Lý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gianLý thuyết và công thức môn Toán Hình học 12 Chương 3 PP Tọa độ trong không gian
VII TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ KIẾN THỨC TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VÉCTƠ Hệ trục tọa độ không gian Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vng góc với đôi chung r r r điểm gốc O Gọi i, j , k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian Chú ý: r2 r r rr rr r r i j k i j i.k k j z x' r k y' x r i O r j y z' Quy ước : Khơng gian mà có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vng góc Oxyz gọi không gian Oxyz ký hiệu : kg Oxyz L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) Tọa độ vectơ r r r r r a) Định nghĩa: u x; y; z u xi y j zk r r b) Tính chất: Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ), k R r r a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) r ka (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 b1 r r a b a2 b2 a b 3 r r r r (0;0;0), i (1;0;0), j (0;1;0), k (0;0;1) r r r r a phương b (b 0) r r a kb (k R) a1 kb1 a2 kb2 a kb rr a.b a1.b1 a2 b2 a3 b3 r a a12 a22 a32 rr a.b r r cos(a , b ) r r a b r a1 a2 a3 , (b1 , b2 , b3 0) b1 b2 b3 r a b a1b1 a2b2 a3b3 r a a12 a22 a22 a1b1 a2b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32 r r r (với a, b ) L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) Tọa độ điểm uuuur r r r a) Định nghĩa: M ( x; y; z) OM x.i y j z.k ( x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ ) Chú ý: M Oxy z 0; M Oyz x 0; M Oxz y M Ox y z 0; M Oy x z 0; M Oz x y b) Tính chất: Cho A( xA ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) uuur AB ( xB xA ; yB y A ; zB z A ) AB ( xB xA )2 ( yB y A )2 ( zB z A )2 x x y yB z A z B ; Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB : M A B ; A 2 Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC : x x x y yB yC z A zB zC G A B C ; A ; 3 Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD : x x x xD y A yB yC yD z A zB zC zC G A B C ; ; 4 III Sự phương hai véc tơ: Nhắc lại Hai véc tơ phương hai véc tơ nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song Định lý phương hai véc tơ: r r r r i b Định lý : Cho hai véc tơ a vàb vớ r r a cù ng phương b r r !k R cho a k.b r r Nếu a số k trường hợp xác định sau: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) r r k a hướng b r r k a ngược hướng b r a k r b Định lý : uuur uuur A, B,C thẳ ng hà ng AB cù ng phương AC r r Định lý 5: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3 ) vaøb (b1; b2; b3 ) ta có : r r a cù ng phương b a1 kb1 a2 kb2 a1 : a2 : a3 b1 : b2 : b3 a kb IV Tích vơ hướng hai véc tơ: Nhắc lại: rr r r r r a.b a b cos(a, b) r2 r a a r r rr a b a.b r r Định lý 6: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a2 ) vaøb (b1; b2; b3 ) ta có : rr a.b a1b1 a2b2 a3b3 r Định lý 7: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3 ) ta có : r a a12 a22 a32 Định lý 8: Nếu A( xA; yA; zA ) vàB(x B; yB; zB) AB ( xB xA )2 ( yB yA )2 ( zB zA )2 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) r r Định lý 9: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3 ) vaøb (b1; b2; b3 ) ta có : r r a b a1b1 a2b2 a3b3 r r Định lý 10: Cho hai véc tơ a (a1; a2; a3 ) vàb (b1; b2; b3 ) ta có : rr r r a1b1 a2b2 a3b3 a.b cos(a, b) r r a.b a1 a22 a32 b12 b22 b32 V Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghĩa : Điểm M gọi chia đoạn AB theo tỷ số k k 1 : uuur uuur MA k.MB A M B uuur uuur Định lý 11 : Nếu A( xA; yA; zA ) , B(x B; yB; zB ) MA k.MB k 1 xA k.xB x M 1 k yA k.yB yM 1 k zA k.zB zM k Đặc biệt : M trung điểm AB xA xB xM y y yM A B zA zB zM Định lý 12: Cho tam giác ABC biết A( xA; yA; zA ) , B(xB; yB; zB ), C(xC; yC ; zC ) L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) xA xB xC xG y y y G trọng tâm tam giác ABC yG A B C zA zB zC zG VI Tích có hướng hai véc tơ: r r Định nghĩa: Tích có hướng hai véc tơ a (a1; a2; a3 ) vaøb (b1; b2; b3 ) véc tơ r r ký hiệu : a; b có tọa độ : r r a a; b b2 a3 a3 a1 a1 a2 ; ; b3 b3 b1 b1 b2 Tính chất: r r r r r r a; b a vaøa; b b uuur suur SABC AB; AC SYABCD A B uuur uuur AB; AD C D D' C A B VABCD.ABC ' ' ' ' D uuur uuur uuur' AB; AD AA uuur uuur uuur VABCD AB; AC AD C' A' B' D C A D B C A B r r r r r a cuø ng phương b a; b r r r r r r a, b, c đồ ng phẳ ng a, b c L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) uuur uuur uuur uuur uuur uuur A, B, C, D đồng phẳng AB,AC,AD đồng phẳng AB,AC AD VẤN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm không gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian – Công thức xác định toạ độ điểm đặc biệt – Tính chất hình học điểm đặc biệt: uuur uuur uuur uuur uuur uuur r A, B, C thaúng hàng AB, AC phương AB k AC AB, AC uuur uuur ABCD hình bình hành AB DC Cho ABC có chân E, F đường phân giác uuur uuur AB uuur AB uuur góc A ABC BC Ta coù: EB EC , FB FC AC AC uuur uuur uuur A, B, C, D khoâng đồng phẳng AB, AC, AD không đồng phẳng uuur uuur uuur AB, AC AD VAÁN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu S , ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: S có tâm I a; b; c bán kính R : (S): ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 R2 Dạng 2: S có tâm I a; b; c qua điểm A : Khi bán kính R IA Dạng 3: S nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) –Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB : xI xA xB y y z z ; yI A B ; zI A B 2 – Bán kính R IA AB Daïng 4: S qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ): – Giả sử phương trình mặt cầu S có dạng: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d * – Thay laàn lượt toạ độ điểm A, B, C, D vào * , ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d Phương trình mặt cầu S Dạng 5: S qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng P cho trước: Giải tương tự dạng Dạng 6: S có tâm I tiếp xúc với mặt cầu T cho trước: – Xác định tâm J bán kính R' mặt cầu T – Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu S (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngoài) Chú ý: Với phương trình mặt cầu S : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d với a2 b2 c2 d S có tâm I a; b; c bán kính R a2 b2 c2 d VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối hai mặt cầu mặt cầu Cho hai mặt cầu S1 I 1, R1 S2 I , R2 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) I1I R1 R2 S1 , S2 I1I R1 R2 S1 , S2 ngoaøi I1I R1 R2 S1 , S2 tiếp xúc I1I R1 R2 S1 , S2 tiếp xúc R1 R2 I1I R1 R2 S1 , S2 cắt theo đường tròn VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm mặt cầu – Tập hợp tâm mặt cầu Tập hợp điểm mặt cầu Giả sử tìm tập hợp điểm M thoả tính chất P – Tìm hệ thức toạ độ x, y, z điểm M Chẳng hạn có dạng: ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 R2 hoaëc: x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d – Tìm giới hạn q tích (nếu có) Tìm tập hợp tâm mặt cầu x f (t ) – Tìm toạ độ tâm I , chẳng hạn: y g(t ) * z h(t ) – Khử t * ta có phương trình tập hợp điểm – Tìm giới hạn q tích (nếu có) L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN I Các định nghĩa: Véc tơ phương (VTCP) đường thẳng: r r ñn a r a VTCP đường thẳng r c trù ng vớ i a cógiásong song hoặ Chú ý: Một đường thẳng có vơ số VTCP, véc tơ phương với Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm thuộc VTCP Cặp VTCP mặt phẳng: r Cho mặt phẳng xác định hai đường thẳng cắt a b Gọi a VTCP r đường thẳng a b VTVP đường thẳng b Khi : ur uur Cặp (a,b) gọi cặp VTCP mặt phẳng L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) a1 : a2 : a3 A : B : C pt ( ) PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M ta giải hệ phương trình: tìm pt ( ) x, y, z Suy ra: M x, y, z Thế , , vào phương trình mp P rút gọn đưa dạng: at b (* ) d cắt mp P điểm Pt * có nghiệm t d song song với P Pt * vô nghiệm d nằm P Pt * có vơ số nghiệm t r r d vng góc P a n phương Vị trí tương đối hai đường thẳng: 1 ' a M0 M0 u 1 M M 0' b u ' 2 2 M 0' M0 u u' u M0 2 M ' 1 u' 2 PP HÌNH HỌC Định lý: Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng: r x x0 y y0 z z0 cóVTCP u (a; b; c) vàqua M ( x0; y0; z0 ) a b c ur x x0 y y0 z z0 ( ) : ' coùVTCP u' (a' ; b' ; c' ) vaøqua M '0 ( x0' ; y0' ; z0' ) ' ' a b c (1) : r ur uuuuuuur (1) vaø(2 ) đồ ng phẳ ng u, u' M0 M0' L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) (1 ) caé t ( ) r ur uuuuuuur ' ' u, u M M a : b : c a' : b' : c' (1 ) // ( ) a : b : c a' : b' : c' ( x0' x0 ) : ( y0' y0 ) : ( z0' z0 ) (1 ) ( ) a : b : c a' : b' : c' ( x0' x0 ) : ( y0' y0 ) : ( z0' z0 ) r ur uuuuuuur u, u' M M 0' r ur u.u ' (1 ) vaø( ) cheù o (1 ) ( ) pt (1) PP ĐẠI SỐ: Muốn tìm giao điểm M (1) vaø(2 ) ta giải hệ phương trình : tìm pt ( ) x, y, z Suy ra: M x, y, z 3) Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu: x x0 a1t (1) Cho đường thẳng d: y y0 a2t (2) mặt cầu S : ( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2 có tâm z z a t (3) I (a; b; c) , bán kính R PP HÌNH HỌC uuuur r IM a B1 Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu S đến đường thẳng d h d( I , d) r a B2 So sánh d( I , d) bán kính R mặt cầu: ● Nếu d(I , d) R d khơng cắt S ● Nếu d(I , d) R d tiếp xúc S ● Nếu d(I , d) R d cắt S hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu PP ĐẠI SỐ: Thế 1 , 2 , 3 vào phương trình S rút gọn đưa phương trình bậc hai theo t * ● Nếu phương trình * vơ nghiệm d khơng cắt S L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) ● Nếu phương trình * có nghiệm d tiếp xúc S ● Nếu phương trình * có hai nghiệm d cắt S hai điểm phân biệt M , N Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d III Góc khơng gian: Góc hai mặt phẳng: Định lý: Trong Kg Oxyz cho hai mặt phẳng , xác định phương trình : n1 ( A1 ; B1 ; C1 ) ( ) : A1x B1y C1z D1 n2 ( A2 ; B2 ; C ) ( ) : A2 x B2 y C2z D2 Gọi góc hai mặt phẳng ( ) & ( ) ta có cơng thức: a 0 90 b cos A1 A2 B1B2 C1C2 A B12 C12 A22 B22 C22 2 Góc đường thẳng mặt phẳng: Định lý: Trong Kg Oxyz cho đường thẳng () : ( ) x x0 y y0 z z0 a b c a (a; b; c) n ( A; B; C ) mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D Gọi góc hai mặt phẳng () & ( ) ta có cơng thức: a sin 0 90 Aa Bb Cc A2 B C a b c a1 (a; b; c) 3.Góc hai đường thẳng : Định lý: Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng : 1 2kiểm L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề 15p, đề kiểm tra tiết, atra ( a ' ; b' ; c ' ) tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) 0 90 x x0 y y0 z z0 a b c x x0 y y0 z z0 ( ) : ' a' b' c (1) : Gọi góc hai mặt phẳng (1 ) & (2 ) ta có cơng thức: cos aa ' bb' cc' a b2 c a '2 b'2 c'2 IV Khoảng cách: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Định lý: Trong Kg Oxyz cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D điểm M0 ( x0; y0; z0 ) Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính cơng thức: M ( x0 ; y ; z ) a H d( M0; ) Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Định lý: Trong Kg Oxyz cho đường thẳng () qua điểm M0 ( x0; y0; z0 ) có VTCP r u (a; b; c) Khi khoảng cách từ điểm M1 đến () tính cơng thức: M1 u ( ) uuuuuur r M0 M1; u d( M1, ) r u M ( x0 ; y ; z ) H Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Định lý: Trong Kg Oxyz cho hai đường thẳng chéo : r (1) coùVTCP u (a; b; c) vaøqua M ( x0; y0; z0 ) ur (2 ) coùVTCP u' (a' ; b' ; c' ) vaøqua M '0 ( x0' ; y0' ; z0' ) L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) Khi khoảng cách (1) và(2 ) tính cơng thức u 1 M0 M 0' u' 2 r ur uuuuuuur u, u ' M0 M0' d(1, ) r ur u; u ' VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định điểm thuộc d VTCP r Dạng 1: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a (a1; a2 ; a3 ) : x xo a1t (d) : y yo a2t z z a t o ( t R) Dạng 2: d qua hai điểm A, B : uuur Một VTCP d AB Dạng 3: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với đường thẳng cho trước: Vì d / / nên VTCP VTCP d Dạng 4: d qua điểm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) vuông góc với mặt phẳng P cho trước: Vì d P nên VTPT P VTCP d Dạng 5: d giao tuyến hai mặt phẳng P , Q : Cách 1: Tìm điểm VTCP ( P) – Tìm toạ độ điểm A d : cách giải hệ phương trình (với (Q) việc chọn giá trị cho ẩn) r r r – Tìm VTCP cuûa d : a nP , nQ Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d , viết phương trình đường thẳng qua hai điểm ñoù L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) Daïng 6: d qua điểm M0 ( x0; y0; z0 ) vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 : r r r Vì d d1, d d2 nên VTCP d là: a ad , ad 2 Dạng 7: d qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , vuông góc cắt đường thẳng Cách 1: Gọi H hình chiếu vuông góc M đường thẳng H uuuuur r M0 H u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M0 , H Cách 2: Gọi P mặt phẳng qua A vuông góc với d ; Q mặt phẳng qua A chứa d Khi d P Q Dạng 8: d ñi qua ñieåm M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) cắt hai đường thẳng d1, d2 : Cách 1: Gọi M1 d1, M2 d2 Từ điều kiện M , M1, M2 thẳng hàng ta tìm M1, M2 Từ suy phương trình đường thẳng d Cách 2: Gọi P ( M0 , d1) , Q ( M0 , d2 ) Khi d P Q Do đó, r r r VTCP d chọn a nP , nQ Dạng 9: d nằm mặt phẳng P cắt hai đường thẳng d1, d2 : Tìm giao điểm A d1 P , B d2 P Khi d đường thẳng AB Dạng 10: d song song với cắt hai đường thẳng d1, d2 : Viết phương trình mặt phẳng P chứa d1, mặt phẳng Q chứa d2 Khi d P Q Dạng 11: d đường vuông góc chung hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau: MN d1 Cách 1: Gọi M1 d1, M2 d2 Từ điều kiện , ta tìm M , N MN d2 Khi đó, d đường thẳng MN Cách 2: r r r – Vì d d1 d d2 nên VTCP d là: a ad , ad 2 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) – Lập phương trình mặt phẳng P chứa d d1, cách: + Lấy điểm A d1 r r r + Một VTPT P là: nP a, ad 1 – Tương tự lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa d d2 Khi d P Q Dạng 12: d hình chiếu đường thẳng lên mặt phẳng P : Lập phương trình mặt phẳng Q chứa vuông góc với mặt phẳng P cách: – Lấy M r r r – Vì Q chứa vuông góc với P nên nQ a , nP Khi d P Q Dạng 13: d qua điểm M , vuông góc với d1 cắt d2 : Cách 1: Gọi N giao điểm d d2 Từ điều kiện MN d1, ta tìm N Khi đó, d đường thẳng MN Cách 2: – Viết phương trình mặt phẳng P qua M vuông góc với d1 – Viết phương trình mặt phẳng Q chứa M d2 Khi d P Q VẤN ĐỀ 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Để xét VTTĐ hai đường thẳng, ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP điểm thuộc đường thẳng Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng VẤN ĐỀ 3: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) Để xét VTTĐ đường thẳng mặt phẳng, ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dựa vào mối quan hệ VTCP đường thẳng VTPT mặt phẳng Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt phẳng VẤN ĐỀ 4: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Để xét VTTĐ đường thẳng mặt cầu ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học: Dựa vào khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng bán kính Phương pháp đại số: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng mặt cầu VẤN ĐỀ 5: Khoảng cách Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d r Cách 1: Cho đường thẳng d qua M có VTCP a uuuuur M M , ar d( M , d) r a Cách 2: – Tìm hình chiếu vuông góc H M đường thẳng d – d M , d MH Cách 3: – Gọi N x; y; z d Tính MN theo t (t tham số phương trình đường thẳng d) – Tìm t để MN nhỏ – Khi N H Do d M , d MH L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 r r d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 coù VTCP a2 r r uuuuuur a1, a2 M1M2 d(d1, d2 ) r r a1, a2 Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1, d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng chứa d2 song song với d1 Khoảng cách hai đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng VẤN ĐỀ 6: Góc Góc hai đường thẳng r r Cho hai đường thẳng d1, d2 có VTCP a1, a2 r r Góc d1, d2 bù với góc a1, a2 r r a1.a2 r r cos a1, a2 r r a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng r Cho đường thẳng d có VTCP a (a1; a2 ; a3 ) mặt phẳng có VTPT L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) r n ( A; B; C) Goùc đường thẳng d mặt phẳng góc đường thẳng d với hình chiếu d ' sin (d·,(a )) = Aa1 Ba2 Ca3 A2 B2 C2 a12 a22 a32 L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN I Phương trình mặt cầu: Phương trình tắc: Định lý: Trong Kg Oxyz Phương trình mặt cầu S tâm I a; b; c , bán kính R là: z (S ) I (S) : ( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R2 1 R M ( x; y; z ) y O x Phương trình 1 gọi phương trình tắc mặt cầu Đặc biệt: Khi I O (C) : x2 y2 z2 R2 Phương trình tổng quát: Định lý : Trong Kg Oxyz Phương trình : x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d với a2 b2 c2 d phương trình mặt cầu S có tâm I a; b; c , bán kính R a2 b2 c2 d II Giao mặt cầu mặt phẳng: Định lý: Trong Kg Oxyz cho mặt phẳng ( ) mặt cầu S có phương trình : L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) ( ) : Ax By Cz D (S) : ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 R2 Gọi d(I ; ) khoảng cách từ tâm mặt cầu S đến mặt phẳng Ta có : ( ) cắ t mặ t cầ u (S) d(I; ) < R ( ) tiế p xú c mặ t cầ u (S) d(I; ) =R ng cắ t mặ t cầ u (S) (S ) ( ) khoâ d(I; ) > R (S ) I (S ) I R R R H a a M H (C ) I M M r H a Chú ý: Khi cắt mặt cầu S cắt theo đường trịn C Đường trịn C có: Tâm hình chiếu vng góc tâm mặt cầu mặt phẳng Bán kính r R2 d2 ( I , ) Để viết phương trình mặt cầu S , ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: S có tâm I a; b; c bán kính R : S : ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 R2 Dạng 2: S có tâm I a; b; c qua điểm A : Phương pháp: Khi bán kính R IA Dạng 3: S nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) Phương pháp: Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB : xI xA xB y yB z zB ; yI A ; zI A 2 AB Dạng 4: S qua bốn điểm A, B, C, D ( mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD) : Bán kính R IA Phương pháp: Giả sử phương trình mặt cầu S có dạng: x2 y z 2ax 2by 2cz d * Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào * , ta phương trình Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d Phương trình mặt cầu S Dạng 5: S qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng P cho trước: Phương pháp: Giải tương tự dạng Dạng 6: S có tâm I tiếp xúc với mặt cầu T cho trước: Phương pháp: Xác định tâm I bán kính R' mặt cầu T Sử dụng điều kiện tiếp xúc hai mặt cầu để tính bán kính R mặt cầu S (Xét hai trường hợp tiếp xúc tiếp xúc ngồi) Chú ý: Với phương trình mặt cầu S : x y z 2ax 2by 2cz d với a2 b2 c2 d S có tâm I –a; –b; –c bán kính R a b2 c d Cho hai mặt cầu S1 I 1, R1 S2 I , R2 I1I R1 R2 S1 , S2 I1I R1 R2 S1 , S2 I1I R1 R2 S1 , S2 tiếp xúc I1I R1 R2 S1 , S2 tiếp xúc R1 R2 I1I R1 R2 S1 , S2 cắt theo đường tròn (đường tròn giao tuyến) L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) Dạng 7: Viết phương trình mặt cầu S có tâm I a; b; c , tiếp xúc với mặt phẳng P cho trước Phương pháp: Ta có bán kính mặt cầu R d I ; P Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 8: Viết phương trình mặt cầu S có tâm I a; b; c , cắt mặt phẳng P cho trước theo giao tuyến đường tròn thoả điều kiện a Đường tròn có diện tích cho trước b Đường trịn có chu vi cho trước c Đường trịn có bán kính cho trước Phương pháp: Từ cơng thức diện tích đường tròn S r chu vi đường trịn P 2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r Tính d d I , P Tính bán kính mặt cầu R d r Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 9: Viết phương trình mặt cầu S có tâm I a; b; c , cắt mặt phẳng P cho trước theo giao tuyến đường trịn thoả điều kiện a Đường trịn có diện tích cho trước b Đường trịn có chu vi cho trước c Đường trịn có bán kính cho trước Phương pháp: Từ cơng thức diện tích đường trịn S r chu vi đường tròn P 2 r ta tìm bán kính đường trịn giao tuyến r Tính d d I , P Tính bán kính mặt cầu R d r Kết luận phương trình mặt cầu Dạng 10: Viết phương trình mặt cầu S tiếp xúc với đường thẳng cho trước có tâm I a; b; c cho trước L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) Phương pháp Đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu S ta có R d I , Dạng 11: Viết phương trình mặt cầu S tiếp xúc với đường thẳng tiếp điểm M xo , yo , zo thuộc có tâm I thuộc đường thẳng d cho trước Phương pháp Viết phương trình mặt phẳng P qua điểm M vng góc với đường thẳng Toạ độ tâm I P nghiệm phương trình Bán kính mặt cầu R IM d I , Kết luận phương trình mặt cầu S Dạng 12: Viết phương trình mặt cầu S có tâm I a; b; c cắt đường thẳng hai điểm A, B thoả mãn điều kiện: a Độ dài AB số b Tam giác IAB tam giác vuông c Tam giác IAB tam giác Phương pháp Xác định d I , IH , IAB cân I nên HB AB a Bán kính mặt cầu R IH HB2 b Bán kính mặt cầu R c Bán kính mặt cầu R IH sin 45o IH sin60o L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra tiết, tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo (nhắn tin gọi tư vấn) ... 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm không gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích... a3 b3 r a a12 a22 a32 rr a.b r r cos(a , b ) r r a b r a1 a2 a3 , (b1 , b2 , b3 0) b1 b2 b3 r a b a1b1 a2b2 a3b3 r a a12 a22 a22 a1b1 a2b2 a3b3 a12... Diện tích – Thể tích – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ không gian – Công thức xác định toạ độ điểm đặc biệt – Tính chất hình học điểm đặc bieät: uuur uuur