Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, toán liên quan GIẢI TÍCH Vấn đề 1: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Bài 1) Tìm GTLN, GTNN (nếu có) hàm số sau: 1) y = x + − x 2) y = x +1 sin x + cos x y = sin x − cos x cos x + sin x cos x y= + sin x y = cos x(1 + sin x ) đoạn [0; 2π] 4x 2x +1 + cos y = cos 1+ x 1+ x + sin x + cos x y= + sin x + cos x x4 y4 x2 y2 x y y = + − + + + (x, y ≠ 0) y x y x y x 11) y = đoạn [-1; 2] x2 +1 ln x đoạn [1; e ] 3) y = x 4) y = x + 4(1 − x ) đoạn [-1; 1] 5) y = sin x − cos x + 6) y = sin x − sin x đoạn [0; π] x +1 7) y = x + x +1 cos x + 8) y = cos x + cos x + 9) y = x − + − x 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) y = x + x − 72 x + 90 đoạn [-5; 5] 10) y = (2 + x ) − (2 − x ) đoạn [-2; 2] 10 10 Bài 2) Tìm m để: ( a) Miny = với y = x + x + m [−2 ; ] ) b) GTLN hàm số y = f ( x) = − x + x + m đoạn [-1; 2] nhỏ Bài 3) Tìm m để bất phương trình (4 + x )(6 − x ) ≤ x − x + m nghiệm ∀x ∈ [− 4;6] Bài 4) Chứng minh ∀x∈R, ta có: + cos x + 1 cos x + cos x > π Bài 5) Tìm m để sin x + cos5 x − m(sin x + cos x ) − sin x cos x(sin x + cos x ) ≥ ∀x ∈ 0; Bài 6) Tìm tất giá trị m để cos x + m cos x + ≥ ∀x ∈ R Bài 7) Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a2 + b2 +c2 = Chứng minh: a b c 3 ≥ + + 2 2 b +c c +a a +b 2 Bài 8) Tìm điều kiện m để phương trình x + x − m = x − (1) a) Có nghiệm thực b) Có nghiệm thực Bài 9) Tìm m để phương trình x −1 + − x − c) Có hai nghiệm thực phân biệt (x − 1)(3 − x ) = m có nghiệm thực x − 3x ≤ Bài 10) Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm x − x x − − m + 4m ≥ Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, toán liên quan GIẢI TÍCH Vấn đề 2: Tính đơn điệu hàm số Bài 1) Tìm m để hàm số y = − x3 + mx − x − nghịch biến miền xác định Bài 2) Tìm m để hàm số y = (m + ) Bài 3) Cho hàm số y = x3 − (m + 2)x + (m − 8)x + m − nghịch biến R x + 2(m + 1)x + Với giá trị m hàm số đồng biến (0; +∞) x +1 Bài 4) Tìm giá trị m để hàm số y = x + x + 6(m + 1)x + m giảm (-2; 0) Bài 5) Cho hàm số y = mx + x+m a) Tìm m để y tăng (1; +∞) b) Tìm m để y giảm (-∞; 0) Bài 6) Tìm tất giá trị m để hàm số y = a) nghịch biến R Bài 7) Cho hàm số y = (m − 1)x + (m − 1)x − x + b) nghịch biến khoảng (0; +∞) x − 3x + m Với giá trị m hàm số đồng biến (3; +∞) x −1 Bài 8) Tìm giá trị m để hàm số y = (m + 1)x − (2m − 1)x + 3(2m − 1)x + nghịch biến (-1; 1) Bài 9) Tìm giá trị m để hàm số y = x − 2mx + 3m đồng biến khoảng (1; +∞) x − 2m x2 − 2x + m Bài 10) Xác định m để hàm số y = nghịch biến đoạn [-1; 0] x−2 Bài 11) Xác định m để hàm số y = x − 3(m − 1)x + 3m(m − )x + đồng biến tập hợp giá trị x cho ≤ x ≤ Bài 12) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x + x + mx + m nghịch biến đoạn có độ dài Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, toán liên quan GIẢI TÍCH Vấn đề 3: Cực trị hàm số Bài 1) Tìm m để hàm số y = mx + x + x + m đạt cực đại x = Bài 2) Tìm m để hàm số y = x + mx + đạt cực đại x = x+m Bài 3) Cho hàm số y = (m + )x + x + mx + m Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu? Bài 4) Cho hàm số y = mx − (m − 1)x + 3(m − 2)x + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu xcđ0 x −1 Bài 6) Xác định m để hàm số y = − x + 2mx có cực trị Bài 7) Tìm tất giá trị m để hàm số y = điểm cực trị trái dấu x + (2m + 3)x + m + 4m có hai cực trị giá trị x+m x + mx − m + Xác định giá trị m để điểm cực đại cực tiểu đồ thị Bài 8) Cho hàm số y = x −1 hàm số hai phía đường thẳng x − y − = Bài 9) Cho hàm số y = x + 3(m − 1)x + 6(m − )x − Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số Bài 10) Cho hàm số y = − x + mx − m Xác định m để hàm số có cực đại cực tiểu Khi viết x−m phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu hàm số Bài 11) Cho hàm số: y = x − x + m x + m Tìm tất giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số đối xứng qua đường thẳng y = Bài 12) Cho hàm số y = x− 2 x − 2mx + m Xác định m để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu x+m đồ thị hàm số tạo với trục tọa độ tam giác có diện tích x + 2mx + Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực x +1 tiểu cách đường thẳng x + y + = Bài 13) Cho hàm số y = Tìm m để hàm số có cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận x xiên đồ thị hàm số Bài 14) Cho hàm số y = mx + x + (m + 1)x + m + Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị hàm số luôn x +1 có điểm cực đại, điểm cực tiểu khoảng cách hai điểm 20 Bài 15) Cho hàm số y = Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, toán liên quan GIẢI TÍCH x + mx Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu Với giá trị m 1− x Bài 16) Cho hàm số y = khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số 10? Bài 17) Cho hàm số y = x + (2m + 1)x + m + m + Tìm m để hàm số có cực trị tính khoảng cách 2( x + m ) hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho Bài 18) Cho hàm số y = x − 2m x + Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ba đỉnh tam giác vuông cân Bài 19) Cho hàm số y = x − 2mx + m x − Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = Bài 20) Cho hàm số y = x + 2mx + − 3m Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục x−m tung x − (3m + 2)x + m + Bài 21) Cho hàm số y = Tìm m để hàm số có CĐ CT khoảng cách hai x −1 điểm CĐ, CT đồ thị nhỏ Bài 22) Cho hàm số y = x − (m + 3)x + 3m + Tìm m để hàm số có CĐ CT giá trị CĐ, CT x −1 hàm số âm ( ) Bài 23) Cho hàm số y = ( x − m ) x − x − m − Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu hoành độ điểm cực đại xcđ, hoành độ điểm cực tiểu xct thỏa: | xcđ xct| = Bài 24) Cho hàm số y = x − (2m + 5)x + m + Tìm m để hàm số có cực trị điểm x>1 Hãy xác định x +1 điểm cực đại hay cực tiểu đồ thị Bài 25) Cho hàm số y = x − 2mx + m − Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác Bài 26) Cho hàm số y = x + 2(m + 1)x + m + 4m Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời x+2 điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O ( ) Bài 27) Cho hàm số y = − x + x + m − x − 3m − Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số cách gốc tọa độ O Bài 28) Cho hàm số y = đại, cực tiểu dấu x + 2(m − 1)x + − m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu giá trị cực x −1 x − mx + 2m − Bài 29) Cho hàm số y = Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số qua gốc tọa độ mx − hàm số có cực trị Bài 30) Cho hàm số y = x + m x + 2m − 5m + (m>0) Tìm m để hàm số có điểm cực tiểu thuộc x khoảng (0; 2m) Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, toán liên quan GIẢI TÍCH Vấn đề 4: Sự tương giao hai đồ thị hàm số Bài 1) Cho hàm số y = mx + x + m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt hai x −1 điểm có hoành độ dương Bài 2) Cho hàm số y = hai điểm phân biệt x2 − 2x + Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + − 2m cắt đồ thị hàm số x−2 − x + 3x − Bài 3) Cho hàm số y = Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B 2( x − 1) cho AB = Bài 4) Cho hàm số y = x − x + 10 Định m để đường thẳng (d): mx − y − m = cắt đồ thị hai điểm − x +1 phân biệt A, B Xác định m để AB ngắn Bài 5) Cho hàm số y = x − mx + m − Xác định m cho đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm phân biệt ( ) Bài 6) Cho hàm số y = ( x − 1) x + mx + m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt Bài 7) Cho hàm số y = x − x − Gọi d đường thẳng qua điểm M(0; -1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng d cắt đồ thị ba điểm phân biệt Bài 8) Cho hàm số y = x − x + Gọi (d) đường thẳng qua điểm A(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị ba điểm phân biệt ( ) Bài 9) Cho hàm số y = ( x − 1) x − mx − m − Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn -1 Bài 10) Cho hàm số y = 8 x − x − x + Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = mx + cắt đồ 3 thị điểm phân biệt x2 + 4x + Bài 11) Cho hàm số y = Tìm giá trị m để đường thẳng (d): y = mx + − m cắt đồ thị x+2 hàm số hai điểm phân biệt thuộc nhánh đồ thị x + mx − Bài 12) Cho hàm số y = Tìm m để đường thẳng (d): y = m cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B x −1 cho OA ⊥ OB x − 3x Bài 13) Cho hàm số y = Tìm m để đường thẳng y = 2mx − m cắt đồ thị hai điểm thuộc hai x−2 nhánh đồ thị Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang Chuyên đề LTĐH Bài 14) Cho hàm số y = Ứng dụng đạo hàm, toán liên quan GIẢI TÍCH x +1 (C) x −1 a) Gọi (d) đường thẳng x − y + m = Chứng minh (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B hai nhánh (C) b) Tìm m để độ dài đoạn AB ngắn Bài 15) Cho hàm số y = x + + hoành độ trái dấu Tìm m để đường thẳng y = m( x + 1) + cắt đồ thị hai điểm có x +1 Bài 16) Tìm m để đồ thị hàm số y = x + (m + 1)x + mx + m cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ âm ( ) Bài 17) Cho hàm số y = x − 3mx + m − x − m + Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ dương Bài 18) Cho hàm số y = x + mx + Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm Bài 19) Cho hàm số y = x + (m + 2)x − m Xác định m đường thẳng y = −( x + ) cắt đồ thị hàm x +1 số hai điểm đối xứng qua đường phân giác góc phần tư thứ Bài 20) Cho hàm số y = x2 − x − (C) x +1 a) Chứng tỏ đường thẳng (d): y = − x + m cắt (C) hai điểm M, N thuộc hai nhánh (C) b) Định m để M, N đối xứng qua đường thẳng y = x x2 + x − Bài 21) Cho (C): y = (d): y = − x + m x −1 a) Tìm m để (d) cắt (C) hai điểm M, N độ dài MN nhỏ b) Gọi P, Q giao điểm (d) hai tiệm cận Cm: MP = NQ Bài 22) Cho hàm số y = x + 2(6m − 1)x − 3(2m − 1)x − 3(1 + m ) Định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt có tổng bình phương hoành độ 28 Bài 23) Cho hàm số y = x − x − x + m Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng Bài 24) Cho hàm số y = x − 2(m + 1)x + 2m + Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng Bài 25) Cho hàm số y = x + (m + 2)x − m Tìm m để đường thẳng (d): y = -x – cắt đồ thị hai điểm x +1 M, N cho M, N với gốc tọa độ O tạo thành tam giác OMN Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, toán liên quan GIẢI TÍCH Vấn đề 5: Sự tiếp xúc phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Bài 1) Cho hàm số y = Bài 2) Cho hàm số y = (2m − 1)x − m Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng x −1 y = x x − x + 3x Viết phương trình tiếp tuyến (d) đồ thị điểm uốn chứng minh (d) tiếp tuyến đồ thị có hệ số góc nhỏ m x − x + Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ -1 Tìm 3 m để tiếp tuyến đồ thị điểm M song song với đường thẳng x − y = Bài 4) Cho hàm số y = Bài 5) Cho hàm số y = − x + x − Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = Bài 6) Cho hàm số y = x+2 2x −1 Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) x −1 cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng IM Bài 7) Cho hàm số y = x + Bài 8) Cho hàm số y = thị hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm M(-1; 7) x x2 + x +1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(-1; 0) tiếp xúc với đồ x +1 Bài 9) Cho hàm số y = x2 + 2x + Gọi I giao điểm hai tiệm cận đồ thị Chứng minh x +1 tiếp tuyến (C) qua điểm I Bài 10) Cho hàm số y = − x + (2 m + 1)x − m − Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx − m − x2 + x −1 Bài 11) Cho hàm số y = Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với x+2 tiệm cận xiên (C) x + 2x + Bài 12) Cho hàm số y = Gọi I tâm đối xứng đồ thị (C) M điểm (C) Tiếp x +1 tuyến đồ thị M cắt tiệm cận đứng tiệm cận xiên A B a) Chứng tỏ M trung điểm AB b) Chứng tỏ tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vào M Bài 13) Cho hàm số y = x + + Tìm điểm đồ thị (C) có hoành độ lớn cho tiếp x −1 tuyến điểm tạo với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang Chuyên đề LTĐH Ứng dụng đạo hàm, toán liên quan GIẢI TÍCH Bài 14) Cho hàm số y = x − x Tìm điểm đường thẳng y = mà từ kẻ ba tiếp tuyến tới đồ thị Bài 15) Cho hàm số y = 2x2 + x + Tìm điểm Oy cho từ kẻ hai tiếp tuyến x +1 tới đồ thị hàm số hai tiếp tuyến vuông góc với Bài 16) Cho hàm số y = (3m + 1)x − m + m Với giá trị m giao điểm đồ thị với Ox, tiếp x+m tuyến song song với đường thẳng y + 10 = x Bài 17) Tìm điểm trục hoành mà từ vẽ ba tiếp tuyến đồ thị y = x + 3x có hai tiếp tuyến vuông góc với Bài 18) Chứng minh đồ thị hàm số y = − x + 2mx − m + qua hai điểm cố định A B Tìm m để tiếp tuyến A B vuông góc với Chứng minh qua A(1; -1) kẻ hai tiếp tuyến với (C) hai tiếp x +1 tuyến vuông góc với Bài 19) Cho hàm số y = x + x2 + x − cho tiếp tuyến M cắt trục tọa độ A, B tạo x−2 thành tam giác vuông cân OAB (O gốc tọa độ) Bài 20) Tìm M đồ thị hàm số y = 2x −1 (C) Cho M (C) có xM = m Tiếp tuyến (C) M cắt tiệm x −1 cận A, B Gọi I giao điểm tiệm cận Chứng minh M trung điểm AB diện tích ∆IAB không đổi Bài 21) Cho hàm số y = Bài 22) Cho hàm số y = x + x + mx + (Cm) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y=1 điểm phân biệt C(0;1), D, E Tìm m để tiếp tuyến (Cm) D E vuông góc Bài 23) Cho hàm số y = tiếp tuyến đến (C) x +1 (C) Tìm điểm trục tung mà từ điểm kẻ x −1 Bài 24) Cho hàm số y = x − x + Cho M∈(C) với xM = a Tìm giá trị a để tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm khác M x+3 (C) Cho điểm M0(x0; y0)∈(C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận x −1 (C) A B Chứng minh M0 trung điểm AB Bài 25) Cho hàm số y = Gv: Nguyễn Lương Thành – (Năm học 2007 – 2008) Trang