠNG TRÌNH HÀM

VÀ CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌCChuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60 46 01

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Hà Nội - 2012

Lý thuyết về phương trình hàm là một trong những lĩnh vực quan trọngcủa Giải tích toán học Hiện nay, có khá nhiều cách tiếp cận phương trình hàmvới nhiều mục tiêu nghiên cứu khác nhau như nghiên cứu định tính (xác địnhmột số đặc trưng của hàm số) hoặc nghiên cứu tính định lượng (ước lượng sốnghiệm, xác định các dạng nghiệm cụ thể), nghiên cứu nghiệm địa phương,nghiệm toàn cục, xác định nghiệm liên tục hay gián đoạn Trong đó, tính ổnđịnh nghiệm của phương trình hàm cũng là một trong số những hướng nghiêncứu chính khi tiếp cận phương trình hàm.

Năm 1940, trong nhiều buổi chuyên đề tại câu lạc bộ toán học của trường đạihọc Washington, S M Ulam đã đưa ra rất nhiều các câu hỏi về một số lượnglớn các vấn đề vẫn chưa giải được Trong đó, ông có đưa ra một câu hỏi có liênquan đến tính ổn định của một đồng cấu như sau:

Cho G1, G2 là hai nhóm, và một metric nhómd(., ) tương ứng Với mọi  > 0cho trước, tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu một hàm h : G1 → G2 sao cho bấtphương trình:

d(h(xy), h(x)h(y)) < δ, ∀x, y ∈ G1khi đó có tồn tại một đồng cấu H : G1 → G2 sao cho d(h(x), H(x)) <  với

∀x ∈ G1?

Câu hỏi trên của ông đã đặt tiền đề cho một loạt những vấn đề nghiên cứu

về tính ổn định của phương trình hàm, mở ra một hướng điều tra mới mà ngàynay ta gọi đó là vấn đề về sự ổn định

khái niệm về tính ổn định trong toán học được xem là một vấn đề đượcnhìn nhận rộng hơn như sau: khi chúng ta thay đổi một chút giả thuyết của định

lý thì ta có thể khẳng định rằng vấn đề mới này có thể đúng hoặc gần đúng?Với mỗi phương trình hàm tổng quát thì câu hỏi được đưa ra như sau: khigiả thuyết này là đúng thì nghiệm của phương trình có khác với nghiệm củaphương trình trước đó không? Tương tự như nếu ta thay phương trình bằng bấtphương trình thì nghiệm của bất phương trình đã cho có gần đúng với nghiệmcủa phương trình ban đầu

Nếu câu trả lời là đúng thì ta có thể nói phương trình Cauchy này là ổn định.Những dạng câu hỏi này là cơ sở cho những bài toán về tính ổn định.

Luận văn

"Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm

và các dạng toán liên quan"

trình bày một số khái niệm cơ bản về các phương trình hàm Cauchy cơ bản(phương trình hàm cộng tính, hàm mũ, hàm nhân tính, hàm logarit) và phươngtrình hàm D’ Alambert đồng thời đưa ra dạng tổng quát về nghiệm tổng quátcủa các phương trình hàm trong lớp hàm liên tục, gián đoạn và trong trường sốphức Từ đó đưa ra các kết quả về tính ổn định của phương trình hàm trên

Bố cục luận văn gồm 2 chương

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm cơ bản về các phương trình hàmCauchy cơ bản (phương trình hàm cộng tính, phương trình hàm mũ, phươngtrình hàm nhân tính, phương trình hàm logarit) và phương trình hàm D’ Alam-bert đồng thời đưa ra dạng tổng quát về nghiệm của các phương trình trêntrong lớp hàm liên tục, hàm không liên tục và lớp hàm trong trường phức củahai phương trình hàm này

Chương 2: Tính ổn định của các phương trình hàm

Mục đích của chương này trình bày tính ổn định của các phương trình hàm đãtrình bày ở chương 1 Tính ổn định của phương trình hàm được nghiên cứu từnăm 1940 mà đặt nền móng cho vấn đề này là câu hỏi của S M Ulam Năm

1941, D H Hypers là người đầu tiên trả lời câu hỏi của Ulam, ông cho ra mộtđịnh lý nghiên cứu về tính ổn định của phương trình hàm cộng tính trong khônggian Banach Định lý này chỉ ra trong một dãy hàm xấp xỉ cộng tính cho trước,tồn tại một hàm cộng tính duy nhất có thể xấp xỉ dãy hàm cộng tính cho trước

đó, và hoàn toàn có thể tính toán được trực tiếp hàm cộng tính đó từ các hàmcho trước Sau hơn 30 năm sau đó, vào năm 1977, trong khi làm nghiên cứusinh cho trương đại học California, Th M Rassias đã đưa ra điều kiện làm yếu

đi điều kiện về dạng sai phân Cauchy trong định lý của Hypers Định lý này

có sức ảnh hưởng rất lơn đến các nhà toán học khi nghiên cứu về tính ổn địnhcủa phương trình hàm.Trong hội nghị khoa học Quốc tế, Th M Rassias đã đưa

ra câu hỏi để hoàn thiện định lý của mình, và ngay sau đó Z Gajda là ngườihoàn thiện định lý của ông Năm 1979, J Baker, J Lawrence và F Zorzitto đãchứng minh được rằng xét trong một loạt các hàm xác định trên nửa nhóm cótính chất xấp xỉ mũ (nhân tính) thì hoặc nó bị chặn hoặc nó là hàm mũ (nhân

tính) Tương tự như việc xét tính ổn định của các phương trình hàm Cauchy

ở trên, Forti đã chứng minh được định lý về tính ổn định của hàm logarit xácđịnh trên nửa nhóm bằng phương pháp trực tiếp như cách chứng minh định lýcủa Hypers.Tiếp theo, trong chương này tiếp tục đưa ra những kết quả nghiêncứu về tính ổn định của phương trình hàm cosin (hay còn gọi là phương trìnhhàm d’ Alambert), tỉnh ổn định của nó được nghiên cứu chính bởi nhà toán học

J Baker và P Găvruta Đồng thời, ta cũng mở rộng nghiên cứu về tính ổn địnhcủa phương trình hàm Wilson (Af g), (Agf) , phương trình hàm (Af gf g), (Af ggf)

có liên quan đến phương trình hàm d’ Alambert

Lời mở đầu i

1.1 Phương trình hàm Cauchy 1

1.1.1 Phương trình hàm cộng tính 1

1.1.2 Phương trình hàm mũ 18

1.1.3 Phương trình hàm logarit 23

1.1.4 Phương trình hàm nhân tính 26

1.2 Phương trình hàm d’ Alambert 29

2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM 36 2.1 Tính ổn định của phương trình hàm Cauchy 36

2.1.1 Tính ổn định của phương trình hàm cộng tính 36

2.1.2 Tính ổn định của phương trình hàm mũ 48

2.1.3 Tính ổn định của phương trình hàm logarit 50

2.1.4 Tính ổn định của phương trình hàm nhân tính 52

2.2 Tính ổn định của phương trình hàm d’ Alembert 53

2.2.1 Tính ổn định của phương trình hàm cosin (A) 53

2.2.2 Tính ổn định phương trình hàm (Af g), (Agf), và (Agg) 60

2.2.3 Tính ổn định của phương trình hàm (Af gf g) và (Af ggf) 71

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Trong chương này, chúng tôi sẽ đề cập đến hai dạng toán cơ bản nhất trong

lý thuyết về phương trình hàm đó là phương trình hàm Cauchy và phương trìnhhàm D’ Alambert Chúng đóng vai trò nòng cốt để giải quyết các lớp hàm khácnhau về xác định hàm số trong đại số và trong lượng giác tương ứng

1.1 Phương trình hàm Cauchy

Trong lý thuyết về phương trình hàm, phương trình hàm Cauchy được nghiêncứu từ rất lâu và các tính chất của nó khá hữu hiệu trong việc các ngành khoahọc và tự nhiên Chúng tôi xin đưa ra một số các dạng cơ bản của phương trìnhCauchy sau:

f (x + y) = f (x) + f (y), (Phương trình hàm cộng tính)

f (xy) = f (x) + f (y), (Phương trình hàm mũ)

f (xy) = f (x) + f (y), (Phương trình hàm logarit)

f (xy) = f (x)f (y), (Phương trình hàm nhân tính)

1.1.1 Phương trình hàm cộng tính

Định nghĩa 1.1.1 Một hàm f : R → R với R là tập số thực, được gọi là mộthàm cộng tính khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình hàm Cauchy cộng tính:

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈R. (1.1)Phương trình hàm (1.1) được xem xét đầu tiên bởi A.M Legendre (1791) và

C F Gauss (1890) nhưng sau hơn 30 năm đó A L Cauchy (1821) là người đầutiên tìm ra công thức nghiệm tổng quát của nó Phương trình này có ý nghĩa

đặc biệt trong toán học Nó được bắt gặp ở hầu hết các ngành học của toánhọc, là sự khởi đầu của các phép tính đối với hàm số.

Lớp hàm cộng tính liên tục

Định lí 1.1.2 Cho f : R → R là một hàm cộng tính Nếu f liên tục thì f códạng:

f (x) = ax, ∀x ∈R. (1.2)với a là hằng số thực Hơn nữa, nếu f là một hàm xác định với mọi x, y không

âm hoặc dương và liên tục thì f có dạng (1.2)

Chứng minh Trước hết, với x = y = 0 thì từ (1.1) ta thu được:

Như vậy f là thuần nhất hữu tỷ.

Do đó lấy f (1) = c và cho x = 1 thay vào (1.3) ta có:

f (r) = rf (1) = cr ∀r ∈ Q.

Từ đó suy ra f là một hàm tuyến tính trên tập số hữu tỷ

Mặt khác, giả sử f là một hàm cộng tính, liên tục trên tập số thực Với sốthực x tùy ý thì luôn tồn tại một dãy {rn} các số hữu tỷ với rn → x Do f cộngtính nên f là tuyến tính trên tập số hữu tỷ Nghĩa là

G Darboux chứng minh trong định lý sau

Định lí 1.1.3 Nếu f liên tục tại một điểm x0 ∈ R cho trước thì f thỏa mãntính cộng tính sẽ liên tục trên R

Chứng minh Thật vậy, theo giả thiết ta có:

Chú ý: Nếu f : R → R là một nghiệm khác không của phương trình (1.1)thì f không bị chặn.

Trên đây, ta thấy rằng một hàm cộng tính liên tục là tuyến tính và thậm chíđiều kiện hàm f liên tục tại một điểm thì f vẫn có tính tuyến tính Trong cácbài giảng gần đây đã đưa ra khá nhiều điều kiện khác để đảm bảo tính chất trênnghĩa là ta yếu đi các giả thiết về tính liên tục của hàm f mà ta vẫn được nhữngkết quả tương tự Một số điều kiện tương đương với tính liên tục và các chứngminh được biết đến trong bài giảng của Aczél,Aczél và Dhombers, Kannappan,

và Kuczma Sau đây là một vài kết quả ta thu được:

Định lí 1.1.4 Cho f : R → R là một hàm cộng tính với c = f (1) Khi đó cácđiều kiện sau là tương đương:

(i) f liên tục tại điểm x0

(ii) f đơn điệu tăng

(iii) f không âm với mỗi x không âm

(iv) f bị chặn trên trên một khoảng hữu hạn

(v) f bị chặn dưới trên một khoảng hữu hạn

(vi) f bị chặn (trên) dưới trên một tập bị chặn có độ đo Lesbesgue dương.(vii) f bị chặn trên một tập bị chặn có độ đo dương (Lesbesgue)

(viii) f bị chặn trên một khoảng hữu hạn

f (rn+ y − x + x0) → f (x0),nghĩa là

f (rn) + f (y − x) + f (x0) → f (x0).

Do đó f là một hàm đơn điệu tăng hay (ii) được chứng minh.

(ii) ⇒ (iii) Giả sử x ≥ 0 từ (ii) ta có:

f (x) ≥ f (0) = 0.

vậy (iii) được chứng minh

(iii) ⇒ (iv) Giả sử x ∈ [a, b] (một khoảng hữu hạn) thì b − x ≥ 0 và từ (iii) vàtính cộng tính của hàm f suy ra:

f (b) ≥ f (x).

nghĩa là f bị chặn trên trên đoạn[a, b] bởi f (b)

(iv) ⇒ (v) Cho[c, d]là một khoảng hữu hạn vàx ∈ [c, d] Từ (iv) giả sửf là mộthàm bị chặn trên trên[c, d] thì f là một hàm bị chặn trên trên[c − x, d − x].Như vậy ta có tồn tại m sao cho:

f (c − x) ≤ m,nghĩa là

f (x) ≥ f (c) − m.

Điều này chỉ ra rằng f là hàm bị chặn dưới trên [c, d]

(v) ⇒ (vi) Giả sử f là một hàm bị chặn trên trên tập bị chặn F có độ đoLesbesgue dương Tồn tại một khoảng hữu hạn [a, b] sao cho F ⊂ [a, b] Với

x ∈ [a, b] ta xét [a − x, b − x], từ (v) ta có vì f là hàm bị chặn dưới nên

f (a − x) ≥ m hoặc f (x) ≤ f (a) − m, nghĩa là f bị chặn trên trên đoạn [a, b]

và do đó f bị chặn trên khoảng F

(vi) ⇒ (vii) Giả sử f bị chặn dưới trên tập bị chặn F có độ đo dương Do

đó F + F là tập có phần trong khác rỗng Như vậy, tồn tại một đoạn[c, d] ⊂ F + F và f là tập bị chặn dưới trên [c, d] Từ chứng minh (v)⇒ (vi)

dễ dàng chỉ ra rằng f bị chặn dưới trên [c, d] Ta có(vii) được chứng minh.Chú ý: Nếu f là hàm bị chặn trên tập C sao cho C − C chứa một đoạn

và do đó f không liên tục

(vii) ⇒ (viii) Giả sử |f (x)| ≤ m với x ∈ F trong đó F là tập có độ đo dương

Từ định lý Steinhaus, tồn tại một số dương δ sao cho ∀x, y ∈ F, t = x − ythỏa mãn |t| ≤ δ có thể được Khi đó |f (t)| = |f (x − y)| với mỗi t ∈] − δ, δ[

và do đó nó bị chặn trên mỗi khoảng hữu hạn Vậy (viii)được chứng minh.Chú ý:Một khoảng hữu hạn là một tập bị chặn có độ đo dương

(viii) ⇒ (ix) Giả sử f bị chặn trên đoạn [a, b] Đặt:

φ(t) = f (x) − cx, với x ∈R. (1.5)thì φ cũng là hàm cộng tính trên R, φ(r) = 0 với r ∈ Q và φ là một hàm bịchặn trên [a, b] Hơn nữa,

φ(x + r) = φ(x) với x ∈R, r ∈Q. (1.6)

Do đó với mỗi số thực x, tồn tại một số hữu tỷ r sao cho x + r ∈ [a, b],

ta có thể suy ra (1.6) nghĩa là φ bị chặn khắp mọi nơi trên R

Do đó φ(x) = 0 với x ∈R Thực vậy, giả sử phản chứng, tồn tại một số

x0 sao cho φ(x0) = b(6= 0) > 0 Khi đó φ(nx0) = nb đúng với mọi n ∈Z, nênvới n lớn tùy ý, thì φ có thể nhận giá trị lớn tùy ý Mâu thuẫn với tính bịchặn của hàm φ Do đó,

f (x) = cx.

Vậy (ix) vẫn đúng

(ix) ⇒ (x) Hiển nhiên

(x) ⇒ (xi) Lấy tích phân hai vế của phương trình (1.1) trên [a, b] ta có:

Z b a

f (x + y)dy =

Z b a

f (x)dy +

Z b a

f (y)dy.

nghĩa là

Z b+x a+x

f (v)dv = (b − a)f (x) + d.

Vì f là khả tích địa phương nên từ phương trình trên suy ra f liên tục vàcuối cùng f là khả vi Vậy (xi) được chứng minh

(xi) ⇒ (xii) Hiển nhiên.

(xii) ⇒ (i) Để chứng minh với mọi nghiệm đo được của (1.1) là liên tục (nghĩa

là có dạng tuyến tính), một số chứng minh được biết đến từ các tác giả(Sierpinski, Alexiewicz và Orlicz) Sau đây, là một trong số chứng minh đó

Chứng minh ([2]Chứng minh theo Sierpinski)

Ta biết rằng nếu P, Q là hai tập đo được tuyến tính có độ đo dương, thìtồn tại các điểm p ∈ P và q ∈ Q Đặt:

ϕ(x) = f (x) − xf (1), ∀x ∈R. (1.7)

mà ta biết rằng ϕ(r) = 0 với mỗi r hữu tỷ và

ϕ(x + r) = ϕ(x) x ∈R, r ∈Q.

Từ định nghĩa của hàm ϕ ta suy ra ϕ đo được (vì f là đo được) Bây giờ

ta sẽ chứng minh, với mọi x ∈R thì

ϕ(x) + ϕ(a) = 0.

Từ (1.9) ta suy ra ϕ(a) 6= 0, nên ϕ(x) 6= 0 Do đó H ⊂ E, nghĩa là, tập đođược dương chứa trong một tập có độ đo không, vô lý Vì vậy,ϕ(x) = 0 với

Z x 0

dt

1 + |ϕ(t)| =

Z x 0

φ(t)dt,

=

Z x 0

φ(2t)dt,

=

Z x 0

dt

1 + 2|ϕ(t)|.

nên

Z x 0

|φ(t)|dt (1 + 2|φ(t)|)(1 + 2|φ(t)|) = 0.

Suy raϕ(t) = 0 khắp nơi Nghĩa làf (t) = f (x)

x t với mọit, trong trường hợp

cụ thể với mọi x 6= 0 tồn tại một số t 0 6= 0 sao cho:

f (t0) = f (x)

x t0.và

Chứng minh Cho f là một hàm đo được và thỏa mãn (1.1) thì f bị chặn trêntất cả các khoảng bị chặn Thật vậy, ta giả sử trên khoảng(−A, A)hàm f không

bị chặn tức là tồn tại một dãy {yk} ∈ I sao cho:

f (yk) > 2n + f (yk−1), với mỗi n cố định.Đặt

Em = {x ∈ I : |f (x)| ≤ m}, với m ∈ Z.thì E 1 ⊂ E 2 ⊂ và ∪E m = I Do đó tồn tại một số n sao cho µ(E n ) là dương(với µ là độ đo Lesbesgue) Đặt

Nếu zj ∈ Gj thì f (yj) − n ≤ f (zj) Cộng hai vế của bất phương trình ta có

n + f (yk) < f (zj) nên zj 6∈ Gk, j 6= k và Gj ∩ Gk = φ Do đó Fj ∩ Fk = φ với mọi

µ(En) = µ(Fk) = 0 ∀k.

mâu thuẫn suy ra f bị chặn trên trên một khoảng bị chặn và do đó f liêntục Vì vậy với phương trình Cauchy thì tính liên tục và tính đo được là tươngđương

Hệ quả 1.1.6 Nếu f thỏa mãn (1.1) trên R và đo được trên mọi tập con C có

độ đo Lesbesgue dương thì f liên tục

Chứng minh Ta có tập các∀x ∈ C sao cho|f (x)| < n là một tập có độ đo dươngvới n đủ lớn Chứng minh tiếp theo được suy ra từ định lý (1.1.2) (vii)

Lớp hàm cộng tính không liên tục

Trong phần trên, ta đã chứng tỏ rằng lớp hàm cộng tính liên tục là tuyếntính Thậm chí nếu điều kiện liên tục được làm yếu đi thành liên tục tại mộtđiểm thì hàm cộng tính vẫn tuyến tính Trong nhiều năm qua sự tồn tại của lớphàm cộng tính phi tuyến vẫn là một vấn đề mở Các nhà toán học không chứngminh được rằng mọi hàm cộng tính là liên tục hay chỉ ra một phản ví dụ về lớphàm cộng tính phi tuyến Năm 1905, nhà toán học người Đức G Hamel, ngườiđầu tiên thành công trong chứng minh sự tồn tại hàm cộng tính phi tuyến Ông

đã chứng minh bằng việc sử dụng tiên đề chọn chứng minh rằng phương trình(1.1) có nghiệm không liên tục

Định lí 1.1.7 Tồn tại một hàm cộng tính f không liên tục

Trước khi chứng minh định lý này, Hamel đã xây dựng ý tưởng về cơ sởHamel để xây dựng một hàm cộng tính phi tuyến Xét tập hợp

cho ta sự mâu thuẫn rằng √6 là một số vô tỉ Nếu b = 0 thì ta có a + c √

3 = 0,điều này kéo theo c = 0 (nếu ngược lại thì √3 = −a

c.) là một số hữu tỷ trái vớithực tế rằng √3 là một số vô tỉ) Tương tự nếu c = 0 ta được b = 0 Như vậy cả

b và c đều bằng 0 Từ đó, lập tức ta có a = 0 Nếu đặt

B = {1, √

2, √ 3}.

thì mỗi phần tử của S là một tổ hợp tuyến tính duy nhất của các phần tử của

B Tập B được gọi là một cơ sở Hamel đối với tập S Về mặt hình thức, một cơ

sở Hamel cũng được định nghĩa tương tự

Định nghĩa 1.1.8 ChoS là một tập số thực, B ⊂ S B được gọi là cơ sở Hamelcủa tập S nếu nó thỏa mãn các tính chất sau đây:

(i) Với mọi số thực x có thể biểu diễn bởi một tổ hợp tuyến tính hữu hạn x =

r1x1+ + rnxn với ∀xi∈ B và ri ∈Q ∀i = 1, , n.

(ii) Không có tập con nào của B có tính chất xác định như trong (i)

Để chỉ ra sự tồn tại của một cơ sở ta sử dụng phương pháp quy nạp siêu hạnhay bổ đề Zorn Chú ý, B là một tập không đếm được và biểu diễn của x đượccho bởi (i) là duy nhất

Nhận xét rằng, có một mối liên hệ chặt chẽ giữa các hàm cộng tính và cơ sởHamel Để diễn tả một hàm cộng tính ta chỉ cần cho các giá trị trên một cơ sởHamel là đủ, các giá trị đó có thể phân bố tùy ý Điều này là nội dung của haiđịnh lý tiếp theo

Định lí 1.1.9 Giả sử B là một cơ sở Hamel đối với R Nếu hai hàm cộng tính

có giá trị bằng nhau tại mỗi phần tử của B, thì chúng bằng nhau

Chứng minh Giả sử f1, f2 là hai hàm cộng tính có giá trị giống nhau tại mỗiphần tử của B Khi đó f 1 − f 2 là cộng tính Giả sử đối với ta ký hiệu f = f 1 − f 2.Giả sử x là số thực tùy ý Thế thì có các số b 1 , , b n trong B và các số hữu tỷ

Định lí 1.1.10 Giả sử B là một cơ sở Hamel đối với R Giả sử g : B →R làmột hàm tùy ý xác định trên B Khi đó tồn tại một hàm cộng tính f : R → Rsao cho f (b) = g(b) với mọi b ∈ B.

Chứng minh Với mỗi số thực x có thể tìm được b1, b2, , bn trong B và các sốhữu tỉ r1, r2, , rn sao cho:

x = r1b1+ r2b2+ + rnbn.

Việc xác định f (x) trở thành

r1g(b1) + r2g(b2) + + rng(bn).

Biểu thức này xác địnhf (x) với mọix Định nghĩa này là duy nhất, đối với mỗi

x việc chọn b1, b2, , bn, r1, r2, , rn là duy nhất, không kể đến thứ tự của các số

bi, ri được chọn Đối với mỗi b ∈ B, ta có f (b) = g(b) bởi cách xác định của f.Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra rằngf là cộng tính trên tập số thực Giả sử x, y là hai sốthực tùy ý Thế thì

x = r1a1+ r2a2+ + rnan.

y = s1b1+ s2b2+ + smbm.vớir 1 , r 2 , , r n , s 1 , s 2 , , s m là các số hữu tỷ vàa 1 , a 2 , , a n , b 1 , b 2 , , b m là các phẩn

tử của cơ sở Hamel B Hai tập {a1, a2, , an} và {b1, b2, , bm} có thể có nhữngphần tử chung Giả sử hợp của hai tập đó là {c1, c2, , cl} Thế thì l ≤ m + n và

f (x + y) = f ((u1+ v1)c1+ (u2+ v2)c2+ + (ul+ vl)cl),

= (u1+ v1)g(c1) + (u2+ v2)g(c2) + + (ul+ vl)g(cl),

= [u 1 g(c 1 ) + u 2 g(c 2 ) + + ulg(cl)], + [v1g(c1) + v2g(c2) + + vlg(cl)],

= f (x) + f (y).

Do đó f là cộng tính trên tập các số thực R Điều phải chứng minh

Cho B là một cơ sở Hamel, ∀x ∈R ta luôn có

Như vậy vế phải bằng 0, còn

vế trái là một số khác không (trong cơ sở không thể có 2 phần tử bằng 0) Nhưvậy trái giả thiết Tức là hàm f là hàm cộng tính phi tuyến

Bây giờ ta bắt đầu tìm hiểu rõ về lớp hàm cộng tính phi tuyến Trước tiên, tachỉ ra lớp hàm cộng tính phi tuyến phô diễn dáng điệu rất kỳ lạ

Định nghĩa 1.1.11 Đồ thị của một hàm f :R→R là tập

G = {(x, y)|x ∈R, y = f (x)}.

Rõ ràng đồ thị của hàm f : R→R là một tập con trong không gian R2

Định lí 1.1.12 Đồ thị của mọi hàm cộng tính phi tuyến f :R →R là trù mậtkhắp nơi trong không gian R2.

Chứng minh Đồ thị (G) của hàm f cho bởi

x1 f (x1)

x2 f (x2)

6= 0

vì vậy các véctơ X1 = (x1, f (x1)) và X2 = (x2, f (x2)) là độc lập tuyến tính vìvậy chúng trải ra khắp không gian R2 Điều này có nghĩa là với mọi vectơ

X = (x, f (x)) tồn tại các số thựcr 1 , r 2 sao cho X = r 1 X 1 + r 2 X 2 Nếu ta cố địnhcác số hữu tỷρ1, ρ2 thì bằng phép chọnx1, x2 thích hợp, ta có ρ1X1+ ρ2X2 là mộttập đóng trong không gian vectơ X do tập hợp số hữu tỷ Q là trù mật trongtập số thực R và do đó Q2 là trù mật trong R2 Vậy thì

g(x) =

(

0 nếu x ∈ B \ {b}.

1 nếu x = b.

Theo định lý trên thì tồn tại một hàm cộng tính f : B → B sao cho f (x) = g(x)đối với mỗix ∈ B Chú ý rằng f ở đây có thể không tuyến tính đối với mỗix ∈ B

Chứng minh Đặt z = x + iy, w = u + iv, x, y, u, v ∈R Hơn nữa, ta đặt

f (z) = Ref (x, y) + iImf (x, y) = g 1 (x, y) + ig 2 (x, y). (1.10)

thì f thỏa mãn (1.1) và dễ dàng ta nhận thấy rằng từ (1.14) ta có

gj(x + u, y + v) = gj(x, y) + gj(u, v), j = 1, 2. (1.11)cho y = 0, v = 0 vào (1.15) ta được

gj(x + u, 0) = gj(x, 0) + gj(u, 0), j = 1, 2.

Đặt

fj(x) = gj(x, 0), j = 1, 2, x ∈R. (1.12)

Rõ ràng fj thỏa mãn (1.1) trong R Tương tự đặt

f 3 (y) = g 1 (0, y), f 4 (y) = g 2 (0, y), với y ∈R. (1.13)thì f3 và f4 là nghiệm của phương trình (1.1) trên R Ta có

g1(x, y) = g1(x, 0) + g1(0, y) = f1(x) + f3(y).

và

g 2 (x, y) = g 2 (x, 0) + g 1 (0, y) = f 2 (x) + f 4 (y).

Điều phải chứng minh

Hệ quả 1.1.14 Một hàm phứcf : R→C là nghiệm của phương trình (1.1) nếu

và chỉ nếu

f (x) = f1(x) + if2(x), x ∈R. (1.14)

ở đó fj :R→R là nghiệm của (1.1) với j = 1, 2

Định lí 1.1.15 Nghiệm tổng quát liên tục f : C → C của phương trình (1.1)được cho bởi

f (z) = cz + d¯ z, z ∈C. (1.15)trong đó c, d là hằng số tùy ý, z ¯là số phức liên hợp của z Kết luận tương tự vẫncòn đúng khi f hoặc liên tục tại một điểm hoặc đo được

2 là các hằng số phức Điều phải chứng minh.

Chú ý rằng không giống như hàm cộng tính liên tục nhận giá trị thựctrên số thực, các hàm cộng tính liên tục nhận giá trị phức trên mặt phẳng phức

là không tuyến tính Khi ta bổ xung vào giả thiết tính trơn mạnh hơn như tínhgiải tích thay cho tính liên tục thì hàm f có tính tuyến tính

Định lí 1.1.16 Nếu f : C→ C là một hàm cộng tính giải tích thì tồn tại mộthằng số phức c sao cho

f (z) = cz.

thì f tuyến tính

Chứng minh Vì f giải tích nên f khả vi Lấy vi phân

f (z 1 + z 2 ) = f (z 1 ) + f (z 2 ). (1.16)theo biến z1 ta có:

và ta có điều phải chứng minh

1.1.2 Phương trình hàm mũ

Bên cạnh phương trình hàm cộng tính, ta đi xem xét tiếp dạng tiếp theo củaphương trình hàm Cauchy đó là phương trình hàm mũ Phương trình hàm mũ

là công cụ tuyệt vời trong các ngành khoa học và kỹ thuật, bởi vì các hiện tượng

tự nhiên đều được miêu tả thông qua hàm này Trước hết ta xét phương trìnhhàm này trên tập T trong đó T = R hoặc R∗+ hoặc R+

Định nghĩa 1.1.17 Một hàm f : T →R được gọi là hàm mũ khi và chỉ khi nóthỏa mãn phương trình hàm sau:

f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ T. (1.17)Tương tự như phương trình hàm cộng tính, ta cũng xác định nghiệm củaphương trình mũ bằng phương pháp trực tiếp như trong cách xác định nghiệmcủa phương trình hàm cộng tính hoặc bằng cách xác định quan hệ của nó vớiphương trình hàm cộng tính

Định lí 1.1.18 Cho f : T → R là nghiệm của phương trình (1.17) Khi đónghiệm tổng quát của nó sẽ có dạng f (x) ≡ 0 và f (x) = eg(x) trong đó g là mộthàm thỏa mãn phương trình hàm cộng tính

Chứng minh Giả sử x0 ∈ T thỏa mãn f (x0) = 0 Khi đó từ (1.17) ta có với mọi

Không mất tính tổng quát, ta giả sử f (x) 6= 0, với mọi x > 0.Thay x và y trong(1.17) bởi x

Hệ quả 1.1.19 Nghiệm tổng quát liên tục (liên tục tại một điểm, đo được trênmột tập có độ đo dương, đơn điệu tăng với x, y ≥ a ≥ 0 ) của phương trìnhhàm mũ (1.17) có dạng f (x) = ecx trong đó c là một hằng số bất kỳ

Chú ý Nếu T = R+ thì nghiệm của (1.17) chỉ có dạng f (x) = 0 với x > 0 và

f (0) = 1

Định lí 1.1.20 Cho ν : R+ → C là một hàm nhận giá trị phức không tầmthường thỏa mãn ν(0) = 1 và |ν(x)| bị chặn trong đoạn [a, b] Khi đó |ν(x)| = eαxvới α là hằng số thực

Chứng minh Xét x ∈ R+ đặt f (x) = log|ν(x)| Rõ ràng f là một hàm cộng tính(1.6) thỏa mãn f (0) = 1 và f bị chặn trên [a, b] Khi đó theo định lý (1.1.4) ta có

f (x) = cx, với x ≥ 0 và c = f (1)

Với mỗi x ∈R+, đặt

χ(x) = ν(x)

|ν(x)|.trong đó ν thỏa mãn phương trình hàm cộng tính với χ(0) = 1 Rõ ràng χ(x)cũng là phương trình hàm cộng tính thỏa mãn(1.6)với mọix, y ≥ 0và |χ(x)| = 1.Với mỗi x âm, đặt

χ(x) = [χ(−x)]−1.khi đó χ(x) thỏa mãn phương trình (1.17) với mọi thực

Định nghĩa 1.1.21 Hàm χ(x) xác định như trên được gọi là hàm đặc trưngcủa trục thực

Định lí 1.1.22 Ánh xạ χ : R → C là đặc trưng đo được trên trục thực khi vàchỉ khi χ(x) = eibx với mọi hằng số thực b

Chứng minh Với mỗi |δ| > 0 và a > 0 ta có

[χ(x + δ) − χ(x)]a =

Z a 0

|χ(x + δ − y) − χ(x − y)|dy.

tiến tới không với số |δ| Do đó χ liên tục Hơn nữa

χ(δ) − 1 δ

Z a 0

= 1δ

Z a 0

|χ(x + δ) − χ(x)|dx,

= 1δ

Z a+δ δ

χ(x)dx −1

δ

Z a 0

δ = χ(x)

χ(δ) − 1

δ .Lấy giới hạn khi |δ| → 0 ta được điều phải chứng minh Do đó χ(x) = ceβx Vìvậy χ(0) = 1, c = 1 Vì vậy |χ(x)| = 1 ta có thể thấy rằng β thuần nhất ảo, β = ibvới b là số thực

Hệ quả 1.1.23 Nếu ν : R+ → C là đo được và thỏa mãn (1.17) thỏa mãnν(0) = 1 thì

ν(x) = e(α+iβ)x, với α, β ∈R.Chứng minh Đặt g(x) = log|χ(x)| Khi đó g là đo được và cộng tính R+ Vìvậy g liên tục và g(x) = αx với mỗi α ∈ R do đó |ν(x)| = e αx Hơn nữa, hàmχ(x) = ν(x)

|ν(x)| là đo được nên theo định lý trên thìχ(x) = e

iβx với mỗi β thực suyra

f (x + iy) = h(x, y)[cosg(x, y) + ising(x, y)].

f (u + iv) = h(u, v)[cosg(u, v) + ising(u, v)].

f (x + u + iy + iv) = g(x + u, y + v)[cosg(x + u, y + v) + ising(x + u, y + v)].

h(x + u, y + v)cosg(x + u, y + v) = h(x, y)h(u, v)cos(g(x, y) + g(u, v)),

h(x + u, y + v)sing(x + u, y + v) = h(x, y)h(u, v)sin(g(x, y) + g(u, v)).

Vì f liên tục nên g, h cũng là các hàm liên tục Do đó m trong công thức (1.22)

là một hằng số Khi đó

g(x, y) = c 1 x + c 2 y − 2mπ. (1.23)

trong đó c1, c2 là các số thực.Ta sẽ chứng minh (1.23) bằng cách sử dụng lý luậncủa Abel như sau:

Thay x = 0 và u = 0 vào (1.23) ta có

(g(u, y + v) = 2mπ + g(0, y) + g(u, v).

g(x, y + v) = 2mπ + g(x, y) + g(0, v).

(1.24)

Từ (1.22) và (1.24) ta thu được

g(x, y + v) + g(u, y + v) = 2mπ + g(u, y) + g(0, v) + g(x + u, y + v). (1.25)Đặt

(α(x) = g(x, y + v).

c = 2mπ + g(0, y) + g(0, v).

(1.26)

Từ (1.25) ta có

α(x) + α(u) = c + α(x + u). (1.27)trong đó α là một hàm liên tục, từ (1.27) ta suy ra

trong đó d = α(1) = c Do đó α(1) là một hàm theo y và v nên ta có

g(x, y + v) = d(y, v)x + 2mπ + g(0, y) + g(0, v). (1.29)Thay x = 0 vào (1.29) ta có

g(0, y + v) = 2mπ + g(0, y) + g(0, v). (1.30)

Do đó g(0, y) = ey − 2mπ, trong đó e là một hằng số thực Vì vậy từ (1.29) và(1.30) ta có

g(x, y + v) = d(y, v)x + e(y + v) − 2mπ. (1.31)

Từ (1.31) ta nhận thấy d(y, v) là một dạng của φ(y + v) nên

g(x, y + v) = φ(y, v)x + e(y + v) − 2mπ. (1.32)Thay v = 0 vào (1.32) ta được

g(x, y) = φ(y)x + ey − 2mπ. (1.33)

Nhưng từ (1.22) và cho u = 0 ta thu được

Vì h(x, y) là dương nên với h(x, y) = eH(x,y) và từ (1.21) ta thu được

Bây giờ ta sẽ xem xét các phương trình sau đây

Định nghĩa 1.1.25 Một hàm f : R∗ hoặc R∗+ → R, được gọi là phương trìnhhàm logarit khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình:

f (x.y) = f (x) + f (y), ∀x, y. (1.37)Chúng ta có thể tìm nghiệm của các phương trình trên bằng phương pháptương tự như với tìm nghiệm của phương trình hàm cộng tính (1.1) Trước hết,

ta xét phương trình (1.37)

Định lí 1.1.26 Cho f : R∗ hoặc R∗+ → R là nghiệm của phương trình (1.37),khi đó dạng tổng quát của phương trình (1.37) có dạng

f (x) = g(log|x|), với x ∈R∗.hoặc

f (x) = g(logx), với x ∈R∗+.trong đó g thỏa mãn phương trình hàm cộng tính (1.1) xác định trên R∗ hoặc

f (x) = g(log|x|) ∀x ∈R∗.

Chú ý: Nghiệm của phương trình (1.37) trên R hoặc R+ là f (x) = 0

Hệ quả 1.1.27 Nghiệm tổng quát của (1.37) là liên tục, liên tục tại một điểm,hoặc đơn điệu tăng trên R∗+ được cho bởi f (x) = clogx trên miền R+ Nghiệmcủa phương trình (1.37) cũng là liên tục, liên tục tại một điểm, đo được, hoặc bịchặn một phía trên một tập có độ đo dương được cho bởi f (x) = clog(|x|) với mỗi

x 6= 0

Miền xác định của phương trình hàm logarit (1.37) có thể hạn chế và ta sẽ

có các kết quả sau:

Giả sử (1.37) luôn đúng với mọi x, y ∈]0, 1]

Đặt x = e−u, y = e−v với (u, v ≥ 0 nghĩa là u, v ∈R+ ) Từ (1.37) ta có

f (e−(u+v)) = f (e−u) + f (e−v), hay g(u + v) = g(u) + g(v).

trong đó f (u) = g(e−u) như vậy phương trình hàm logarit có dạng phương trìnhhàm cộng tính từ phép f (u) = g(e−u) trong đóf thỏa mãn (1.37) và g thỏa mãn(1.1) Ta có kết quả sau:

và nếu f thỏa mãn phương trình (1.37) không âm trên ]0, 1] thì

f (x) = −clogx, với mỗi số c ≥ 0.

Kết quả 1.1.29 Cho f : Z∗+→R thỏa mãn (1.37) thì

f (mn) = f (m) + f (n), (1.38)đúng với mỗi số nguyên dương m, n với

lim inf

n→∞ [f (n + 1) − f (n)] ≥ 0,thì tồn tại một hằng số c sao cho f (n) = clogn, n ∈Z∗+

Kết quả 1.1.30 Giả sử f : Z∗+→R thỏa mãn (1.38) với

nf (n) ≤ (n + 1)f (n + 1), với n = 1, 2,

thì f (n) = c.logn với mỗi hằng số c ≥ 0

Kết luận tương tự cũng đúng khif thỏa mãn(1.38)và lim inf

n→∞ [f (n+1)−f (n)] =

0

Kết quả 1.1.31 Một nghiệm tổng quát đơn điệu của

f (xn) = f (x) + f (n), với x ∈ [1, ∞[, n ∈Z∗+.cho bởi công thức f (x) = clogx, với mỗi x ∈ [1, ∞[, ở đó c là một số thực tùy ý

1.1.4 Phương trình hàm nhân tính

Định nghĩa 1.1.32 Một hàm f : R+ hoặc R hoặc R∗ →R, được gọi là phươngtrình nhân tính khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình:

f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y. (1.39)Đặt T là miền xác định của hàm f là những miền R+ hoặc R hoặc R∗.Định lí 1.1.33 Nghiệm tổng quát của f : T →R của phương trình (1.39) đượccho bởi công thức

• Với T =R∗+, thì

f (x) = 0, hoặc f (x) = eg(logx). (1.40)trong đó g là hàm cộng tính thỏa mãn (1.1)

(1.40b)trong đó g là hàm cộng tính thỏa mãn (1.1) trên R

Hơn nữa, f : T →R liên tục (liên tục tại một điểm) là nghiệm của phương trình(1.39) nếu và chỉ nếu hoặc f = 0 hoặc f = 1 hoặc f có một trong các dạng sau:

f (x) = |x|c, f (x) = (signx)|x|c, x ∈ T.

với một hằng số c Nếu 0 ∈ T thì c > 0

Chứng minh

Chứng minh Với x > 0 thay thế y bằng x trong (1.39) ta có:

kéo theo c = 0 hoặc c = 1 Do đó f (x) = x hoặc f (x) = 0

Định lí 1.1.35 Nghiệm phức tổng quát liên tục của phương trình (1.1) và (1.39)

có dạng f (x) = 0, f (x) = x và f (x) = ¯ x Ở đây f là một hàm phức nhiều biến.Chứng minh Tất cả các nghiệm phức của phương trình (1.1) đều có dạng

f (x) = ax + b¯ x, x, a, b ∈C. (1.43)

Do đó với mọi số thựcxta cóf (x) = (a+b)x Do đó từ(1.39)cho ta hoặca+b = 0hoặc a + b = 1 Do đó (1.43) có dạng

f (x) = a(x − ¯ x), ∀x ∈C.hoặc

f (x) = ax + (1 − a)¯ x, ∀x ∈C.Trước hết, ta đặt f (x) = a(x − ¯ x)

1 = [ai + (1 − a)(−i)][−ai + (1 − a)i].

= 1 − 4a + 4a2.

Do đó a = 0 hoặc a = 1 Hay

f (x) = ¯ x, hoặc f (x) = x.

Vậy ta có điểu phải chứng minh

Bây giờ ta sẽ xét phương trình hàm nhân tính trên trường C Cụ thể nhưsau:

Định lí 1.1.36 Cho f : C → C là một hàm thỏa mãn (1.39) Hơn nữa, nếu f

là một nghiệm liên tục của (1.39) thì f sẽ có một trong các dạng

f (z) =

(

ek.log|z|zn với z 6= 0,

0 với z = 0,

ở đó k là một hằng số phức và n là một số nguyên với điều kiện f 6≡ 0, 1

Chứng minh Cho T = {z : |z| = 1} thì f hạn chế trên T là liên tục Ta biết rằngnhóm đặc trưng của T là một nhóm các số nguyên z nghĩa là

f (z) = zn, với z ∈ T, n ∈Z.

Từ định lý (1.1.33), với mỗi số x dương, ta có

f (x) = xk, x ∈R+,với mỗi z 6= 0 ta có

1.2 Phương trình hàm d’ Alambert

Bên cạnh phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm d’Alambert cũngđóng vai trò nòng cốt (về phương pháp luận và phương pháp giải) để giải quyếtcác lớp hàm khác nhau về xác định hàm số trong đại số và trong lượng giáctương ứng

Định nghĩa 1.2.1 Cho phương trình hàm có dạng

f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈R. (A)được gọi là phương trình d’ Alambert

Phương trình này đã được nghiên cứu từ rất lâu bởi d’ Alambert (1769),Poisson (1804) và Picard (1922) Phương trình này đưa ra một quy luật quantrọng trong việc xác định tổng của hai vectơ trong hình học Euclid và phi Euclid.Cauchy (1821) đã xác định được nghiệm liên tục của phương trình d’Alambert.Trong định lý sau đây cho ta biểu diễn nghiệm liên tục của phương trình d’Alambert

Định lí 1.2.2 Cho f : R→R là liên tục và thỏa mãn

f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈R. (A)thì f có những dạng sau:

f (x) = cosh(αx), (1.46)

f (x) = cos(βx), (1.47)trong đó α và β là các số thực tùy ý

Chứng minh Cho x = 0 = y thay vào (A) ta có

Vì f không đồng nhất bằng không nên f (0) 6= 0 và f (0) = 1 Do đó từ phươngtrình trên cho ta

f (y) + f (−y) = 2f (y).

nghĩa là

f (y) = f (−y) ∀y ∈R.như vậy f là một hàm chẵn Hơn nữa, f liên tục trong R nên f khả tích trênmột khoảng hữu hạn Vì vậy với t > 0 ta có

f (z)dz =

Z x+t x−t

f (w)(−dw) =

Z x+t x−t

f (w)dw =

Z x+t x−t

f (y)dy.

Do đó (1.28) ta có

Z x+t x−t

f (y)dy +

Z x+t x−t

f (y)dy = f (x)

Z t

−t

f (y)dy. (1.49)

Vì f không đồng thời bằng không, f (0) = 1 Hơn nữa, vì f liên tục nên tồn tại

t > 0 sao cho (xem hình vẽ)

Z x+t x−t

f00(x + y) + f00(x − y) = 2f (x)f00(y),với ∀x, y ∈R Cho y = 0 ta được

√ k.

... trực tiếp cách xác định nghiệmcủa phương trình hàm cộng tính cách xác định quan hệ vớiphương trình hàm cộng tính

Định lí 1.1.18 Cho f : T → R nghiệm phương trình (1.17)... trình hàm d’ Alambert

Bên cạnh phương trình hàm Cauchy, phương trình hàm d’Alambert cũngđóng vai trị nịng cốt (về phương pháp luận phương pháp giải) để giải quyếtcác lớp hàm khác xác định. .. Phương trình hàm mũ

Bên cạnh phương trình hàm cộng tính, ta xem xét tiếp dạng củaphương trình hàm Cauchy phương trình hàm mũ Phương trình hàm mũ

là cơng cụ tuyệt vời ngành khoa học