Lý thuyết và công thức môn toán hình học 12 chương 3 PP tọa độ trong không gian file word image marked

VII TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ KIẾN THỨC TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VÉCTƠ Hệ trục tọa độ không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vng góc với đôi chung điểm gốc O Gọi i, j , k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vuông góc khơng gian Chú ý: 2 i = j = k = i j = i.k = k j = z x' k y' O x i y j z' Quy ước : Khơng gian mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxyz gọi khơng gian Oxyz ký hiệu : kg ( Oxyz) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tọa độ vectơ a) Định nghĩa: u = ( x; y; z )  u = xi + y j + zk b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k  R • a  b = (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) • ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 = b1  • a = b  a2 = b2 a = b  3 • = (0;0;0), i = (1;0;0), j = (0;1;0), k = (0;0;1) • a phương b (b  0)  a = kb (k  R ) a1 = kb1   a2 = kb2 a = kb   a1 a2 a3 = = , (b1 , b2 , b3  0) b1 b2 b3 • a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 • a ⊥ b  a1b1 + a2b2 + a3b3 = • a = a12 + a22 + a32 • a = • cos(a , b ) = a.b a b = a12 + a22 + a22 a1b1 + a2b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 (với a , b  ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Tọa độ điểm a) Định nghĩa: M ( x; y; z )  OM = x.i + y j + z.k ( x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ ) Chú ý: • M  ( Oxy )  z = 0; M  (Oyz )  x = 0; M  (Oxz )  y = • M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = b) Tính chất: Cho A( xA ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) • AB = ( xB − xA ; yB − yA ; zB − z A ) • AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − z A )2  x + x y + yB z A + z B  ; • Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB : M  A B ; A   2  • Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC :  x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC  G A B C ; A ;  3   • Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD :  x + x + x + xD y A + yB + yC + yD z A + zB + zC + zC  G A B C ; ;   4  III Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại • Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song • Định lý phương hai véc tơ: Định lý : Cho hai véc tơ a vàb vớ i b a cù ng phương b  !k  R cho a = k.b Nếu a  số k trường hợp xác định sau: k  a hướng b http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word k  a ngược hướng b k = Định lý : a b A, B, C thaú ng hà ng  AB cù ng phương AC Định lý 5: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a3 ) vàb = (b1; b2; b3 ) ta có : a1 = kb1   a2 = kb2  a1 : a2 : a3 = b1 : b2 : b3 a = kb  a cuø ng phương b IV Tích vơ hướng hai véc tơ: Nhắc lại: a.b = a b cos(a, b) a =a a ⊥ b  a.b = Định lý 6: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a2 ) vaøb = (b1; b2; b3 ) ta có : a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 Định lý 7: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a3 ) ta có : a = a12 + a22 + a32 Định lý 8: Nếu A( xA; yA; zA ) vàB(x B; yB; zB ) AB = ( xB − xA )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − zA )2 Định lý 9: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a3 ) vaøb = (b1; b2; b3 ) ta có : a ⊥ b  a1b1 + a2b2 + a3b3 = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Định lý 10: Cho hai véc tơ a = (a1; a2; a3 ) vaøb = (b1; b2; b3 ) ta có : cos(a, b) = a.b a.b a1b1 + a2b2 + a3b3 = a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghĩa : Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k ( k  1) : MA = k.MB • • A • M B Định lý 11 : Nếu A( xA; yA; zA ) , B(xB; yB; zB ) MA = k.MB ( k  1) xA − k.xB   xM = − k  yA − k.yB   yM = 1− k  zA − k.zB   zM = − k  Đặc biệt : M trung điểm AB xA + xB   xM =  y +y    yM = A B  zA + zB   zM =  Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A( xA; yA; zA ) , B(x B; yB; zB ), C(xC; yC ; zC ) xA + xB + xC   xG =  y +y +y  G trọng tâm tam giác ABC   yG = A B C  zA + zB + zC   zG =  http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word VI Tích có hướng hai véc tơ: Định nghĩa: Tích có hướng hai véc tơ a = (a1; a2; a3 ) vaøb = (b1; b2; b3 ) véc tơ ký hiệu :  a; b có tọa độ : a  a; b =     b2 a1 a1 a2  ;  b1 b1 b2  a3 a3 ; b3 b3 Tính chất: •  a; b ⊥ a vaøa; b ⊥ b     • SABC =  AB; AC  • S ABCD =  AB; AD  A B C D D' C B • • ' VABCD ABC ' ' ' ' =  AB; AD  AA D   VABCD =  AB; AC  AD C' A' A B' D C A D B C A B • a cù ng phương b   a; b = • a, b, c đồ ng phẳ ng   a, b c = • A, B, C, D đồng phẳng  AB,AC,AD đồng phẳng   AB,AC AD = VAÁN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm không gian Chứng minh tính chất hình học http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word Diện tích – Thể tích – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian – Công thức xác định toạ độ điểm đặc biệt – Tính chất hình học điểm đặc biệt: • A, B, C thẳng hàng  AB, AC phương  AB = k AC   AB, AC  = • ABCD hình bình hành  AB = DC • Cho ABC có chân E, F đường phân giác EB = − góc A ABC BC Ta có: AB EC , AC FB = AB FC AC • A, B, C, D không đồng phẳng  AB, AC, AD không đồng phẳng   AB, AC  AD  VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu ( S) , ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: ( S) có tâm I ( a; b; c) bán kính R : (S): ( x − a)2 + ( y − b)2 + (z − c)2 = R2 Dạng 2: ( S) có tâm I ( a; b; c) qua điểm A : Khi bán kính R = IA Dạng 3: ( S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: –Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB : xI = xA + xB – Bán kính R = IA = ; yI = yA + yB ; zI = zA + zB AB Daïng 4: ( S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ): – Giả sử phương trình mặt cầu ( S) có dạng: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = ( * ) – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào ( * ) , ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu ( S) Dạng 5: ( S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng ( P ) cho trước: Giải tương tự dạng Dạng 6: ( S) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu ( T ) cho trước: – Xác định tâm J bán kính R ' mặt cầu ( T ) – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu ( S) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) Chú ý: Với phương trình mặt caàu ( S) : x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = với a2 + b2 + c2 − d  ( S) có tâm I ( − a; − b; −c) bán kính R = a2 + b2 + c2 − d VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối hai mặt cầu mặt cầu Cho hai mặt cầu S1 ( I 1, R1 ) S2 ( I , R2 ) • I 1I  R1 − R2  ( S1 ) , ( S2 ) • I1I  R1 + R2  ( S1 ) , ( S2 ) ngoaøi • I 1I = R1 − R2  ( S1 ) , ( S2 ) tiếp xúc • I1I = R1 + R2  ( S1 ) , ( S2 ) tiếp xúc • R1 − R2  I 1I  R1 + R2  ( S1 ) , ( S2 ) caét theo đường tròn http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu Tập hợp điểm mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất ( P ) – Tìm hệ thức toạ độ x, y, z điểm M Chẳng hạn có dạng: ( x − a)2 + ( y − b)2 + (z − c)2 = R2 hoaëc: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = – Tìm giới hạn q tích (nếu có) Tìm tập hợp tâm mặt cầu  x = f (t )  – Tìm toạ độ tâm I , chẳng hạn:  y = g(t ) ( * )  z = h(t ) – Khử t ( * ) ta có phương trình tập hợp điểm – Tìm giới hạn q tích (nếu có) http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Các định nghĩa: Véc tơ phương (VTCP) đường thẳng: ñn  a   a VTCP đường thẳng (  )   c trù ng vớ i () a cógiásong song hoặ Chú ý: • • Một đường thẳng có vô số VTCP, véc tơ phương với Một đường thẳng (  ) hoàn toàn xác định biết điểm thuộc VTCP Cặp VTCP mặt phẳng: Cho mặt phẳng  xác định hai đường thẳng cắt a b Gọi a VTCP đường thẳng a b VTVP đường thẳng b Khi : Cặp ( a,b) gọi cặp VTCP mặt phẳng  Chú ý : http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 10  pt() PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M (  ) ( ) ta giải hệ phương trình:  tìm  pt( ) x, y, z Suy ra: M ( x, y, z) ()( )() ( ) Thế , , vào phương trình mp P rút gọn đưa dạng: at + b = (* ) ( ) () • d cắt mp P điểm  Pt * có nghiệm t ( ) () • d song song với P  Pt * vơ nghiệm ( ) () • d nằm P  Pt * có vơ số nghiệm t ( ) • d vng góc P  a n phương Vị trí tương đối hai đường thẳng: 1  ' a  M0 M0 u 1  M M 0'  b  u ' 2 2 M 0' M0  u M0  u  u' 2 M ' 1  u' 2 PP HÌNH HỌC Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho hai đường thẳng: x − x0 y − y0 z − z0 = = coùVTCP u = ( a; b; c) vaøqua M ( x0; y0; z0 ) a b c x − x0 y − y0 z − z0 ( ) : = = coùVTCP u' = (a' ; b' ; c' ) vaøqua M '0 ( x0' ; y0' ; z0' ) ' ' ' a b c (1) : • (1) và(2 ) đồ ng phaú ng  u, u'  M0 M0' =   http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 23 • (1) cắ t ( )  '  '  u, u  M M =    a : b : c  a' : b' : c'  • (1) // ( )  a : b : c = a' : b' : c'  ( x0' − x0 ) : ( y0' − y0 ) : ( z0' − z0 ) • (1)  ( )  a : b : c = a' : b' : c' = ( x0' − x0 ) : ( y0' − y0 ) : ( z0' − z0 ) • (1) và( ) cheù o  u, u'  M M 0'    • (1) ⊥ ( )  u.u ' =  pt(1) PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M (1) và(2 ) ta giải hệ phương trình :  tìm  pt(2 ) x, y, z Suy ra: M ( x, y, z) 3) Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu:  x = x0 + a1t (1)  Cho đường thẳng d:  y = y0 + a2t (2) mặt cầu ( S) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R2 có tâm  z = z + a t (3)  I (a; b; c) , bán kính R PP HÌNH HỌC ( ) B1 Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu S đến đường thẳng d h = d( I , d) =  IM a   a B2 So sánh d( I , d) bán kính R mặt cầu: ( ) ● Nếu d( I , d)  R d khơng cắt S ( ) ● Nếu d( I , d) = R d tiếp xúc S ( ) ● Nếu d( I , d)  R d cắt S hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu PP ĐẠI SỐ: Thế (1) , ( 2) , ( 3) vào phương trình ( S) rút gọn đưa phương trình bậc hai () theo t * () ( ) ● Nếu phương trình * vơ nghiệm d khơng cắt S () ( ) ● Nếu phương trình * có nghiệm d tiếp xúc S http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 24 ( ) () ● Nếu phương trình * có hai nghiệm d cắt S hai điểm phân biệt M , N Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d III Góc khơng gian: Góc hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho hai mặt phẳng  ,  xác định phương trình :  n1 = ( A1 ; B1 ; C1 ) ( ) : A1x + B1y + C1z + D1 =  n2 = ( A2 ; B2 ; C ) (  ) : A2 x + B2 y + C2z + D2 = Gọi  góc hai mặt phẳng ( ) & (  ) ta có cơng thức: a 0    90 b cos  = A1 A2 + B1 B2 + C1C2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 Góc đường thẳng mặt phẳng: Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho đường thẳng () : ( ) x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c  a = (a; b; c)  n = ( A; B; C ) mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = Gọi  góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: a sin  = 0    90 Aa + Bb + Cc A + B + C a + b2 + c2  a1 = (a; b; c) 3.Góc hai đường thẳng : Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho hai đường thẳng : 1 2  a = ( a ' ; b' ; c ' ) 0    90 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 25 x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c x − x0 y − y0 z − z0 ( ) : = = a' b' c' (1) : Gọi  góc hai mặt phẳng (1 ) & ( ) ta có cơng thức: cos  = aa ' + bb' + cc ' a + b + c a '2 + b '2 + c '2 IV Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho mặt phẳng ( ) : Ax + By + Cz + D = điểm M0 ( x0; y0; z0 ) Khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng ( ) tính cơng thức: M ( x0 ; y ; z ) a H d( M0; ) = Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B2 + C2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho đường thẳng () qua điểm M0 ( x0; y0; z0 ) có VTCP u = (a; b; c) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến () tính cơng thức: M1  u ( )  M0 M1; u   d( M1, ) = u M ( x0 ; y ; z ) H Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho hai đường thẳng chéo : (1) coùVTCP u = (a; b; c) vaøqua M ( x0; y0; z0 ) (2 ) coùVTCP u' = (a' ; b' ; c' ) vaøqua M '0 ( x0' ; y0' ; z0' ) Khi khoảng cách (1) và(2 ) tính cơng thức http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word 26  u 1 M0 M '  u' 2 d(1, 2 ) = u, u ' M0 M0'   u; u '   VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP Dạng 1: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) :  x = xo + a1t  (d) :  y = yo + a2t z = z + a t o  ( t  R) Dạng 2: d qua hai điểm A, B : Một VTCP d AB Dạng 3: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vaø song song với đường thẳng  cho trước: Vì d / /  nên VTCP  VTCP d Dạng 4: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc với mặt phẳng ( P ) cho trước: Vì d ⊥ ( P ) nên VTPT ( P ) VTCP d Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q) : • Cách 1: Tìm điểm VTCP ( P) – Tìm toạ độ điểm A  d : cách giải hệ phương trình  (với (Q) việc chọn giá trị cho ẩn) – Tìm VTCP d : a = nP , nQ  • Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Dạng 6: d qua điểm M0 ( x0; y0; z0 ) vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 : http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word 27 Vì d ⊥ d1, d ⊥ d2 nên VTCP d laø: a =  ad , ad   2 Dạng 7: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc cắt đường thẳng  • Cách 1: Gọi H hình chiếu vuông góc M0 đường thẳng  H     M0 H ⊥ u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M0 , H • Cách 2: Gọi ( P ) mặt phẳng qua A vuông góc với d ; ( Q) mặt phẳng qua A chứa d Khi d = ( P )  ( Q) Dạng 8: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng d1, d2 : • Cách 1: Gọi M1  d1, M2  d2 Từ điều kiện M, M1, M2 thẳng hàng ta tìm M1, M2 Từ suy phương trình đường thẳng d • Cách 2: Gọi ( P ) = ( M0 , d1) , ( Q) = ( M0 , d2 ) Khi d = ( P )  ( Q) Do đó, VTCP d chọn a = nP , nQ    Dạng 9: d nằm mặt phẳng ( P ) cắt hai đường thẳng d1, d2 : Tìm giao điểm A = d1  ( P ) , B = d2  ( P ) Khi d đường thẳng AB Dạng 10: d song song với  cắt hai đường thẳng d1, d2 : Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa  d1, mặt phẳng ( Q ) chứa  d2 Khi d = ( P )  ( Q) Daïng 11: d đường vuông góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau:  MN ⊥ d1 • Cách 1: Gọi M1  d1, M2  d2 Từ điều kiện  , ta tìm M, N  MN ⊥ d2 Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: – Vì d ⊥ d1 d ⊥ d2 nên VTCP d laø: a =  ad , ad   2 – Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d d1, cách: + Lấy điểm A d1 http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word 28 + Moät VTPT ( P ) là: nP =  a, ad    – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d d2 Khi d = ( P )  ( Q) Dạng 12: d hình chiếu đường thẳng  lên mặt phẳng ( P ) : • Lập phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa  vuông góc với mặt phẳng ( P ) cách: – Lấy M   – Vì ( Q ) chứa  vuông góc với ( P ) neân nQ =  a , nP  Khi d = ( P )  ( Q) Dạng 13: d qua điểm M , vuông góc với d1 cắt d2 : • Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN ⊥ d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN • Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua M vuông góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) chứa M d2 Khi d = ( P )  ( Q) VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word 29 mặt phẳng VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau: • Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính • Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d • Cách 1: Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a d( M , d ) = • Cách 2:  M M , a   a – Tìm hình chiếu vuông góc H M đường thaúng d – d ( M , d ) = MH • Cách 3: – Gọi N ( x; y; z)  d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng d ) – Tìm t để MN nhỏ – Khi N  H Do d ( M , d ) = MH Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 coù VTCP a2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 30 d(d1, d2 ) =  a1 , a2  M1M  a1 , a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng ( ) chứa d2 song song với d1 Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng ( ) song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng ( ) VẤN ĐỀ 6: Góc Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1, a2 Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 cos( a1, a2 ) = a1.a2 a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a = (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng ( ) có VTPT n = ( A; B; C) Góc đường thẳng d mặt phẳng ( ) góc đường thẳng d với hình chiếu d ' ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 31 sin (d·,(a )) = Aa1 + Ba2 + Ca3 A2 + B2 + C2 a12 + a22 + a32 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 32 MẶT CẦU TRONG KHƠNG GIAN I Phương trình mặt cầu: Phương trình tắc: Định lý: Trong Kg ( Oxyz) Phương trình mặt cầu ( S ) tâm I ( a; b; c) , bán kính R là: z (S ) I (S) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + (z − c)2 = R2 (1) R M ( x; y; z ) y O x Phương trình (1) gọi phương trình tắc mặt cầu Đặc biệt: Khi I  O (C) : x2 + y2 + z2 = R2 Phương trình tổng quát: Định lý : Trong Kg ( Oxyz) Phương trình : x2 + y2 + z2 − 2ax − 2by − 2cz + d = với a2 + b2 + c2 − d  phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( a; b; c) , bán kính R = a2 + b2 + c2 − d II Giao mặt cầu mặt phẳng: Định lý: Trong Kg ( Oxyz) cho mặt phẳng ( ) mặt cầu ( S ) có phương trình : ( ) : Ax + By + Cz + D = (S) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 33 Gọi d( I ;  ) khoảng cách từ tâm mặt cầu ( S ) đến mặt phẳng  Ta có : ( ) cắ t mặ t cầ u (S)  d(I; ) < R ( ) tiế p xú c mặ t cầ u (S)  d(I; ) =R ng cắ t mặ t cầ u (S) (S ) ( ) khoâ  d(I; ) > R (S ) I (S ) I R R R H a a M H (C ) I M M r H a Chú ý: Khi  cắt mặt cầu ( S ) cắt theo đường tròn ( C ) Đường trịn ( C ) có: • Tâm hình chiếu vng góc tâm mặt cầu mặt phẳng  • Bán kính r = R2 − d2 (I , ) Để viết phương trình mặt cầu ( S ) , ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: ( S ) có tâm I ( a; b; c ) bán kính R : ( S ) : ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R2 Dạng 2: ( S ) có tâm I ( a; b; c ) qua điểm A : Phương pháp: • Khi bán kính R = IA Dạng 3: ( S ) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: Phương pháp: • Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB : xI = • Bán kính R = IA = x A + xB y + yB z + zB ; yI = A ; zI = A 2 AB http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 34 Dạng 4: ( S ) qua bốn điểm A, B, C , D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD) : Phương pháp: Giả sử phương trình mặt cầu ( S ) có dạng: x2 + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = (*) • • Thay toạ độ điểm A, B, C , D vào ( * ) , ta phương trình • Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d  Phương trình mặt cầu ( S ) Dạng 5: ( S ) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng ( P ) cho trước: Phương pháp: Giải tương tự dạng Dạng 6: ( S ) có tâm I tiếp xúc với mặt cầu (T ) cho trước: Phương pháp: • Xác định tâm I bán kính R ' mặt cầu (T ) • Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu ( S ) (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngồi) Chú ý: Với phương trình mặt cầu ( S ) : x2 + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = với a + b2 + c − d  ( S ) có tâm I ( –a; –b; –c) bán kính R = a2 + b2 + c2 − d Cho hai mặt cầu S1 ( I 1, R1 ) S2 ( I , R2 ) • I1I  R1 − R2  ( S1 ) , ( S2 ) • I1I  R1 + R2  ( S1 ) , ( S2 ) • I1I = R1 − R2  ( S1 ) , ( S2 ) tiếp xúc • I1I = R1 + R2  ( S1 ) , ( S2 ) tiếp xúc ngồi • R1 − R2  I1I  R1 + R2  ( S1 ) , ( S2 ) cắt theo đường tròn (đường tròn giao tuyến) Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( a; b; c ) , tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) cho trước Phương pháp: • Ta có bán kính mặt cầu R = d ( I ; ( P ) ) • Kết luận phương trình mặt cầu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 35 Dạng 8: Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( a; b; c ) , cắt mặt phẳng ( P ) cho trước theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện a Đường trịn có diện tích cho trước b Đường trịn có chu vi cho trước c Đường trịn có bán kính cho trước Phương pháp: • Từ cơng thức diện tích đường trịn S =  r chu vi đường tròn P = 2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r • Tính d = d ( I , ( P ) ) • • Tính bán kính mặt cầu R = d + r Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( a; b; c ) , cắt mặt phẳng ( P ) cho trước theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện a Đường trịn có diện tích cho trước b Đường trịn có chu vi cho trước c Đường trịn có bán kính cho trước Phương pháp: • Từ cơng thức diện tích đường trịn S =  r chu vi đường tròn P = 2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r • Tính d = d ( I , ( P ) ) • • Tính bán kính mặt cầu R = d + r Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 10: Viết phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với đường thẳng  cho trước có tâm I ( a; b; c ) cho trước Phương pháp Đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu ( S ) ta có R = d ( I ,  ) Dạng 11: Viết phương trình mặt cầu ( S ) tiếp xúc với đường thẳng  tiếp điểm M ( xo , yo , zo ) thuộc  có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước Phương pháp http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 36 • Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm M vng góc với đường thẳng  • Toạ độ tâm I = ( P )   nghiệm phương trình • Bán kính mặt cầu R = IM = d ( I ,  ) • Kết luận phương trình mặt cầu ( S ) Dạng 12: Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( a; b; c ) cắt đường thẳng  hai điểm A, B thoả mãn điều kiện: a Độ dài AB số b Tam giác IAB tam giác vuông c Tam giác IAB tam giác Phương pháp Xác định d ( I ,  ) = IH , IAB cân I nên HB = AB a Bán kính mặt cầu R = IH + HB2 b Bán kính mặt cầu R = c Bán kính mặt cầu R = IH sin 45o IH sin 60o http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 37 ... tài liệu file word Diện tích – Thể tích – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian – Công thức xác định toạ độ điểm đặc biệt – Tính chất hình học điểm... ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm không gian Chứng minh tính chất hình hoïc http://dethithpt.com... = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 • a ⊥ b  a1b1 + a2b2 + a3b3 = • a = a12 + a22 + a32 • a = • cos(a , b ) = a.b a b = a12 + a22 + a22 a1b1 + a2b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 (với a , b  )