Một số bài tập về tiếp tuyến của đường tròn Toán 9 năm 2019

Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại D.Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc ODC, đường này cắt CD tại M.. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M song song với AB luôn tiếp xúc [r]

CHỦ ĐỀ: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN HÌNH HỌC LỚP

I/ Phương pháp: Xét (O, R) đường thẳng d

* Bài toán khoảng cách OH từ tâm O tới đường thẳng d d cắt (O) hai điểm Xét OHABOH R,HA HB   R2OH2 Theo định lý Pitago ta có: OH2MO2 MH2

Mặt khác ta có: OH2R2AH2

=> MO2MH2 R2AH2 MH2AH2MO2R2 (MH AH) MH AH   MO2R2

CÁC KẾT QUẢ THU ĐƯỢC

+ Nếu M nằm ngồi đoạn AB MA.MB MO 2R2

+ Nếu Mnằm đoạn AB MA.MB R 2MO2

+ Mối liên hệ khoảng cách dây cung: R2 OH2AB2

4

* Để chứng minh đường thẳng d tiếp tuyến (tiếp xúc) với đường tròn (O, R): + Cách 1: Chứng minh khoảng cách từ O đến d R Hay nói cách khác ta vẽ OH  d, chứng minh OH = R.

+ Cách 2: Nếu biết d (O) có giao điểm A, ta cần chứng minh OA d + Cách 3: Sử dụng phương pháp trùng khít (Cách đề cập phần góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây)

H

M B

A

O

H O

B A

II/ BÀI TẬP MẪU

Ví dụ Cho hình thang vng ABCD (A B 90 )  có O trung điểm AB góc COD 90

Chứng minh CD tiếp tuyến đường tròn đường kính AB Giải

Kéo dài OC cắt BD E COD 90 0 suy EOD 90 0

Vì COD nên xét ∆vngCOD ∆vngEOD ta có OD chung

   

OC OA

1 OC OD

OD OB

 COD EOD => DC DE => ∆ECD cân D Kẻ OHCD OBD OHDOH OB

mà OB OA OH OB OA  hay A,H, B thuộc đường trịn (O) Do CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB

Ví dụ Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M,N hai điểm cạnh AB,AD cho chu vi tam giác AMN 2a Chứng minh đường thẳng MN ln tiếp xúc với đường trịn cố định

Giải

Trên tia đối BA ta lấy điểm E cho BE ND Ta có BCE DCNCN CE

Theo giả thiết ta có:

    

MN AM AN AB AD AM MB AN DN   AM AN MB BE   Suy MN MB BE ME  

Từ ta suy MNC MECCMN CMB Kẻ CH MN  CH CB CD a  

Vậy D,H, B thuộc đường trịn tâm C bán kính CB a suy MN ln tiếp xúc với đường trịn tâm C bán kính a

Ví dụ Cho tam giác ABC cân A đường cao BH Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ



Bx BA cắt đường trịn tâm B bán kính BH D Chứng minh CD tiếp tuyến (B)

E

H

D C

O

B A

H

N

M E

D C

Giải

Vì tam giác ABC cân A nên ta có: B C   Vì BxBAB2   900

Mặt khác ta có B1  900B1B2

Hai tam giác BHC BDC có BC chung, B1B2,

 

BH BD R

suy BHC BDC(c.g.c) suy BHC BDC900

Nói cách khác CD tiếp tuyến đường tròn (B)

Ví dụ Cho tam giác ABC vng A (AB AC) đường cao AH Gọi E điểm đối xứng với B qua H Đường tròn tâm O đường kính ECcắt AC K Chứng minh HK tiếp tuyến đường trịn (O)

Giải

Vì tam giác EKC có cạnh EC đường kính (O) nên



EKC 90

Kẻ HIACBA / /HI / /EK suy AI IK từ ta có tam giác AHK cân H

Do K1B (cùng phụ với góc hai góc BAH,IHK) Mặt khác ta có: K2 C3 (do tam giác KOC cân O)

Mà B C 3 900K1K2900 suy HKO900 hay HK tiếp tuyến (O).

Ví dụ Cho tam giác ABCvuông Ađường cao AH Vẽ đường trịn tâm A bán kính AH kẻ tiếp tuyến BD,CE với (A) (D,E tiếp

điểm khác H) Chứng minh DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC Giải

Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhu có: DAB HAB,CAH CAE  Suy DAB CAE HAB CAH   BAC 90 0

hay DAB CAE HAB CAH 180    0D,A,Ethẳng hàng

Gọi trung điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác

Mặt khác AD AE nên OA đường trung bình hình thang vng BDEC

Suy OADE A Nói cách khác DE tiếp tuyến đường trịn (O) Đường kính

BC

III/ LUYỆN TẬP

Bài 1: Cho đường trịn (O) đường kính AB C điểm thay đổi đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) C cắt AB D.Qua O vẽ đường thẳng vng góc với phân giác góc ODC, đường cắt CD M Chứng minh đường thẳng d qua M song song với AB tiếp xúc với (O) C thay đổi

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC E F BF CE cắt I Gọi M trung điểm AI Chứng minh: MF tiếp tuyến (O) Bài 3: Cho đường trịn (O;R) có đường kính BC, lấy điểm A thuộc (O) cho AB = R

a Chứng minh tam giác ABC vuông tính độ dài BC theo R

b Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC M Trên (O) lấy điểm D cho MD = MA (D khác A) Chứng minh MD tiếp tuyến (O)

Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AB = Đường kính AD cắt BC H Đường thẳng BO cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) điểm E

a Chứng minh AH vng góc với BC, tính độ dài AH bán kính đường tròn (O) b Chứng minh EC tiếp tuyến (O) tứ giác ABCE hình thoi

Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Trên nửa đường trịn lấy điểm C (C khác A B) Gọi D giao điểm đường thẳng BC với tiếp tuyến A nửa đường tròn tâm O I trung điểm AD

a Chứng minh BC.BD = 4R2

b Chứng minh IC tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O

Bài Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt nhai H Gọi I trung điểm BC Chứng minh ID, IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE

Bài 8. Cho đường trịn tâm O đường kính AB Một nửa đường thẳng qua A cắt đường kính CD vng góc với AB M cắt (O) N

a Chứng minh AM.AN = AC2

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường

Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn

Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh

Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia