TIẾP TUYẾN của đồ THỊ hàm số NGUYỄN PHÚ KHÁNH

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Bài :SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG Bài toán : Hai đường cong C : y = f x C ' : y = g x tiếp xúc ( ) ( ) ( )  f x = g x hệ phương trình sau:   f ' x = g ' x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) có nghiệm () ( ) Ví dụ : Tìm tham số thực m để đường thẳng d : y = m x − tiếp xúc với đồ thị C : y = − x + 3x ( ) Giải :  − x + 3x = m x − d tiếp xúc với C hệ sau :  * có nghiệm −x + = m   x = x = ⇒ m = −6 2x − 9x + 27 =   ⇔  2x − 3x − = ⇔  * ⇔ x = − ⇒ m = m = −x + m = −x +    Ví dụ : Tìm trục hoành điểm mà từ kẻ đến đồ thị x2 hàm số : y = hai tiếp tuyến tạo với góc 450 x −1 () ( ( ) )() () Giải : Gọi M ∈ Ox ⇒ M x ; , đường thẳng qua M có hệ số góc k , phương ( () ) ( ) trình có dạng : d : y = k x − x  x2 = k x − x0   x 2− d tiếp tuyến đồ thị hệ sau có nghiệm :  x − 2x =k   x −1  ( () ( -194- ) ) Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x2 x − 2x = x − x ⇔ x  x + x − 2x  =   x −1 x −1 ( ) ( ) ( ) x =  ⇔ 2x x = , x ≠ −1  x0 +  x − 2x • x =0⇒k = = x −1 ( • x = 2x x0 + ) ⇒k = −4x (x +1 ) • Tiếp tuyến qua M tạo với đồ thị hàm số : y = x2 hai tiếp tuyến tạo x −1 với góc 450 k − k2 4x tan 450 = ⇒ = ⇒ x0 = ± 2 + k1k2 x0 + ( ( )( ) Vậy M − 2; , + 2; ) Ví dụ :Tìm tất điểm trục hoành điểm M mà qua vẽ tiếp tuyến đến đồ thị (C ) : y = x + 3x mà có tiếp tuyến vuông góc với Giải : Gọi M a; ∈ Ox , đường thẳng (t ) qua M có hệ số góc ( ) k ⇒ (t ) : y = k ( x − a ) x + 3x = k (x − a ) (1)  (t ) tiếp xúc với (C ) hệ sau có nghiệm :  (2) 3x + 6x = k Từ (1) , (2) suy : x + 3x = 3x + 6x (x − a ) ⇔ 2x + 3(a − 1)x − 6ax = x = ⇔ x 2x − 3(a − 1)x − 6a  = ⇔  2x − 3(a − 1)x − 6a = (3) -195- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt • x = ⇒ k = ⇒ tiếp tuyến Qua M kẻ tiếp tuyến đến đến đồ thị (C ) mà có tiếp tuyến vuông góc với Khi (3) có nghiệm phân biệt x 1, x ≠ k1k2 = −1  a ≠  ⇔ ∆ > ⇔     3x + 6x   3x + 6x  = −1    a ≠   9 a − + 48a >  9 x 1x + 18x 1x x + x + 36x 1x = −1  ( ( ) ) ( )  vaø a ≠ a < −3 ∨ a > −  ⇔ 81a − 81a a − − 108a + =  3(a -1)   x 1x = - 3a ; x + x =     vaø a ≠ a < −3 ∨ a > − ⇔ ⇔a = 27 −27a + =    Vậy M  ,  ∈ Ox thỏa toán  27  ( ) Bài toán : ( ) ( ) ( ( ) ) có Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y = f x điểm M x ; f x ( )( ) ( ) dạng : y = f ' x x − x + f x x −4 với tiếp tuyến (t ) , x −1 biết tiếp tuyến (t ) tạo với đường thẳng (d ) : y = −2x + 2010 góc 450 Ví dụ :Tìm tọa độ tiếp điểm đồ thị (C ) : y = Giải : {} • D = »\ -196- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt • Ta có : y ' = • ,x ≠ ( ) Gọi M ( x ; f ( x ) ) tọa độ tiếp điểm cần tìm x −1 k = (x −1 ) hệ số góc tiếp tuyến (t ) ,x0 ≠  k +2 k =−  • Vì (t ) (d ) tạo góc 45 t a n 45 = ⇔  − 2k k =  * k =− ⇔ = − điều không xảy 3 x −1 ( * k =3⇔ ) (x −1 ) x = ⇒ y = ⇒ M 0; = ⇔ x 02 − 2x = ⇔  x = ⇒ y = −2 ⇒ M 2; −2 ( ) ( ) 2x + , có đồ thị (C ) Tìm tất tham số x −2 m để đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến song song với Giải : Đường thẳng (t ) : y = 2x + m cắt (C ) hai điểm phân biệt mà hai tiếp tuyến Ví dụ : Cho hàm số y = song song với phương trình ( ) nghiệm phân biệt x 1, x thỏa mãn điều kiện y ' x ( ) ( 2x + = 2x + m có hai x −2 = y ' x Khi phương ( ) ) trình g x = 2x + m − x − 2m − = có nghiệm phân biệt x 1, x khác thỏa mãn điều kiện − ( x1 − 2 ) =− ( x2 − -197- ) ⇔ x1 + x = Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt  ∆ = m − + 2m + >  ⇔ g = 2.22 + m − − 2m − ≠ ⇔ m =  m −6 − =4  2x Ví dụ 3: Cho hàm số y = có đồ thị (C ) Tìm đồ thị (C ) x +1 điểm M , cho tiếp tuyến M cắt hai trục tọa độ Ox,Oy hai điểm ( () ) ( ( ) ) phân biệt A, B cho diện tích tam giác AOB có diện tích Giải : ( ) ( ) Gọi M x ; y ∈ C ⇒ y = 2x x0 + ⇒ y '0 = (x +1 Phương trình tiếp tuyến (t ) (C ) M : y = ) (x +1 ) 2x 02 x+ (x +1 ( ) ) Tiếp tuyến (t ) cắt hai trục tọa độ Ox,Oy hai điểm phân biệt A −x 02 ; ,  2x 02 B  0;   x0 +  (   cho diện tích tam giác AOB có diện tích    ) 2x 1 OAOB = ⇔ OAOB = ⇔ x 02 x0 + ( ) = ⇔ 4x 02 − x + ( ) =0    2x 02 + x + = x = − ⇒ M  − ; −2  ⇔    2x − x − = x = ⇒ M 1;1    Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán M  − ; −2  , M 1;1   ( ) ( ) () Ví dụ : Chứng minh tiếp tuyến (d ), t đồ thị (C ) : y = x − 6x + 9x song song với hai tiếp điểm A, B đối xứng -198- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt qua M (2;2) Giải : ( ) ( ( ) ) tiếp điểm (d ), (t ) đồ thị (C ) (d ) (t ) song song với y ' ( x ) = y ' ( x ) ⇔ 3x − 12x + = 3x − 12x + ⇔ x + x = x = − t ⇒ y ( x ) = t − 3t + Với x + x = tồn t > :  x = + t ⇒ y ( x ) = −t + 3t + ( ) Gọi A x 1, y x = x 13 − 6x 12 + 9x , B x , y x = x 23 − 6x 22 + 9x tọa độ 2 2 2 1 2  x + x2 =2 x =  Dễ thấy trung điểm đoạn AB có tọa độ  y x y x +  =2 y = Do hai tiếp điểm A, B đối xứng qua M (2;2) 2x π Ví dụ : Cho hàm số y = Tìm α ∈  0;  cho điểm x −1  2 M (1 + sin α ; ) nằm đồ thị (C ) Chứng minh rằng, tiếp tuyến (C ) điểm M cắt hai tiệm cận (C ) hai điểm A, B đối xứng qua điểm M ( ) ( ) Giải : Vì M (1 + sin α ; ) nằm đồ thị (C ) nên: sin α = 2 (1 + sin α ) 2 = ⇔ sin α − sin α + = ⇔  sin α = + sin α −  π π Vì α ∈  0;  nên sin α = ⇒ α = ⇒ M  ;9   2 2  3 Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M là: y = y '    x −  + 2   hay (d ) : y = −6x + 18 Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận đứng x = tại: A (1;12 ) -199- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Tiếp tuyến (d ) cắt tiệm cận xiên tai điểm B có tọa độ nghiệm y = −6x + 18 ( x ; y ) hệ phương trình:  y = 2x +  xA  Dễ thấy:  y  A  x = ⇔ ⇒ B ( 2; ) y =6  + xB = = xM 2 + yB = = yM Suy ra, A, B đối xứng qua điểm M (đpcm) 2x − M cắt đường x −2 tiệm cận hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ , với I giao điểm hai tiệm cận Giải : () Ví dụ 6: Gọi d tiếp tuyến đồ thị (C ) : y = ( ) ( ) Gọi M x ; y ∈ C ⇒ y = 2x − x0 − , y '0 = − () (x Phương trình tiếp tuyến d (C ) M : y = −2 ) −1 (x −2 (x − x ) + ) 2x − x0 −  2x −   , B 2x − 2;2 −   (d ) cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt A  2; x ( ) ( ) Dễ thấy M trung điểm AB I 2;2 giao điểm hai đường tiệm cận Tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích     2x −   2 S = π IM = π (x − 2) +  −   = π (x − 2)2 +  ≥ 2π  x −2    ( x 2) −       x = ⇒ y = 1 Dấu đẳng thức xảy (x − 2)2 = ⇔  x = ⇒ y0 = (x − 2)2  ( ) ( ) Vậy M 1;1 M 3; thỏa mãn toán Bài toán : -200- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( ) ( ) ( Phương trình tiếp tuyến đồ thị C : y = f x qua điểm M x 1; y1 ) Cách : () • Phương trình đường thẳng d qua điểm M có hệ số góc k có dạng : ( ) y = k x − x + y1  f x = k x − x + y 1 d tiếp xúc với đồ thị C hệ sau  có nghiệm f ' x = k  Cách : • () ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) () • Gọi N x ; y tọa độ tiếp điểm đồ thị C tiếp tuyến d qua điểm () ( ) M , nên d có dạng y = y '0 x − x + y (d ) qua điểm M nên có phương trình : y = y ' (x − x ) + y (*) • Từ phương trình ( * ) ta tìm tọa độ điểm N ( x ; y ) , từ ta tìm phương trình đường thẳng (d ) • 0 0 x4 − 3x + Ví dụ 2: Cho hàm số : y = có đồ thị (C ) Giả sử 2 M ∈ (C ) có hoành độ a Với giá trị a tiếp tuyến (C ) M cắt (C ) điểm phân biệt khác M Giải :  a 5 Vì M ∈ (C ) nên M  a ; yM = − 3a +  2  Tiếp tuyến M có hệ số góc yM' = 2a − 6a Tiếp tuyến M có dạng : a4 − 3a + M 2 Tiếp tuyến d (C ) M cắt (C ) điểm phân biệt khác M () y = yx' (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a − 6a )(x − a ) + () phương trình sau có nghiệm phân biệt : x4 a4 − 3x + = (2a − 6a )(x − a ) + − 3a + hay phương trình 2 2 -201- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt (x − a )2 (x + 2ax + 3a − 6) = có nghiệm phân biệt , nghĩa phương trình ( ) g x = x + 2ax + 3a − = có hai nghiệm phân biệt khác a ∆ ' = a − (3a − 6) > a − <  a < ⇔  g (x ) ⇔ ⇔   g(a ) = 6a − ≠ a ≠ ±1 a ≠    a < Vậy giá trị a cần tìm  a ≠ ±1 Bài tập tương tự : Tìm m để tiếp tuyến qua điểm M 2; m + đồ thị hàm số ( ) y = x − 3x + m phải qua gốc tọa độ O BÀI TẬP TỰ LUYỆN  5 ax − bx a ) Tìm a, b biết đồ thị hàm số f x = qua điểm A  −1;  x −1 2  ( ) ( ) tiếp tuyến O 0; có hệ số góc −3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ứng với giá trị a, b vừa tìm ( ) b ) Tìm a, b biết đồ thị hàm số f x = 2x + ax + b tiếp xúc với hypebol a ) Tìm a, b biết đồ thị hàm số y = 1  điểm M  ;2  x 2  a ) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 1; −2 tiếp xúc với ( ) parabol y = x − 2x x − 2, y = x + x − tiếp xúc M , viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong b ) Chứng minh hai đường cong y = x + -202- Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt c) Chứng minh rằg đồ thị ba hàm số ( ) ( ) ( ) f x = −x + 3x + 6, g x = x − x + 4, h x = x + 7x + tiếp xúc ( ) điểm A −1;2 d ) Chứng minh đồ thị hàm số x2 3x + x, g x = tiếp xúc Xác định tiếp điểm viết 2 x +2 phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong điểm ( ) ( ) f x = ( ) ( ) e ) Chứng minh đồ thị hàm số f x = x − x , g x = x − tiếp xúc Xác định tiếp điểm viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường cong điểm Hướng dẫn : a −1 − −1   = ⇔ a = −2 a)   −1 − b = −3  f ' = −3  b ) a = −6, b = 2 a ) d : y = m x − − ⇒ m = y = 2x − , m = −2 y = −2x ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) 1 5 b ) M  ; −  , y = 2x − 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A ( −1;2 ) đồ thị ba hàm số có tiếp tuyến chung , nói khác đồ thị ba hàm số tiếp xúc điểm A ( −1;2 ) c) f −1 = g −1 = h −1 = 2, f ' −1 = g ' −1 = h ' −1 = , chứng tỏ ( ) d ) O 0; , y = x -203-