Nâng cao kỹ năng dạng bài hàm số và các bài toán liên quan – tô thị nga vấn đề 4 tiếp tuyến của đồ thị hàm số file word image marked

VẤN ĐỀ 4: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM CÁC KHÁI NIỆM VỂ TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG PHẲNG Trên mặt phẳng tọa độ Oxỵ cho đường cong (C), Giả sử (C) đồ thị hàm số y = f(x) M (x0;f (x0))  (C) Kí hiệu M(x;f (x)) điểm di chuyển (C) Đường thẳng MM0 cát tuyến (C) Nhận xét X  x0 M(x;f (x)) di chuyển (C) tới điểm M0 (x0;f (x0)) ngược lại Giả sử cát tuyến MM0 có vị trí giới hạn, kí hiệu M0T M0T gọi tiếp tuyến (C) M0 Điểm M0 gọi tiếp điểm II CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ Bài toán Cho đ thị (C): y = f ( x ) v điểm M (x0; y )  (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(x0;y0) Phương pháp giải Phương trình tiếp tuyến M(x0;y0) (C) là: y-y0 = f ' (x0)(x-x0) Bài tập A Khởi động Bài tập 1: Cho đồ thị (C):y = f(x) = - x + 2x2 Phương trình tiếp tuyến với đổ thị (C) A  2;0 là:   (A) y  x  (B) y  x  (C) y  x  (D) y  x  Giải: Ta có: y ' = f ' (x) =-4x3+4x  f ' ( 2)     Phương trình tiếp tuyến A  2;0 là: y  f '( 2)(x  2)  f ( 2)  2( x  2)   x   y  2x   Chọn A Bài tập 2: Cho đổ thị hàm số (C): y = f (x) = x3 -3x2 + 2x - Phương trình tiếp tuyến (C) có hồnh độ tiếp điểm là: (A)y = x -7; (B) y = 2x -9; (C)y = 2x +1; (D) y = -2x -1 Giải: Ta có: y' = 3x2 - 6x + x0 = => y0 = -5 ; y'(2) =  Phương trình tiếp tuyến M(2; -5) là: y = y'(2)(x-2)+y(2)  y = 2(x-2)-5 hay y = 2x-9  Chọn B Chú ý: + Khi biết yếu tố hoành độ tiếp điểm tung độ tiếp điểm ta phải tìm yếu tố cịn lại để viết phương trình tiếp tuyến d (X  X  X  5) nhấn ta dx x2 kết f '(2) = Cách tính em nên dùng cho toán viết tiếp tuyến hàm số dạng phức tạp + Sử dụng Casio: Để tính f ' (2) ta nhập Bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y = f (x) = x3 - 3x2 + 2x - Biết tung độ tiếp điểm (A)y = 107x + 536; (B) y = 107x + 534; (C) y = 11x - 32; (D) y = 11x – 34; Giải: y0   x03  x02  x0    x03  x02  x0    x02 ( x0  3)  2( x0  3)   ( x0  3)( x02  2)   x0  Ta có: y' = 3x2 -6 x + 2,  y'(3) = 11  Phương trình tiếp tuyến điểm M(3; 1) là: y = y'(3)(x - 3) + y(3)y = 11(x-3) + l hay y = 11x - 32  Chọn C Bài tập : Cho đồ thị (C): y = f (x) = x - x2 +1 Phương trình tiếp tuyến giao điểm (C) với Ox là: (A)y = 0; (B) y = ; (C) y = 4x + 5; (D )y = 4x-21 Giải: Hoành độ giao điểm (C) với Ox nghiệm phương trình: x - x2 +1 =  (x  2)   x   Ta có: y' = f'(x) = x3 -2x Phương trình tiếp tuyến (C) x0  là: y  f '( 2)( x  2)  f ( 2)  0( x  2)   hay y = Phương trình tiếp tuyến (C) x0   là: y  f '( 2)( x  2)  f ( 2)  0( x  2)   hay y =  Chọn A Bài tập 5: Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = -x3 + 3x2 + 9x + (A) Song song với đường thẳng x = (B) Song song với trục hồnh (C) Có hệ số góc dương (D) Có hệ số góc Giải: TXĐ: D = R Ta có: y' = -3x2 + x + =   x 1 x3 Ta có: y” = -6 x + ; y’’(-1) = 12 >  x= -1 điểm cực tiểu, y”(3) = -12 < => x = điểm cực đại Hệ số góc tiếp tuyến điểm cực tiểu là: k = y '(-1) =  tiếp tuyến song song với trục hồnh  Chọn B L u ý : Có thể chọn nhanh phương án (B) cách lí luận sau: Vì f’(x) tổn với x  R nên x0 điểm cực trị f f(x0) =  Hệ số góc tiếp tuyến điểm cực trị x0 k = f'(x0) =  Chọn (B) Bài toán 6: Cho (C): y = f(x) = 2x3 -5x2 +3x-8 Khẳng định sau SAI? (A)Mọi tiếp tuyến điểm (C) cóhệ số góc khơng nhỏ  (B) Các phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với đường thẳng (D): y = 2x - 10 y = - x - 7và y = 19 25 x2 (C)Các phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với Parabol (P): y = x2 + 3x - y = 3x - y = 27x – 71 (D)Các phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với đường cong (C’): y = x3- 4x2 + 2x -10 y = 19x + y = 5x – 20 Giải: Ta có: y’ = 6x2 – 10x + 5 7   y’ =  x      6 6   Khẳng định A + Xét khẳng định B: Hoành độ giao điểm (C) với (D) nghiệm phương trình  x  2x3-5x2+3x-8=2x-10  (x-1)(x-2)(2x+1)=0   x   x    - Tiếp tuyến x = có phương trình là: y = y'(2)(x-2) + y(2) = 7(x -2)- 6= 7x -20 hay y = 7x-20 - Tiếp tuyến x = có phương trình là: y = y’(l)(x-l) + y(l) = -l(x-l) - = -x-7 hay y = -x- - Tiếp tuyến x = 2 có phương trình là: 2 y= y’(- )(x+ )+y(- ) hay 19  1 19 25 19 25 hay y  x   x    11  x  2 2  Khẳng định B + Xét khẳng định C: Hoành độ giao điểm (C) với (P) nghiệm phương trình x  2x3-5x2+3x-8=x2+3x-8  2x2(x-3)=0   x  - Tiếp tuyến X = có phương trình là: y = y’(0)(x-0) + y(0) = 3x-8 hay y = 3x - - Tiếp tuyến X = có phương trình là: y = y'(3)(x -3) + y(3) = 27(x -3) +10 = 27x -71 hay y = 27x – 71  Khẳng định C + Xét khẳng định D: Hoành độ giao điểm (C) với (C’) nghiệm phương trình  x  1 2x3-5x2+3x-8 = x3 – 4x2 + 2x - 10  x2 – x – =   x  - Tiếp tuyến X = -1 có phương trình là: y = y’(-1)(x+1)+y(-1)=19(x+1)-18=19x+1 hay y =19x + -Tiếp tuyến x = 2có phương trình y = y’(2)(x-2)+y(2)= (x -2) – = 7x – 20 hay y = 7x -20  Khẳng định D sai  Chọn D C h ú ý : Hồnh độ tiếp điểm hồnh độ giao điểm (C) đường cong Bài tập 7: Cho đổ thị (C): y = -x4 + 3mx2 -3m + l.Giá trị m để tiếp tuyến với đổ thị A(l; 0) B(-l; 0) vng góc với là: (B) m= m= ; (D) m= ; (A)m= ; (C)m= ; Giải: Do A( 1; 0)  (C); B(-1; 0)  (C) nên tiếp tuyến A B vng góc với  m   y '(1) y '(  1)    (   m )(  m )     m    Chọn B C h ú ý : Hai đường thẳng vng góc với (mà có hệ số góc khác 0) có tích hệ số góc -1 Bài tập 8: Cho đồ thị (C): y = f (x) = (x + 1) (x -1) ;(P): y =g(x) =2x2 +m Có khẳng định ĐÚNG khẳng định đây? (A)0; (B) 1; (C) ; (D) KHẲNG ĐỊNH : (C) (P) tiếp xúc với m = KHẲNG ĐỊNH : Có tiếp tuyến chung tiếp điểm chung (C) với (P) KHẲNG ĐỊNH 3: Các phương trình tiếp tuyến chung tiếp điểm chung (C) với (P) y = 2x -7 y = Giải: + Xét khẳng định 1:  f ( x)  g ( x) có nghiệm  f '( x)  g '( x) (C)và (P) tiếp xúc với   2  x  x   x  m  m  x  x   x  0; m        x  2; m  3 4 x  x  x  4 x( x  2)  Vậy với m = m = -3 (C) (P) tiếp xúc với  Khẳng định SAI + Xét khẳng định 3: Với m = 1; x0 = (P): y = g(x) = 2x2 +1 Phương trình tiếp tuyến chung x0 = là: y = g ’(0) (x - 0) + g (0)  y = Với m = -3 ; x0  (P): y = g(x) = x - Phương trình tiếp tuyến chung x0  là: y  g '( 2)(x  2)  g ( 2)  y  2x  Vậy khẳng định sai khẳng định  Có tất khẳng định  Chọn B C h ú ý : Bài toán tiếp xúc đường cong (C): y = f(x) (C’): y = g(x) f '(x )  g '(x ) Hai đường cong (C) (C’) tiếp xúc với  Hệ  có nghiệm  f(x )  g (x ) Bài tập 9: Cho đô thị (c): y = x + 3x - 9x + Tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ có phương trình là: (A)y = -12x -28; (B) y = -12x + (C) y = -12 x – 2; (D) y = -12x +2 Giải: Tiếp tuyến M(x0 ; y0) có hệ số góc k = y'(x0) = 3x0 + 6x0 - =3(x0 +l) -12 >-12  Hệ số góc nhỏ - x0 = -1 Phương trình tiếp tuyến x0 = -1 là: y = y'(- 1)(x + 1) + y(- 1) = -12(x + 1) + 16 = -12x + hay y= -1 x +  Chọn B C h ú ý : Bài tính hệ số góc tính tọa độ tiếp điểm sau viết phương trình tiếp tuyến Bài tập 10: Cho đồ thị hàm số (Cm): y = x3 + - m (x + 2) Gọi A  (Cm )  Oy có giá trị m để tiếp tuyến với (Cm ) A chắn hai trục tọa độ tam giác có diện tích 16? (A)2; (B) 1; (C) 0; (D) Giải: Vì A  (Cm )  Oy  xA=0 Phương trình tiếp tuyến (C) A là: (  ): y = y'(0)(x-0) + y(0) = -mx + - 2m Ta có: ()  Oy  A(0;8  2m);()  Oy  B(  2m ;0) m 1  2m S AOB  OA.OB  y A xB   2m  16 2 m m 3  13  có hai giá trị m thỏa mãn  Chọn A C h ú ý : Tiếp tuyến A chắn trục tọa độ tam giác vuông gốc tọa độ O 3 Bài tập 11: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) y  x3  x  : điểm (C) mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y   x  (A)y = 3x -14/3 y = 3x + 6; (B) y = 3x + 22/3 y = 3x – 6; (C)y = 3x – 22/3 y = 3x + 6; (D) y = 3x + 14/3 y = 3x – Giải: Tuyến tuyến vng góc với đường thẳng y   x  Tiếp tuyến điểm M(x0 ;  x    x   x0  2 y0) có hệ nên có hệ số góc k = 3 số góc k = y'(x0) = Phương trình tiếp tuyến x0 = là: y = y'(2)(x-2) + y(2) = 3(x-2) + 4/3 = 3x - 14/3 hay y = 3x-14/3 Phương trình tiếp tuyến x = -2 là: y = y’(-2)(x + 2) + y(-2) = 3(x + 2) + hay y = 3x+  Chọn A C h ú ý : Hai đường thẳng vng góc với tích hai hệ sổ góc -1 Bài tập 12 : Cho (Cm ): y = f (x) = x3 + mx2 + Tìm m để (Cm ) cắt đường thẳng y = -x +1 điểm phân biệt A(0; ), B, C cho tiếp tuyến với (Cm ) B C vng góc với (A)m = m = -5; (B) m = (C)m = -5; (D) m = Giải: Hoành độ giao điểm (Cm ) với đường thẳng y = -x +1 nghiệm phương trình x + m x + = -x +  x + m x + x =  x ( x + m x + l ) = x    g ( x)  x  mx   0(1) Vì A(0; 1) nên xB, xC nghiệm phân biệt phương trình (1) m      m   0; g (0 )  m  2     x B  xC   m   x B  xC   m x x  x x   B C  B C  Vì tiếp tuyến B c vng góc với nên f'(xB)f'(xc) = -l  (3 xB2  2mxB )(3 xC2  2mxC )  1  9( xB xC )  6mxB xC ( xB  xC )  4m xB xC  1  9.12  6m.1.(m)  4m  1  m   m  5 ( Thỏa mãn)  Chọn A Bài tập 13: Cho đồ thị hàm số (C): y  (3m  1) x  m  m (m  0) Tìm tất phương xm trình tiêp tuyến (C) giao điểm (C) với trục Ox, biết tiếp tuyến song song với (  ): y +2016 = x (A)y = x +1; (B) y = x – 3/5 (C)y = x +1 y = x -3/5; (D) y = x – Giải: (3m  1) x  m  m Giả sử: (C )  Ox  ( x0 ;0)   0(*) x0  m y '( x)  Do  4m 4m  y '( x )  ( x  m) ( x0  m) tiếp tuyến song song với (  ):y +2016  x0  m 4m    x  3m ( x0  m)  + Với x0 = m vào (*)  2m(m  1)   m  1 m  x0 = -1  Phương trình tiếp tuyến : y = x +1 + Với x0 = -3m vào (*)  2m(5m  1) 0m 2m  x0 = -3/5  Phương trình tiếp tuyến : y = x -3/5 = x nên y’(x0) =  Chọn C Bài tập 14: Có điểm đồ thị (C): y  x2  2x  mà tiếp tuyến vng x 1 góc với tiệm cận xiên (C)? (A)2 điểm; (B) điểm; (C)0 điểm; (D) điểm Giải: Ta có: y = x +1 + nên TCX là: y = x +1 x 1 Vì tiếp tuyến x = x0 vng góc với tiệm cận xiên nên tiếp tuyến có hệ số góc    y0    x0   1 k  y '(x )  1    1  ( x0  1)     ( x0  1)   y0   x0  2   2  2  A    1;   1;  ; B     2   Vậy có điểm (C) thỏa mãn đề  Chọn A Bài tập 15: Cho đồ thị (C): y  x 1 Mọi tiếp tuyến (C) tạo với tiệm cận (C) x 1 tam giác có diện tích khơng đổi bằng: (A) đvdt; (B) đvdt; (C) đvdt; (D) đvdt Giải:  Xétđiểm M  x0 ;  x0     (C ) TiếptuyếntạiMcóphươngtrình: x0   y  y '( x0 )( x  x0 )  f (x0 )    x0 1 ( x  x0 )  x0 1 x0 1 TCĐ: x =1; TCN: y = Gọi A, B theo thứ tự giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng tiệm cận ngang; E giao điểm tiệm cận xA   y A   yB      x0  1  x0  1 2 1  x0    xB  x0    xB  x0   xB  x0  x0  x  x0     x0  x0  x0  x0  x0    x0  1  2 xB  x0  x02  x0  Do đó: EA  y A  yE  x0  1  ; EB  xB  xE  x0    x0  x0  x0  1 S EAB  EA.EB  4(đvdt)  Các tiếp tuyến đồ thị tạo với tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi đvdt  Chọn (A) x2  3x  Bài tập 16: Cho đồ thị (C): y  2x  điểm M thuộc C Gọi I giao điểm tiệm cận Tiếp tuyến M cắt tiệm cận A B Có khẳng định khẳng định đây? (A)1; (B)2; (C) 3; (D) (A)M trung điểm AB (B)Tích khoảng cách từ M đến đường tiệm cận không đổi (C) SIAB không đổi (D)Để chu vi  IAB nhỏ hồnh độ điểm M  Giải: x  3x  x x 1   1  TCĐ : x  1vaTCX : y    I 1;   2x  2 x 1 2    m Gọi M  m;     (C ) m 1   1 1  y '(m)   Tacó: y '( x)   2 ( x  1) (m  1) Ta có: y  Phương trình tiếp tuyến (C) M là: 1  m () : y  y '(m)( x  m)  y (m)  () :   x  m  1 2 m 1  (m  1)  1    () giao với TCĐ điểm A 1;  m 1  3  () giao với TCX điểm B  2m  1; m   2  Do tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x nên tiếp tuyến có hệ số góc -9 Gọi tiếp điểm có hồnh độ x0  y '( x0 )  x02  12 x0   3( x02  x02  3)   ( x0  1)( x0  3)   x0    x0  Phương trình tiếp tuyến x0 = là: y = -9(x -1) + y (l) = -9 (x -1) - = -9x +  y = -9x + Phương trình tiếp tuyến x0 = là: y = -9(x -3) + y(3) = -9(x -3)-27 = -9x  y = 9x  chọn D Chú ý: Hai đường thẳng vng góc với tích hai hệ số góc -1 (trong trường hợp đường thẳng không song song với trục tọa độ) Bài tập 3: Tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x3 - 9x2 -1 song song với đường thẳng y = -27x + 2017 có phương trình là: (A) y = -27x + 82; (B) y = -27x + 80; (C)y = -27x - 80; (D) y - -27x - 82 Giải: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -27x + 2017 nên có hệ số góc -27 Gọi tiếp điểm có hồnh độ x0  y '( x0 )  3x02  18 x0  27  3( x0  3)   x0   Phương trình tiếp tuyến x0 = là: y = -27 (x - 3)+ y(3) = -27(x -3)-l = -27x + 80  -27x + 80  Chọn B Chú ý: Hai đường thẳng song song với có hệ số góc Bài tập 4: Cho (C) : y  2x  phương trình tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc 45° x 1 (A)y = -x + y = -x - 5; (B) y = -x + 3; (C) y = -x - y = -x + 5; (D) y = -x+ Giải: Vi tiếp tuyến (C) tạo với Ox góc 45° nên hệ số góc k tiếp tuyến thỏa mãn k   k  1 Vì y '    x  1  nên k = - Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình: y '( x)  1    x   y  3  1   ( x  1)  x  2  y  Phương trình tiếp tuyến x = là: y = - (x-0) + y(0) = -x - Phương trình tiếp tuyến x = -2 là: y = - 1(x + 2) + y(-2) = -x +5  Chọn C Chú ý: Đường thẳng (D): y = ax + btạo với đường thẳng (d1): y = ax1 + b1 góc  tan   a  a1  aa1 Bài tập : Các phương trình tiếp tuyến (C):y = x3 -3x2+2 vng góc với đường thẳng (D): 5y - 3x + = là: 29 62 y   x  27 27 29 62 y   x  27 27 29 27 62 27 (A) y   x  (B) y   x  (C) y   x  (D) y   x  Giải: Hệ số góc đường thẳng ( D) 3/5 Mà tiếp tuyến vng góc với (D) nên hệ số góc tiếp tuyến -5/3  x0    x02  x0     Gọi hoành độ tiếp điểm x0  y’(x0) = -5/3 x   Phương trình tiếp tuyến x0 = 5/3 là: 5 5 25 46 29 5 y    x   y    x    x 3 3 27 27 3 Phương trình tiếp tuyến x0 = 1/3 là: 5 1 5 46 62 1 y    x   y    x    x 3 3 27 27 3  Chọn A C h ú ý : Bài cần xác định hệ số góc đường thẳng (D) trước sử dụng tính chất hai đường thẳng vng góc với có tích hệ số góc -1 Bài tập 6: Cho (Cm): y = x + mx2 - m -1 Gọi A điểm cố định có hồnh độ dương (Cm ) Giá trị m để tiếp tuyến với đồ thị A song song với đường thẳng y = x + là: (A)m = - 23/12; m = -5 (B) m = -25/12; (C) m = 1; (D) Giải: Xét phương trình y0  x04  mx02  m  1m  m( x02  1)  ( x04   y0 )  0m  x02    x0  1    Điểm cố định A(1;0)  y0   x0   y0  Tiếp tuyến với đồ thị A(1;0) song song với y = 6x +1  y '(1)    m   m   Chọn C Bài tập 7: Cho đố thị (C): y = 2x  Các phương trình tiếp tuyến tạo với trục tọa độ x 1 tam giác cân là: (A)y = -x -1; (B) y = - x + 7; (C)y = -x -1 y = -x + 7; (D) Khơng có tiếp tuyến Giải: Ta có: y '( x)  4 ( x  1) Gọi M(x0;y0) tọa độ tiếp điểm Vì tiếp tuyến tạo với trục tọa độ tam giác cân nên hệ số góc tiếp tuyến 1 Mà y '  x0   0x0  1nêny '( x0 )  1   x0  1 4  1   ( x0  1)  x0  + Với x0 = -1  y0 =  Phương trình tiếp tuyến là: y = -x-1 + Với x0 =  y0 =  Phương trình tiếp tuyến là: y = -x+7  Chọn C Bài tập 8: Cho đố thị (Cm): y  x2  2x  m Tìm m để (Cm) có tiếp tuyến vng góc với x 1 đường phân giác góc phần tư thứ hệ tọa độ (A)m = -3; (B) m > -3; (C)m = < -3; (D) Khơng có giá trị m Giải: Đồ thị có tiếp tuyến vng góc với góc phần tư thứ y = x  y '( x)  x2  2x   m  1 ( x  1) Có nghiệm  ( x  1)   m  1 có nghiệm  2( x  1)  m  có nghiệm ( x  1) x   m    m  3  Chọn B Bài tập 9: Gọi kl ; k2 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số (C): y = x + 2x giao điểm (C) với đường thẳng y = mx + Biết k1 + k2 = 3, giá trị tham số m là: (A)m = 3/2; (B) m = 1; (C)m = -1/2; (D) Khơng có giá trị m Giải: y  f ( x)  x  x  f '( x)  x  Gọi x1, x2 hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến có hệ số góc k1,k2 Phương trình hồnh độ giao điểm: x2 + 2x = mx + l  x + ( - m ) x - l =   (2  m)   0m  x1 , x2 phân biệt x1  x2  m  k1  k2   f '( x1 )  f '(x )   2( x1  x2 )    2(m  2)  1  m   Chọn A Bài tập 10: Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) = (1/2)x4 – x3 – 3x2 + Tìm m để đồ thị (C) ln có tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2016mx + 2017 (A) 5  5 7 m ; 4032 4032 (C) m  (B) m  5 7 ; 4032 5 7 4032 (D) Không tìm giá trị m Giải: Giả sử tiếp tuyến (C) song song với y = 2016mx + 2017 tiếp xúc với (C) x0  f ' x0  2016m  x03  x02  x0  2026m  x0 nghiệm phương trình 2x3 – 3x2 – 6x = 2016m Xét hàm số g(x) = 2x3 – 3x2 – 6x Ta có: g’(x) = 6(x2-x-1) =  h(x) = x2-x-1 =  x1  1 1 ; x2  g(x) đạt cực trị x1, x2 2 Thực phép chia g(x) cho h(x) ta được: g(x)= h(x)(2x - 1) - 5x - Do h(x1) = h(x2) = nên  1  5 7      g(x1) = -5x1 -1 = 5   1  57       g(x2) = -5x2 -1 = 5  Để có tiếp tuyến g(x) = 2016m phải có nghiệm phân biệt  5  5 7 5  5 7  2016m   m 2 4032 4032 C h ú ý : Nếu g(x) = 2016m có nghiệm có nghiệm đơn nghiệm kép nên không xảy khả có tiếp tuyến tiếp xúc với (C) điểm phân biệt mà (C) có tiếp tuyến ứng với tiếp điểm DẠNG 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA ĐIẾM CHO TRƯỚC Bài toán: Cho đồ thị (C): y = f(x) điểm M(a; b) Viết phương trình tiếp tuyến qua M(a; B) đến đồ thị (C): y = f(x) Phương pháp: PHƯƠNG PHÁP TÌM TIẾP ĐIỂM CÁCH 1: Giả sử tiếp tuyến qua M(a; b) tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x) tiếp điểm có hồnh độ xi  Phương trình tiếp tuyến có (  ): y = f '(xi)(x - xi) + f (xi) Do M(a; b)   nên b = f’(xi)(a-xi) + f (xi)  xi nghiệm phương trình: b = f '(xi )(a - xi) + f (xi)  Giải phương trình  nghiệm x  {x0 ;x1; ;xn}  Phương trình tiếp tuyến xi là: y = f ‘(xj)(x-xi) + f(xi) CÁCH 2: Đường thẳng qua M (a;b) với hệ số góc k có phương trình: y = k(x-a)+b  f ( x)  k ( x  a)  b có nghiệm  f '( x)  k tiếp xúc với đồ thị (C): y = f(x)  H ệ p h n g t r ì n h   f(x) = f’(x)(x-a)+b  Giải phương trình  Nghiệm x  {x0 ;x1; ;xn}  Phương trình tiếp tuyến xi y = f’(xi)(x-xi)+f(xi) Bài tập: A Khởi động Bài tập 1: Các tiếp tuyến với đổ thị hàm số (C): y = f (x) = x - x - qua A(2; 0) có phương trình là: (A) y = 11x - 22; (B) y = 2x - y = 11x - 2 ; (C) y = 2x - 4; (D) y = 3x - y = 2x - Giải: Ta có: f'(x) = 3x2 -1 Đường thẳng qua A(2; 0) với hệ số góc k có phương trình: y = k(x - 2) tiếp xúc với  f ( x)  k ( x  2) có nghiệm k  f '( x) (C)    f ( x)  f '( x)( x  2)  x3  x   (3 x  1)( x  2)  x  1  x3  x    ( x  1)( x  2)    x  + Với x =-1  k=  Tiếp tuyến có phương trình: y= 2(x-2) hay y= 2x-4 + Với x =2  k= 11  Tiếp tuyến có phương trình: y=11(x-2) hay y= 11x-22 C h ú ý : Khơng nhầm lẫn viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm với viết phương trình tiếp tuyến với đổ thị (C) qua điểm Bài tập 2: Các tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C): y = 3x  qua gốc tọa độ O(0;0) có x2 phương trình là: (A) y  3 6 x (C) y  3 6 3  xva  y  x 2 (B) y  3  x (D) Khơng có tiếp tuyến Giải: TXĐ: D   \ 2 Phương trình đường thẳng (t) qua O(0;0) có hệ số góc k là: y = kx  3x   x   kx  Đường thẳng (t) tiếp tuyến (C)   có nghiệm 3x   9 k   '    x    x  2   x  1  3x  9 x   x  x     x   x  2  x  1  + Với x = 1  k = 3 6 3   Phương trình tiếp tuyến ( t2): y  x 2 + Với x = 1  k = 6  3 3   Phương trình tiếp tuyến ( t2): y  x 2  Chọn C Bài tập 3: Cho đồ thị hàm số (C): y  x2  4x  Có mệnh đề sai mệnh x2 đề ? A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) (A)Đường thẳng y = -3x + tiếp tuyến kẻ từ A(1; 1) đến (C) (B)Đường thẳng y  x  tiếp tuyến kẻ từ A(1; 1) đến (C) (C)Chỉ có tiếp tuyến kẻ từ A(1; 1) đến (C) (D)Có tiếp tuyến kẻ từ A(1; 1) đến (C) Giải: TXĐ: D   \ 2 Đường thẳng (t) với hệ số góc k qua A(l; 1) có phương trình là: y = k(x - 1) +1  x2  4x   x   k ( x  1)   (t) tiếp tuyến (C)   có nghiệm 2 k   x  x   '  x  x    x  2  x2   x  x  4x  x  4x    x  1     x2  x  2 x   2 + Với x = 3/2 k= -  Phương trình tiếp tuyến ( t): y =-3(x-1)+1 hay y = -3x+4 9 + Với x = 7/2 k=5/9  Phương trình tiếp tuyến ( t): y  ( x  1)  1hayy  x  Vậy mệnh đề (A), (B), (D) mệnh để (C) sai  Chọn A Bài tập 4: Tập hợp điểm A đường thẳng y = mà từ kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = f(x)= x3 -3x là: (A)  A  a,  a  2  2 3 (B)  A  a,  a        2     (C)  A(a; 2) a   ;     2;      (D)  A(a; 2)   a     Giải: Lấy điểm A(a; 2)  y = Đường thẳng qua A(a; 2) với hệ số góc k có phương trình  f ( x)  k ( x  a)  có nghiệm  f '( x)  k y = k(x-a) + tiếp xúc với (C)  Hệ phương trình   f(x) = f'(x)(x -a) +  x3-3x = (3x2-3)(x-a)+2  2x3-3ax2+3a+2=0  (x + l)[2x2 -(3a + 2)x + 3a + 2] =  (x + l)g(x) = Từ A(a; 2) kẻ tiếp tuyến đến (C)  g(x) = có nghiệm phân biệt khác -1 a  2    3a     3a      9a  12a  12    a    g (1)     Chọn C Bài tập 5: Có điểm Oy mà từ kẻ tiếp tuyến đến đổ thị (C): y x2 ? x2 A) điểm; (B)1 điểm; (C) diểm; (D) điểm Giải: TXĐ: D   \ 2 Lấy A(0; a)  Oy Đường thẳng (t) qua A(0; a) có hệ số góc k có phương trình y = kx + a x2  x   kx  a (1)  (t) tiếp tuyến với (C)   có nghiệm x2 4  k   (2) '    x    x  2  x2 4 x   a  g ( x)  (a  1) x  4(a  1) x  4a   0(*) x   x  2 Để từ A(0; a) kẻ tiếp tuyến đến (C) phương trình (*) có nghiệm x khác Xảy trường hợp sau: TRƯỜNG HỢP 1: a - =  a = Khi (*) trở thành: -8x + =  X = (thỏa mãn) Thay X = vào (2) ta có: k = -4 thay vào (1) ta có: a =  A(0; 1) a    TRƯỜNG HỢP 2:  g (2)  8   a  1 Khi (*) có nghiệm x = ( thỏa mãn)  '  8a    Thay x = vào (2) ta có: k = -1 thay vào (1) ta có: a = -1 => A(0; -1) Vậy tìm điểm A1 (0; 1) A2 (0;-l) thỏa mãn đề  Chọn C Bài tập 6: Các điểm M đường thẳng y = -2 kẻ đến (C): y = -x3 +3x2 - hai tiếp tuyến vng góc với là:   ( A) M  ; 2  ;  189    (B) M   ; 2  ;  189   11   (C) M  ; 2  ;    11   (D) M  ; 2  ;   Giải: Lấy điểm M(a; -2) thuộc đường thẳng y = -2 Đường thẳng qua M(a; 2) với hệ số góc k có phương trình: y = k(x - a) - tiếp xúc  f ( x)  k ( x  a)  Có nghiệm  f '( x)  k với (C)  Hệ   f(x)= f’(x)(x-a)-2  -x3 +3x2 – 2= (-3x2+ 6x)(x-a)-2 x   x  x   3a  3 x  6a      x   3a  3 x  6a  + Với x =0  Tiếp tuyến : y = -2 Do khơng thể có tiếp tuyến vng góc với tiếp tuyến y = -2 // Ox nên để từ A(a; -2) kẻ hai tiếp tuyến vng góc với đến (C) g(x) = phải có nghiệm phân biệt x1, x2 tiếp tuyến điểm có hồnh độ x1, x2 vng góc với  -1 = y'(x ).y’(x ) = (-3 x12 + 6x )(-3 x22 + 6x2) = 9x x [9x x -2(x +x )+4]   3a     1  9.3a 3a       189a  a   189     Với a     ; 2  cần tìm  g   3a  3  48a   M   189  189   Chọn B Bài tập 7: Cho (C): y = f (x) = x3 -3x2 Từ điểm đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến đến (C)? (A)0; (B) 1; (C) 2; (D) Giải: Lấy điểm M(2; m) thuộc đường thẳng x = Đường thẳng qua M(2; m) với hệ số  f ( x)  k ( x  2)  m Có  f '( x)  k góc k có phương trình: y = k(x - 2) + m tiếp xúc với (C)  Hệ  nghiệm  f(x)= f’(x)(x-2)+m  g(x)= -2x3+ 9x2 -12x = m Ta có: g’(x) = -6x2 Bảng biến thiên:   7 + 18x -12 = 6  x         Nghiệm phương trình tìm tiếp điểm hồnh độ giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị y = g(x) Nhìn bảng biến thiên ta thấy g(x) = m có nghiệm Vậy từ M(2; m) kẻ tiếp tuỵến đến đồ thị (C)  Chọn B Bài tập 8: Cho hàm số y = -x3 + 6x2 - 9x + Gọi (D) tiếp tuyến (C) A thuộc (C) có xA = Tìm (D) điểm M cho từ điểm vẽ tiếp tuyến với (C)  10  ;   / 4   (A)Các điểm M có hồnh độ m thỏa mãn m   ; 2     10  ;     (B)Các điểm M có hồnh độ m thỏa mãn m   ; 2    (C)Các điểm M có hồnh độ m thỏa mãn (D)Khơng có điểm M thỏa mãn Giải: Do A thuộc (C) mà x A =  yA =  A(4;5) Phương trình tiếp tuyến (C) A là: (d):y = f ‘(4)(x-4) +  (d):y = -9x + 41 Giả sử M(m; -9m + 41) điểm (D) Xét đường thẳng (t) qua M có hệ số góc k thì: (t): y = k(x - m) + 41 - 9m  x  x  x   k ( x  m)  41  9m(1) (t) tiếp xúc với (C)  Hệ  Có nghiệm 3 x  12 x   k (2) Thay (2) vào (1) ta được:  x3  x  x    x  m   3 x  12 x    41  9m   x    x    3m  x  8  x    x    3m  x   0(3) Để từ M kẻ tiếp tuyến với (C) (3) phải có nghiệm phân biệt khác   m  2    9m  12m  60  10    m  48  12m   m  Vậy, điểm (D) mà từ vẽ tiếp tuyến với (C) điểm có  10  ;   / 4   hoành độ m thỏa mãn: m   ; 2     Chọn A Bài tập 9: Có phát biểu ĐÚNG phát biểu đây? (A)1;(B)2;(C)3;(D)4 Cho đồ thị (C): y = f (x) = x3 - 3x2 + Số tiếp tuyến qua điểm M nằm đồ thị (C) là: (A)1 điểm M có hồnh độ (B) điểm M có hồnh độ khác (C) điểm M có hồnh độ khác (D) điểm M có hồnh độ Giải: Gọi M(a;a3 -3a2 +2)  (C) Đường thẳng qua M(a;a3 -3a2 + ) với hệ số góc k, có phương trình là: y = k (x - a) + a3 - 3a2 + tiếp xúc với (C)  f ( x)  k ( x  a )  a  3a  có nghiệm  Hệ phương trình  k  f '( x)  f(x)= f’(x)(x-a) + a3 – 3a2 +  x3  3(a  1) x  6ax  a  3a    x  a   x  (a  3) x  3a  a   x  a  2( x  a )  x  a  3    x   a  2 + Nếu a  3 a  a  có tiếp tuyến qua điểm M nằm đồ thị + Nếu a  3 a  a  có tiếp tuyến qua điểm M nằm đồ thị  Chọn B Bài tập 10: Điều kiện m để từ A(2;2) kẻ tiếp tuyến AB, AC đến đổ thị (C): y = f(x) = m/x cho tam giác ABC đều(ở B, C tiếp điểm) là: ( A)m   ;0    4;   ; (B) m = (C)m  2;6 ; (D) m = -2 Giải: TXĐ: D = R \{0} Đường thẳng (t) qua A(2; 2) với hệ số góc k có phương trình: y = k(x - 2) +  f ( x)  k ( x  2)  có nghiệm  f '( x)  k (t) tiếp tuyến với (C)  Hệ   f ( x)  f '( x)( x  2)   m m  ( x  2)   g ( x)  x  mx  m  0(*) x x Để từ A(2; 2) kẻ tiếp tuyến đến (C) (*) có nghiệm phân biệt x1; x2 khác  g (0)  m  m    (1) m     m  4m   x1  x2  m  x1 x2  m Khi đó:  Vì điểm A(2; 2) thuộc đường thẳng y = x trục đối xứng đồ thị (C) nên từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC AB = AC  Để  ABC y = m/x hàm biến có hai giá trị phân biệt k1; k2 khác thỏa mãn: m m  k1  k2 x12 x22  tan 60    x1  x2   m2  k1k2 1 2 x1 x2  x1  x2   x1 x2  m   m  4m   m  4m  12    (2)  m  2 Để hàm y  m m đồng biến y '   0x   m  x x (3) Từ (1), (2) (3)  m cần tìm : m = -2  Chọn D Bài tập 11:Cho đồ thị hàm số (C): y  x   m 1 Điểu kiện cẩn vả đủ để mặt phẳng x 1 tọa độ tồn điểm cho từ kẻ tiếp tuyến vng góc với đến đồ thị (C) là: (A) m = 1; m (B) m > 1; (C) m < 1; (D) Khống có giá trị Giải: TXĐ: D = R\{-1} Giả sử tổn tiếp tuyến đồ thị (C) vng góc với  x1 , x2   cho y’(x1).y’(x2) = -1  k    y '( x1 )  k  Sao cho   k   để phương trình y’(x1) = k  y '( x2 )   k Và y’(x2)= -(1/k) (2) có nghiệm (1) +) Xét phương trình (1): y’(x) = k   m 1  x  1 k Nếu m = y’(x) = x    Không tồn x1, x2 để y’(x1).y(x2) = -1 Nếu m  1 y’(x) = k   k  Ta thấy (1) có nghiệm  m 1  x  1   x  1  2 m 1 1 k m 1    m  11  k   1 k   1        m  1 k  1 k   k  Tương tự suy (2) có nghiệm   m  1 1     m  11  k   (3)  m  11  k  k  Xét hệ điều kiện   k  1 1  k   0  k   k  1 k  + Nếu m > (3)   1  k  k    vô nghiệm  k  1 k   1  k  + Nếu m < (2)   Vậy điều kiện cần đủ để mặt phẳng tọa độ tổn điểm cho từ kẻ tiếp tuyến vng góc với là: m >  Chọn B Bài tập 12: Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) = x4 - x2 + l Tìm điểm A thuộc Oy kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) (A)A (0;1); 0; 1/2) (B) A ( 0; 3/4); (C) A ( 0; 2); (D) A ( Giải: Lấy điểm A(0;a)  Oy Đường thẳng qua A(0; A) với hệ số góc k có phương trình  f ( x)  kx  a (*) có nghiệm  f '( x)  k y = kx + a tiếp xúc với (C)   Điểu kiện cần: Ta có: f(x) = f(-x) Vx  R  f(x) hàm chẵn  Đồ thị (C) nhận Oy làm trục đối xứng Do A(0; a) thuộc trục đối xứng Oy nên từ A(0; a) kẻ tiếp tuyến bên nhánh trái (C) kẻ nhiêu tiếp tuyến đến nhánh phải (C)  Tổng số tiếp tuyến có hệ số góc k  ln số chẵn Vậy để từ A(0; a) kẻ tiếp tuyến đến (C) điểu kiện cần hệ (*) có nghiệm k =  x  0; a   x  x   a Với k = hệ (*) trở thành   2 x  ;a  x  x    Điều kiện đủ:    x  x   kx   x  x  x  x x + Nếu a =1 (*)    x  x  k 4 x  x  k    x  0; k    x  x  1      x   ;k  3 k  x  x  1   x  ;k   3  Vậy từ A (0;1) kẻ tiếp tuyến đến (C) 3   2  x  x   kx  x  x 1   4x  2x x  + Nếu a = 3/4 (*) trở thành   4 3 4 x  x  k k  x  x    1   x  3 x  x      Từ A (0;3/4) kẻ tiếp tuyến đến (C) k  x( x  1) k     KẾT LUẬN: Vậy A (0;1)  Chọn A C h ú ý : Nếu giải toán theo cách biện luận số tiếp tuyến số tiếp điểm, tức qua A(0; a) kẻ tiếp tuyến  Phương trình f(x) = f'(x)x + a có nghiệm phân biệt chưa chặt chẽ, xảy khả có tiếp tuyến ứng với tiếp điểm phân biệt, tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tiếp điểm tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị tiếp điểm Hang Sơn Đoòng, Quảng Bình, Việt Nam Nằm quân thể hang động Phong Nha - Kẻ Bàng, thuộc huyện Bố Trạch tỉnh Ọuảng Bình, hang Sơn Đng hang động tự nhiên lớn giới Hang Sơn Đoòng hỉnh thành khoảng 2-5 triệu nãm trước nước sông chảy ngang qua vùng đá vôi đằ bi vùi lấp dọc theo đường đứt gãy Dịng nước làm xói mịn tạo đường hắm khổng lổ lòng đất dãy núi Tại nơi đá mêm, phắn trắn sụp xuống tạo thành lỗ hổng, lâu ngày thành vòm hang khổng lồ ... 9x- 34- 14 y = 9x- 34 + 14 (B)y = 9x-2 + 14 y = 9x-2- 14 (C)y = -9x + 14 y = -9x + 54 (D)y = -9x + y = -9x Giải: Do tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  x nên tiếp tuyến có hệ số góc -9 Gọi tiếp. ..  Chọn A Bài tập 10: Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) = (1/2)x4 – x3 – 3x2 + Tìm m để đồ thị (C) ln có tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2016mx + 2017 (A) 5  5 7 m ; 40 32 40 32 (C)... từ kẻ tiếp tuyến vng góc với là: m >  Chọn B Bài tập 12: Cho đồ thị hàm số (C): y = f(x) = x4 - x2 + l Tìm điểm A thuộc Oy kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) (A)A (0;1); 0; 1/2) (B) A ( 0; 3 /4) ; (C)