Nâng cao kỹ năng giải toán trắc nghiệm 100% dạng bài hàm số và các bài toán liên quan – tô thị nga vấn đề 4 tiếp tuyến của đồ thị hàm số file word image marked

VẤN ĐỀ 4: TIẾP TUYẾN CỦ A ĐỒ THI ̣ HÀ M SỐ I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CÁC KHÁI NIỆM VỂ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG PHẲNG Trên mặt phẳng tọa độ Oxỵ cho đường cong (C), Giả sử (C) đồ thị hàm số y = f(x) M (x0;f (x0))  (C) Kí hiệu M(x;f (x)) điểm di chuyển (C) Đường thẳng MM0 cát tuyến (C) Nhận xét X → x0 M(x;f (x)) di chuyển (C) tới điểm M0 (x0;f (x0)) ngược lại Giả sử cát tuyến MM0 có vị trí giới hạn, kí hiệu M0T M0T gọi tiếp tuyến (C) M0 Điểm M0 gọi tiếp điểm II CÁC DẠNG BÀ I TẬP DẠNG 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌ NH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THI ̣ Bài toán Cho đ thị (C): y = f ( x ) v điểm M (x0; y )  (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(x0;y0) Phương pháp giải Phương trình tiếp tuyến M(x0;y0) (C) là: y-y0 = f ' (x0)(x-x0) Bài tâ ̣p A Khởi đô ̣ng Bài tâ ̣p 1: Cho đồ thị (C):y = f(x) = - x + 2x2 Phương trình tiếp tuyến với đổ thị (C) A − 2;0 là: ( ) (A) y = x + (B) y = x − (C) y = x + (D) y = x + Giải: Ta có: y ' = f ' (x) =-4x3+4x  f ' (− 2) = ( )  Phương trình tiếp tuyến A − 2;0 là: y = f '(− 2)(x + 2) + f (− 2) = 2( x + 2) + = x +  y = 2x +  Cho ̣n A Bài tâ ̣p 2: Cho đổ thị hàm số (C): y = f (x) = x3 -3x2 + 2x - Phương trình tiếp tuyến (C) có hồnh độ tiếp điểm là: (A)y = x -7; (B) y = 2x -9; (C)y = 2x +1; (D) y = -2x -1 Giải: Ta có: y' = 3x2 - 6x + x0 = => y0 = -5 ; y'(2) =  Phương trình tiếp tuyến M(2; -5) là: y = y'(2)(x-2)+y(2)  y = 2(x-2)-5 hay y = 2x-9  Cho ̣n B Chú ý: + Khi biết yếu tố hoành độ tiếp điểm tung độ tiếp điểm ta phải tìm yếu tố lại để viết phương trình tiếp tuyến + Sử dụng Casio: Để tính f ' (2) ta nhập d (X3 − X + X − 5) nhấ n bằ ng ta dx x =2 đươ ̣c kế t quả f '(2) = Cách tin ́ h này các em nên dùng cho những bài toán viế t tiế p tuyế n của hàm số da ̣ng phức ta ̣p Bài tâ ̣p 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y = f (x) = x3 - 3x2 + 2x - Biết tung độ tiếp điểm (A)y = 107x + 536; (B) y = 107x + 534; (C) y = 11x - 32; (D) y = 11x – 34; Giải: y0 =  x03 − 3x02 + x0 − =  x03 − 3x02 + x0 − =  x02 ( x0 − 3) + 2( x0 − 3) =  ( x0 − 3)( x02 + 2) =  x0 = Ta có: y' = 3x2 -6 x + 2,  y'(3) = 11  Phương trình tiếp tuyến điểm M(3; 1) là: y = y'(3)(x - 3) + y(3)y = 11(x-3) + l hay y = 11x - 32  Cho ̣n C Bài tâ ̣p : Cho đồ thị (C): y = f (x) = x - x2 +1 Phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) với Ox là: (A)y = 0; (B) y = ; (C) y = 4x + 5; (D )y = 4x-21 Giải: Hoành độ giao điểm (C) với Ox nghiệm phương trình: x - x2 +1 =  (x − 2)2 =  x =+− Ta có: y' = f'(x) = x3 -2x Phương trình tiế p tuyế n của (C) ta ̣i x0 = là: y = f '( 2)( x − 2) + f ( 2) = 0( x − 2) + = hay y = Phương trình tiế p tuyế n của (C) ta ̣i x0 = − là: y = f '(− 2)( x + 2) + f (− 2) = 0( x + 2) + = hay y =  Cho ̣n A Bài tâ ̣p 5: Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = -x3 + 3x2 + 9x + (A) Song song với đường thẳng x = (B) Song song với trục hồnh (C) Có hệ số góc dương (D) Có ̣ sớ góc bằ ng Giải: TXĐ: D = R Ta có: y' = -3x2 + x + = x =−1    x =3 Ta có: y” = -6 x + ; y’’(-1) = 12 >  x= -1 điểm cực tiểu, y”(3) = -12 < => x = điểm cực đại Hệ số góc tiếp tuyến điểm cực tiểu là: k = y '(-1) =  tiếp tuyến song song với trục hoành  Cho ̣n B L u ý : Có thể chọn nhanh phương án (B) cách lí luận sau: Vì f’(x) tổn với x  R nên x0 điểm cực trị f f(x0) =  Hệ số góc tiếp tuyến điểm cực trị x0 k = f'(x0) =  Chọn (B) Bài toán 6: Cho (C): y = f(x) = 2x3 -5x2 +3x-8 Khẳng định sau là SAI? (A)Mo ̣i tiế p tuyế n ta ̣i mô ̣t điể m bấ t kỳ (C) cóhê ̣ số góc không nhỏ − (B) Các phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với đường thẳng (D): y = 2x - 10 y = - x - 7và y = 19 25 x2 (C)Các phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với Parabol (P): y = x2 + 3x - y = 3x - y = 27x – 71 (D)Các phương triǹ h tiế p tuyế n của (C) ta ̣i giao điể m của (C) với đường cong (C’): y = x3- 4x2 + 2x -10 là y = 19x + và y = 5x – 20 Giải: Ta có: y’ = 6x2 – 10x + 5 7   y’ =  x −  −  − 6 6   Khẳ ng đinh ̣ A là đúng + Xét khẳ ng đinh ̣ B: Hoành đô ̣ giao điể m của (C) với (D) là nghiê ̣m của phương trin ̀ h  x = 2x -5x +3x-8=2x-10  (x-1)(x-2)(2x+1)=0   x =  x = −  - Tiếp tuyến x = có phương trình là: y = y'(2)(x-2) + y(2) = 7(x -2)- 6= 7x -20 hay y = 7x-20 - Tiếp tuyến x = có phương trình là: y = y’(l)(x-l) + y(l) = -l(x-l) - = -x-7 hay y = -x- - Tiếp tuyến x = 2 có phương trình là: 2 y= y’(- )(x+ )+y(- ) hay 19 25 19  1 19 25 hay y = x −  x +  − 11 = x − 2 2  Khẳ ng đinh ̣ B là đúng + Xét khẳ ng đinh ̣ C: Hoành đô ̣ giao điể m của (C) với (P) là nghiê ̣m của phương trin ̀ h x = 2x3-5x2+3x-8=x2+3x-8  2x2(x-3)=0   x = - Tiếp tuyến X = có phương trình là: y = y’(0)(x-0) + y(0) = 3x-8 hay y = 3x - - Tiếp tuyến X = có phương trình là: y = y'(3)(x -3) + y(3) = 27(x -3) +10 = 27x -71 hay y = 27x – 71  Khẳ ng đinh ̣ C là đúng + Xét khẳ ng đinh ̣ D: Hoành đô ̣ giao điể m của (C) với (C’) là nghiê ̣m của phương triǹ h  x = −1 2x3-5x2+3x-8 = x3 – 4x2 + 2x - 10  x2 – x – =   x = - Tiếp tuyến X = -1 có phương trình là: y = y’(-1)(x+1)+y(-1)=19(x+1)-18=19x+1 hay y =19x + -Tiế p tuyế n ta ̣i x = 2có phương triǹ h là y = y’(2)(x-2)+y(2)= (x -2) – = 7x – 20 hay y = 7x -20  Khẳ ng đinh ̣ D là sai  Cho ̣n D C h ú ý : Hoành độ tiếp điểm hồnh độ giao điểm (C) đường cong Bài tâ ̣p 7: Cho đổ thị (C): y = -x4 + 3mx2 -3m + l.Giá trị m để tiếp tuyến với đổ thị A(l; 0) B(-l; 0) vng góc với là: 2 (B) m= và m= ; (D) m= ; (A)m= ; (C)m= ; Giải: Do A( 1; 0)  (C); B(-1; 0)  (C) nên tiếp tuyến A B vng góc với  m =  y '(1) y '(−1) = −1  (−4 + 6m)(4 − 6m) = −1   m =   Cho ̣n B C h ú ý : Hai đường thẳng vng góc với (mà có hệ số góc khác 0) có tích hệ số góc -1 Bài tâ ̣p 8: Cho đồ thị (C): y = f (x) = (x + 1) (x -1) ;(P): y =g(x) =2x2 +m Có khẳng định ĐÚNG khẳng định đây? (A)0; (B) 1; (C) ; (D) KHẲNG ĐINH : (C) (P) tiếp xúc với m = ̣ KHẲNG ĐINH : Có tiếp tuyến chung tiếp điểm chung (C) ̣ với (P) KHẲNG ĐINH 3: Các phương trình tiếp tuyến chung tiếp điểm chung (C) ̣ với (P) y = 2x -7 y = Giải: + Xét khẳ ng đinh ̣ 1:  f ( x) = g ( x) có nghiê ̣m  f '( x) = g '( x) (C)và (P) tiế p xúc với   2    x − 2x + = x + m  m = x − x +  x = 0; m =          x = 2; m = −3 4 x − x = x  4 x( x − 2) = Vâ ̣y với m = hoă ̣c m = -3 thì (C) và (P) tiế p xúc với  Khẳ ng đinh ̣ là SAI + Xét khẳ ng đinh ̣ và 3: Với m = 1; x0 = (P): y = g(x) = 2x2 +1 Phương trình tiếp tuyến chung x0 = là: y = g ’(0) (x - 0) + g (0)  y = Với m = -3 ; x0 = (P): y = g(x) = x - Phương trình tiếp tuyến chung x0 = là: y = g '( 2)(x − 2) + g ( 2)  y = x − Vậy khẳng định sai khẳng định  Có tất khẳng định  Chọn B C h ú ý : Bài toán tiếp xúc đường cong (C): y = f(x) (C’): y = g(x) f '(x) = g'(x) có nghiê ̣m f(x) = g(x) Hai đường cong (C) và (C’) tiế p xúc với  Hê ̣   Bài tâ ̣p 9: Cho đô thị (c): y = x + 3x - 9x + Tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ có phương trình là: (A)y = -12x -28; (B) y = -12x + (C) y = -12 x – 2; (D) y = -12x +2 Giải: Tiếp tuyến M(x0 ; y0) có hệ số góc k = y'(x0) = 3x0 + 6x0 - =3(x0 +l) -12 >-12  Hệ số góc nhỏ - x0 = -1 Phương trình tiếp tuyến x0 = -1 là: y = y'(- 1)(x + 1) + y(- 1) = -12(x + 1) + 16 = -12x + hay y= -1 x +  Chọn B C h ú ý : Bài tính hệ số góc tính tọa độ tiếp điểm sau viết phương trình tiế p tuyế n Bài tâ ̣p 10: Cho đồ thị hàm số (Cm): y = x3 + - m (x + 2) Gọi A = (Cm )  Oy có giá trị m để tiếp tuyến với (Cm ) A chắn hai trục tọa độ tam giác có diện tích 16? (A)2; (B) 1; (C) 0; (D) Giải: Vì A = (Cm )  Oy  xA=0 Phương trình tiếp tuyến (C) A là: (  ): y = y'(0)(x-0) + y(0) = -mx + - 2m Ta có: ()  Oy = A(0;8 − 2m);()  Oy = B( − 2m ;0) m 1 − 2m SAOB = OA.OB = y A xB = − 2m = 16 2 m m= −3 + 13  có hai giá tri ̣của m thỏa man ̃  Chọn A C h ú ý : Tiếp tuyến A chắn trục tọa độ tam giác vuông gốc tọa độ O 3 Bài tâ ̣p 11: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) y = x − x + : điểm (C) mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = − x + (A)y = 3x -14/3 và y = 3x + 6; (B) y = 3x + 22/3 và y = 3x – 6; (C)y = 3x – 22/3 và y = 3x + 6; (D) y = 3x + 14/3 và y = 3x – Giải: Tuyế n tuyế n vuông góc với đường thẳ ng y = − x + Tiếp tuyến điểm M(x0 ;  x02 − =  x02 =  x0 = 2 y0) có nên có ̣ sớ góc k = 3 hệ số góc k = y'(x0) = Phương trình tiếp tuyến x0 = là: y = y'(2)(x-2) + y(2) = 3(x-2) + 4/3 = 3x - 14/3 hay y = 3x-14/3 Phương trình tiếp tuyến x = -2 là: y = y’(-2)(x + 2) + y(-2) = 3(x + 2) + hay y = 3x+  Chọn A C h ú ý : Hai đường thẳng vng góc với tích hai hệ sổ góc -1 Bài tâ ̣p 12 : Cho (Cm ): y = f (x) = x3 + mx2 + Tìm m để (Cm ) cắt đường thẳng y = -x +1 điểm phân biệt A(0; ), B, C cho tiếp tuyến với (Cm ) B C vuông góc với (A)m = hoă ̣c m = -5; (B) m = (C)m = -5; (D) m = Giải: Hoành độ giao điểm (Cm ) với đường thẳng y = -x +1 là nghiê ̣m của phương trình x + m x + = -x +  x + m x + x =  x ( x + m x + l ) = x =   g ( x) = x + mx + = 0(1) Vì A(0; 1) nên xB, xC nghiệm phân biệt phương trình (1) m     = m −  0; g (0)    m  −2     xB + xC = − m   xB + xC = − m x x = x x =  B C  B C   Vì tiếp tuyến B c vng góc với nên f'(xB)f'(xc) = -l  (3xB2 + 2mxB )(3 xC2 + 2mxC ) = −1  9( xB xC ) + 6mxB xC ( xB + xC ) + 4m xB xC = −1  9.12 + 6m.1.(−m) + 4m2 = −1  m2 =  m = 5 ( Thoa man) ̉ ̃  Chọn A Bài tâ ̣p 13: Cho đồ thi ̣ hàm số (C): y = (3m + 1) x − m2 + m (m  0) Tim ̀ tấ t cả các phương x+m trin ̀ h tiêp tuyế n của (C) ta ̣i giao điể m của (C) với tru ̣c Ox, biế t tiế p tuyế n đó song song với (  ): y +2016 = x (A)y = x +1; (B) y = x – 3/5 (C)y = x +1 và y = x -3/5; (D) y = x – Giải: (3m+ 1) x − m2 + m = 0(*) Giả sử: (C )  Ox = ( x0 ;0)  x0 + m y '( x) = Do 4m 4m  y '( x ) = ( x + m)2 ( x0 + m)2 tiế p tuyế n song song  x0 = m 4m  =   x = −3m ( x0 + m)2  với (  ):y +2016 + Với x0 = m thế vào (*)  2m(m + 1) =  m = −1 m  x0 = -1  Phương trình tiế p tuyế n : y = x +1 + Với x0 = -3m thế vào (*)  −2m(5m + 1) =0m=− −2m  x0 = -3/5  Phương trin ̀ h tiế p tuyế n : y = x -3/5 = x nên y’(x0) =  Chọn C Bài tâ ̣p 14: Có điể m đồ thi ̣ (C): y = x2 + x + mà tiế p tuyế n của nó vuông x +1 góc với tiê ̣m câ ̣n xiên của (C)? (A)2 điể m; (B) điể m; (C)0 điể m; (D) điể m Giải: Ta có: y = x +1 + nên TCX là: y = x +1 x +1 Vì tiế p tuyế n ta ̣i x = x0 vuông góc với tiê ̣m câ ̣n xiên nên tiế p tuyế n có ̣ số góc  −  y0 = −  x0 = − 1 k = y '(x ) = −1  − = −1  ( x0 + 1) =    ( x0 + 1) −  y0 =  x0 = 2   2  2  A  − − 1; − − 1;  ; B     2   Vâ ̣y có điể m (C) thỏa mañ đề bài  Chọn A Bài tâ ̣p 15: Cho đồ thị (C): y = x +1 Mọi tiếp tuyến (C) tạo với tiệm cận (C) x −1 tam giác có diện tích khơng đổi bằng: (A) đvdt; (B) đvdt; (C) đvdt; (D) đvdt Giải:  Xétđiể m M  x0 ;  x0 +    (C ) Tiế ptuyế nta ̣iMcóphươngtrình: x0 −  y = y '( x0 )( x − x0 ) + f (x ) = − ( x0 − 1) ( x − x0 ) + x0 + x0 − TCĐ: x =1; TCN: y = Go ̣i A, B theo thứ tự là các giao điể m của tiế p tuyế n với tiê ̣m câ ̣n đứng và tiê ̣m câ ̣n ngang; E là giao điể m của tiê ̣m câ ̣n xA =  y A = − yB =  = − ( x0 − 1) ( x0 − 1) 2 (1 − x0 ) + ( xB − x0 ) +  xB = x0 −  xB = x0 − x0 + x + x0 + = + = x0 − x0 − x0 − x0 − x0 +  ( x0 − 1) = −2 xB + x0 + x02 − x0 − Do đó: EA = y A − yE = x0 + −1 = ; EB = xB − xE = x0 − − = x0 − x0 − x0 − 1 S EAB = EA.EB = 4(đvdt)  Các tiếp tuyến đồ thị tạo với tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi đvdt  Cho ̣n (A) x − 3x + Bài tâ ̣p 16: Cho đồ thị (C): y = x − điểm M thuộc C Gọi I giao điểm tiệm cận Tiếp tuyến M cắt tiệm cận A B Có khẳng định khẳng định đây? (A)1; (B)2; (C) 3; (D) (A)M trung điểm AB (B)Tích khoảng cách từ M đến đường tiệm cận không đổi (C) S IAB không đổi (D)Để chu vi  IAB nhỏ hồnh độ điểm M bằ ng  Giải: x − 3x + x x 1  = −1 +  TCĐ : x = 1vaTCX : y = −  I 1; −  2x − 2 x +1 2    m Go ̣i M  m; − +   (C ) m −1   1 1 Tacó: y '( x) = −  y '(m) = − 2 ( x − 1) (m − 1) Ta có: y = Phương trình tiế p tuyế n của (C) ta ̣i M là: 1  m () : y = y '(m)( x − m) + y (m)  () :  − x − m + −1 + 2 m −1  (m − 1)  1  (  ) giao với TCĐ ta ̣i điể m A 1; −   m −1  3  (  ) giao với TCX ta ̣i điể m B  2m − 1; m −  2  Do tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x nên tiếp tuyến có hệ số góc -9 Gọi tiếp điểm có hồnh độ x0  y '( x0 )  3x02 − 12 x0 =  3( x02 − x02 + 3) =  ( x0 − 1)( x0 − 3) =  x0 =   x0 = Phương trình tiếp tuyến x0 = là: y = -9(x -1) + y (l) = -9 (x -1) - = -9x +  y = -9x + Phương trình tiếp tuyến x0 = là: y = -9(x -3) + y(3) = -9(x -3)-27 = -9x  y = 9x  chọn D Chú ý: Hai đường thẳng vng góc với tích hai hệ số góc -1 (trong trường hợp đường thẳng không song song với trục tọa độ) Bài tâ ̣p 3: Tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x3 - 9x2 -1 song song với đường thẳng y = -27x + 2017 có phương trình là: (A) y = -27x + 82; (B) y = -27x + 80; (C)y = -27x - 80; (D) y - -27x - 82 Giải: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -27x + 2017 nên có hệ số góc -27 Gọi tiếp điểm có hồnh độ x0  y '( x0 ) = 3x02 − 18 x0 = −27  3( x0 − 3) =  x0 =  Phương trình tiếp tuyến x0 = là: y = -27 (x - 3)+ y(3) = -27(x -3)-l = -27x + 80  -27x + 80  Cho ̣n B Chú ý: Hai đường thẳng song song với có hệ số góc Bài tâ ̣p 4: Cho (C) : y = 2x − phương trình tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc 45° x +1 (A)y = -x + y = -x - 5; (B) y = -x + 3; (C) y = -x - y = -x + 5; (D) y = -x+ Giải: Vi tiếp tuyến (C) tạo với Ox góc 45° nên hệ số góc k tiếp tuyến thỏa mãn k =  k = 1 Vì y ' = − ( x + 1)  nên k = - Hoành đô ̣ tiế p điể m là nghiê ̣m của phương trình: y '( x) = −1  −  x =  y = −3 = −1   ( x + 1)  x = −2  y = Phương trình tiếp tuyến x = là: y = - (x-0) + y(0) = -x - Phương trình tiếp tuyến x = -2 là: y = - 1(x + 2) + y(-2) = -x +5  Cho ̣n C Chú ý: Đường thẳ ng (D): y = ax + bta ̣o với đường thẳ ng (d1): y = ax1 + b1 góc  thì tan  = a − a1 + aa1 Bài tâ ̣p : Các phương trình tiếp tuyến (C):y = x3 -3x2+2 vng góc với đường thẳng (D): 5y - 3x + = là: 5 62 29 và y = − x + 27 27 5 62 29 và y = − x + 27 27 29 27 62 27 (A) y = − x + (B) y = − x − (C) y = − x + (D) y = − x + Giải: Hê ̣ số góc của đường thẳ ng ( D) là 3/5 Mà tiế p tuyế n vuông góc với (D) nên ̣ số góc của tiế p tuyế n là -5/3  x0 =   3x02 − x0 = −   Go ̣i hoành đô ̣ của tiế p điể m là x0  y’(x0) = -5/3 x =  Phương trình tiế p tuyế n ta ̣i x0 = 5/3 là: 5 5 25 46 29 5 y = −  x − + y  = − x + − =− x+ 3 3 27 27 3 Phương trình tiế p tuyế n ta ̣i x0 = 1/3 là: 5 1 5 46 62 1 y = −  x − + y  = − x + + = − x+ 3 3 27 27 3  Cho ̣n A C h ú ý : Bài cần xác định hệ số góc đường thẳng (D) trước sử dụng tính chất hai đường thẳng vng góc với có tích hệ số góc -1 Bài tâ ̣p 6: Cho (Cm): y = x + mx2 - m -1 Gọi A điểm cố định có hồnh độ dương (Cm ) Giá trị m để tiếp tuyến với đồ thị A song song với đường thẳng y = x + là: (A)m = - 23/12; m = -5 (B) m = -25/12; (C) m = 1; (D) Giải: Xét phương triǹ h y0 = x04 + mx02 − m − 1m  m( x02 − 1) + ( x04 − − y0 ) = 0m  x02 − =  x0 = 1    Điể m cố đinh ̣ A(1;0)  x0 − − y0 =  y0 = Tiế p tuyế n với đồ thi ̣ta ̣i A(1;0) và song song với y = 6x +1  y '(1) =  + m =  m =  Cho ̣n C Bài tâ ̣p 7: Cho đố thi ̣(C): y = 2x + Các phương trin ̀ h tiế p tuyế n ta ̣o với tru ̣c to ̣a đô ̣ mô ̣t x −1 tam giác cân là: (A)y = -x -1; (B) y = - x + 7; (C)y = -x -1 và y = -x + 7; (D) Không có tiế p tuyế n nà o Giả i: Ta có : y '( x) = −4 ( x − 1) Go ̣i M(x0;y0) là to ̣a đô ̣ tiế p điể m Vì tiế p tuyế n ta ̣o vớ i tru ̣c to ̣a đô ̣ tam giá c cân nên ̣ số gó c củ a tiế p tuyế n bằ ng 1 Mà y ' ( x0 )  0x0  1nêny '( x0 ) = −1   x0 = −1 −4 = −1   ( x0 − 1)  x0 = + Vớ i x0 = -1  y0 =  Phương trin ̀ h tiế p tuyế n là: y = -x-1 + Vớ i x0 =  y0 =  Phương trình tiế p tuyế n là: y = -x+7  Cho ̣n C Bài tâ ̣p 8: Cho đố thi ̣ (Cm): y = x2 + 2x + m Tìm m để (Cm) có tiế p tuyế n vuông góc với x −1 đường phân giác của góc phầ n tư thứ nhấ t của ̣ to ̣a đô ̣ (A)m = -3; (B) m > -3; (D) Không có giá tri cu ̣ ̉a m (C)m = < -3; Giải: Đồ thi co ̣ ́ tiế p tuyế n vuông góc với góc phầ n tư thứ nhấ t y = x  y '( x) = x2 − x − − m = −1 ( x − 1)2 Có nghiê ̣m  ( x − 1)2 − − m = −1 có nghiê ̣m  2( x − 1)2 = m + có nghiê ̣m ( x − 1) x   m +   m  −3  Cho ̣n B Bài tâ ̣p 9: Gọi kl ; k2 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số (C): y = x + 2x giao điểm (C) với đường thẳng y = mx + Biết k1 + k2 = 3, giá trị tham số m là: (A)m = 3/2; (B) m = 1; (C)m = -1/2; (D) Không có giá tri ̣của m Giải: y = f ( x) = x + x  f '( x) = x + Gọi x1, x2 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến có hệ số góc k1,k2 Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 + 2x = mx + l  x + ( - m ) x - l =  = (2 − m) +  0m  x1 , x2 phân biê ̣t x1 + x2 = m − k1 + k2 =  f '( x1 ) + f '(x ) =  2( x1 + x2 ) + =  2(m − 2) = −1  m =  Cho ̣n A Bài tâ ̣p 10: Cho đồ thi ̣ hàm số (C): y = f(x) = (1/2)x4 – x3 – 3x2 + Tìm m để đồ thi ̣ (C) có it́ nhấ t tiế p tuyế n song song với đường thẳ ng y = 2016mx + 2017 (A) −5 − 5 −7 m ; 4032 4032 (C) m  5 −7 ; 4032 (B) m  5 −7 4032 (D) Không tìm đươ ̣c giá tri ̣của m Giải: Giả sử tiếp tuyến (C) song song với y = 2016mx + 2017 tiếp xúc với (C) x0  f ' x0 = 2016m  x03 − 3x02 − x0 = 2026m  x0 là nghiê ̣m của phương trình 2x3 – 3x2 – 6x = 2016m Xét hàm số g(x) = 2x3 – 3x2 – 6x Ta có: g’(x) = 6(x2-x-1) =  h(x) = x2-x-1 =  x1 = 1− 1+ ; x2 = và g(x) đa ̣t cực tri ̣ta ̣i x1, x2 2 Thực hiê ̣n phép chia g(x) cho h(x) ta đươ ̣c: g(x)= h(x)(2x - 1) - 5x - Do h(x1) = h(x2) = nên  1−  5 −7  − =   g(x1) = -5x1 -1 = −5   1+  5 +7  − = −   g(x2) = -5x2 -1 = −5  Để có tiếp tuyến g(x) = 2016m phải có nghiệm phân biệt  −5 − 5 −7 −5 − 5 −7  2016m   m 2 4032 4032 C h ú ý : Nếu g(x) = 2016m có nghiệm có nghiệm đơn nghiệm kép nên khơng xảy khả có tiếp tuyến tiếp xúc với (C) điểm phân biệt mà (C) có tiếp tuyến ứng với tiếp điểm DẠNG 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA ĐIẾM CHO TRƯỚC Bài toán: Cho đồ thị (C): y = f(x) điểm M(a; b) Viết phương trình tiếp tuyến qua M(a; B) đến đồ thị (C): y = f(x) Phương pháp: PHƯƠNG PHÁP TÌM TIẾP ĐIỂM CÁCH 1: Giả sử tiếp tuyến qua M(a; b) tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x) tiếp điểm có hồnh độ xi  Phương trình tiếp tuyến có (  ): y = f '(xi)(x - xi) + f (xi) Do M(a; b)   nên b = f’(xi)(a-xi) + f (xi)  xi là nghiệm phương trình: b = f '(xi )(a - xi) + f (xi)  Giải phương trình  nghiệm x  {x0 ;x1; ;xn}  Phương trình tiếp tuyến xi là: y = f ‘(xj)(x-xi) + f(xi) CÁCH 2: Đường thẳ ng qua M (a;b) với ̣ số góc k có phương trình: y = k(x-a)+b  f ( x) = k ( x − a ) + b c ó n g h i ê m ̣  f '( x) = k tiế p xúc với đồ thi ̣(C): y = f(x)  H ê ̣ p h n g t r i ̀ n h   f(x) = f’(x)(x-a)+b  Giải phương trin ̀ h  Nghiê ̣m x  {x0 ;x1; ;xn}  Phương trình tiế p tuyế n ta ̣i xi là y = f’(xi)(x-xi)+f(xi) Bài tâ ̣p: A Khởi đô ̣ng Bài tâ ̣p 1: Các tiếp tuyến với đổ thị hàm số (C): y = f (x) = x - x - qua A(2; 0) có phương trình là: (A) y = 11x - 22; (B) y = 2x - y = 11x - 2 ; (C) y = 2x - 4; (D) y = 3x - y = 2x - Giải: Ta có: f'(x) = 3x2 -1 Đường thẳng qua A(2; 0) với hệ số góc k có phương trình: y = k(x - 2) tiếp xúc với  f ( x) = k ( x − 2) có nghiê ̣m k = f '( x) (C)    f ( x) = f '( x)( x − 2)  x3 − x − = (3x − 1)( x − 2)  x = −1  x3 − 3x + =  ( x + 1)( x − 2) =   x = + Với x =-1  k=  Tiế p tuyế n có phương trình: y= 2(x-2) hay y= 2x-4 + Với x =2  k= 11  Tiế p tuyế n có phương triǹ h: y=11(x-2) hay y= 11x-22 C h ú ý : Khơng nhầm lẫn viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm với viết phương trình tiếp tuyến với đổ thị (C) qua điểm Bài tâ ̣p 2: Các tiế p tuyế n với đồ thi ̣hàm số (C): y = 3x + qua gố c to ̣a đô ̣ O(0;0) có các x−2 phương trình là: (A) y = 3 −6 x (C) y = 3 −6 −3 − xva y = x 2 (B) y = −3 − x (D) Không có tiế p tuyế n Giải: TXĐ: D = \ 2 Phương trình đường thẳng (t) qua O(0;0) có hệ số góc k là: y = kx  3x +  x − = kx  Đường thẳng (t) tiếp tuyến (C)   có nghiê ̣m 3x +  −9 k =  ' =   x −  ( x − 2)   x = −1 − 3x + −9 x =  x + x − =   x − ( x − )2  x = −1 + + Với x = −1 − thì k = −3 − 3−6 x  Phương trin ̀ h tiế p tuyế n ( t2): y = 2 + Với x = −1 + thì k = −6 − 3 −3 −  Phương trin x ̀ h tiế p tuyế n ( t2): y = 2  Cho ̣n C Bài tâ ̣p 3: Cho đồ thi ̣hàm số (C): y = đề dưới ? A) 1; (B) 2; x2 − x + Có mê ̣nh đề sai các mê ̣nh x−2 (C) 3; (D) (A)Đường thẳng y = -3x + tiếp tuyến kẻ từ A(1; 1) đến (C) (B)Đường thẳng y = x + tiếp tuyế n kẻ từ A(1; 1) đến (C) (C)Chỉ có tiếp tuyến kẻ từ A(1; 1) đến (C) (D)Có tiếp tuyến kẻ từ A(1; 1) đến (C) Giải: TXĐ: D = \ 2 Đường thẳng (t) với hệ số góc k qua A(l; 1) có phương trình là: y = k(x - 1) +1  x2 − 4x +  x − = k ( x − 1) +  (t) tiếp tuyến (C)   có nghiê ̣m 2 k =  x − x +  ' = x − x +  ( x − 2)  x−2   x=  x − 4x + x − 4x +  = x − 1) +   ( x−2 ( x − 2) x =  2 + Với x = 3/2 thì k= -  Phương trình tiế p tuyế n ( t): y =-3(x-1)+1 hay y = -3x+4 9 + Với x = 7/2 thì k=5/9  Phương trình tiế p tuyế n ( t): y = ( x − 1) + 1hayy = x + Vậy mệnh đề (A), (B), (D) mệnh để (C) sai  Cho ̣n A Bài tâ ̣p 4: Tập hợp điểm A đường thẳng y = mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = f(x)= x3 -3x là: (A)  A ( a, ) a  2  2 3 (B)  A ( a, ) a  −      2     (C)  A(a; 2) a   −; −   ( 2; + )   (D)  A(a; 2) −  a     Giải: Lấ y điểm A(a; 2)  y = Đường thẳng qua A(a; 2) với hệ số góc k có phương trình  f ( x) = k ( x − a ) + có nghiê ̣m  f '( x) = k y = k(x-a) + tiế p xúc với (C)  Hê ̣ phương triǹ h   f(x) = f'(x)(x -a) +  x3-3x = (3x2-3)(x-a)+2  2x3-3ax2+3a+2=0  (x + l)[2x2 -(3a + 2)x + 3a + 2] =  (x + l)g(x) = Từ A(a; 2) kẻ tiếp tuyến đến (C)  g(x) = có nghiệm phân biệt khác -1 a   = ( 3a + )2 − ( 3a + )    9a − 12a − 12    a  −  g (−1) =    Cho ̣n C Bài tâ ̣p 5: Có điểm Oy mà từ kẻ tiếp tuyến đến đổ thị (C): y= x+2 ? x−2 A) điể m; (B)1 điể m; (C) diể m; (D) điể m Giả i: TXĐ: D = \ 2 Lấy A(0; a)  Oy Đường thẳng (t) qua A(0; a) có hệ số góc k có phương trình y = kx + a x+2  x − = kx + a (1)  (t) là tiế p tuyế n với (C)   có nghiê ̣m x+2 −4  k =  (2) ' =   x −  ( x − 2)  x+2 −4 x = + a  g ( x) = (a − 1) x − 4(a + 1) x + 4a + = 0(*) x − ( x − 2) Để từ A(0; a) kẻ tiếp tuyến đến (C) phương trình (*) có nghiệm x khác Xảy trường hợp sau: TRƯỜNG HỢP 1: a - =  a = Khi (*) trở thành: -8x + =  X = (thỏa mãn) Thay X = vào (2) ta có: k = -4 thay vào (1) ta có: a =  A(0; 1) a −   TRƯỜNG HỢP 2:  g (2) = −8   a = −1 Khi đó (*) có nghiê ̣m x = ( thỏa mañ )  ' = 8a + =  Thay x = vào (2) ta có: k = -1 thay vào (1) ta có: a = -1 => A(0; -1) Vậy tìm điểm A1 (0; 1) A2 (0;-l) thỏa mãn đề  Cho ̣n C Bài tâ ̣p 6: Các điểm M đường thẳng y = -2 kẻ đến (C): y = -x3 +3x2 - hai tiếp tuyến vng góc với là:   ( A) M  ; −2  ;  189    (B) M  − ; −2  ;  189   11 +  (C) M  ; −2  ;    11 −  (D) M  ; −2  ;   Giải: Lấy điểm M(a; -2) thuộc đường thẳng y = -2 Đường thẳng qua M(a; 2) với hệ số góc k có phương trình: y = k(x - a) - tiếp xúc  f ( x) = k ( x − a ) − Có nghiê ̣m  f '( x) = k với (C)  Hê ̣   f(x)= f’(x)(x-a)-2  -x3 +3x2 – 2= (-3x2+ 6x)(x-a)-2 x =  x  x + ( 3a − 3) x + 6a  =    x + ( 3a − 3) x + 6a = + Với x =0  Tiế p tuyế n : y = -2 Do khơng thể có tiếp tuyến vng góc với tiếp tuyến y = -2 // Ox nên để từ A(a; -2) kẻ hai tiếp tuyến vng góc với đến (C) g(x) = phải có nghiệm phân biệt x1, x2 tiếp tuyến điểm có hồnh độ x1, x2 vng góc với  -1 = y'(x ).y’(x ) = (-3 x12 + 6x )(-3 x22 + 6x2) = 9x x2 [9x x -2(x +x2 )+4]   3a −    −1 = 9.3a 3a −   + 4 = 189a  a = − 189     Với a = −   ; −2  cầ n tìm thì  g = ( 3a − 3) − 48a   M  − 189 189    Cho ̣n B Bài tâ ̣p 7: Cho (C): y = f (x) = x3 -3x2 Từ điểm đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến đến (C)? (A)0; (B) 1; (C) 2; (D) Giải: Lấy điểm M(2; m) thuộc đường thẳng x = Đường thẳng qua M(2; m) với hệ số  f ( x) = k ( x − 2) + m Có  f '( x) = k góc k có phương trình: y = k(x - 2) + m tiếp xúc với (C)  Hê ̣  nghiê ̣m  f(x)= f’(x)(x-2)+m  g(x)= -2x3+ 9x2 -12x = m   7 Ta có: g’(x) = -6x + 18x -12 = −6  x −  +      Bảng biế n thiên: Nghiệm phương trình tìm tiếp điểm hồnh độ giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x) Nhìn bảng biến thiên ta thấy g(x) = m có nghiệm Vậy từ M(2; m) kẻ tiếp tuỵến đến đồ thị (C)  Cho ̣n B Bài tâ ̣p 8: Cho hàm số y = -x3 + 6x2 - 9x + Gọi (D) tiếp tuyến (C) A thuộc (C) có xA = Tìm (D) điểm M cho từ điểm vẽ tiếp tuyến với (C)  10  ; +  / 4   (A)Các điểm M có hồnh độ m thỏa mãn m  ( −; −2 )    10  ; +    (B)Các điểm M có hoành độ m thỏa mãn m  ( −; −2 )   (C)Các điểm M có hồnh độ m thỏa mãn (D)Không có điể m M nà o thỏ a mãn Giả i: Do A thuộc (C) mà x A =  yA =  A(4;5) Phương trình tiếp tuyến (C) A là: (d):y = f ‘(4)(x-4) +  (d):y = -9x + 41 Giả sử M(m; -9m + 41) điểm (D) Xét đường thẳng (t) qua M có hệ số góc k thì: (t): y = k(x - m) + 41 - 9m − x − x − x + = k ( x − m) + 41 − 9m(1) Có nghiê ̣m −3 x + 12 x − = k (2) (t) tiếp xúc với (C)  Hê ̣  Thay (2) vào (1) ta đươ ̣c: − x3 − x − x + = ( x − m ) ( −3x + 12 x − ) + 41 − 9m  ( x − )  x + ( − 3m ) x + 8 = x =   x + ( − 3m ) x + = 0(3) Để từ M kẻ tiếp tuyến với (C) (3) phải có nghiệm phân biệt khác   m  −2   = 9m − 12m − 60  10    m  48 − 12m   m  Vâ ̣y, điểm (D) mà từ vẽ tiếp tuyến với (C) điểm có  10  ; +  / 4   hồnh ̣ m thỏa mañ : m  ( −; −2 )    Cho ̣n A Bài tâ ̣p 9: Có phát biể u ĐÚNG các phát biể u dưới đây? (A)1;(B)2;(C)3;(D)4 Cho đồ thị (C): y = f (x) = x3 - 3x2 + Số tiếp tuyến qua điểm M nằm đồ thị (C) là: (A)1 nế u điểm M có hồnh độ bằ ng (B) điểm M có hồnh độ khác (C) điểm M có hồnh độ khác (D) điểm M có hồnh độ Giải: Gọi M(a;a3 -3a2 +2)  (C) Đường thẳng qua M(a;a3 -3a2 + ) với hệ số góc k, có phương trình là: y = k (x - a) + a3 - 3a2 + tiếp xúc với (C)  f ( x) = k ( x − a) + a − 3a + có nghiê ̣m  Hê ̣ phương trình  k = f '( x)  f(x)= f’(x)(x-a) + a3 – 3a2 +  x3 − 3(a + 1) x + 6ax + a − 3a =  ( x − a )  x − (a + 3) x + 3a − a  = x = a  2( x − a) ( x + a − 3) =   x = − a  2 + Nế u a = 3− a  a = thì có tiế p tuyế n qua điể m M nằ m đồ thi.̣ + Nế u a  3− a  a  thì có tiế p tuyế n qua điể m M nằ m đồ thi.̣  Cho ̣n B Bài tâ ̣p 10: Điều kiện m để từ A(2;2) kẻ tiếp tuyến AB, AC đến đổ thị (C): y = f(x) = m/x cho tam giác ABC đều(ở B, C tiếp điểm) là: ( A)m ( −;0)  ( 4; + ) ; (B) m = (C)m−2;6; (D) m = -2 Giải: TXĐ: D = R \{0} Đường thẳng (t) qua A(2; 2) với hệ số góc k có phương trình: y = k(x - 2) +  f ( x) = k ( x − 2) + có nghiê ̣m  f '( x) = k (t) tiếp tuyến với (C)  Hê ̣   f ( x) = f '( x)( x − 2) +  m −m = ( x − 2) +  g ( x) = x − mx + m = 0(*) x x Để từ A(2; 2) kẻ tiếp tuyến đến (C) (*) có nghiệm phân biệt x1; x2 khác  g (0) = m  m    (1) m    = m − 4m   x1 + x2 = m  x1 x2 = m Khi đó:  Vì điểm A(2; 2) thuộc đường thẳng y = x trục đối xứng đồ thị (C) nên từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC AB = AC  Để  ABC y = m/x hàm biến có hai giá tri ̣ phân biê ̣t k1; k2 khá c và thỏ a mãn: −m m + k1 − k2 x12 x22 = tan 60  =  x1 − x2 =  m2 + k1k2 1+ 2 x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 = m =  m − 4m =  m − 4m − 12 =   (2)  m = −2 Để hàm y = −m m đồ ng biế n thì y ' =  0x   m  x x (3) Từ (1), (2) và (3)  m cầ n tìm là : m = -2  Cho ̣n D Bài tâ ̣p 11:Cho đồ thi ̣ hàm số (C): y = x − + m −1 Điểu kiện cẩn vả đủ để mặt phẳng x +1 tọa độ tồn điểm cho từ kẻ tiếp tuyến vng góc với đến đồ thị (C) là: (A) m = 1; m (B) m > 1; (C) m < 1; (D) Khống có giá trị Giải: TXĐ: D = R\{-1} Giả sử tổn tiếp tuyến đồ thị (C) vng góc với  x1 , x2  cho y’(x1).y’(x2) = -1  k   y '( x1 ) = k  Sao cho   k   y '( x2 ) = − k Và y’(x2)= -(1/k) (2) có nghiê ̣m để các phương triǹ h y’(x1) = k (1) +) Xét phương triǹ h (1): y’(x) = k  − m −1 ( x + 1) =k Nế u m = thì y’(x) = x   Không tồ n ta ̣i x1, x2 để y’(x1).y(x2) = -1 Nế u m  −1thì y’(x) = k  − k = Ta thấ y (1) có nghiê ̣m  m −1 ( x + 1)  ( x + 1) = 2 m −1 1− k m −1   ( m − 1)(1 − k )  1− k   −1       ( m − 1)( k + 1) k   k  Tương tự suy (2) có nghiê ̣m  ( m − 1) 1 −   ( m − 1)(1 − k )  (3) ( m − 1)(1 + k ) k  Xét ̣ điề u kiê ̣n  1 − k   k  −1  ( k + 1) k  0  k  + Nế u m > thì (3)   1 − k  k    vô nghiê ̣m ( k + 1) k   −1  k  + Nế u m < thì (2)   Vậy điều kiện cần đủ để mặt phẳng tọa độ tổn điểm cho từ kẻ tiếp tuyến vng góc với là: m >  Cho ̣n B Bài tâ ̣p 12: Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) = x4 - x2 + l Tìm điểm A thuộc Oy kẻ tiếp tuyến đến đồ thi ̣(C) (A)A (0;1); 0; 1/2) (B) A ( 0; 3/4); (C) A ( 0; 2); (D) A ( Giải: Lấy điểm A(0;a)  Oy Đường thẳng qua A(0; A) với hệ số góc k có phương trình  f ( x) = kx + a (*) có nghiê ̣m  f '( x) = k y = kx + a tiế p xúc với (C)   Điểu kiện cần: Ta có: f(x) = f(-x) Vx  R  f(x) hàm chẵn  Đồ thị (C) nhận Oy làm trục đối xứng Do A(0; a) thuộc trục đối xứng Oy nên từ A(0; a) kẻ tiếp tuyến bên nhánh trái (C) kẻ nhiêu tiếp tuyến đến nhánh phải (C)  Tổng số tiếp tuyến có hệ số góc k  số chẵn Vậy để từ A(0; a) kẻ tiếp tuyến đến (C) điểu kiện cần hệ (*) có nghiệm k =  x = 0; a =  x − x +1 = a Với k = ̣ (*) trở thành   2 x = ;a = x − x =    Điề u kiê ̣n đủ: ( )  x − x + = kx +  x − x = x − x x + Nế u a =1 thì (*)    x − x = k  4 x − x = k   x = 0; k =   x ( 3x − 1) =     x = − ;k = 3 k = x ( x − 1)   x = ;k = − 3  Vâ ̣y từ A (0;1) kẻ đươ ̣c tiế p tuyế n đế n (C) 3   2  x − x + = kx + x − x + = ( 4x − 2x ) x + + Nế u a = 3/4 thì (*) trở thành   4 3 4 x − x = k k = x − x    1   x = 3x − x − =    Từ A (0;3/4) kẻ đươ ̣c tiế p tuyế n đế n (C) k = x( x − 1) k =    KẾT LUẬN: Vâ ̣y A (0;1)  Cho ̣n A C h ú ý : Nếu giải toán theo cách biện luận số tiếp tuyến số tiếp điểm, tức qua A(0; a) kẻ tiếp tuyến  Phương trình f(x) = f'(x)x + a có nghiệm phân biệt chưa chặt chẽ, xảy khả có tiếp tuyến ứng với tiếp điểm phân biệt, tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tiếp điểm tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tiếp điểm Hang Sơn Đng, Quảng Bình, Việt Nam Nằm quân thể hang động Phong Nha - Kẻ Bàng, thuộc huyện Bố Trạch tỉnh Ọuảng Bình, hang Sơn Đoòng hang động tự nhiên lớn giới Hang Sơn Đoòng hỉnh thành khoảng 2-5 triệu nãm trước nước sông chảy ngang qua vùng đá vôi đằ bi vùi lấp dọc theo đường đứt gãy Dòng nước làm xói mòn tạo đường hắm khổng lổ lòng đất dãy núi Tại nơi đá mêm, phắn trắn sụp xuống tạo thành lỗ hổng, lâu ngày thành vòm hang khổng lồ ... Nếu giải toán theo cách biện luận số tiếp tuyến số tiếp điểm, tức qua A(0; a) kẻ tiếp tuyến  Phương trình f(x) = f'(x)x + a có nghiệm phân biệt chưa chặt chẽ, xảy khả có tiếp tuyến ứng với tiếp. .. Viết phương trình tiếp tuyến qua M(a; B) đến đồ thị (C): y = f(x) Phương pháp: PHƯƠNG PHÁP TÌM TIẾP ĐIỂM CÁCH 1: Giả sử tiếp tuyến qua M(a; b) tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x) tiếp điểm có hồnh... a) kẻ tiếp tuyến bên nhánh trái (C) kẻ nhiêu tiếp tuyến đến nhánh phải (C)  Tổng số tiếp tuyến có hệ số góc k  số chẵn Vậy để từ A(0; a) kẻ tiếp tuyến đến (C) điểu kiện cần hệ (*) có nghiệm