và Af ggf là các dạng mở rộng khác của phương trình hàm d’ Alembert. Trước hết, ta xem xét các dạng phương trình hàm như sau:
Cho f, g:G→C không đồng nhất 0, trong đó (G,+) là một nhóm Abel.
f(x+y) +g(x−y) = 2f(x)g(y). (Af gf g) f(x+y) +g(x−y) = 2g(x)f(y). (Af ggf) Định nghĩa 2.2.12. Hàm g :G →C thỏa mãn điều kiện (S)-chia hết 2 khi và chỉ khi g là hàm thỏa mãn phương trình (S)
f(x)f(y) =f(x+y 2 )
2−f(x−y
2 )
2. (S)
đồng thời (G,+) là một nhóm duy nhất chia hết cho 2 (nghĩa là với mọi g ∈ G tồn tại số y∈G sao cho 2ny=g).
Định lí 2.2.13. Giả sử rằng f, g :G→C thỏa mãn bất đằng thức sau:
|f(x+y) +g(x−y)−2f(x)g(y)| ≤, ∀x, y ∈G. (2.72) Nếu g không bị chặn thì
(i) f thỏa mãn S- chia hết cho 2 và f(0) = 0.
(ii) Hơn nữa, bổ sung điều kiện g thỏa mãn (A) thì f, g là nghiệm của phương trình
f(x+y) +f(x−y) = 2f(x)g(y).
Chứng minh. Do g là hàm không bị chặn nên từ (2.72) ta có thể chọn được một dãy {yn} trong G sao cho 06=|g(yn)| → ∞ khi n→ ∞.
Thay y=yn vào trong phương trình (2.72) rồi chia cả hai vế cho |2f(xn)| và cho qua giới hạn n → ∞, ta thu được:
f(x) = lim n→∞
f(x+yn) +g(x−yn)
2g(yn) , x∈G. (2.73) Thay y lần lượt bởi y+yn và y−yn và áp dụng (2.73), ta có
|f(x+ (y+yn)) +g(x−(y+yn))−2f(x)g(y+yn) f(x+ (y−yn) +g(x−(y−yn))−2f(x)g(y−yn)| ≤2. nên |f((x+y) +yn) +g((x+y)−yn) 2g(yn) + f((x−y) +yn) +g((x−y)−yn) 2g(yn) −2f(x).g(y+yn) +g(y−yn) 2g(yn) | ≤ |g(yn)|, ∀x, y ∈G.
khi đó tồn tại một hàm giới hạn: k1(y) := lim
n→∞
g(y+yn) +g(−y+yn)
g(yn) .
trong đó k1 :G→C là hàm thỏa mãn phương trình
Hơn nữa, nếu f(0) = 0 thì thay vào (2.74) suy ra f(y) +f(−y) = 0 hay f là hàm lẻ. Mặt khác, xét phương trình f(x+y)2−f(x−y)2= [f(x+y) +f(x−y)][f(x+y)−f(x−y)] =f(x)k1(y)[f(x+y)−f(x−y)] =f(x)[k1(y)f(x+y)−k1(y)f(x−y)] =f(x)[f(x+ 2y)−f(x−2y)] =f(x)[f(2y+x) +f(2y−x)] =f(x)f(2y)k1(x). (2.75) Cho y=x thay vào (2.74) ta thu được
f(2x) = f(x)k1(x). nên từ (2.75) ta suy ra
f(x+y)2−f(x−y)2=f(2x)f(2y).
Điều này đúng với mọi x, y ∈ G trong đó G là nhóm chia hết 2. Hay g là một hàm thỏa mãn (S)- chia hết 2.
(ii) Nếu g là hàm thỏa mãn (A) tức là
g(x+y) +g(x−y) = 2g(x)g(y).
khi đó hàm giới hạn k1(y) được thay thế bởi 2g(y). Như vậy từ (2.74) và điều kiện trên, suy ra f, g là nghiệm của phương trình (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
f(x+y) +f(x−y) = 2f(x)g(y).
Định lí 2.2.14. Giả sử rằng f, g :G→C thỏa mãn bất đằng thức sau:
|f(x+y) +g(x−y)−2f(x)g(y)| ≤, ∀x, y ∈G. (2.76) Nếu f không bị chặn thì
(i) g thỏa mãn S- chia hết cho 2 và g(0) = 0.
(ii) Hơn nữa, bổ sung điều kiện f thỏa mãn (A) thì g cũng thỏa mãn g(x+y) +g(−x+y) = 2f(x)g(y).
Chứng minh. Do f là hàm không bị chặn nên từ (2.76) ta có thể chọn được một dãy {xn} trong G sao cho 06=|f(xn)| → ∞ khi n → ∞.
Thay x=xn vào trong phương trình (2.76) rồi chia cả hai vế cho|2f(xn)| và cho qua giới hạn n → ∞, ta thu được:
g(y) = lim n→∞
f(xn+y) +g(xn−y)
2f(xn) , x∈G. (2.77) Thay x lần lượt bởi xn+x và xn−x và áp dụng (2.77), ta có
|f((xn+x) +y) +g((xn−x)−y)−2f(xn+x)g(y) f((xn−x) +y) +g((xn−x)−y)−2f(xn−x)g(y)| ≤2. nên |f(xn + (x+y)) +g(xn−(x+y)) 2f(xn) + f(xn−(x−y)) +g(xn−(x−y)) 2f(xn) −2g(y).f(xn+x) +f(xn−x) 2f(xn) | ≤ |f(xn)|, ∀x, y ∈G.
khi đó tồn tại một hàm giới hạn: k2(x) := lim
n→∞
f(xn+x) +f(xn−x)
f(xn) .
trong đó k2 :G→C là hàm thỏa mãn phương trình
g(x+y) +g(−x+y) =k2(x)g(y), ∀x, y ∈G. (2.78) Hơn nữa, nếu g(0) = 0 thì thay vào (2.78) suy ra g(y) +g(−y) = 0 hay g là hàm lẻ. Mặt khác, xét phương trình g(x+y)2−g(−x+y)2 = [g(x+y) +g(−x+y)][g(x+y)−g(−x+y)] =g(y)k2(x)[g(x+y)−g(−x+y)] =g(y)[k2(x)g(x+y)−k2(x)g(−x+y)] =g(y)[g(2x+y)−g(−2x+y)] =g(y)[g(y+ 2x) +g(−y+ 2x)] =g(y)g(2x)k2(y). (2.79) Cho x=y thay vào (2.78) ta thu được
nên từ (2.79) ta suy ra
g(x+y)2−g(−x+y)2 =g(2x)g(2y).
Điều này đúng với mọi x, y ∈ G trong đó G là nhóm chia hết 2. Hay g là một hàm thỏa mãn (S)- chia hết 2.
(ii) Nếu f là hàm thỏa mãn (A) tức là
f(x+y) +f(x−y) = 2f(x)f(y).
khi đó hàm giới hạn k2(x) được thay thế bởi 2f(x). Như vậy từ (2.78) suy ra g thỏa mãn
g(x+y) +g(−x+y) = 2f(x)g(y). Điều phải chứng minh.
Định lí 2.2.15. Giả sử rằng f, g :G→C thỏa mãn bất đằng thức sau:
|f(x+y) +g(x−y)−2g(x)f(y)| ≤, ∀x, y ∈G. (2.80) Nếu f không bị chặn thì
(i) g thỏa mãn S- chia hết cho 2 và g(0) = 0.
(ii) Hơn nữa, bổ sung điều kiện f thỏa mãn (A) thì g cũng thỏa mãn (A). Chứng minh. Do f là hàm không bị chặn nên từ (2.80) ta có thể chọn được một dãy {yn} trong G sao cho 06=|f(yn)| → ∞ khi n → ∞.
Thay y=yn vào trong phương trình (2.80) rồi chia cả hai vế cho |2f(xn)| và cho qua giới hạn n → ∞ ta được
g(x) = lim n→∞ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
f(x+yn) +g(x−yn)
2f(yn) , ∀x∈G. Thay y bởi y+yn và −y+yn, khi đó tồn tại một hàm giới hạn:
k3(y) := lim n→∞
f(yn+y) +f(yn−y)
f(yn) .
trong đó k3 :G→C là hàm thỏa mãn phương trình
g(x+y) +g(x−y) =k3(y)g(x), ∀x, y ∈G.
Định lí 2.2.16. Giả sử rằng f, g :G→C thỏa mãn bất đằng thức sau:
|f(x+y) +g(x−y)−2g(x)f(y)| ≤, ∀x, y ∈G. (2.81) Nếu g không bị chặn thì
(i) f thỏa mãn S- chia hết cho 2 và f(0) = 0.
(ii) Hơn nữa, bổ sung điều kiện g thỏa mãn (A) thì f, g thỏa mãn f(x+y) +f(x−y) = 2f(x)g(y).
Chứng minh. Do g là hàm không bị chặn nên từ (2.81), thay x bởi xn +x và xn−x, tương tự như trong chứng minh ở định lý trước. Ta có điều phải chứng minh.
Luận văn "Một số vấn đề về ổn định của phương trình hàm và các dạng toán liên quan" tập trung nghiên cứu vấn đề sau:
1.Trình bày một cách hệ thống các dạng phương trình hàm Cauchy và phương trình hàm D’ Alambert đồng thời đưa ra được nghiệm và tính chất nghiệm của các phương trình hàm trên.
2. Đưa ra các định lý về tính ổn định của các phương trình hàm Cauchy cụ thể là phương trình hàm cộng tính, nhân tính, logarit và phương trình hàm D’ Alambert cụ thể là phương trình hàm cosin, phương trình hàm Wilson (Af g),
(Agf) và (Agg) và phương trình hàm dạng (Af gf g) và (Af ggf).
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do vấn đề được đề cập trong luận văn là tương đối phức tạp và do thời gian có hạn, vì vậy luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả luận văn mong muốn nhận được sự góp ý kiến của thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
[1] Nguyễn Văn Mậu, Lớp các phương trình hàm Cauchy, d’ Alembert và dạng toán liên quan, Hội thảo Khoa học: Các chuyên đề chuyên Toán bồi dưỡng học sinh giỏi.
[2] T. Acze’l(1966), Lectures on functional equations and their applications, Acedemic Press, New York/ San Fancisco/ London.
[3] R. Badora and R. Ger(1998),On the stability of cosine functional equation, Wyzszkola Red. Krakow Rocz. Nauk-Dydakt, Pr. Mat, 15, 1-14.
[4] J. A Baker(1980), The stability of the cosine equation, Proc. Am. Math. Soc. 80, 411-416.
[5] D. G. Bourgin(1949), Approximately isometric and multiplicative transfor- mations on continuous function rings, Duke Math. J, 16, 385-397.
[6] G. L. Forti(1987), The Stability of homomorphisms and amenability with applications to functional equations, Abh. Math, Semin. Univ. Hamb, 57, 215-226 .
[7] Z. Gajda(1991), On stability of additive mappings, Int. J. Math. Math. Sci, 14, 431-434. Zbl: 721.39006.
[8] G. Gaudet and M. Moreaux(1990), Price versus quantity rules in dynamics competition, The case of nonrenewable natural resouces, Int. Econ. Rev, 31, 639-650.
[9] R.Ger(1994), A survey of recent results on stability of functional equations, in Proceedings of the 4th International Conference on Functions and In- equalities, Pedagogical Universityin Cracow, 5-36.
[10] D. H. Hyper(2011), Hyers-Ulam- Rassias Stability of Functional Equations in Nonlinear Analysis, Jung, Springer, 19-30.
[11] D. H. Hyper, G. Isac and Th. M. Russias(1998), Stability of Functional Equations in Several Variables, Birkhauser, Boston.
[12] PL. Kannappan(2008),Functional Equations and Inequalities with Applica- tions, Springer .
[13] Pl. Kannappan(1968) The functional equation f(xy) +f(xy−1) = 2f(x)f(y) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
for groups, Proc. Am. Math, Soc, 19, 69 - 74.
[14] Gwang Hui Kim and Sever S. Dragomir(2006), On the stability of general- ized D’ Alembert and Jensen functional equations, International Journal of Mathematics and Mathematical Siences, Volume 2006, 1-12.
[15] C. Kusollerchariya and P. Nakmahachalasint(2008)The stability of the Pex- iderized Cosine Functional Equations, Thai Journal of Mathematics.
[16] C. H. Morgan(1995) The stability of Cauchy’ s equation in Banach Spaces, Thesis of the university of Louisville.
[17] Pl. Kannappan and G. H. Kim(2001), On the stability of the generalized consine functional equations, Stud, Math, Ann, Acad, Paedagogicae Cra- cowiensis, 4, 49-57.
[18] L. Szekelyhidi(2000), Ulam’s problem, Hyper’ s solutions- And to where they led, in Th. M. Russias- Functional Equations and Inequalities, Vol.518, Kluwer, Dordrecht, 259-285 .
[19] G. Polya and G. Szego(1972)Problems and theorems in analysis I, in Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Band 193, Springer- Verlag, Berlin.
[20] J. Ratz(1980), In General Inequalities 2, Internat, Schriftenreihe Numer, Math, Vol. 47. Proceedings on the 18th ISFE, University of Waterloo, Wa- terloo, 22-23.
[21] Th. M. Russias(1978), On the stability of the linear mapping in Banach spaces, Proc.Am. Math, Soc, 72, 297-300.
[22] Th. M. Russias(1991),On a modified Hyers- Ulam sequence, J. Math, Anal, Appl, 154, 106-113.
[23] Th. M. Rassias and P. Semrl(1993), On the Hyper-Ulam stability of linear mappings, J. Math Anal. App, 173, 325-338.
[24] E. V. Shulman(1996), Group representations and stability of functional equations, J. London. Math. Soc, 54, 111-120 .
[25] P. Semrl(1994), The functional equation of multiplicative derivation is su- perstable on standard operator algebras, Integr. Equations Oper. Theory, 18, 118-122 .
[26] L. Szekelyhidi(1982), Note on stability theorem, Can. Math. Bull, 25, 500- 501.
[27] L. Szekelyhidi(1985), Remark 17, ISFE 22, Aeq. Math, 29, 95-96.
[28] Lu Xu, Huai- Xin Cao, Wen-Ting Zheng and Zhen- Xia Gao(2010), Super- Stability and Stability of the exponential equations, Journal of Mathematical Inequalities, Volume 4, Number 1, 37-40.