TIẾP TUYẾN NGUYỄN tất THU

GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Chuyên ñề: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN 1.ðịnh nghĩa: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y=f(x) ñiểm M ( x0 ; f ( x0 )) Phương pháp: * Tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = f ( x) M ( x0 ; y0 ) là: y = f '( x0 )( x − x0 ) + y0 với y0 = f ( x0 ) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = f ( x) , biết tiếp tuyến có hệ số góc k Phương pháp: Cách 1: *Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = kx + b   f ( x) = kx + b (1) * ðiều kiện tiếp xúc hệ pt:   (2)   f '( x) = k Từ (2) ta tìm ñược x, vào (1) ta có ñược b Ta có tiếp tuyến cần tìm Cách 2: * Giải phương trình f '( x) = k giải phương trình ta tìm ñược nghiệm x1 , x2 , , xn * Phương trình tiếp tuyến: y = f '( xi )( x − xi ) + f ( xi ) (i = 1,2, , n) Chú ý: ðối với toán ta cân lưu ý số vấn ñề sau: * Số tiếp tuyến ñồ thị số nghiệm phương trình f '( x) = k *Cho hai ñường thẳng d1 : y = k1 x + b1 d : y = k x + b2 Khi ñó i) tan α = k1 − k , ñó α = (d1 , d ) + k1.k k1 = k ii) d1 // d ⇔  b1 ≠ b2 iii) d1 ⊥ d ⇔ k1.k = −1 Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = f ( x) , biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A( x A ; y A ) Phương pháp: Cách 1: Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k ( x − xA ) + y A  f ( x) = k ( x − xA ) + y A (1)  ðiều kiện tiếp xúc: hệ pt  có nghiệm   (2)   f '( x) = k GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Thay (2) vào (1), ta ñược: f ( x) = f '( x)( x − xA ) + yA , giải pt ta tìm ñược nghiệm x1 , x2 , , xn Thay vào (2) ta tìm ñược k từ ñó suy phương trình tiếp tuyến Cách 2: Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp ñiểm Khi ñó tiếp tuyến có dạng: y = f '( x0 )( x − x0 ) + y0 Vì tiếp tuyến ñi qua A nên ta có: y A = f '( x0 )( x A − x0 ) + y0 , giải phương trình ta tìm ñược x0 suy phương trình tiếp tuyến Chú ý: *Nếu giải theo cách số tiếp tuyến ñồ thị số nghiệm phương trình: f ( x) = f '( x)( x − xA ) + yA * Nếu giải theo cách số tiếp tuyến số nghiệm phương trình y A = f '( x0 )( x A − x0 ) + y0 (với ẩn x0) CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến Phương pháp: Ta dựa vào ba toán Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3 − 3x + x , có ñồ thị (C) 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C) ñiểm uốn 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) ñiểm có hoành ñộ −1 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C) ñiểm có tung ñộ 4) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao ñiểmcủa (C) với trục hoành 5) Chứng minh tiếp tuyến ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ Giải: 1)Ta có: y ' = x − x + ⇒ y '' = x − ⇒ y " = ⇔ x = , ñó tọa ñộ ñiểm uốn U (1;0) Phương trình tiếp tuyến U là: y = y '(1)( x − 1) + = −x + 2) Ta có x0 = ⇒ y0 = −6 y '( x0 ) = y '(−1) = 11, suy Phương trình tiếp tuyến là: y = y '(−1)( x + 1) − = 11x + 3) Gọi M ( x0 ;6) tiếp ñiểm , ta có: x03 − 3x02 + x0 = ⇔ ( x0 − 3)( x02 + 2) = ⇔ x0 = Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = y '(3)( x − 3) + = 11x − 27 4) PTHð giao ñiểm (C) với Ox: x3 − 3x + x = ⇔ x = 0, x = 1, x = * x=0 ta có tiếp tuyến: y = y '(0)( x − 0) + = x * x=1 ta có tiếp tuyến: y = y '(1)( x − 1) + = −x + * x=2 ta có tiếp tuyến: y = y '(2)( x − 2) + = x − 5) Vì hệ số góc tiếp tuyến ñều có dạng f '( x) hệ số góc tiếp tuyến ñiểm uốn -1 Do ñó ñể chứng minh toán ta cần chứng minh f '( x) ≥−1 ð iều ñúng vì: f '( x) + = 3( x − 1) ≥ ∀x ∈ R (ñpcm) GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích Chú ý: Chứng minh tương tự ta có kết tổng quát câu sau “Cho hàm số y = ax + bx + cx + d (a ≠ 0) Nếu a > tiếp tuyến ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ a < tiếp tuyến ñiểm uốn có hệ số góc lớn nhất” x − x +1 Ví dụ 2: Cho hàm số y = có ñồ thị (C) x −1 1) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng ∆ : 3x − y + = 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) xuất phát từ M (−1;3) 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C) ñi qua giao ñiểm hai ñường tiệm cận (C) 4) Biện luận theo m ≠ số tiếp tuyến (C) mà tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng ∆m : x − my + m + = Giải: x2 − x Ta có y ' = ( x − 1)2 1)Gọi d tiếp tuyến song song với ñường thẳng ∆ : y = x + , ñó d có hệ số 4 góc k =  x = −1 x2 − x  Xét phương trình: y ' = k ⇔ x x = ⇔ − − = ⇔  x = ( x − 1) 3 * x = −1 ⇒ y = − ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = x − 4 * x = ⇒ y = ⇒ phương trình tiếp tuyến: y = x + 4 2) Gọi d ñường thẳng ñi qua M (−1;3) , có hệ số góc k, ñó phương trình d có dạng: y = k ( x + 1) +   x2 − x +  = k ( x + 1) + (1)   − x d tiếp tuyến ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm:   x − 2x  (2) =k   x ( − 1)    2 x − x + x − 2x Thế (2) vào (1) ta ñược: = ( x + 1) = x −1 ( x − 1)2 x =  ⇔ x − 5x + = ⇔  x =  * Với x = ⇒ k = ⇒ Phương trình tiếp tuyến y=3 GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích *Với x = ⇒ k = −3 ⇒ Phương trình tiếp tuyến y = −3x 3) ðồ thị có hai tiệm cận x = y = x suy giao ñiểm hai tiệm cận I(1;1) Gọi d ñường thẳng ñi qua I, có hệ số góc k ⇒ d : y = k ( x − 1) +  x2 − x +   = k ( x − 1) +   x −1  có nghiệm d tiếp tuyến ⇔ hệ   x x −  =k   x ( 1) −    Thế k vào phương trình thứ hai ta ñược: x − x + x2 − x = + ⇔ x2 − x + = x2 − x + x − phương trình vô nghiệm x −1 x −1 Vậy qua I tiếp tuyến kẻ ñến (C) 4) ∆m có hệ số góc km = Số tiếp tuyến thỏa mãn toán số nghiệm m m ( x2 − x ) phương trình: y '.km = −1 ⇔ = −1 ⇔ (m + 1) x2 − 2(m + 1) x + = (*) ( x − 1) ( với ñk x ≠ ) * Nếu m=-1 ⇒ (*) vô nghiệm ⇒ tiếp tuyến *Nếu m ≠ −1 : (*) có ∆ ' = m(m + 1) (*) có nghiệm x = ⇔ m = m > + Khi  ⇒ (*) có hai nghiệm phân biệt ⇒ có hai tiếp tuyến  m  m < − V m>2    ⇔ (**)    m 3 + ≠      m ≠ − Gọi x1,x2 hai nghiệm (*), ñó hệ số góc ba tiếp tuyến : k1 = −3x12 + 3, k = −3x22 + 3, k3 = ðể hai ba tiếp tuyến vuông góc với ⇔ k1.k = −1 2 2 ⇔ 9( x1 − 1)( x2 − 1) = ⇔ x1 x2 − 9( x1 + x2 ) + 18 x1 x2 + = (i) 3m + 3m + ; x1 x2 = Do ñó Mặt khác theo ðịnh lí Viet x1 + x2 = 2 26 thỏa mãn ñiều kiện (**) (i ) ⇔ 9(3m + 2) + = ⇔ m = − 27 26 Vậy M (− ;0) ñiểm cần tìm 27 Ví dụ 3: Tìm tất ñiểm nằm trục tung cho từ ñó kẻ tới ñồ thị hàm số y = x4 − x2 − ñúng ba tiếp tuyến Giải: Xét M (0; m) ∈ Oy ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: y = kx + m   x − x − = kx + m   d tiếp tuyến ⇔ hệ  có nghiệm  4 x − x = k   Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: −x − x − = x − x + m x − x + + m = (*) ðể từ M ta kẻ ñến ñồ thị ñúng ba tiếp tuyến ⇔ (*) có ba nghiệm phân biệt GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa ⇔ m + = ⇔ m = −1 Khi ñó (*) có nghiệm x = 0; x = ± Giải Tích ba tiếp tuyến ñó x −1 Vậy M(0;-1) ñiểm cần tìm là: y = −1; y = ± Ví dụ 4: Tìm tất ñiểm nằm trục tung mà từ ñó kẻ ñược ñúng x +1 tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số y = x −1 Giải: Xét M (0; m) ∈ Oy ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: y = kx + m  x +1   = kx + m   x − có nghiệm d tiếp tuyến ⇔ hệ   −  =k   x ( − 1)   Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: x +1 −2 x = + m ⇔ ( m − 1) x − 2(m + 1) x + m + = (*) x − ( x − 1) ðể từ M kẻ ñược ñúng tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số ñã cho ⇔ (*) có ñúng nghiệm Do (*) nghiệm x=1 nên (*) có ñúng nghiệm m = m = ⇔  ⇔  ∆ ' = 2m + =  m = −1 Vậy có hai ñiểm M (0;1), M (0; −1) thoảmanx toán x+2 Ví dụ 5: Cho hàm số: y = (C) Cho ñiểm M(0;m) Xác ñịnh m ñể từ A kẻ ñược x −1 tiếp tuyến ñến (C) cho hai tiếp ñiểm tương ứng nằm hai phía ñối với trục Ox Giải: ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có pt: y = kx + m  x+2   = kx + m   − x d tiếp tuyến ⇔ hệ  có nghiệm  −  =k   x ( − 1)   Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: −3 x x+2 = + m ⇔ ( m − 1) x − 2( m + 2) x + m + = (*) x − ( x − 1) ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến (*) có hai nghiệm phân biệt khác GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích  ∆ ' = 3( m + 2) >     m > −2  ⇔ m ≠ ⇔ (i)    ≠ m      m − − 2(m + 2) + m + ≠ Khi ñó tọa ñộ hai tiếp ñiểm là: M ( x1 ; y1 ), M ( x2 ; y2 ) với x1,x2 nghiệm (*) x +2 x +2 y1 = ; y2 = x1 − x2 − x x + 2( x1 + x2 ) + ðể M1, M2 nằm hai phía Ox y1 y2 < ⇔ < (1) x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 2(m + 2) m+2 Áp dụng ñịnh lí Viet: x1 + x2 = ; x1 x2 = m −1 m −1 9m + ⇒ (1) ⇔ − −3    m > −  giá trị cần tìm Kết hợp với (i) ta có      m ≠ x2 − x + Ví dụ 6: Cho hàm số y = (C) x −1 1)Có nhận xét tiếp tuyến kẻ ñến (C) từ ñiểm nằm ñường thẳng y=7 2) Chứng tỏ ñường thẳng y=7, có ñiểm cho từ ñiểm ñó kẻ ñến (C) hai tiếp tuyến lập với góc 450 Giải: Xét M ( x0 ;7) ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có ptrình : y = k ( x − x0 ) +    = k ( x − x0 ) + (1) 2x + +  x  − d tiếp tuyến (C) ⇔ hệ  có nghiệm   2− =k (2)   ( x 1) −   Thế k vào phương trình thứ nhất, ta ñươc: (1 − x0 )k + 2 2( x − 1) + + = (2 − )( x − 1) + (1 − x0 ) k + ⇔ = x −1 x −1 ( x − 1) k = Thay vào (2) ta có: k[( x0 − 1) k − 8( x0 − 2)]=0 ⇔   ( x0 − 1) k − 8( x0 − 2) = Vậy ñường thẳng y=7 tiếp tuyến ñò thị hàm số 2) ðể từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến x0 ≠ Khi ñó hệ số góc hai tiếp tuyến 8( x0 − 2) k1 = 0; k = ( x0 − 1) GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa hai tiếp tuyến lập với góc 450 ⇔ * k2 = ⇔ * k2 = ⇔ 8( x0 − 2) ( x0 − 1) 8( x0 − 2) Giải Tích k1 − k = tan 45 = ⇔ k = ±1 + k1k = ⇔ x0 = ± 2 = − ⇔ x0 = ± ( x0 − 1) Vậy ta tìm ñược ñiểm M thỏa mãn toán ⇒ ñpcm có hoành ñộ x −1 lớn cho tiếp tuyến ñó tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ Giải: Xét M ( x0 ; x0 + + ) Tiếp tuyến M có phương trình x0 + 1 y = (1 − m ) x + m + 2m + ( với m = ) x0 − 2 tiếp tuyến cắt tiệm cận ñứng A(1;2m + 2) , cắt tiệm cận xiện B (1 + ;2 + ) m m hai tiệm cận cắt I(1;2) 2 Chu vi tam giác ABI: P = AB + BI + IA = 4m + + + +2|m| |m| m Ví dụ 7: Tìm ñiểm ñồ thị (C) hàm số y = x + + Áp dụng Bất ñẳng thức Côsi, ta có: 4m + m ≥ 2; 2 + | m |≥ 4 |m| ⇒ P ≥ + + 4 ðẳng thức xảy ⇔ m = ± 1 Vậy M (1 ± ;2 ± ± 2) 2 Ví dụ 8: Tìm tất ñiểm Oy cho từ ñó ta vẽ ñược tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số y = x + x2 + x + Giải: Xét M (0; m) ∈ Oy ðường thẳng d ñi qua M, hệ số góc k có phương trình: y=kx+m   x + x + x + = kx + m    có nghiệm d tiếp tuyến ⇔ hệ  4x +  =k 1+    x x + +   Thay k vào phương trình thứ ta ñược: GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa x + 4x + 2x + = x + 4x2 + x 4x2 + 2x +1 Giải Tích +m ⇔ 4x2 + 2x + = 4x2 + x + m 4x2 + 2x + ⇔ m = x +1 = f ( x) (*) 4x + 2x + ðể từ M kẻ ñược tiếp tuyến ñến ñồ thị ⇔ (*) có nghiệm −3 x xét hàm số f(x), ta có: f '( x) = ⇒ f '( x) = ⇔ x = ( x + x + 1) 1 Mặt khác: Lim f ( x) = ; Lim f ( x) = − x →+∞ x →−∞ ta có BBT: x −∞ +∞ f’(x) + f(x) -1/2 1/2 (*) có nghiệm ⇔ − < m ≤ Vậy M(0;m) với − < m ≤ ñiểm cần tìm Bài tập: Bài 1: Cho hàm số y = x − x + x Viết phương trình tiếp tuyến ñiểm uốn chứng minh tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = x − x + , biết tiếp tuyến ñi qua A(0;1) Bài 2: x2 + 4x + 1) Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = biết tiếp tuyến x song song với ñường thẳng y=-3x+1 2) Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y=x3-6x2+11x-1 ñiểm có tung ñộ 1 3) Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = x + x − x − , biết tiếp 3 tuyến song song với ñường thẳng y=4x+2 Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3(m − 3) x + 11 − 3m ( Cm ) GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 19 1) Cho m=2 Tìm phương trình ñường thẳng qua A( ,4) tiếp xúc với ñồ thị 12 ( C2 ) hàm số 2) Tìm m ñể hàm số có hai cực trị Gọi M M ñiểm cực trị ,tìm m ñể ñiểm M1 , M B(0,-1) thẳng hàng Bài 4: x2 − 3x + Khảo sát hàm số: y = (C) x −1 x − 3x + Từ ñồ thị (C), nêu cách vẽ vẽ ñồ thị hàm số: y = x −1 3.Từ góc toạ ñộ vẽ ñược tiếp tuyến hàm số (C) ? Tìm toạ ñộ tiếp ñiểm (nếu có) Bài 5: 1) Tìm toạ ñộ giao ñiểm ñường tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = x +1 với x −3 trục hoành ,biết tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng y=x+2001 1 2) Cho hàm số y = x3 + x − x − Viết pt tt biết tt song song y=4x+2 3 x2 − x + 3) Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = , biết tiếp tuyến ñi x−2 qua ñiểm M(6;4) x2 + x + , biết tiếp tuyến ñi 4) Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = x qua M(1;0) m BÀi 6: M ñiểm thuộc ñò thị hàm số y = x − x + có hoành ñộ -1 3 Tìm m ñể tiếp tuyến ñồ thị M song song với ñường thẳng 5x-y=0 Bài 7: Tìm ñiểm ñồ thị hàm số y = x + + có hoành ñộ lớn x −1 cho tiếp tuyến ñó tạo với hai tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ nhất? Bài 8: Tìm ñiểm M nằm ñường thẳng y=1 cho từ M kẻ ñược x2 + x ñúng tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số y = x +1 x + 2x + Bài 9: Tìm ñồ thị hàm số y = ñiểm cho tiếp tuyến ñó x +1 vuông góc với tiệm cận xiên ñồ thị hàm số ñã cho Bài 10: Tìm ñiểm trục Oy cho từ ñó kẻ ñược hai tiếp tuyến với ñồ thị hàm số y = x2 + 2x + hai tiếp tuyến ñó vuông góc với x −1 GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích x − 3x + x 1) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị(C) hàm số 2) Tìm ñường thẳng x=1 ñiểm M cho từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến ñến (C) hai tiếp tuyến ñó vuông góc với Bài 12: x2 Gọi ñồ thị (C) 1) Khảo sát vẽ ñò thị hàm số : y = x −1 2) Tìm ñường thẳng y=4 tất ñiểm mà từ ñiểm ñó kẻ tới ñồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với góc 45° x2 + x Bài 13: Cho hàm số : y = (C) x−2 1) Khảo sát hàm số (C) 2) ðường thẳng (∆) ñi qua ñiểm B(0,b) song song với tiếp tuyến (C) ñiểm O(0,0) Xác ñịnh b ñể ñường thẳng ( ∆) cắt (C) hai ñiểm phân biệt M,N Chứng minh trung ñiểm I MN nằm ñường thẳng cố ñịnh b thay ñổi Bài 11: Cho hàm số y = Bài 14: Cho hàm số y = x + (6 − m) x mx + 1) Tìm m ñể ñồ thị hàm số có tiếp tuyến ñi qua O 2) Khảo sát hàm số m=1 (C) 3) Chứng minh ñiểm ñồ thị (C) tiếp tuyến luôn cắt hai tiệm cận tam giác có diện tích không ñổi Bài 15: Cho hàm số : y = x3 − x + (1) 3 1) Khảo sát biến thiên cẽ ñồ thị (C) hàm số (1) 2) Tìm ñồ thị (C) ñiểm mà ñó tiếp tuyến ñồ thị (C) vuông góc với ñường thẳng : y = − x + 3 Bài 16: Cho hàm số : y = x3 − mx − x + m + 1) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị hàm số ứng với m= 2) Trong tất tiếp tuyến với ñồ thị hàm số ñã khảo sát , tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ x −1 Bài 17: Cho hàm số y = (C) x −1 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) 2) Gọi I giao ñiểm hai ñường tiệm cận (C) Tìm ñiểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến M vuông góc với IM x2 − x − Bài 18: Cho hàm số y = (C) x+2 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 2) Giả sử tiếp tuyến (C) ñiểm M ∈ (C ) cắt hai tiệm cận (C) P Q Chứng minh MP = MQ Bài 19: Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = −x3 + (2m + 1) x2 − m − tiếp xúc với ñường thẳng y = 2mx − m − x2 + x + a Bài 20: Cho hàm số y = Với giá trị a ñồ thị hàm số có tiếp x +1 tuyến vuông góc với ñường phân giác góc thứ Chứng minh ñó hàm số có cực ñại cực tiểu x +1 Bài 21: Cho hàm số y = Tìm ñiểm trục tung mà từ ñiểm x −1 kẻ ñược ñúng tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số Bài 22: Tìm tập hợp ñiểm mặt phẳng Oxy ñể từ ñó ta vẽ ñược hai x2 tiếp tuyến ñến ñồ thị hàm số y = hai tiếp tuyến ñó vuông góc với x −1 Bài 23: Tìm ñiểm M nằm ñường thẳng y=1 cho từ ñó kẻ ñược x2 + x ñúng tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số y = x +1 Bài 24: Cho hàm số y = (m + 1) x3 − (2m + 1) x − m + 1, có ñồ thị (Cm) 1) Chứng minh với m, ñồ thị hàm số ñã cho ñi qua ba ñiểm cố ñịnh thẳng hàng 2) Với giá trị m ñồ thị (Cm) có tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng ñi qua ba ñiểm cố ñịnh Bài 25: Chi hàm số y = mx3 − (2m − 1) x2 + (m − 2) x − (Cm ) Chứng minh ñường cong họ (Cm) ñều tiếp xúc với Bài 26: Từ gốc tọa ñộ vẽ ñược tiếp tuyến với ñồ thị hàm số x2 − x + Tìm tọa ñộ tiếp ñiểm có y= x −1 a x + (2a + 1) x + a + Bài 27: Với giá trị a ñồ thị hàm số y = tiếp xúc x+2 với ñường thẳng y = a + Bài 28: Tìm Oy ñiểm mà từ ñó kẻ ñược tiếp tuyến ñến ñồ x2 − x + thị hàm số y = x −1 x4 Bài 29: Cho hàm số y = − x2 + (C) 2 1) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) 2) Gọi d tiếp tuyến (C) ñiểm có hoành ñộ xM = a Cmr hoành ñộ giao ñiểm (C) d nghiệm phương trình: ( x − a )2 ( x2 + 2ax + 3a2 − 6) = GV: Nguyễn Tất Thu- Biên Hòa Giải Tích 3) Tìm a ñể tiếp tuyến d cắt (C) hai ñiểm P, Q khác M Tìm quỹ tích trung ñiểm K PQ + mx − x2 Bài 30: Với giá trị m tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = 4x + m ñiểm có hoành ñộ x=0 vuông góc với tiệm cận xiên Bài 31: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 1) Chứng minh ñồ thị không tồn hai ñiểm cho tiếp tuyến hai ñiểm ñó ñồ thị vuông góc với 2) Tìm k ñể có ñiểm mà tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng y=kx x2 − 2mx + m Bài 32: Cho hàm số y = x+m 1) Chứng minh ñồ thị hàm số cắt Ox ñiểm x = x0 hệ số góc tiếp x − 2m tuyến ñó là: k = x0 + m 2) Tìm tất giá trị m ñể ñồ thị hàm số cắt Ox hai ñiểm tiếp tuyến hai ñiểm ñó vuông góc với Bài 33: Tìm m cho qua A(0;1) tiếp tuyến kẻ ñến ñồ thị hàm số x2 + mx + m y= x +1 (m − 2) x − ( m2 − 2m + 4) Bài 34: Chứng tỏ ñồ thị hàm số y = tiếp xúc x−m với hai ñường thẳng cố ñịnh