Đang tải... (xem toàn văn)
- Tiếp tuyến của đường tròn - Tính chất tiếp tuyến của đường tròn - Chứng minh tiếp tuyến của đường tròn - Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau - Bài tập đường tròn - Ôn tập tiếp tuyến đường tròn - Bài tập hai tiếp tuyến - Hình học 9 đường tròn - Kiểm tra hình 9 đường tròn - Bài tập tiếp tuyến
Bài toán kinh điển tiếp tuyến đường tròn Hình học Một số tập bổ trợ Câu Tính đường cao, chu vi diện tích tam giác có cạnh a Hướng dẫn Xét tam giác ABC cạnh AB BC CA a , đường cao AH Chu vi CABC AB BC CA 3a Đường cao AH 1 a a2 Diện tích S ABC AH BC a 2 AB BH 2 a BC a AB a 2 Câu Chứng minh rằng: 1) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền 2) Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh đó, tam giác tam giác vuông Hướng dẫn 1) Xét tam giác ABC vuông A, trung tuyến AM (M trung điểm BC) Gọi D điểm đối xứng A qua M Khi AD BC cắt trung điểm M đường nên ABDC hình bình hành Mà góc BAC 900 nên ABDC hình chữ nhật Suy AD BC AM 1 AD BC 2 Vậy đường trung tuyến AM nửa cạnh huyền BC 2) Xét tam giác ABC, đường trung tuyến AM (M trung điểm BC) thỏa mãn AM BC Gọi D điểm đổi xứng A qua M Khi AD BC cắt trung điểm M đường nên ABDC hình bình hành Đồng thời, AM 1 BC AD BC AD BC 2 Như hình bình hành ABDC có hai đường chéo AD BC nên hình chữ nhật, suy BAC 900 hay tam giác ABC vuông A Như vậy, Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với cạnh nửa cạnh đó, tam giác tam giác vuông đỉnh mà đường trung tuyến qua Câu Cho tam giác ABC vuông A M điểm cạnh BC Chứng minh MA MB M trung điểm BC Hướng dẫn MAC MAB 900 Ta có MCA MBA 90 Mà MA MB hay tam giác cân AMB cân M MAB MBA MAC MCA Như tam giác AMC cân M nên MA MC MB MC MA hay M trung điểm BC Câu Chứng minh hình thang, giao điểm hai đường chéo, giao điểm cạnh bên trung điểm cạnh đáy nằm đường thẳng (bổ đề hình thang) Hướng dẫn Xét hình thang ABCD, với AB / /CD, AB CD , E, F trung điểm AB, CD G giao hai cạnh bên H giao hai đường chéo hình thang Ta cần chứng minh điểm E, F, G, H thẳng hàng Giả sử GF cắt AB điểm I IB / / FC Ta có, IA / / DF IB GI IB IA FC GF suy IA GI FC DF DF GF Mà FC DF F trung điểm nên IB IA hay I trung điểm AB, suy I E Như ta chứng minh E, F, G thẳng hàng Giả sử HF cắt AB điểm K AK / / FC Ta có BK / / DF AK HK AK BK FC HF , suy BK HK FC DF DF HF Mà FC DF F trung điểm nên AK BK hay K trung điểm AB, suy K I E Như vậy, E, F, H thẳng hàng Từ chứng minh suy điểm E, F, G, H thẳng hàng Bổ đề chứng minh Lưu ý: Tử bổ đề ta có bổ đề hệ quả: 1) Trong hình thang, hai đường chéo đường nối trung điểm đáy đồng quy VD trên, AC, BD, EF đồng quy H 2) Trong hình thang, cạnh bên đường nối trung điểm đáy đồng quy VD trên, AD, BC EF đồng quy G Câu Cho a, b số không âm, chứng minh rằng: 1) a b2 2ab 2) a b2 a b Hướng dẫn 1) Ta có a b a 2ab b2 a b2 2ab Đẳng thức xảy a b a b 2) Biến đổi tương đương: a b2 a b 2a 2b a 2ab b 2 a 2ab b a b dung Bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy a b a b Bài tập tiếp tuyến đường tròn Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia tiếp tuyến Ax By với đường tròn M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến M cắt Ax By C D Chứng minh rằng: 1) COD 900 CD AC BD 2) AC.BD R2 3) OAC ~ DBO 4) AB tiếp tuyến đường tròn đường kính CD Hướng dẫn 1) Theo tính chất tiếp tuyến cắt OC, OD phân giác góc AOM , BOM Do COD COM DOM 1 AOM BOM 1800 900 2 Cũng theo tính chất tiếp tuyến cắt CM CA; DM DB Do CD CM DM AC BD 2) Từ chứng minh a nhận thấy tam giác COD vuông O nhận OM làm đường cao Do theo hệ thức lượng AC.BD MC.MD OM R2 OAC DBO 90 OAC ~ DBO g.g 3) Tam giác OAC DBO có AOC BDO 90 BOD 4) Gọi I trung điểm CD I tâm đường tròn đường kính CD COD vuông O nên IO IC OD CD hay O thuộc đường tròn tâm I Mặt khác, ABDC hình thang vuông A B O, I trung điểm AB, CD nên OI đường trung bình hình thang OI / / AC / / BD IO AB Do hay AB tiếp tuyến O đường tròn tâm I, AC BD CD IO 2 đường kính CD Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia tiếp tuyến Ax By với đường tròn M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến M cắt Ax By C D Gọi E giao điểm AD BC ME cắt AB H Chứng minh MH AB E trung điểm MH Hướng dẫn Ta có MC AC; MD BD Khi đó, AC / / BD nên MC AC EC ME / / BD MH / / AC / / BD MH AB MD BD ED Đồng thời ta có ME CE AH HE ME HE hay E trung điểm MH BD CB AB BD Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia tiếp tuyến Ax By với đường tròn M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến M cắt Ax By C D Gọi H hình chiếu vuông góc M AB Chứng minh AD, BC MH đồng quy Hướng dẫn Gọi E giao điểm AD BC Theo kết toán ME AB Mà MH AB theo cách dựng nên M, E, H thẳng hàng Vậy AD, BC MH đồng quy E Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia tiếp tuyến Ax By với đường tròn M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến M cắt Ax By C D Kẻ MH vuông góc AB, H thuộc AB Gọi E giao điểm BC MH Chứng minh E trung điểm MH A, E, D thẳng hàng Hướng dẫn Ta có ME MD HB HE ME HE nên E trung điểm MH AC CD AB AC Theo kết toán AD, BC, MH đồng quy trung điểm MH Mà ta vừa chứng minh E trung điểm MH nên AD, BC, MH đồng quy E Vậy A, E, D thẳng hàng Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia tiếp tuyến Ax By với đường tròn M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến M cắt Ax By C D Kẻ MH vuông góc AB, H thuộc AB Gọi E trung điểm MH Chứng minh A, E, D thẳng hàng B, E, C thẳng hàng Hướng dẫn Theo kết toán AD, BC, MH đồng quy trung điểm MH Mà ta có E trung điểm MH nên AD, BC, MH đồng quy E Vậy A, E, D thẳng hàng B, E, C thẳng hàng Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia tiếp tuyến Ax By với đường tròn M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến M cắt Ax By C D 1) Chứng minh COD 900 CD AC BD 2) Chứng minh OAC ~ DBO tích AC.BD không đổi 3) Tìm vị trí điểm M nửa đường tròn để đoạn CD có độ dài nhỏ 4) Gọi I trung điểm CD, tìm vị trị điểm M để khoảng cách từ I đến AB nhỏ Hướng dẫn 1) Theo tính chất tiếp tuyến cắt OC, OD phân giác góc AOM , BOM Do COD COM DOM 1 AOM BOM 1800 900 2 Cũng theo tính chất tiếp tuyến cắt CM CA; DM DB Do CD CM DM AC BD OAC DBO 90 OAC ~ DBO g.g 2) Tam giác OAC DBO có AOC BDO 90 BOD OAC ~ DBO OA AC AC.BD OA.OB R BD OB Lưu ý: Có thể chứng minh thực hiện, AC.BD MC.MD MO2 R2 3) Tìm vị trí M để đoạn CD có độ dài nhỏ Cách 1: Kẻ CH vuông BD, H thuộc BD ABHC hình chữ nhật nên CH AB 2R không đổi Mà CH đường vuông góc, CD đường xiên nên CD AB 2R Vậy CD có độ dài nhỏ 2R D H hay M điểm cung AB Cách 2: Theo kết câu 1, áp dụng BĐT Cô-si ta được: CD AC BD AC.BD R2 2R Vậy CD có độ dài nhỏ 2R AC BD hay M điểm cung AB 4) Do IO đường trung bình hình thang ABCD nên IO / / AC / / BD Suy IO AB hay IO khoáng cách từ I đến AB Tam giác COD vuông tạo O nên trung tuyến IO CD Theo kết câu c CD R IO R R Vậy khoảng cách từ I đến AB có giá trị nhỏ IOmin R M điểm cung AB 10 Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia tiếp tuyến Ax By với đường tròn M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến M cắt Ax By C D 1) Chứng minh COD 900 CD AC BD 2) Chứng minh OAC ~ DBO tích AC.BD không đổi 3) Tìm vị trí điểm M cho tứ giác ABDC có diện tích nhỏ Tính diện tích theo R 4) Tìm vị trí điểm M cho tứ giác ABCD có chu vi nhỏ Tính chu vi theo R Hướng dẫn 1) Theo tính chất tiếp tuyến cắt OC, OD phân giác góc AOM , BOM Do COD COM DOM 1 AOM BOM 1800 900 2 Cũng theo tính chất tiếp tuyến cắt CM CA; DM DB Do CD CM DM AC BD OAC DBO 90 OAC ~ DBO g.g 2) Tam giác OAC DBO có AOC BDO 90 BOD OAC ~ DBO OA AC AC.BD OA.OB R BD OB Lưu ý: Có thể chứng minh thực hiện, AC.BD MC.MD MO2 R2 3) ABCD hình thang vuông A B Diện tích S ABCD AB AC BD Cách 1: Áp dụng BĐT Cô-si ta được, AC BD AC.BD R 2R 11 1 Do S ABCD AB AC BD AB.2R 2R 2 Diện tích nhỏ hình thang ABCD 2R đạt AC BD hay M điểm cung AB Cách 2: Từ kết câu a AC BD CD nên S ABCD AB AC BD R.CD Kẻ CH vuông BD, H thuộc BD ABHC hình chữ nhật nên CH AB 2R không đổi Mà CH đường vuông góc, CD đường xiên nên CD AB 2R Do S ABCD R.CD R.2R 2R Diện tích nhỏ hình thang 2R H D CD AB , hay M điểm cung AB 4) Chu vi CABCD AB AC BD CD 2R AC BD CD Cách 1: Theo kết câu a CD AC BD nên CABCD 2R AC BD Áp dụng BĐT Cô-si ta được, AC BD AC.BD R 2R Suy CABCD 2R AC BD 2R 2.2R 6R Vậy chu vi nhỏ ABCD 6R AC BD hay M điểm cung AB Cách 2: Theo kết câu a CD AC BD nên CABCD 2R 2.CD Kẻ CH vuông BD, H thuộc BD ABHC hình chữ nhật nên CH AB 2R không đổi Mà CH đường vuông góc, CD đường xiên nên CD AB 2R Do chu vi CABCD 2R AC BD 2R 2.2R 6R Vậy chu vi nhỏ ABCD 6R H D CD AB hay M điểm cung AB 12 Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia tiếp tuyến Ax By với đường tròn M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến M cắt Ax By C D 1) Chứng minh OC OD2 CD2 2) Gọi E giao điểm OC AM; F giao điểm OD MB Tứ giác OEMF hình gì? 3) Tìm vị trí điểm M để tứ giác OEMF có diện tích lớn 4) Tìm vị trí điểm M để tứ giác OEMF có chu vi lớn Hướng dẫn 1) Theo tính chất tiếp tuyến cắt OC, OD phân giác góc AOM , BOM Do COD COM DOM 1 AOM BOM 1800 900 2 Vậy tam giác COD vuông O nên OC OD2 CD2 OA OM R 2) Ta có nên OC trung trực AM CA CM Do OC vuông góc AM trung điểm AM, E Tương tự, OD vuông góc BM trung điểm F BM Như OEM OFM EOF 900 nên OEMF hình chữ nhật 3) Diện tích SOEMF ME.MF 1 MA MB MA.MB 2 OEMF hình nhật nên EMF 900 hay tam giác AMB vuông M MA2 MB AB R 2R2 Khi đó, ta MA.MB 2 2 13 Suy SOEMF 1 R2 MA.MB R 4 Vậy hình chữ nhật OEMF có diện tích lớn R2 MA MB hay M điểm cung AB 1 4) Chu vi COEMF ME MF MA MB MA MB 2 Áp dụng BĐT a b a b2 , ta MA MB MA2 MB AB 2R 8R 2 Do COEMF MA MB 8R 2R Vậy hình chữ nhật OEMF có chu vi lớn R MA MB hay M điểm cung AB Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia tiếp tuyến Ax By với đường tròn M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến M cắt Ax By C D 1) Chứng minh AMB COD tam giác vuông 2) Biết AM R , tính diện tích tam giác BMD 3) Gọi E giao điểm AC với BM; F giao điểm BD với AM Chứng minh đường thẳng AB, CD, EF đồng quy Hướng dẫn 1) Tam giác AMB có trung tuyến OM OA OB R 14 AB nên vuông M Theo tính chất tiếp tuyến cắt OC, OD phân giác góc AOM , BOM Do COD COM DOM 1 AOM BOM 1800 900 2 Vậy tam giác COD vuông O 2) Khi AM R OM OA AM R nên tam giác OAM Suy MAB 600 MBA 300 MBD 600 Mà MBD tam giác cân với MB MD với góc MBD 600 nên giác Đồng thời, MB AB AM 2R R2 R Vậy, BCD tam giác có cạnh R nên diện tích: a 3 S BMD 3a 3) Tam giác AMB vuông M hay AM MB Khi đó, ta có tam giác ABE vuông M với CM CA (2 tiếp tuyến cắt nhau), suy C trung điểm cạnh huyền AE Tương tự, tam giác BMD vuông M nhận D trung điểm cạnh huyền BF Mặt khác, AE / / BF AB nên ABFE hình thang Khi nhận thấy AB, EF hai cạnh bên CD đường thẳng qua trung điểm hai đáy hình thang Theo bổ đề hình thang đường phải đồng quy điểm 15 [...]... Câu 9 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ 2 tia tiếp tuyến Ax và By với đường tròn M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By tại C và D 1) Chứng minh AMB và COD là các tam giác vuông 2) Biết AM R , tính diện tích tam giác BMD 3) Gọi E là giao điểm của AC với BM; F là giao điểm của BD với AM Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB,... CD AB hay M là điểm chính giữa cung AB 12 Câu 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ 2 tia tiếp tuyến Ax và By với đường tròn M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By tại C và D 1) Chứng minh rằng OC 2 OD2 CD2 2) Gọi E là giao điểm của OC và AM; F là giao điểm của OD và MB Tứ giác OEMF là hình gì? 3) Tìm vị trí điểm M...Câu 7 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ 2 tia tiếp tuyến Ax và By với đường tròn M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By tại C và D 1) Chứng minh COD 900 và CD AC BD 2) Chứng minh OAC ~ DBO và tích AC.BD không... nhất Hướng dẫn 1) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì OC, OD là phân giác góc AOM , BOM Do đó COD COM DOM 1 1 AOM BOM 1800 900 2 2 Vậy tam giác COD vuông tại O nên OC 2 OD2 CD2 OA OM R 2) Ta có nên OC là trung trực của AM CA CM Do đó OC vuông góc AM tại trung điểm của AM, chính là E Tương tự, OD vuông góc BM tại trung điểm F của BM Như vậy OEM OFM EOF 900... chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì OC, OD là phân giác góc AOM , BOM Do đó COD COM DOM 1 1 AOM BOM 1800 900 2 2 Cũng theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì CM CA; DM DB Do đó CD CM DM AC BD 0 OAC DBO 90 OAC ~ DBO g.g 2) Tam giác OAC và DBO có 0 AOC BDO 90 BOD OAC ~ DBO OA AC AC.BD OA.OB R 2 BD OB Lưu ý: Có thể chứng minh như ở bài 1 đã... 2.2R 6R Vậy chu vi nhỏ nhất của ABCD là 6R khi AC BD hay M là điểm chính giữa cung AB Cách 2: Theo kết quả câu a thì CD AC BD nên CABCD 2R 2.CD Kẻ CH vuông BD, H thuộc BD thì ABHC là hình chữ nhật nên CH AB 2R không đổi Mà CH là đường vuông góc, CD là đường xiên nên CD AB 2R Do đó chu vi CABCD 2R 2 AC BD 2R 2.2R 6R Vậy chu vi nhỏ nhất của ABCD là 6R khi H D CD... 2 2 Diện tích nhỏ nhất của hình thang ABCD là 2R 2 đạt được khi AC BD hay M là điểm chính giữa cung AB Cách 2: 1 Từ kết quả câu a thì AC BD CD nên S ABCD AB AC BD R.CD 2 Kẻ CH vuông BD, H thuộc BD thì ABHC là hình chữ nhật nên CH AB 2R không đổi Mà CH là đường vuông góc, CD là đường xiên nên CD AB 2R Do đó S ABCD R.CD R.2R 2R 2 Diện tích nhỏ nhất của hình thang bằng 2R... ta có tam giác ABE vuông tại M với CM CA (2 tiếp tuyến cắt nhau), suy ra C là trung điểm cạnh huyền AE Tương tự, tam giác BMD vuông tại M nhận D là trung điểm cạnh huyền BF Mặt khác, AE / / BF AB nên ABFE là hình thang Khi đó nhận thấy AB, EF là hai cạnh bên còn CD là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy hình thang Theo bổ đề hình thang thì 3 đường này phải đồng quy tại một điểm 15 ... tam giác BMD 3) Gọi E là giao điểm của AC với BM; F là giao điểm của BD với AM Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB, CD, EF đồng quy Hướng dẫn 1) Tam giác AMB có trung tuyến OM OA OB R 14 1 AB nên vuông tại M 2 Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì OC, OD là phân giác góc AOM , BOM Do đó COD COM DOM 1 1 AOM BOM 1800 900 2 2 Vậy tam giác COD vuông tại O 2) Khi AM R OM ... b Bài tập tiếp tuyến đường tròn Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia tiếp tuyến Ax By với đường tròn M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến. .. IO 2 đường kính CD Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia tiếp tuyến Ax By với đường tròn M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến M cắt... MH BD CB AB BD Câu Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia tiếp tuyến Ax By với đường tròn M điểm thuộc nửa đường tròn (khác A, B) Tiếp tuyến M cắt Ax By C D Gọi