MỘT số vấn đề về TIẾP TUYẾN của đồ THỊ hàm số

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho (Cm) : y = (m − 1)x + m Đònh m để tiếp tuyến với (Cm) điểm (Cm) có hoành độ x0 = x−m song song với đường phân giác thứ góc hệ trục −m y = f (x) = (x − m)2 Để tiếp tuyến với (Cm) điểm với đường phân giác (Δ ) : y = − x , ta phải có: | | m fm| = −1 ⇔ −m = −1 ⇔ m = (4 − m)2 ⇔ m = 2 (4 − m) (3m + 1)x − m + m , m ≠ Tìm m để tiếp tuyến với (C) giao điểm với trục hoành x+m song song y = x Viết phương trình tiếp tuyến Cho (C) : y = Hoành độ giao điểm (C) với trục hoành m2 − m ⎫ ⎧ x0 = , m ∉ ⎨0, − ,1⎬ 3m + ⎭ ⎩ 4m y| = (x + m)2 Tiếp tuyến điểm (C) có hoành độ // y = x 4m = ⇔ 4m = (x + m)2 ⇔ x = m ∨ x = −3m (x + m) ⎡ m2 − m m = ⎡ m = −1 ⎢ 3m + ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢m = − m −m ⎢ ⎣ ⎢⎣ −3m = 3m + • m = −1 tiếp tuyến (-1,0) có pt : y = x + 1 ⎛3 ⎞ • m = − tiếp tuyến ⎜ , ⎟ có pt : y = x − 5 ⎝5 ⎠ m Cho (C) : y = x − + Tìm m để có điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thò vuông góc x +1 Gọi M (x , y ) điểm cần tìm ⇒ y = k(x − x ) + y đường thẳng (d) qua M0 m ⎧ ⎪⎪x − + x + = k(x − x ) + y = kx + k − k − kx + y (d) t2 ⇔ ⎨ ⎪1 − =k ⎪⎩ (x + 1)2 m ⎧ ⎪⎪x − + x + = k(x + 1) − (1 + x )k + y ⇔⎨ ⎪x + − = k(x + 1) ⎪⎩ x +1 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt m ⎧ ⎪⎪x − + x + = x + − x + − (1 − x )k + y ⇔⎨ ⎪ = 1− k ⎩⎪ (x + 1) ⎧ m +1 y0 + ⎧ = y + − (x + 1)k ⎪ ⎪k ≠ x + ⎪ x +1 ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎛ m + ⎞ = (1 − k)(m + 1)2 ⎪ y + − (x + 1)k = (1 − k)(m + 1)2 ] ⎩[ ⎪⎩⎜⎝ x + ⎟⎠ y0 + ⎧ ⎪k ≠ x0 + ⇔⎨ ⎪(x + 1)2 k + 2(2m − x )y − 2x − y − 2)k + (y + 2)2 − 4m = (*) 0 0 ⎩ Từ M0 kẻ tiếp tuyến vuông góc ⇔ pt (*) có nghiệm thỏa k1k2 = -1 khác y0 + x0 + y0 + ⎧ ⎪k ≠ x0 + ⇔⎨ ⇒m>0 ⎪(x + 1)2 + (y + 2)2 = 4m ⎩ Tìm toạ độ giao điểm tiếp tuyến đồ thò y = vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 x +1 với trục hoành , biết tiếp tuyến x −3 , ∀x ≠ (x − 3)2 Gọi (T) tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , (T) có hệ số góc KT = -1 ⎡x = ⇒⎢ Gọi (x0,y0) tiếp điểm (d) (C) , ta có K T = y| ⇔ −1 = − (x − 3) ⎣ x0 = • x = ⇒ y = −1 ⇒ (T1 ) : y = − x • x = ⇒ y = ⇒ (T2 ) : y = −x + y| = − (T1 ) ∩ (Ox) = {O(0, 0)} ; (T2 ) ∩ (Ox) = {A(8, 0)} Cho hàm số y = f(x) = x+2 ; gọi đồ thò hàm số (C) , A(0,a).Xác đònh a để từ A kẻ tiếp x −1 tuyến đến (C) cho tiếp tuyến tương ứng nằm phía trục Ox Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) M (x , y ) : y − y = f(x| ) (x − x ) ⎛x +2⎞ ⎛x +2⎞ 3 ⇔ y −⎜ (x − x ) ; A(0,a) ∈ (T) : a − ⎜ (− x ) ⎟=− ⎟=− (x − 1) (x − 1)2 ⎝ x0 − ⎠ ⎝ x0 − ⎠ ⎧x − ≠ ⎪⎧x ≠ ⇔⎨ ⇔ ⎨g = (a − 1)x 20 − 2(a + 2)x + a + = (x ) ⎩(a − 1)x − 2(a + 2)x + a + = ⎪⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua A kẻ tiếp tuyến g(x ) = có nghiệm phân biệt khác ⎧a − ≠ ⎪ ⎨Δ|g = (a + 2)2 − (a + 2)(a − 1) > ⇔ −2 < a ≠ ⎪ ⎩g(1) = (a − 1)1 − 2(a + 2)1 + a + ≠ Khi gọi M1 (x1 , y1 ), M (x , y ) tiếp điểm nằm phía Ox ⎛ x + ⎞⎛ x + ⎞ x1x + 2(x1 + x ) + ⇔ y1y < ⇔ ⎜ < (1) ⎟⎜ ⎟ ⎪a < − ∨ a > ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩f ( −1) ≠ ⎩ + 3a + + 3a + ≠ ⎪⎩a ≠ −1 Vậy điểm cần tìm A(a,2) ; a < − ∨ a > ∧ a ≠ −1 Cho hàm số y = −x + 2x − , đồ thò (C) Tìm tất điểm thuộc trục tung cho từ kẻ tiếp tuyến đến (C) Gọi A(0,a) ∈ Oy , (d) đường thẳng qua A dạng : y = kx + a Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ : ⎧−x + 2x − = kx + a ⇔ 3x − 2x − − a = (1) ⎨ 4x 4x k − + = ⎩ Từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) (1) phải có nghiệm Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⇔ −1 − a = ⇔ a = −1 Khi 3x − 2x = ⇔ x = ∨ x = ± Vậy toạ độ điểm cần tìm A(0,-1) Cho hàm số y = x − 3x + ; đồ thò (C) 1.Qua A(1,0) kẻ tiếp tuyến với (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến 2.CMR tiếp tuyến khác (C) song song với tiếp tuyến qua A (C) nói 1.Gọi (d) đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng y = k(x − 1) tiếp tuyến (C) hệ ⎧x − 3x + = k(x − 1) có nghiệm ⇔ (x − 1)3 = ⇒ x = ⇒ k = −3 ⎨ ⎩3x − 6x = k Vậy có tiếp tuyến (d) : y = −3x + kẻ đến (C) 2.Gọi (T) tiếp tuyến khác (C) song song tiếp tuyến A dạng y = −3x + b Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ : ⎧x − 3x + = −3x + b ⎧ b = x − 3x + ⇔⎨ ⇒ b = ⇒ (T) : y = −3x + ⎨ ⎩3x − = −3 ⎩x = (T) ≡ (d) tiếp tuyến khác song song với tiếp tuyến A Cho hàm số y = x4 − 3x + , có đồ thò (C) 2 1.Gọi (d) tiếp tuyến đồ thò điểm M có hoành độ x M = a CMR hoành độ giao điểm tiếp tuyến (d) với đồ thò nghiệm phương trình (x − a)2 (x + 2ax + 3a2 − 6) = 2.Tìm tất giá trò a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thò điểm P,Q khác khác M.Tìm qũy tích trung điểm K đoạn thẳng PQ ⎛ a4 5⎞ a4 1.Gọi M ⎜ a, − 3a + ⎟ ∈ (C) ⇒ y(a) = − 3a2 + ⇒ y|(a) = 2a(a2 − 3) 2⎠ 2 ⎝ Tiếp tuyến M có phương trình y = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 + 2 Phương trình hoành độ giao điểm (d) (C) : x4 5 − 3x + = 2a(a2 − 3)x − a4 + 3a2 + 2 2 2 ⇔ (x − a) (x + 2ax + 3a − 6) = 2.Qũy tích trung điểm K Theo để (d) cắt (C) điểm phân biệt P Q khác M phương trình : x + 2ax + 3a2 − = có ⎧⎪ a < ⎧Δ| = a2 − (3a2 − 6) > ⇔ nghiệm khác a ⎨ ⎨ 2 ⎩ a + 2a + 3a − ≠ ⎩⎪ a ≠ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ x K = −a ; x ≤ 3; x ≠ ⎪ Khi K ⎨ ⎪ y K = − x K + 9x K + ⎩ 2 Vậy quỹ tích trung điểm K đường cong y = − x + 9x + giới hạn ≠ x ≤ 2 Cho hàm số y = −x + 2mx − 2m +1 có đò thò (Cm).Đònh m để tiếp tuyến đồ thò (Cm) A B điểm cố đònh vuông góc Điểm cố đònh A(-1,0) B(1,0) y| = −4x + 4mx ⇒ y|A = − 4m ; y|B = −4 + 4m Tiếp tuyến A B vuông góc ⇔ y |A y|B = −1 ⇔ (4 − 4m)(4m − 4) = −1 ⇒ m = ∨ m = 4 x +1 Cho hàm số y = có đồ thò (C) Tìm điểm trục tung mà từ điểm kẻ x −1 tiếp tuyến đến (C) Gọi A(0,a) ∈ Oy ⇒ (d) qua A có phương trình y = kx + a Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ ⎧x +1 ⎪⎪ x − = kx + a x + −2x ⇒ = + a ⇔ (a − 1)x − 2(a + 1)x + a + = (1) ⎨ 2 − x − (x − 1) ⎪ =k ⎩⎪ (x − 1) Từ A kẻ tiếp tuyến đến (C) ⇔ (1) có nghệm (1) ™ Xét a − = ⇔ a = ⎯⎯→ −4x + = ⇒ x = ⇒ A(0,1) ⎧a − ≠ ⎧a ≠ ⇔⎨ ⇔ a = −1 ⇒ A(a, −1) ™ ⎨ ⎩2a + = ⎩Δ ' = Cho hàm số y = x −1 có đồ thò (C) x +1 Tìm đường thẳng y = x điểm cho kẻ tiếp tuyến với đồ thò góc tiếp tuyến π Gọi M(x0,y0) ∈ y = x ⇔ M(x , x ) ⇒ tiếp tuyến M tiếp xúc (C) dạng y = k(x − x ) + x (d) x −1 Phương trình hoành độ (d) (C) kx − kx + x = (1) x +1 Theo ycbt (1) có nghiệm kép ⇔ kx + (k − kx + x − 1)x + x − kx + = ⎧k ≠ có nghiệm kép ⇔ ⎨ 2 2 ⎩Δ = (1 + x ) k − 2(x + 3)k + (x − 1) = (2) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua M kẻ tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc π ⎛ k − k2 ⎞ k − k2 π = tan = ⇔ ⎜ ⇔ (2) có nghiệm phân biệt thỏa ⎟ =1 + k1 k ⎝ + k1 k ⎠ ⎧x ≠ ⎧x + ≠ ⎪ ⎪ 2 ⇔ ⎨Δ k = 8(x 20 + 1) > ⇔ ⎨ ⎡ 2(x 20 + 3) ⎤ ⎡ x0 − 1⎤ ⎥ −5⎢ ⎥ −1 = ⎪(k + k ) − 5k k − = ⎪⎢ 2 ⎩ ⎣ x0 + 1⎦ ⎩ ⎣ (1 + x ) ⎦ ⎧⎪M(− 7, − 7) ⎧x ≠ −1 ⇔ ⎨ 20 ⇔ x0 = ± ⇒ ⎨ ⎩x + = ⎪⎩M( 7, 7) Cho Parabol (P) : y = 2x + x − Tìm điểm trục Oy cho từ ta vẽ tiếp tuyến đến (P) tiếp tuyến hợp với góc 450 Gọi M(0,m) ∈ Oy Phương trình qua M có hệ số góc k y = kx + m (d) Phương trình hoàng độ giao điểm (P) (d) : 2x + x − = kx + m ⇔ 2x + (1 − k)x − m − = (1) (d) tiếp tuyến (P) (1) có nghiệm kép ⇔ Δ = ⇔ k − 2k + 8m + 25 = (2) Có k1 + k = ; k1 k = 8m + 25 Hai tiếp tuyến hợp góc 450 tan 450 = = k − k1 + k1 k ⇔ (k1 + k )2 − 4k1 k = (1 + k1 k )2 (3) Qua M kẻ tiếp tuyến tạo góc 450 (2) có nghiệm phân biệt thỏa (3) ⎧Δ| = − 8m − 25 = ⎧m < −3 ⇔⎨ k ⇔⎨ 2 ⎩16m + 112m + 193 = ⎩4 − 4(8m + 25) = (8m + 26) + 14 − 14 ⇔m=− ∨m= 4 ⎛ ⎛ + 14 ⎞ − 14 ⎞ Vậy M1 ⎜ 0, − , M ⎜ 0, ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝ ⎝ Cho hàm số y = x2 gọi đồ thò (C) Tìm đường y = tất điểm mà từ điểm x −1 kẻ tới (C) tiếp tuyến lập góc 450 Gọi A(a,4) đường thẳng tuỳ ý y = ⎧Qua A(a, 4) có dạng: y = k(x − a) + Gọi (T) đường thẳng ⎨ ⎩Có hệ số góc k Và đường thẳng (T1) (T2) qua A có hệ số góc k có dạng : y = k1 (x − a) + y = k (x − a) + Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Do (T1) (T2) tạo góc 450 tan 450 = k1 − k + k1 k ⇔ (1 + k1k )2 = (k1 − k )2 ⇔ (1 + k1k )2 − (k1 + k )2 + 4k1k = (1) x2 = k(x − a) + có nghiệm kép x −1 ⇔ (1 − k)x − (4 − ka − k)x + − ka = có nghiệm kép khác Do (T) tiếp tuyến đồ thò (C) ⇔ ⎧⎪1 − k ≠ ⎪⎧ k ≠ ⇔ 1⇔ ⎨ ⎨ ⎡ ⎤ Δ = (a − 1)2 k − 4(a − 2)k = ⎩⎪ k ⎣(a − 1) − 4(a − 2) ⎦ = (2) ⎩⎪ Qua A kẻ tới (C) tiếp tuyến lập với gó 450 phương trình (2) có nghiệm k1,k2 (k ≠ 1) ⎧k = ⎪ thỏa mãn hệ thức (1) ⎨ 4(a − 2) thỏa mãn (1) ⎪ k = (a − 1)2 ⎩ 4(a − 2) ⎧ ⎪ k = (a − 1)2 ≠ ⎪ ⇔ ⎨ 4(a − 2) ⎡ ⎤ ⎪ k = 0.(1 + 0) − + + 4.0 = ⎢ ⎪ (a − 1)2 ⎥⎦ ⎣ ⎩ ⎡ a = −1 − 2 ⇔⎢ ⎢⎣a = −1 + 2 Vậy A1 (−1 − 2, 4) , A (−1 + 2, 4) ⎧a ≠ ⎪ ⎨a ≠ ⎪a2 + 2a − = ⎩ x2 + x + Cho hàm số y = có đồ thò (C) Tìm (C) điểm A để tiếp tuyến đồ thò A vuông x −1 góc với đường thẳng qua A có tâm đối xứng đồ thò ⎛ ⎞ Giả sử A ⎜ x , x + + ⎟ điểm (C) I(1,3) giao điểm đường tiếm cận x0 − ⎠ ⎝ uur ⎛ ⎞ ⇒ AI = ⎜ − x ,1 − x − ⎟ x0 − ⎠ ⎝ uur Như AI vectơ phương đường thẳng AI Gọi (d) tiếp tuyến (C) tiếp xúc với (C) A , có hệ số góc r ⎛ r uur ⎞ 4 k = y|(x ) = − ⇒ a = 1,1 − vectơ phương củ a (d) ; (d) ⊥ (AI) ⇔ a.AI =0 ⎟ ⎜ (x − 1)2 (x − 1)2 ⎠ ⎝ ⇒ x0 = ± ⎛ ⎛ 4 + 34 + ⎞ − 34 + ⎞ Vậy có điểm A1 ⎜ − 8, , A + 8, ⎟ ⎟⎟ 2⎜ 4 ⎜ ⎟ ⎜ 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hàm số y = x − 3x + Tìm đường thẳng x = điểm M cho từ M kẻ tiếp x tuyến đến (C) tiếp tuyến vuông góc Gọi M(1,m) ∈ x = Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng : y = k(x − 1) + m Từ M kẻ tiếp tuyến vuông góc với tới (C) hệ ⎧ x − 3x + = k(x − 1) + m ⎪⎪ ⎧ (x , k ) x ( I ) có nghiệm ⎨ 1 thỏa mãn k1 k = −1 ⎨ ⎩(x , k ) ⎪x − = k ⎪⎩ x Từ ( I ) ⇒ (m + 2)x − 4x + = (*) , x ≠ ⎧ ⎪ ⎧m ≠ −2 ⎪⎪m + ≠ ⎪⎪ Theo ycbt ⇔ ⎨Δ ' = − 2(m + 2) > ⇔ ⎨m < ⎪ (x − 2) (x − 2) ⎪ 2 ⎪⎩(x1x ) − ⎣⎡(x1 + x ) − 2x1x ⎦⎤ + = −(x1x ) ⎪ = − x 22 ⎪⎩ x12 ⎧−2 ≠ m < ⎪ ⎡⎛ ⎞ ⇔ ⎨⎛ ⎞2 ⎤ ⎛ ⎞ ⎪⎜ m + ⎟ − ⎢⎜ m + ⎟ − m + ⎥ + = − ⎜ m + ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣⎢⎝ ⎦⎥ ⎩⎝ ⎧ −2 ≠ m < ⎪⎧ −2 ≠ m < ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔ m = −3 ± ⎪⎩m = −3 ± ⎩m + 6m + = Vậy M1 (1, −3 − 7) , M (1, −3 + 7) Cho hàm số y = x + 3x Tìm tất điểm trục hoành mà từ vẽ tiếp tuyến đồ thò (C) , có tiếp tuyến vuông góc với Gọi M(m,0) điểm trục hoành Đường thẳng (d) qua M có hệ số góc k dạng : y = k(x − m) ⎧x + 3x = k(x − m) (I) (d) tiếp tuyến (C) ⎨ 3x + 6x = k ⎩ Qua M kẻ tiếp tuyến (C) có tiếp tuyến vuông góc với ( I ) có giá trò k cho giá trò tích -1 Khi ( I ) ⇔ x + 3x = (3x + 6x)(x − m) ⇔ x ⎡⎣2x + 3(1 − m)x − 6m ⎤⎦ = ⎡x = ⇔⎢ ⎣2x + 3(1 − m)x − 6m = (*) ⎡ m < −3 ⎧Δ = 3m + 10m + > Theo ycbt (*) có nghiệm phân biệt khác ⇔ ⎨ ⇔⎢ ⎢− < m ≠ ≠ m ⎩ ⎣ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ ⎪x1 + x = (m − 1) Khi pt (*) có nghiệm ⎨ ⎪⎩x1x = −3m Khi qua M kẻ tiếp tuyến (C) k1 = 3x12 + 6x1 , k = 3x 22 + 6x , k = Theo toán : k1k = −1 ⇔ (3x12 + 6x1 )(3x 22 + 6x ) = −1 1 thỏa m < −3 − < m ≠ ⇒m= 27 ⎛ ⎞ Vậy M ⎜ , ⎟ ⎝ 27 ⎠ 2x − x + Cho hàm số y = có đồ thò (C) Tìm trục hoành điểm từ dựng tiếp tuyến hợp x −1 với Ox góc 450 Viết phương trình tiếp tuyến Tiếp tuyến hợp với Ox góc 450 tiếp tuyến có hệ số góc k = ± TH1: k = y| = ⇔ − = ⇒ x = 1± (x − 1)2 ⎡ (T ) : y = x + − 2 ⎡x = − ⎡y = − ⇒⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ ⎢⎣(T2 ) : y = x + + 2 ⎢⎣ x = + ⎢⎣ y = + 2 TH2: k = y| = −1 ⇔ − = −1 ⇔ x = ± (x − 1) ⎡ ⎡ 2 ⎢x = − ⎢y = − ⎡ (T ) : y = − x − − 3 ⇒⎢ ⇒⎢ ⇒⎢ ⎢ ⎢ 2 ⎢⎣(T4 ) : y = −x + + ⎢x = + ⎢y = + 3 ⎣ ⎣ Cho hàm số y = x − 3x + có đồ thò (C) ⎛ 23 ⎞ 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) để tiếp tuyến qua A ⎜ , −2 ⎟ ⎝ ⎠ 2.Tìm đường thẳng y = -2 điểm từ kẻ đến đồ thò (C) tiếp tuyến vuông góc 23 ⎞ ⎛ 1.Tiếp tuyến (C) qua A : y = k ⎜ x − ⎟ − ⎠ ⎝ ⎧ 23 ⎞ ⎛ ⎪x − 3x + = k ⎜ x − ⎟ − Ta có : ⎨ ⇒ (x − 2)(3x − 10x + 3) = ⎠ ⎝ ⎪3x − 6x = k ⎩ ⎡ ⎢ x = 2, k = ⎢ ⇔ ⎢ x = 3, k = ⎢ ⎢x = , k = − ⎣ 3 ⎡ ⎢(d) : y = −2 ⎢ ⇒ tiếp tuyến ⎢(d) : y = 9x − 25 ⎢ 61 ⎢(d) : y = − x + ⎣ 27 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2.Gọi A(a,-2) ∈ y = −2 Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc k , có phương trình y = k(x − a) − Điều kiện (T) (C) tiếp xúc là: ⎧x − 3x + = k(x − a) − ⇒ (x − 2) ⎣⎡2x − (3a − 1)x + ⎦⎤ = ⎨ ⎩3x − 6x = k ⎡ x = ; k = ⇒ y = −2 ⇔⎢ ⎢g(x) = 2x − (3a − 1)x + = có x1 + x = 3a − ; x1 x = ⎣ Để từ A dựng tiếp tuyến vuông góc g(x) = có nghiệm x1,x2 cho k1(x1).k2(x2) = -1 ⎧ a < −1 ∨ a > ⎪ ⎧Δ g > ⎧(3a − 1) − 16 > ⎪ ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ k1 k = −1 ⇔ ⎨(3x1 − 6x1 )(3x 22 − 6x ) = −1 ⇔ ⎨27a = 55 ⎪g ≠ ⎪a ≠ ⎪a ≠ ⎩ ⎩ (2) ⎪ ⎩ 55 ⎛ 55 ⎞ ⇔a= ⇒ A ⎜ , −2 ⎟ 27 ⎝ 27 ⎠ Cho hàm số y = −x + 3x − Tìm điểm đường thẳng y = từ dựng tiếp tuyến đến đồ thò Gọi A(a,2) ∈ y = Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc k có phương trình : y = k(x − a) + tiếp tuyến (C) hệ : ⎧−x + 3x − = k(x − a) + có nghiệm ⎨ ⎩−3x + 6x = k ⇒ (x − 2) ⎡⎣ 2x − (3a − 1)x + ⎤⎦ = ⇔ ⎡ x − = ⎢2x − (3a − 1)x + = g(x) = ⎣ Để qua A kẻ tiếp tuyến đến (C) g(x) = có nghiệm phân biệt khác thỏa : ⎧ ⎧⎪ Δ g > ⎧3(a + 1)(3a − 5) > ⎪ a < −1 ∨ a > ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩a ≠ ⎪⎩a ≠ ⎩⎪g(2) ≠ Vậy a < −1 ∨ a > ∧ a ≠ Cho họ đường cong (Cm) : y = (m − 1)x + m , m ≠ Chứng minh (Cm) tiếp xúc đường thẳng cố x−m đònh điểm cố đònh m: thay đổi Gọi (x0,y0) điểm cố đònh mà (Cm) qua y = (m − 1)x + m x0 − m ⇔ (x + y − 1)m − x (y + 1) = : có nghiệm ∀m ≠ ; x ≠ m Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧⎪x = ⎧x + y − = ⎧x = ⇔⎨ ⇔⎨ ∨ ⎨ ⎩ x (y + 1) = ⎩ y = −1 ⎩⎪ y = Điều kiện ∀m ≠ ; x ≠ m nên A(0,1) thỏa toán Vậy A(0,1) điểm cố đònh mà (Cm) qua −m −m | (0) = ⇒ y = −1 ; ∀m ≠ Ta lại có y| = (x − m)2 (0 − m)2 Vậy phương trình tiếp tuyến với (Cm) A y − y A = y| (0)(x − x A ) ⇔ y = x +1 Cho hàm số y = x − 12x + 12 ,đồ thò (C) Tìm đường thẳng y = -4 điểm A mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C) Gọi A(a,-4) ∈ y = −4 ⇒ (d) : y = k(x − a) − ⎧x − 12x + 12 = k(x − a) − Hoành độ tiếp điểm nghiệm hệ ⎨ ⎩3x − 12 = k ⎡x = ⇔⎢ ⎣ g(x) = 2x + (4 − 3a)x + − 6a = Để qua A kẻ tiếp tuyến phân biệt ⇔ g(x) = có nghiệm phân biệt khác ⎧Δ > ⎧ ⎪ g ⎪ a < −4 ∨ a > ⇔⎨ ⇒⎨ ⎪g(2) ≠ ⎩⎪a ≠ ⎩ Vậy điểm A(a, −4);a < −4 ∨ a > ∧ a ≠ thỏa toán Cho hàm số y = x − 4x + , có đồ thò (C) 1.Chứng minh tồn tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thò (C) điểm phân biệt 2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ với đồ thò song song với tiếp tuyến vừa kể Cho biết hoành độ tiếp điểm 3.Dựa vào kết , tuỳ theo tham số m , suy số nghiệm phương trình : x − 4x + 8x + m = 1.Tiếp tuyến điểm (C) dạng y = ax + b (d) Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d) là: x − 4x + = ax + b ⇔ x − 4x − ax + − b = (1) Để (d) tiếp xúc (C) phải có đồng thời nghiệm kép ⇔ x − 4x − ax + − b = (x − α )2 (x − β)2 ⇔ x − 4x − ax + − b = x − 2(α + β)x + (α + β2 + 4αβ)x − 2αβ(α + β)x Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧α + β = ⎧α + β = ⎪α + β2 + 4αβ = ⎪αβ = −2 ⎪ ⎪ Đồng thức vế ⎨ ⇔⎨ ⎪2αβ(α + β) = a ⎪ a = −8 2 ⎪⎩α β = − b ⎪⎩ b = −1 ⎧⎪ tiếp tuyến : y = −8x − (d1 ) ⇒⎨ ⎪⎩ hoành độ tiếp điểm : α = − ; β = + 2.Tiếp tuyến song song y = −8x −1 Ta có y| = −8 ⇔ 4x − 12x = −8 ⇔ ⎡ x = ⇒ y = ⎢ ⎢x = − ⎢x = + ⎣ Vậy tiếp tuyến thứ có phương trình y = −8x + (d ) x − 4x + 8x + m = ⇔ x − 4x + = 8x − m + Là phưong trình hoành độ giao điểm ⎧(C) : y = x − 4x + ⎨ ⎩(d) : 8x − m + (d1 ) ∩ Oy = {0, −1} , (d) ∩ Oy = {0,3 − m} (d ) ∩ Oy = {0,8} -m + +∞ -1 −∞ m m < -5 m = -5 -5 < m < m=4 m>4 Nghiệm phương trình nghiệm nghiệm (có nghiệm kép x = 1) nghiệm phân biệt nghiệm kép x = ± Vô nghiệm (3m + 1)x − m + m Cho hàm số y = , m ≠ có đồ thò (Cm) x+m 1.Với giá trò m giao điểm đồ thò với trục hoành , tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 20 Viết phương trình tiếp tuyến 2.CMR : (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố đònh 3.Trên đường thẳng x = , tất điểm mà đường (Cm) qua (Cm) ∩ Ox : (3m + 1)x − m + m = ⇔ x = Ta có : y| = m2 − m ; m ≠ 0; m ≠ − 3m + 4m (3m + 1)2 | y ⇒ = (x + m)2 4m Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 10 ⇔ y|0 = ⇔ ⎡ A(−1, 0) , (T1 ) : y = x + ⎡ m = −1 , x = −1 , y = ⇔⎢ ⇔ ⎢ ⎛3 ⎞ ⎢ B , , (T2 ) : y = x − ⎢m = − , x0 = , y0 = ⎜ ⎟ ⎣ 5 ⎣⎢ ⎝ ⎠ (3m + 1)2 =1 4m Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2.Gọi đường thẳng cố đònh y = ax + b (3m + 1)x − m + m Phương trình hoành độ giao điểm : = ax + b x+m ⇔ ax + [(a − 3)m + b − 1] x + m + (b − 1)m = ⎧a ≠ ⎧a ≠ ∀m ⇔ ⎨ ĐKTX : ⎨ 2 ⎩Δ = ⎩(a − 10a + 9)m + [(a − 3)(b − 1) − 2a(b − 1)] m + (b − 1) = ⎧⎡ a = ⎧(T ) : y = x + ⎪ ⇔ ⎨ ⎣⎢a = ⇔ ⎨ ⎩(T2 ) : y = 9x + ⎪ b =1 ⎩ 3.Gọi A(1,a) ∈ x = 3m + − m + m Ycbt : A ∉ (Cm) Khi: a = vô nghiệm m 1+ m ⇔ m + (a − 4)m + a − = vô nghiệm m Δm < ⇔ a2 − 12a + 20 < ⇔ < a < 10 Những điểm mà (Cm) không qua A(1,a) ; < a < 10 Cho đường cong y = 3x − 4x ; đồ thò (C) 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) để tiếp tuyến qua M(1,3) 2.Tìm đường cong y = -9x + điểm mà từ vẽ tiếp tuyến đến (C) chúng vuông góc 1.Gọi (d) đường thẳng qua M(1,3) có hệ số góc k có pt : y = k (x – 1) có x0 hoành độ tiếp điểm , ta có : ⎧3x − 4x 30 = k(x − 1) + ⇔ ⎧ x = ; k = ; y = 3x ⎪ ⎨ ⎨ ⎩3 − 12x = k ⎪⎩x = ; k = −24 ; y = −24x + 27 2.Gọi A(a, −9a + 8) ∈ y = −9x + Mọi đường thẳng qua A có hệ số góc k có phương trình : y = k(x − a) − 9a + x0 hoành độ tiếp điểm hệ ⎧3x − 4x 30 = k(x − a) − 9a + có nghiệm ⎨ ⎩3 − 12x = k ⇔ (x − 1) ⎡⎣2x 20 − (2 − 3a)x + − 3a ⎤⎦ = ⎡x = ; k = ⇔⎢ ⎣ f ( x ) = 2x − (2 − 3a)x + − 3a = Theo toán ta có f ( x ) = có nghiệm phân biệt ⇔ (2 − 3a)2 − 8(2 − 3a) > ⇔ a > ∨ a < −2 (*) f ( x ) = thỏa k1.k2 = -1 ⇔ (3 − 12t12 )(3 − 12t 22 ) = −1 ⇔ − 36 ⎡⎣(t1 + t )2 − 2t1t1 ⎤⎦ + 144t12 t 22 = −1 Với t1 t nghiệm f(x ) = Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Gọi (Cm) đồ thò y = f (x) = tiếp tuyến vuông góc với x + (1 − 2m)x − m Hãy xác đònh giá trò m để (Cm) cắt Ox điểm x −1 Giải x + 2x + m m ; y = x − 2m + ;(m ≠ 0) (x + 1) x +1 (Cm) cắt Ox hai điểm phân biệt ⇔ phương trình : x + (1 − 2m)x − m = (1) có hai nghiệm y ' = f '(x) = ⎧⎪Δ = (1 − 2m) − 4(− m) > phân biệt khác -1 ⇔ ⎨ ⎪⎩(−1) + (1 − 2m)(−1) − m ≠ ⎧4m + > ⇔ ⎨ ≠ m ⎩ Vậy với m ≠ (Cm) cắt Ox điểm phân biệt M ( x1 , 0), N ( x2 , 0) với x1 , x2 nghiệm phương trình (1) Khi ta có : x1 + x = 2m − x1x = −m Tiếp tuyến M, N vuông góc ⇔ f '( x1 ) f '( x2 ) = −1 ⎛ x + 2x + m ⎞⎛ x + 2x + m ⎞ ⎟⎜ ⎟ = −1 ⇔⎜ ⎜ ( x + 1)2 ⎟⎜ ( x + 1)2 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⇔ (x12 + 2x1 + m)(x 2 + 2x + m) = − ( x1 + 1) ( x + 1) 2 ⇔ (x1x )2 + 2x1x (x1 + x ) + m(x12 + x 2 ) + 2m(x1 + x ) + m + 4x1x = −(x1x + x1 + x + 1)2 ⇔ 4m + m(2m − 1)2 − 4m = −m ⇔ m(4m + m − 3) = ⇔ m = (loại) V m = −1 V m = Vậy m = −1 V m = 4 Nhận xét : 1) Nếu ko đặt điều kiện m ≠ để tồn (Cm) hàm hữu tỉ không nói rõ (Cm) cắt Ox có hai nghiệm khác mẫu số (nghóa m ≠ ) hẳn ta nhận m=0 làm nghiệm kết sai 2) Thông thường em quen dùng Viet cho y' Nhưng yêu cầu toán không đề cập y' để f '( x1 ) f '( x2 ) = −1 Viet phương trình bậc hai 1/ Cho hàm số y = x − x3 − 3x + có đồ thò (C) Tìm phương trình tiếp tuyến tiếp xúc (C) hai điểm phân biệt , tính toạ độ tiếp điểm 2/ Chứng minh có tiếp tuyến tiếp xúc (C) : y = x + x3 − x + x + hai điểm phân biệt Tìm toạ độ tiếp điểm 3/ Xác đònh a, b để (d) : y= ax+b tiếp xúc với đường cong (C) : y = x − x3 + x + 26 x + hai điểm phân biệt Tìm toạ độ tiếp điểm Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 1/ Gọi (d) : y = ax + b Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d) : x ≠ x − x − x + = ax + b ⇔ x − x − x + − ax − b = Phương trình (1) phải có nghiệm kép x1 , x2 phân biệt (1) viết lại ⇔ x − x − x + − ax − b = ( x − x1 ) ( x − x2 ) = ⇔ x − x − x + − ax − b = x − 2( x1 + x2 ) x3 + ⎡⎣( x1 + x2 ) + x1 x2 ⎤⎦ x − x1 x2 ( x1 + x2 ) x + x12 x2 = Đồng thức hai vế ta được: ⎧2( x1 + x2 ) = ⎧ x1 + x2 = ⎪ ⎪ x x = −2 ⎪ ⎪( x1 + x2 ) + x1 x2 = −3 ⇔ ⎨ ⎨ ⎪a = −4 ⎪2 x1 x2 ( x1 + x2 ) = a 2 ⎪⎩b = ⎪x x = − b ⎩ ⇒ tiếp tuyến (C) hai điểm phân biệt (d): y= -4x+1 Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình : x − x − = ⇔ x= -1 V x= Vậy tiếp điểm ; A (-1,5) ; B (2,-7) 2/ Tương tự y = 5x - ; C (1,2) ; D (-3,-18) 3/ Tương tự y = 2x - 13; E (-1,-15) , F (4,-5) (m − 1) x − (5m + 2) x + 2m − 14 Cho (C) : y = (d) : y = 2mx + x−3 Xác đònh m để (C) (d) cắt điểm phân biệt A, B Gọi M giao điểm (d) trục Oy Tính theo m toạ độ điểm N (d) thoả mãn hệ thức uuur uuur NA MA uuur = − uuur NB MB Tìm quỹ tích điểm N m thay đổi Phương trình hoành độ giao điểm (C) (d): (m − 1)x − (5m + 2)x + 2m − 14 =2mx+2; x ≠ x −3 ⇔ (m + 1) x + (4 − m) x + − 2m = (1) (d) cắt (C) hai điểm A, B phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎧ ⎧m + ≠ ⎪m < − V m > ⇔⎨ ⎨ ⎩Δ = 9m − 32m − 16 > ⎪⎩ m ≠ -1 uuur uuur ⎛x −x ⎞ x −x NA MA uuur = − uuur ⇔ A N = − ⎜ A M ⎟ xB − x N NB MB ⎝ xB − xM ⎠ ⇔ ( x A + x B ) x N = x A xB ⇔ x N = yN = 2mxN + = − 8m ⇒ N (-4,2-8m) ⎧2 − y ≠ −1 ⎪ m ≠ − ⎧ ⎧ y ≠ 10 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎡ y < −30 ⎪⎡ − y xN = -4 ⇒ N ∈ ( d ) : x = -4 giới hạn bởi: ⎨ ⎢⎡ m < − ⇔ ⎨⎢ < − ⇔ ⎨⎢ ⎪⎢ ⎪ ⎢ y > 50 ⎪⎢ ⎪⎩ ⎣ m > ⎪⎢ − y ⎪⎩ ⎣ ⎪ ⎢⎣ > ⎩ 50 Quỹ tích điểm N phần đường x = -4 , ứng y< -30 V y > với y ≠ 10 Cho hàm số : y = − x3 + 3x − ; (C) Tìm điểm thuộc đồ thò (C) mà qua kẻ tiếp tuyến tới đồ thò (C) Gọi M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = − x03 + x02 − Phương trình đường thẳng (t) qua M có hệ số góc k có dạng y = k ( x − x0 ) + y0 ⎧⎪− x + x − = k ( x − x0 ) + y0 (t) tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm : ⎨ với y0 = − x03 + x02 − 2 ⎪⎩−3 x + x = k ⇔ ( x − x0 ) ⎡⎣ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) ⎤⎦ = ⎡ x − x0 = ⇔⎢ ⎣ −2 x + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3) = 0;(3) ⎡ x = x0 ⇔⎢ ⎣ (3) : Δ = 9( x0 − 1) > 0, ∀x0 ≠ ⎡ x = x0 ⇔⎢ ⎢ x = x0 Vx = − x0 ⎣ ⎡ k = −3 x0 + x0 ⎡ x = x0 ⎢ ⇔⎢ ⇒⎢ − x ⎛ − x0 ⎞ ⎛ − x0 ⎞ ⎢x = + 6⎜ k = −3 ⎜ ⎟ ⎟ ⎢ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ − x0 Muốn có tiếp tuyến − x0 với (C) , điều kiện cần đủ tiếp điểm phải trùng ⇔ x0 = ⇔ x0 = 1, y0 = Khi hệ số góc tiếp tuyến k = Vậy qua M ( x0 , y0 ) ∈ (C ) có tiếp tuyến với tiếp điểm x = x0 , x = Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Kết luận : Vậy có tiếp tuyến (C) : y=3(x -1) với tiếp điểm M (1, 0) Cho đường cong y = − x3 + 3x + tìm điểm trục hoành cho từ vẽ tiếp tuyến với đường cong Gọi M ( x0 , 0) ∈Ox : Đường thẳng qua M có dạng y = k ( x − x0 ) ;(t) (t) tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm: ⎪⎧ − x + x − = k ( x − x0 ) ⇔ ( x + 1) ⎣⎡ x − (3 x0 + 2) x + x0 + ⎦⎤ = 0;(1) ⎨ ⎪⎩ −3 x + x = k Qua M ( x0 , 0) vẽ tiếp tuyến với đường cong : (1) có nghiệm phân biệt ⎧⎪Δ = (3x0 + 2) − 8(3x0 + 2) > ; f ( x) = x − (3 x0 + 2) x + x0 + ⇔⎨ ⎪⎩ f ( −1) = x0 + > ⇔ x0 < 1; −1 < x0 < − ; x0 > Viết phương trình tiếp tuyến chung y = x − x ; y = x3 + x − Gọi y= ax+b tiếp tuyến chung giả sử x1 , x2 hoành độ tiếp điểm Với y = x − x y = x3 + x − Khi hệ sau có nghiệm ⎧ ⎧ x12 − x1 = ax1 + b;(1) ⎪b = x12 − x1 − x1 (2 x1 − 2) = − x12 ⎪ ⎪ 3x + ⎪2 x1 − = a;(2) ⎪ ⇒ ⎨ x1 − = 3x2 + ⇒ x1 = ⎨ ⎪ x2 + x2 − = ax2 + b;(3) ⎪ ⎪3 x + = a;(4) ⎪ (3 x2 + 4) 2 ⎩ 2 (3 2) x x x x + − = + − ⎪ 2 2 ⎩ ⎧9 x2 − x2 + 24 x2 = ⎪ ⎧ x2 = ⎪a = x2 + ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇒ ⎨a = ⇒ y = x − x2 + ⎪ x1 = ⎪b = −4 ⎩ ⎪ ⎪⎩b = − x1 Cho hàm số y = x+2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thò hàm số qua A (-6,5) x−2 Phương trình đường thẳng qua A (-6,5) có hệ số góc k : y = k ( x + 6) + , (d) (d) tiếp tuyến đồ thò (C) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 4 ⎧ ⎧ ⎪⎪1 + x − = k ( x + 6) + ⎪⎪1 + x − = k ( x − 2) + 8k + ⇔⎨ ⎨ ⎪− ⎪− = k =k ⎩⎪ ( x − 2) ⎩⎪ ( x − 2) 4 ⎧ ⎪⎪1 + x − = − x − + 8k + ⎪⎧ = 2k + ⇔⎨ ⇔ ⎨x−2 ⎪− ⎪−(2k + 1) = k =k ⎩ ⎪⎩ ( x − 2) ⎡ k = −1 1 ⇔⎢ với k = -1 :y= -x -1 với k = − : y = − x + ⎢k = − 4 ⎣ Cho hàm số y = + mx − 3x Với giá trò m tiếp tuyến đồ thò điểm có hoành độ x = 4x + m vuông góc với tiệm cận • • • Tiệm cận đứng : x + m = Tiệm cận xiên : y = − x + m 16 2 12 x − 6mx + m − 16 y' = (4 x + m)2 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thò x0 = y '(0) = tiếp tuyến vuông góc với TCĐ k = ⇔ m − 16 =k m2 m − 16 = ⇔ m = ±4 m2 TCX ⇔ − k = −1 vô nghiệm ⇒ tiếp tuyến x = vuông góc TCĐ m = ±4 Cho hàm số ( Hm) : y = mx − x+m−4 1/ Đònh m nguyên để hàm số nghòch biến khoảng xác đònh 2/ Với m= Tìm điểm (H) mà tiếp tuyến (H) lập với Ox góc dương 1350 Viết phương trình tiếp tuyến m − 4m + Hàm số nghòch biến khoảng xác đònh ⇔ y ' < ⇔ m − 4m + < ( x + m − 4) 1< m < ⎫ ⇔ ⎬⇒ m= gt : m ∈ Ζ ⎭ 2x − 2/ m=2 ⇒ y = x−2 1/ y ' = Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Gọi M ( x0 , y0 ) ∈ ( H ) ⇒ y0 = x0 − x0 − ⎫ ⎪ =1 ⎬⇒ ( x0 − 2) ⎪ k = y '0 = tan135 = −1⎭ y '0 = − ( x0 − 2) ⎡ x0 = 3; y0 = ⎡ M (1,1) ⇒⎢ →⎢ ⎣ M (3,3) ⎣ x0 = 1; y0 = M : y = −x + phương trình tiếp tuyến M : y = −x + Cho hàm số y = x2 − x + x −1 1/ Chứng tỏ đường thẳng y = có điểm M kẻ đến (C) tiếp tuyến // Ox 2/ Chứng tỏ đường thẳng y = có điểm từ điểm kẻ đến (C) tiếp tuyến lập với góc 450 ĐS: 1/ M (1, 7), M (2, 7), M (3, 7) 2/ M1 (−3 ± 6); M (5 ± 2) x + mx + m Cho hàm số y = ; đồ thò (Cm) ; m tham số Tìm m để đồ thò hàm số cắt trục hoành hai x+2 điểm phân biệt tiếp tuyến điểm vuông góc với x + mx + m = có hai nghiệm phân Đồ thò hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt phương trình : x+2 ⎧ Δ = x − 4m > biệt x + mx + m =0 có nghiệm phân biệt x ≠ −2 ⇔ ⎨ ⎩ − 2m + m ≠ ⎡m < Vậy với m< V m > đồ thò hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt A, B có hoành ⇔⎢ ⎣m > độ xA , xB nghiệm phương trình : x + mx + m = Hai tiếp tuyến A B vuông góc với ⇔ y '( A) y '( B ) = −1 ⎛ x + x A + m ⎞ ⎛ xB + xB + m ⎞ ⇔⎜ A ⎟⎜ ⎟ = −1 2 ⎝ ( x A + 2) ⎠ ⎝ ( xB + 2) ⎠ ⇔ (4 − m) x A xB + [ x A xB + 2( x A + xB ) + 4] = 0, (1) ⎧ x A xB = m Với ⎨ (1) ⇔ (4 − m) m + (4 − m ) = ⎩ x A + xB = − m ⎡ m= (loai) m >4 ⎢ m= -1 ( nhân) m< ⇔ m = −1 ⎣ Cho hàm số y = x3 + mx + có đồ thò (Cm) Tìm m để đường thẳng (d) : y= -x+1 cắt (Cm) điểm phân biệt A (0,1) , B,C cho tiếp tuyến B C (Cm) vuông góc Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ⎡x = Ta có : x3 + mx + = − x + ⇔ ⎢ Để (d) cắt (Cm) điểm phân biệt f(x) = ⎢⎣ f ( x ) = x + mx + = buộc có nghiệm phân biệt khác ⇔ Δ ' f = m2 − > ⇔ m< -2 V m > ⎧ x1 + x2 = m (I ) x1 , x2 hoành độ B C thoả : ⎨ ⎩ x1 x2 = Ta có hệ số góc tiếp tuyến B : k1 = y '( x1 ) = (3x12 + 2mx1 ) hệ số góc tiếp tuyến tai C : k2 = y '( x2 ) = (3x2 + 2mx2 ) Để tiếp tuyến B C vuông góc thì: k1k2 = −1 ⇔ x1 x2 ⎡⎣9 x1 x2 + 6m( x1 + x2 ) + 4m ⎤⎦ = −1; ( II ) Từ (I) (II) ⇒ m = ⇒ m = ± thoả m< -2 Vm> Vậy m = ± thoả toán Cho đường cong (Cm) : y = − x3 + mx − m đường thẳng (d k ) : y= k(x+1)+1 Tìm điều kiện k m để (d k ) cắt (Cm) điểm phân biệt Tìm k để (d k ) cắt (Cm) thành đoạn (d k ) : y=k(x+ 1)+1 qua A(-1,1) nên (d k ) có điểm chung (Cm) A Phương trình hoành độ giao điểm (d k ) (Cm) : − x + mx − m = k(x+1)+1 ⇔ ( x + 1) ⎡⎣ x − (1 + m) x + m + k + 1⎤⎦ = ⎡x = ⇔⎢ ⎣ g ( x) = x − (1 + m) x + m + k + = Để (d k ) cắt (Cm) điểm phân biệt g(x)= có nghiệm phân biệt khác -1 ⎧ ⎧⎪Δ g > ⎪k < (m − 2m − 3) ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪⎩k ≠ −2m − ⎩⎪ g ( −1) ≠ Do (d k ) qua A (-1,1) ∈ (Cm) nên (d k ) cắt (Cm) thành đoạn (d k ) qua điểm uốn 2 ⎛m ⎞ ⎛m ⎞ I ⎜ , − m + m3 ⎟ (Cm) toạ độ I thoả (d k ) : − m + m3 = k ⎜ + 1⎟ 27 ⎠ 27 ⎝3 ⎝3 ⎠ 4m 2(m + 1) ⇒k = − 27(m + 1) m+2 x + 3x + a , a tham số x +1 1/ Khảo sát vẽ đồ thò : a= ; S( H ) = (C ) , TCX x=1, x= S( H ) = (C ) , TCX x= -3, x= -2 Xét hàm số y = 2/ Với giá trò tham số a đồ thò hàm số có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ hệ trục toạ độ ? CMR đồ thò hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x2 + 2x + − a ; x ≠ tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác , góc phần tư thứ y=x đường ( x + 1)2 thẳng có phương trình : y= -x +m (t) với (t) tiếp tuyến của(C) hệ sau cónghiệm ⎧ x + 3x + a ⎪ x + = − x + m, (1) ⎪ ⎨ ⎪ x + x + − a = −1, (2) ⎪⎩ ( x + 1) y' = (1) có nghiệm x ≠ ⇔ x + 3x + a = (− x + m)( x +1) có nghiệm x ≠ −1 ⎧⎪(4 − m) − 4.2( x − m) ≥ ⇔⎨ ⎪⎩ g ( −1) = 2(−1) + (4 + m)(−1) + a − m ≠ ⎧m ≥ 8a + 16 ⇔⎨ ⎩a ≠ (2) có nghiệm x ≠ −1 ⇔ x + x + − a = −( x + 1) Có nghiệm x ≠ −1 ⇔ 2( x + 1) = a − có nghiệm x ≠ −1 ⎧⎪a − ≥ ⎧a ≥ ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔a>2 ⎪⎩h( −1) = 2(−1 + 1) ≠ a − ⎩a ≠ ⎧c ≥ 8a − 16 Điều kiện chung hệ (1),(2) để có nghiệm x ≠ −1 : ⎨ ⎩a > Với a > , y'= ⇔ x2 + x + − a =0 ( x + 1) ⎧ x + x + − a = 0; Δ ' = a − ⇔⎨ ⎩ x ≠ −1 y'= có Δ ' = a − > , có nghiệm phân biệt , nên đổi dấu lần qua nghiệm Hàm số có cực đại , cực tiểu Có thể kiểm nghiệm với a = ⇒ C ≥ chọn C = ⇒ C = ±3 Khi có tiếp tuyến : ⎛ 4⎞ ⎛ 10 ⎞ y = -x – ; y = -x + Lần lượt tiếp xúc với (C) M ⎜ − , − ⎟ ; M ⎜ − , ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ Cho hàm số : y = x + 1+ ; có đồ thò (C) x −1 Tìm quỹ tích điểm mặt phẳng từ dựng tiếp tuyến với (C) tiếp tuyến vuông góc với Gọi M(x0 , y0) điểm thuộc mặt phẳng ; x0 ≠ Đường thẳng qua M, có hệ số góc la k dạng : y = k( x – x0) + y0 ; (d) Phương trình hoành độ (d) (C) là: k(x- x0) + y0 = x + + (k – 1)x2 – ((x0 + 1)k – y0)x + kx0 – y0 – = (*) x −1 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Để (d) tiếp xúc (C) (*) có nghiệm kép ⎧k ≠ ⎧k − ≠ ⎨ ⎨ 2 ⎩Δ = ⎩ g (k ) = ( x0 − 1) k + ( x0 + y0 + 5)k + ( y0 − 2) − 16 = Để từ M kẻ tiếp tuyến vuông góc g(k) = phải có nghiệm phân biệt k1, k2 cho k1k2 = -1 k ≠ ⎧ ( y0 − 2) − 16 = −1 ⎪ ⎪ ( x0 − 1) ⎪ ⎨ g (1) ≠ ⎪( x − 1) ≠ ⎪ ⎪⎩ ⎧⎪( x0 − 1) + ( y0 − 2) = 16 ⎨ ⎪⎩ x0 ≠ => y0 ≠ ∨ y0 ≠ −2 Vậy quỹ tích điểm M từ kẻ tiếp tuyến vuông góc đến đồ thò (C) đường tròn tâm I(1,2) , bán kính R = có phương trình : (x -1)2 + (y – 2)2 = 16 trừ điểm : (1,-2) (1, 6) Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx +1 ; có đồ thò (Cm) Chứng minh với m (Cm) cắt đồ thò (C) : y = x3 + 2x2 + hai điểm phân biệt A B Tìm quỹ tích trung điểm I AB Xác đònh m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0,1); D E Tìm m để tiếp tuyến (Cm) D E vuông góc với Tìm a để x : f(x) = (x -2)2 + x − a ≥ Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) (C) : x3 + 3x2 + mx +1 = x3 + 2x2 +7 f(x) = x2 +mx – = f(x) = có 2nghiệm phân biệt (Vì Δ f = m2 + 24 > 0) A,B thỏa A(x1, x13 + x12 + ) ; B( x2 , x23 + x22 + ) ; với x1, x2 nghiệmsố củaf(x) = có x1 + x2 = -m Gọi I tọa độ trung điểm AB : x1 + x2 −m ⎧ ⎪⎪ xI = = I⎨ 3 ⎪ y = y1 + y2 = x1 + x2 + ( x + x ) + = −m − 18m + m2 + 19 ⎪⎩ I 2 m = − x ⎧ I ⎪ =>yI = xI3 + xI2 + 18 xI + 19 ⎨ −(−2 xI )3 − 18(−2 xI ) + (−2 xI ) + 19 ⎪ yI = ⎩ Vậy quỹ tích trung điểm I đường cong : y = 4x3 + 4x2 +18x +9 Phương trình hoành độ giao điểm (Cm) y = : x3 + 3x2 +mx + = x(x2 + 3x + m) = ⎡x = ⎢ ⎣ g ( x) = x + 3x + m = 0(2) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Để (Cm) cắt y = điểm C(0,1) ; D E (2) có hai nghiệm phân biệt khác ⎧9 − 4m > ≠ m < ⎨ ⎩m ≠ ⎧ xD + xE = −3 Khi gọi xD , xE hoành độ D,E ta có : ⎨ ⎩ xD xE = m Tiếp tuyến (Cm) D, E vuông góc y '( xD ) y '( xE ) = −1 ⇔ (3xD2 + xD + m)(3xE2 + xE + m) = −1 ⇔ xD2 xE2 − m[( xD + xE )2 − xD xE ] + m = −1 4m2 – 9m + = m = Vậy m = ± 65 ;0 ≠ m < ± 65 f(x) = (x – 2)2 + x − a ≥ 3, đặt g(x) = (x -2)2 + x − a − ta cần chứng minh f(x) ≥ g(x) ≥ ; ∀x * Nếu x – a ≥ x ≥ m ; khiđó g(x) = (x – 2)2 +2(x – a) – có: g’(x) = 2x - ; g’(x) = x = x g’(x) g(x a - +∞ + -2a x ≥ a =>a ≤ => g(x) = -2a >0 a ≤ *Nếu x – a ≤ 0; g(x) = (x – 2)2 - x − a − ; g’(x) = 2x – g’(x) =0 x = x g’(x) g(x) −∞ - + a 2a – x ≤ a => a ≥ =>min g(x) = 2a – ≥ => a ≥ Vậy a ≤ ∨ a ≥ +∞ [...]... toán 3 Cho hàm số y = x 4 − 4x 3 + 3 , có đồ thò là (C) 1.Chứng minh rằng tồn tại một tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc với đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt 2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ 2 với đồ thò song song với tiếp tuyến vừa kể Cho biết hoành độ tiếp điểm 3.Dựa vào các kết quả trên , tuỳ theo tham số m , suy ra số nghiệm phương trình : x 4 − 4x 3 + 8x + m = 0 1 .Tiếp tuyến tại 2 điểm của (C) dạng... 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎣ 3 − x0 Muốn có 1 và chỉ 1 tiếp tuyến 2 3 − x0 với (C) , điều kiện cần và đủ là 2 tiếp điểm phải trùng nhau ⇔ x0 = ⇔ x0 = 1, y0 = 0 Khi đó hệ số 2 góc của tiếp tuyến là k = 3 Vậy qua M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) có 2 tiếp tuyến với tiếp điểm x = x0 , x = Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Kết luận : Vậy có tiếp tuyến duy nhất của (C) là : y=3(x -1) với tiếp điểm M 0 (1, 0) Cho đường cong y = − x3... -x -1 với k = − : y = − x + 1 ⎢k = − 4 4 2 ⎣ 4 Cho hàm số y = 4 + mx − 3x 2 Với giá trò nào của m thì tiếp tuyến của đồ thò tại điểm có hoành độ x = 0 4x + m vuông góc với tiệm cận • • • Tiệm cận đứng : 4 x + m = 0 3 7 Tiệm cận xiên : y = − x + m 4 16 2 2 12 x − 6mx + m − 16 y' = (4 x + m)2 Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thò tại x0 = 0 là y '(0) = tiếp tuyến vuông góc với TCĐ thì k = 0 ⇔ m 2 − 16 =k m2... m + m3 ⎟ của (Cm) khi đó toạ độ I thoả (d k ) : − m + m3 = k ⎜ + 1⎟ 27 ⎠ 27 ⎝3 ⎝3 ⎠ 3 4m 2(m + 1) ⇒k = − 27(m + 1) m+2 x 2 + 3x + a , a là tham số x +1 1/ Khảo sát và vẽ đồ thò khi : a= 3 ; S( H ) = (C ) , TCX x=1, x= 5 hoặc S( H ) = (C ) , TCX x= -3, x= -2 Xét hàm số y = 2/ Với những giá trò nào của tham số a thì đồ thò của hàm số trên có tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất của hệ trục... 2 − 16 = 0 ⇔ m = ±4 m2 3 TCX ⇔ − k = −1 vô nghiệm 4 ⇒ tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc TCĐ khi m = ±4 Cho hàm số ( Hm) : y = mx − 3 x+m−4 1/ Đònh m nguyên để hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh 2/ Với m= 2 Tìm những điểm trên (H) mà tại đó tiếp tuyến của (H) lập với Ox 1 góc dương 1350 Viết phương trình tiếp tuyến m 2 − 4m + 3 Hàm số nghòch biến trên từng khoảng xác đònh ⇔ y ' < 0 ⇔ m... 0 ⎪ 2 ⎧ x2 = 0 ⎪a = 3 x2 + 2 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇒ ⎨a = 2 ⇒ y = 2 x − 4 3 x2 2 + 4 ⎪ x1 = ⎪b = −4 2 ⎩ ⎪ 2 ⎪⎩b = − x1 Cho hàm số y = x+2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số đi qua A (-6,5) x−2 Phương trình đường thẳng qua A (-6,5) có hệ số góc là k : y = k ( x + 6) + 5 , (d) (d) là tiếp tuyến của đồ thò (C) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 4 4 ⎧ ⎧ ⎪⎪1 + x − 2 = k ( x + 6) + 5 ⎪⎪1 + x − 2 = k ( x − 2) + 8k + 5... x = -4 , ứng y< -30 V y > với y ≠ 10 9 Cho hàm số : y = − x3 + 3x 2 − 2 ; (C) Tìm các điểm thuộc đồ thò (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến tới đồ thò (C) Gọi M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = − x03 + 3 x02 − 2 Phương trình đường thẳng (t) qua M có hệ số góc là k có dạng y = k ( x − x0 ) + y0 ⎧⎪− x 3 + 3 x 2 − 2 = k ( x − x0 ) + y0 (t) tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm : ⎨ với y0 = −... trình tiếp tuyến tại 1 M 2 : y = −x + 6 Cho hàm số y = 2 x2 − x + 1 x −1 1/ Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 3 điểm M kẻ được đến (C) chỉ 1 tiếp tuyến // Ox 2/ Chứng tỏ trên đường thẳng y = 7 có 4 điểm sao từ điểm đó có thể kẻ đến (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 góc 450 ĐS: 1/ M 1 (1, 7), M 2 (2, 7), M 3 (3, 7) 2/ M1 (−3 ± 2 6); M 2 (5 ± 2 2) x 2 + mx + m Cho hàm số y = ; đồ thò (Cm) ; m tham số Tìm... = 1 ± 3 Vô nghiệm (3m + 1)x − m 2 + m Cho hàm số y = , m ≠ 0 có đồ thò là (Cm) x+m 1.Với giá trò nào của m thì giao điểm của đồ thò với trục hoành , tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y = x – 20 Viết phương trình tiếp tuyến ấy 2.CMR : (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố đònh 3.Trên đường thẳng x = 1 , chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường nào của (Cm) đi qua 1 (Cm) ∩ Ox : (3m + 1)x 0 −... (Cm) ; m tham số Tìm m để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại hai x+2 điểm phân biệt và tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau x 2 + mx + m = 0 có hai nghiệm phân Đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt khi phương trình : x+2 ⎧ Δ = x 2 − 4m > 0 biệt khi x 2 + mx + m =0 có 2 nghiệm phân biệt x ≠ −2 ⇔ ⎨ ⎩ 4 − 2m + m ≠ 0 ⎡m < 0 Vậy với m< 0 V m > 4 thì đồ thò hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm