Bài tập về tiếp tuyến đường tròn

- Tiếp tuyến của đường tròn - Tính chất tiếp tuyến của đường tròn - Chứng minh tiếp tuyến của đường tròn - Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau - Bài tập đường tròn - Ôn tập tiếp tuyến đường tròn - Bài tập hai tiếp tuyến - Hình học 9 đường tròn - Kiểm tra hình 9 đường tròn - Bài tập tiếp tuyến

Trang 1

Bài toán kinh điển về tiếp tuyến đường tròn Hình học 9

Trang 2

Một số bài tập bổ trợ

Câu 1 Tính đường cao, chu vi và diện tích của tam giác đều có cạnh bằng a

Hướng dẫn

Xét tam giác ABC đều cạnh AB BCCAa, đường cao AH

 Chu vi C ABC  ABBCCA3a

 Đường cao

AH  AB BH  AB    a   

 Diện tích

2

ABC

S  AH BC  a

Câu 2 Chứng minh rằng:

1) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền 2) Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó, thì tam giác

đó là tam giác vuông

Hướng dẫn

1) Xét tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM (M là trung điểm BC)

Gọi D là điểm đối xứng của A qua M

Khi đó AD và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên ABDC là hình bình hành

Mà góc BAC 900 nên ABDC là hình chữ nhật

AD BC AM  AD BC Vậy đường trung tuyến AM bằng nửa cạnh huyền BC

Trang 3

2) Xét tam giác ABC, đường trung tuyến AM (M là trung điểm BC) thỏa mãn

1 2

AM  BC

Gọi D là điểm đổi xứng của A qua M

Khi đó AD và BC cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường nên ABDC là hình bình hành

AM  BC  AD BC  ADBC Như vậy hình bình hành ABDC có hai đường chéo AD BC nên là hình chữ nhật, suy ra BAC 900 hay tam giác ABC vuông tại A

Như vậy, Nếu tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó, thì tam giác đó là tam giác vuông tại đỉnh mà đường trung tuyến đó đi qua

Câu 3 Cho tam giác ABC vuông tại A M là điểm trên cạnh BC Chứng minh rằng nếu

MA MB thì M là trung điểm BC

Hướng dẫn

Ta có

0 0

90 90

MAC MAB

MCA MBA







Mà MAMB hay tam giác cân AMB cân tại M thì MABMBAMACMCA

Trang 4

Như vậy tam giác AMC cân tại M nên MAMCMBMCMA hay M là trung điểm

BC

Câu 4 Chứng minh rằng trong hình thang, giao điểm của hai đường chéo, giao điểm 2 cạnh

bên và trung điểm 2 cạnh đáy nằm trên một đường thẳng (bổ đề hình thang)

Hướng dẫn

Xét hình thang ABCD, với AB/ /CD AB, CD, E, F là trung điểm AB, CD G là giao của hai cạnh bên và H là giao của hai đường chéo hình thang Ta cần chứng minh 4 điểm E, F, G,

H thẳng hàng

Giả sử GF cắt AB tại một điểm I

Ta có,

/ /

IB GI

IB FC

FC GF

IA GI

IA DF

DF GF







suy ra IB IA

Mà FCDF do F là trung điểm nên IBIA hay I là trung điểm AB, suy ra I E

Như vậy ta đã chứng minh được E, F, G thẳng hàng

Giả sử HF cắt AB tại một điểm K

Ta có

/ /

AK HK

AK FC

FC HF

BK HK

BK DF

DF HF







, suy ra AK BK

Mà FCDF do F là trung điểm nên AK BK hay K là trung điểm AB, suy ra K  I E

Như vậy, E, F, H thẳng hàng

Từ 2 chứng minh trên suy ra 4 điểm E, F, G, H thẳng hàng

Trang 5

Bổ đề đã được chứng minh

Lưu ý: Tử bổ đề này ta cũng có 2 bổ đề hệ quả:

1) Trong hình thang, hai đường chéo và đường nối trung điểm 2 đáy đồng quy

VD trong bài trên, AC, BD, EF đồng quy tại H

2) Trong hình thang, 2 cạnh bên và đường nối trung điểm 2 đáy đồng quy

VD trong bài trên, AD, BC và EF đồng quy tại G

Câu 5 Cho a, b là 2 số không âm, chứng minh rằng:

1) a2 b2 2ab

2)  2 2  2

2 a b  ab

Hướng dẫn

ab  a  abb  a b  ab

Đẳng thức xảy ra khi  2

0

ab   a b 2) Biến đổi tương đương:

2

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức cần chứng minh là đúng Đẳng thức xảy ra khi  2

0

ab   a b

Trang 6

Bài tập về tiếp tuyến của đường tròn

Câu 1 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ 2

tia tiếp tuyến Ax và By với đường tròn M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn (khác

A, B) Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By tại C và D Chứng minh rằng:

1) COD900 và CD ACBD

3) OAC~DBO

4) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Hướng dẫn

1) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì OC, OD là phân giác góc AOM BOM ,

.180 90

Cũng theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì CM CA DM; DB

Do đó CD CM DM  ACBD

2) Từ chứng minh a nhận thấy tam giác COD vuông tại O và nhận OM làm đường cao

0

90

OAC DBO

OAC DBO g g





4) Gọi I là trung điểm CD thì I là tâm đường tròn đường kính CD

COD

2

IOIC OD CD hay O thuộc đường tròn tâm I

Mặt khác, ABDC là hình thang vuông tại A và B

O, I là trung điểm AB, CD nên OI là đường trung bình hình thang này

Do đó

/ / / /

OI AC BD IO AB

AC BD CD IO





 hay AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn tâm I,

đường kính CD

Trang 7

A, B) Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By tại C và D Gọi E là giao điểm của AD và BC

ME cắt AB tại H Chứng minh rằng MH AB và E là trung điểm MH

Hướng dẫn

Ta có MC AC MD; BD Khi đó, do AC/ /BD nên

/ / / / / /

Đồng thời ta có ME CE AH HE ME HE

BD  CB  AB  BD   hay E là trung điểm MH

Trang 8

Hướng dẫn

Gọi E là giao điểm của AD và BC

Theo kết quả bài toán 2 thì ME  AB

Mà MH AB theo cách dựng nên M, E, H thẳng hàng

Vậy AD, BC và MH đồng quy tại E

A, B) Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By tại C và D Kẻ MH vuông góc AB, H thuộc

AB Gọi E là giao điểm của BC và MH Chứng minh E là trung điểm MH và A, E, D thẳng hàng

Hướng dẫn

AC  CD  AB  AC   nên E là trung điểm MH

Theo kết quả bài toán 2 thì AD, BC, MH đồng quy tại trung điểm của MH

Mà ta vừa chứng minh E là trung điểm MH nên AD, BC, MH đồng quy tại E

Vậy A, E, D thẳng hàng

Trang 9

A, B) Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By tại C và D Kẻ MH vuông góc AB, H thuộc

AB Gọi E là trung điểm của MH Chứng minh rằng A, E, D thẳng hàng và B, E, C thẳng hàng

Hướng dẫn

Theo kết quả bài toán 2 thì AD, BC, MH đồng quy tại trung điểm của MH

Mà ta có E là trung điểm MH nên AD, BC, MH đồng quy tại E

Vậy A, E, D thẳng hàng và B, E, C thẳng hàng

A, B) Tiếp tuyến tại M cắt Ax và By tại C và D

Trang 10

2) Chứng minh OAC~DBO và tích AC BD không đổi .

3) Tìm vị trí điểm M trên nửa đường tròn để đoạn CD có độ dài nhỏ nhất

4) Gọi I là trung điểm CD, tìm vị trị điểm M để khoảng cách từ I đến AB nhỏ nhất

Hướng dẫn

.180 90

0

90

OAC DBO

OAC DBO g g





2

Lưu ý: Có thể chứng minh như ở bài 1 đã thực hiện, 2 2

3) Tìm vị trí của M để đoạn CD có độ dài nhỏ nhất

Cách 1:

Kẻ CH vuông BD, H thuộc BD thì ABHC là hình chữ nhật nên CH AB2R

không đổi

Mà CH là đường vuông góc, CD là đường xiên nên CD AB2R

Vậy CD có độ dài nhỏ nhất bằng 2R khi DH hay M là điểm chính giữa cung AB

Cách 2:

Theo kết quả câu 1, 2 và áp dụng BĐT Cô-si ta được:

2

CD ACBD AC BD  R  R

Vậy CD có độ dài nhỏ nhất bằng 2R khi ACBD hay M là điểm chính giữa cung

AB

4) Do IO là đường trung bình hình thang ABCD nên IO/ /AC/ /BD

Suy ra IOAB hay IO chính là khoáng cách từ I đến AB

Tam giác COD vuông tạo O nên trung tuyến 1

2

Theo kết quả câu c thì 2 1.2

2

Vậy khoảng cách từ I đến AB có giá trị nhỏ nhất bằng IOmin R khi M là điểm chính giữa cung AB

Trang 11

1) Chứng minh COD900 và CD ACBD

2) Chứng minh OAC~DBO và tích AC BD không đổi

3) Tìm vị trí điểm M sao cho tứ giác ABDC có diện tích nhỏ nhất Tính diện tích đó theo

R

4) Tìm vị trí điểm M sao cho tứ giác ABCD có chu vi nhỏ nhất Tính chu vi đó theo R

Hướng dẫn

.180 90

0

90

OAC DBO

OAC DBO g g





2

Lưu ý: Có thể chứng minh như ở bài 1 đã thực hiện, 2 2

3) ABCD là hình thang vuông tại A và B

2

ABCD

Cách 1:

Trang 12

Do đó 1   1 2

.2 2

ABCD

Diện tích nhỏ nhất của hình thang ABCD là 2R đạt được khi AC2  BD hay M là điểm chính giữa cung AB

Cách 2:

Từ kết quả câu a thì ACBDCD nên 1  

2

ABCD

không đổi

.2 2

ABCD

Diện tích nhỏ nhất của hình thang bằng 2R khi H2 DCDAB, hay M là điểm chính giữa cung AB

4) Chu vi C ABCD  ABACBDCD2RACBDCD

Cách 1:

Theo kết quả câu a thì CD ACBD nên C ABCD 2R2ACBD

Áp dụng BĐT Cô-si ta được, ACBD2 AC BD 2 R2 2R

Suy ra C ABCD 2R2ACBD2R2.2R6R

Vậy chu vi nhỏ nhất của ABCD là 6R khi AC BD hay M là điểm chính giữa cung

AB

Cách 2:

Theo kết quả câu a thì CD ACBD nên C ABCD 2R2.CD

không đổi

Do đó chu vi C ABCD 2R2ACBD2R2.2R6R

Vậy chu vi nhỏ nhất của ABCD là 6R khi H DCDAB hay M là điểm chính giữa cung AB

Trang 13

1) Chứng minh rằng OC2 OD2 CD2

2) Gọi E là giao điểm của OC và AM; F là giao điểm của OD và MB Tứ giác OEMF là hình gì?

3) Tìm vị trí điểm M để tứ giác OEMF có diện tích lớn nhất

4) Tìm vị trí điểm M để tứ giác OEMF có chu vi lớn nhất

Hướng dẫn

1) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì OC, OD là phân giác góc AOM BOM,

.180 90

CODCOM DOM  AOM BOM   Vậy tam giác COD vuông tại O nên 2 2 2

OC OD CD

2) Ta có OA OM R

CA CM



 nên OC là trung trực của AM

Do đó OC vuông góc AM tại trung điểm của AM, chính là E

Tương tự, OD vuông góc BM tại trung điểm F của BM

90

OEM OFM EOF  nên OEMF là hình chữ nhật

OEMF

S ME MF  MA MB MA MB

OEMF là hình nhật nên EMF 900 hay tam giác AMB vuông tại M

Trang 14

Suy ra

2 2

OEMF

R

S  MA MB R 

Vậy hình chữ nhật OEMF có diện tích lớn nhất bằng

2

R

khi MAMB hay M là điểm chính giữa cung AB

OEMF

C  MEMF   MA MBMAMB

Áp dụng BĐT  2  2 2

2

ab  a b , ta được

MAMB  MA MB  AB  R  R

Do đó C OEMF MAMB 8R2 2R 2

Vậy hình chữ nhật OEMF có chu vi lớn nhất bằng 2R 2 khi MAMB hay M là điểm chính giữa cung AB

1) Chứng minh AMB và COD là các tam giác vuông

2) Biết AM  R, tính diện tích tam giác BMD

3) Gọi E là giao điểm của AC với BM; F là giao điểm của BD với AM Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB, CD, EF đồng quy

Hướng dẫn

2

OM OAOB R AB nên vuông tại M

Trang 15

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau thì OC, OD là phân giác góc AOM BOM,

.180 90

CODCOM DOM  AOM BOM   Vậy tam giác COD vuông tại O

2) Khi AM  R OM OAAM R nên tam giác OAM đều

MAB MBA MBD

Mà MBD là tam giác cân với MBMD với góc MBD600 nên là giác đều

Vậy, BCD là tam giác đều có cạnh R 3 nên diện tích:

 2

2

BMD

3) Tam giác AMB vuông tại M hay AM MB

Khi đó, ta có tam giác ABE vuông tại M với CM CA (2 tiếp tuyến cắt nhau), suy ra

C là trung điểm cạnh huyền AE

Tương tự, tam giác BMD vuông tại M nhận D là trung điểm cạnh huyền BF

Mặt khác, AE/ /BF  AB nên ABFE là hình thang

Khi đó nhận thấy AB, EF là hai cạnh bên còn CD là đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy hình thang Theo bổ đề hình thang thì 3 đường này phải đồng quy tại một điểm

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	714,15 KB