TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG CONG

A T VN I) LI M U Mi ca toỏn hc bao gi cng cú phn c bn v phn m rng Trong phn c bn cng cú nhng ch d b nhm ln dn n sai sút ỏng tic Trong phn m rng ũi hi ngi gii phi bit dng cỏc kin thc ó bit t v gii quyt ú mt cỏch rch rũi, chớnh xỏc Trong quỏ trỡnh gii quyt ụi cũn ũi hi th thut tớnh toỏn cho nhanh, gn Nhim v ca ngi Thy cn ch cho cỏc em nhng ch cỏc em d b thiu sút, d b nhm ln, cn t liờn quan rng hn cỏc em gii quyt , cn ch ụi ch cn cú th thut tớnh toỏn cỏc em lm quen Vi lý ú tụi chn ti: MT S KHể KHN V SAI SểT CA HC SINH KHI GII TON LIấN QUAN N TIP TUYN CA NG CONG II/ THC TRNG CA VN CN NGHIấN CU 1)Thc trng: + Trong chng trỡnh gii tớch 11, kin thc v tip tuyn vi ng cong cỏc em ó hc di dng ỏp dng ý ngha hỡnh hc ca o hm cp 1: Phng trỡnh tip tuyn vi ng cong y = f(x) ti im M(x0; y0) l : y = f(x0)(x x0) + y0 Dng toỏn dng cụng thc ny thỡ n gin hn, ớt cú dng ũi hi t cao hn + Trong chng trỡnh gii tớch 12, kin thc v tip tuyn vi ng cong cỏc em gp li nhng di dng nh ngha tng quỏt hn: ng thng y = kx + b l tip tuyn ca ng cong y = f(x) v ch h phng trỡnh f ( x) kx b (1) (*) (2) f '( x) k cú nghim x = x0 (x0 l honh tip im ca tip tip tuyn cú h s gúc k) Vỡ khỏi nim tip tuyn bt ngun t nh ngha ny, cho nờn quan nim Phng trỡnh (1) cú nghim kộp suy ng thng y = kx + b l tip tuyn ca ng cong y = f(x) cng ng ngha vi quan nim Phng trỡnh (1) cú nghim kộp suy h phng trỡnh (*) cú nghim- iu ny cú l cha chng minh c, ú quan nim th nht khụng c dựng na! Dng toỏn dng cụng thc ny thỡ phong phỳ hn, nhiu dng ũi hi t cao hn Nh vy tip tuyn cỏc em gp li hai ln hai nm hc, nhng thc t cỏc em cũn mt s khú khn v mt s sai sút gii bi toỏn liờn quan n tip tuyn + Dng toỏn liờn quan n tip tuyn thng gp cỏc k thi TNTHPT v tuyn sinh H C 2/ Cỏch tin hnh: T thc trng trờn, cụng vic ging dy c tt hn, tụi ó u t su tm v sỏng to mt s dng toỏn liờn quan n tip tuyn cỏc em lm quen, tỡm tũi nhng ch cỏc em d thiu sút cnh bỏo, nhng th thut tớnh toỏn cn thit nhm giỳp cỏc em vng tin hn gp cỏc bi toỏn v tip tuyn B GII QUYT VN I/ MT S SAI LM HC SINH THNG MC PHI 1) Hc sinh thng ngh sai lm l: ng vi hai tip im khỏc thỡ hai tip tuyn khỏc SKKN Nguyn Nghi (2008 2009) -1- Ta bit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s y = f(x) Ti im M(x0; y0) l d1: y = f(x0)(x x0) + y0 Ti im N(x1; y1) l d2: y = f(x1)(x x1) + y1 Vy nu x0 x1 m f(x0) = f(x1) v x0.f(x0) + y0 = x1.f(x1) + y1 thỡ d1 trựng d2 Vớ d 1: Cho hm s y = f(x) = x4 2x2 + (C) Tỡm trờn th (C) nhng im m tip tuyn vi (C) ti im ú song song tip tuyn vi (C) ti im A(1; 2) Hc sinh gii: Gi B(x0; y0) thuc (C) l im cn tỡm v B khụng trựng A nờn iu kin x0 Tip tuyn ti B song song tip tuyn ti A nờn ta cú f(x0) = f(1) 4x03 4x0 = 4x0(x02 1) = x0 = 0, x0 = -1, x0 = (loi) Vy B l im B1(0; 3) hoc B2(-1, 2) Thc cht tip tuyn ti B1(0; 3) cú phng trỡnh l: y = 3, tip tuyn ti B2(-1; 2) cú phng trỡnh l: y = 2, tip tuyn ti A(1;2) cú phng trỡnh l: y = Do ú chn B(0;3) Vớ d 2: Cho hm s y = f(x) = x4 2x2 + (*) Tỡm trờn ng thng y = nhng im m qua ú ta k c tip tuyn phõn bit vi th (C) ca hm s (*) Hc sinh gii: Gi M(a; 2) l im thuc ng thng y = Phng trỡnh ng thng d i qua im M cú h s gúc k l y = k(x a) + Ta cú d l tip tuyn ca (C) h phng trỡnh sau cú nghim x x k ( x a ) (1) x x k (2) Th (2) vo (1) ta c phng trỡnh: x 4ax x 4ax x2 2 ( x 1)(3x 4ax 1) (3) g ( x) x 4ax Qua M(a; 2) k c tip tuyn phõn bit vi (C) phng trỡnh (3) cú nghim phõn bit phng trỡnh g(x) = cú nghim phõn bit u khỏc -1 v khỏc 3 a a 'g 4a 2 g (1) 4a a a D ; ; \ 1;1 a 4a g (1) Vy qua im M(a; 2) thuc ng thng y = vi a D ta k c tip tuyn phõn bit vi th (C) ca hm s (*) Kt lun ny sai vỡ x2 = x = 1; x = -1 th vo (2) ta c hai giỏ tr k bng nhau, th vo hm s c tung tip im bng nờn tip tuyn ng vi hai honh tip im ny trựng Do ú khụng tn ti im M trờn ng thng y = qua ú k c tip tuyn phõn bit vi (C) Vớ d 3: Cho hm s y = x3 3x2 + (*) Tỡm trờn ng thng y = - nhng im m qua ú k c tip tuyn phõn bit vi th (C) ca hm s (*) Hc sinh gii: Gi M(a; -1) l im thuc ng thng y = -1 Phng trỡnh ng thng d i qua im M cú h s gúc k l y = k(x a) Ta cú d l tip tuyn ca (C) h phng trỡnh sau cú nghim SKKN Nguyn Nghi (2008 2009) -2- x3 x k ( x a ) (1) (2) x x k Th (2) vo (1) ta c phng trỡnh: x (3a 3) x 6ax x ( x 2) x (1 3a) x (3) g ( x) x (1 3a) x Qua M(a; 2) k c tip tuyn phõn bit vi (C) phng trỡnh (3) cú nghim phõn bit a 'g phng trỡnh g(x) = cú nghim phõn bit x1, x2 u khỏc a2 g (2) Thc cỏch lý lun ny cha hon chnh, bit õu xy k(x1) = k(x2) hoc k(x1) = k(2) hoc k(2) = k(x2) thỡ sao! Ta phi lý lun nh sau: Qua M(a; 2) k c tip tuyn phõn bit vi (C) phng trỡnh (3) cú nghim phõn bit v th vo (2) c giỏ tr k khỏc phng trỡnh g(x) = cú nghim phõn bit x1, x2 u khỏc v k(x1) k(x2) v k(x1) k(2) v k(2) k(x2) 'g (1 3a )2 16 (1 3a) 16 6a 12 6a 12 g (2) x1 x2 k ( x1 ) k ( x2 ) 3( x1 x2 )( x1 x2 2) 3x1 x2 k ( x ) k (2) k ( x ) k (2) 3x1 x2 ( x1 2)( x2 2) a a2 Vớ d 4: Cho hm s y = x3 3x2 + (C) Tỡm trờn th (C) nhng im m qua ú k ỳng mt tip tuyn vi th (C) Hc sinh gii: Gi M(x0; y0) thuc (C) y0 = x03 3x02 + Gi k l h s gúc ca ng thng d i qua im M(x0; y0) Ta cú phng trỡnh ng thng d: y = k(x x0) + x03 3x02 + Ta cú d l tip tuyn ca (C) h phng trỡnh sau cú nghim x3 x k ( x x0 ) x03 x02 (1) (2) x x k Th (2) vo (1) ta c phng trỡnh: x0 (x x0)2(2x + x0 3) = x = x0; x x0 Qua im M(x0; y0) k ỳng mt tip tuyn vi (C) x0 = x0 = Vy qua im M(1; 1) thuc (C) ta k ỳng mt tip tuyn vi (C) Thc cỏch lý lun ny cha hon chnh, ta cn kim tra xem: x0 Nu k(x0) = k( ) thỡ cú xy tip tuyn trựng khụng? x0 Ta cú k(x0) = k( ) x02 2x0 + = x0 = (trựng trng hp trờn) SKKN Nguyn Nghi (2008 2009) -3- 2) Khi vit phng trỡnh tip tuyn song song vi mt ng thng cho trc hc sinh hay quờn kim tra tung gc cú khỏc hay khụng Vớ d 1: Vit phng trỡnh tip tuyn vi th hm s y = f(x) = x3 3x2 + bit tip tuyn song song vi ng thng d: y = 9x + Hc sinh gii: Ta cú y = f(x) = 3x2 6x Tip tuyn ti im M(x0; y0) song song d nờn ta cú: f(x0) = x02 2x0 = x0 = -1, x0 = + x0 = -1 y0 = -2 Phng trỡnh tip tuyn ti im M(-1; -2) l: y = 9x + + x0 = y0 = Phng trỡnh tip tuyn ti im M(3; 2) l: y = 9x 25 Vy cú tip song song vi d l: y = 9x + 7, y = 9x 25 Thc ch cú mt tip tuyn song song vi d l y = 9x 25 (m 1) x m2 xm nh m tip tuyn vi (Cm) ti im trờn (Cm) cú honh bng song song vi ng thng d: y = -x+3 Vớ d 2: Cho (Cm): y = f m ( x) Hc sinh gii: m m ( x m) Tip tuyn vi (Cm) ti im trờn (Cm) cú honh bng song song vi ng thng d: y = - x + m m nờn ta cú f 'm (2) m 3m m 1, m 2 (2 m) Vy m = -1, m = -2 l cỏc giỏ tr cn tỡm x 10 Thc ra: vi m = -1 thỡ y = y (2) Pttt: y x x 3 x 10 m = -2 thỡ y = y (2) Pttt: y x ( trựng d) x2 Do ú ch chn m = -1 Ta cú f 'm ( x) (3m 1) x m m cú th l (Cm) xm nh m ti giao im ca th (Cm) vi trc Ox, tip tuyn ú song song vi ng thng d: y = x +1 Vớ d 3: Cho hm s y Hc sinh gii: Ta cú y ' 4m ( x m) m2 m (Cm) ct Ox ti im A ;0 3m Tip tuyn vi (Cm) ti A song song ng thng y = x 10 m2 m 3m y ' m 1, m 2m 3m Vy m = -1, m = -1/5 l cỏc giỏ tr cn tỡm Thc : + m = -1 ta c tip tuyn ti A l y = x + (trựng ng thng d) SKKN Nguyn Nghi (2008 2009) -4- + m = -1/5 ta c tip tuyn ti A l y x l giỏ tr cn tỡm II/ MT S KHể KHN TRONG TNH TON Trc õy ta dựng iu kin cú nghim kộp ca phng trỡnh honh giao im xỏc nh tip tuyn Hin ti ta khụng dựng iu kin ny xỏc nh tip tuyn na, t ú dn n mt s khú khn gii mt s bi toỏn liờn quan n tip tuyn Vy m = Vớ d 1: Cho hm s y = f(x) = x3 3x2 + cú th l (C) Tỡm trờn ng thng im m qua ú k c tip tuyn vi (C) vuụng gúc y = nhng Gii: Gi M(a; 2) thuc ng thng y = ng thng d qua im M cú h s gúc k l: y = k(x a) + x3 x k ( x a ) (1) Ta cú d l tip tuyn ca (C) H phng trỡnh cú nghim (2) x x k Th (2) vo (1) ta c phng trỡnh : 2x2 (3a + 3)x + 6a = (3) hoc x = + Vi x = suy k = Ta c tip tuyn y = 2, khụng cú tip tuyn no vuụng gúc tip tuyn ny + Do ú cú tip tuyn qua M vuụng gúc Phng trỡnh (3) cú nghim x1, x2 cho 3a 10a k(x1).k(x2) = -1 a 3x1 ( x1 2)3x2 ( x2 2) 9a Vy qua im M ; ta k c tip tuyn vi (C) vuụng gúc x2 2x Vớ d 2: Cho hm s y cú th l (C) Tỡm trờn ng thng y = nhng im m qua x ú k c tip tuyn vi (C) vuụng gúc Gii: Gi M(a; 2) thuc ng thng y = ng thng d qua im M cú h s gúc k l: y = k(x a) + x2 x k ( x a ) (1) x Ta cú d l tip tuyn ca (C) H phng trỡnh cú nghim x x k (2) ( x 1)2 Nhn xột: Nu gii bi ny tng t nh cỏch gii ca vớ d thỡ tht khú, tht phc tp! x2 2x Tụi ngh cỏch bin i nh sau: Ta cú y = x , ú h phng trỡnh trờn x x x x k ( x a ) (1) x x k ( x a ) (1) vit li l x kx k (2) k (3) x ( x 1) T (1) v (3) ta c ak k (4) x SKKN Nguyn Nghi (2008 2009) -5- nờn t (4) suy ak k k x a 2 Th (4) vo (2) ta c: (a 2a 1)k (12 4a )k (5) Ta cú Qua im M k c tip tuyn vuụng gúc phng trỡnh (5) cú nghim k1, k2 u khỏc v a a 1, a k1.k2 = -1 a 2a a a 12 4a Vy qua im M(-1; 2) thuc ng thng y = ta k c hai tip tuyn vuụng gúc x2 2x cú th l (C) Tỡm hp nhng im M mt phng ta x Oxy m qua M k c tip tuyn vi (C) vuụng gúc Vớ d 3: Cho hm s y Gii: Ta cú y x2 2x = x x x Gi M(a; b) ng thng d qua im M cú h s gúc k l: y = k(x a) + b Ta cú d l tip tuyn ca (C) H phng trỡnh sau cú nghim x x k ( x a ) b (1) x x k ( x a ) b (1) x kx k k (2) (3) ( x 1) x T (1) v (3) ta c ak k b (4) x b k khia nờn t (4) suy ak k b Ta cú a x b khia Th (4) vo (2) ta c: (a 2a 1)k (2b 2ab 8)k b (5) Qua im M k c tip tuyn vuụng gúc phng trỡnh (5) cú nghim k1, k2 u khỏc b v a (a 1)2 b b2 k1.k2 = -1 (a 1) a b a b a Vy hp cỏc im M l ng trũn cú phng trỡnh (C): (x 1)2 + y2 = vi x v y x Hay hp cỏc im M l ng trũn (C): (x 1)2 + y2 = b i giao im ca (C) vi ng thng x = (tim cn ng ca (C)) v vi ng thng y = x (tim cn xiờn ca (C)) m cú th l (Cm) x Tỡm iu kin cn v ca m trờn mt phng ta tn ti ớt nht mt im cho t ú k c tip tuyn vi (Cm) v tip tuyn ny vuụng gúc Vớ d 4: Cho hm s y f ( x) x SKKN Nguyn Nghi (2008 2009) -6- Gii: m ( x 1) Gi s (Cm) cú mt cp tip tuyn vuụng gúc x1 ; x2 : f '( x1 ) f '( x2 ) Ta cú f(x) = x1 : f '( x1 ) k Pt f '( x) k cú nghiem (*) k : 1 k : Pt f '( x) k cú nghiem x2 : f '( x2 ) k + Nu m = thỡ f(x) = : Khụng thừa iu kin (*) + Nu m thỡ f(x) m m * f(x) = k = k (m1 nờn k1) ( x 1) (1) ( x 1) k m Ta cú (1) cú nghim (3) k m 1 k (m 1) * f(x) = = (m1 nờn k-1) ( x 1) (2) k ( x 1) k k k (m 1) Ta cú (2) cú nghim (4) k k m k (k 1) Vy h (*) cú nghim (3) v (4) u thừa k m k (k 1) k < -1 hoc < k < Khi m > Vy vi m > thỡ trờn mt phng ta tn ti ớt nht mt im (giao ca tip tuyn cú h s gúc k v -1/k) cho t ú k c tip tuyn vi (Cm) v tip tuyn ny vuụng gúc III/ MT Sễ LNG TNG M HC SINH GP PHI KHI LM TON V TIP TUYN: Vớ d 1: Cho hm s y f ( x) x x x (C) Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C), bit tip tuyn to vi ng thng y = 3x + mt gúc 450 Gii: Ta cú f(x0) = x02 x0 Phng trỡnh tip tuyn (d) vi (C) ti im M(x0; y0) l: y = f(x0)(x x0) + y0 x.f(x0) y + y0 x0.f(x0) Ta cú (d) hp vi ng thng 3x y + = gúc 450 v ch f '( x0 ) f '( x0 ) f '( x0 ) f '( x0 ) f '( x0 ) 2 10 f '( x0 ) 1 1 + Vi f(x0) = x02 x0 = (VN) 2 f(x0) = -2, f(x0) = SKKN Nguyn Nghi (2008 2009) -7- + Vi f(x0) = -2 x02 x0 = -2 x0 = 1, x0 = Ta c tip im l (1; ) v (3; 5).Tip tc vit c phng trỡnh tip tuyn Nhn xột: Vỡ lp 10 hc sinh khụng hc cụng thc tớnh gúc hp bi hai ng thng theo h s k1 k2 gúc tan(d nờn ta khụng c dựng cụng thc ny, mc dự dựng cụng thc ny tớnh 1, d2 ) k1k2 nhanh hn M núi n tip tuyn thỡ thng ngh n h s gúc , cho nờn gp bi ny hc sinh lỳng tỳng khụng bit t gii Vớ d 2: Cho hm s y x2 (C) x Tỡm nhng im trờn trc Oy cho t mi im ú cú th k c tip tuyn vi th (C) v tip im ca tip tuyn ú nm v phớa ca trc Ox Gii: Ta cú y x2 y2 x x y Gi A(0; b) l im thuc trc Oy v M( y0 ; y0) l tip im ca (C) vi tip tuyn ca (C) i qua y0 im A(0; b) Phng trỡnh tip tuyn ca (C) ti M l: ( y0 1) y (x ) y0 y= (x x ) + y y 0 ( x0 1) y0 Vỡ tip tuyn qua A nờn ta cú: ( y0 1) y b (0 ) y0 b ( y0 1)( y0 2) y0 y02 y0 b 0( y0 1) (*) y0 Ta tỡm b cho phng trỡnh (*) cú nghim trỏi du u khỏc b Nhn xột: Nu tip im nm v phớa ca trc Oy thỡ hc sinh d lm, vỡ hc sinh thng gii theo honh tip im, cho nờn liờn quan n tung hc sinh s lỳng tỳng t gii x x x (C) Xỏc nh k trờn th (C) cú ớt nht im m tip tuyn ti im ú vuụng gúc vi ng thng y = kx Vớ d 3: Cho hm s y f ( x) Gii: Ta cú f(x) = x2 4x + Trờn th (C) tn ti ớt nht mt im m tip tuyn ti im ú vuụng gúc vi ng thng y = kx phng trỡnh k.f(x0) = -1 cú ớt nht mt nghim x0 1 Ta cú k.f(x0) = -1 k k g ( x0 ) (*) f '( x0 ) x0 x0 Phng trỡnh (*) cú ớt nht mt nghim x0 k thuc giỏ tr ca hm s g(x0) 2x Ta cú g '( x0 ) , ( x0 x0 3)2 g(x0) = x0 = BBT SKKN Nguyn Nghi (2008 2009) -8- x0 - g(x0) g(x0) + - + + + + - T bng bin thiờn ta cú giỏ tr ca hm s g(x0) l T = (-; 0)U [1; + ) Vy vi k