skkn “ một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THỪA THIÊN HUẾ TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VINH XUÂN - - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA f ( x) = ax + bx + cx + d ( a ≠ )” l Lĩnh vực/môn: Toán học Họ tên tác giả: ĐỖ VĂN SƠN Giáo viên môn: Toán Vinh Xuân, tháng năm 2015 trang MỤC LỤC Trang Phần A - ĐẶT VẤN ĐỀ………………………… …… …… Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Phạm vi nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Phương pháp nghiên cứu đề tài Phần B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ …….….…………… …… … CƠ SỞ LÝ THUYẾT ……… …………………… .………… “MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , (a ≠ 0) ” .4 BÀI TẬP……………………………………… … … …… 14 Phần C - KẾT LUẬN …………………………………………………… 15 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………… 16 − − − − − —– − − − − − trang PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Nhắc đến cực trị hàm số nói đến ứng dụng chương trình toán phổ thông lớp 12 nói riêng, biết cực trị đồ thị hàm số, đề tài “Một số toán liên quan đến cực trị hàm số bậc ba ” đề cập đến vị trí hai giá trị cực trị hàm bậc ba nằm phía trục hoành , trục hoành hay hai phía trục hoành để suy số giao điểm đồ thị hàm bậc ba cắt trục hoành một, hai hay ba giao điểm Còn biết điểm cực trị hàm số nằm bên trái, bên phải hai phía trục tung ta suy hoành độ điểm cực trị âm, dương hay trái dấu nhau… Mặt khác giúp cho vẽ đồ thị hàm bậc ba dễ dàng biết hai cực trị Mục đích nghiên cứu đề tài Đề tài “ Một số toán liên quan đến cực trị hàm số bậc ba” nhằm giúp học sinh hệ thống lại mối quan hệ cực trị đồ thị hàm số bậc ba tương giao với trục hoành, giúp cho học sinh khối 12 giải số toán tìm tham số để đồ thị hàm số có hoành độ cực trị dương, âm hay lớn nhỏ số α cho trước Phạm vi nghiên cứu đề tài - Chương trình toán trung học phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Chuyên đề “ Một số toán liên quan đến cực trị hàm số bậc ba”, cung cấp cho học sinh phương pháp tổng quát, kỹ hệ thống tập cực trị hàm số bậc ba, để chuẩn bị cho học sinh khối 12 gặp toán giải cách dễ dàng Phương pháp nghiên cứu đề tài Đề tài nghiên cứu phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết trang PHẦN B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT Xét hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + d , (a ≠ 0) R Ta có y ' = 3ax + 2bx + c b  2 b2   bc  1 y Thực phép chia cho y ' ta y =  x + ÷ y '+  c − ÷x +  d − ÷ 9a  3 3a   9a  3 Hàm số y = f ( x ) có cực đại cực tiểu ⇔ 3ax + 2bx + c = (1) có hai nghiệm a ≠ a ≠ ⇔ phân biệt ⇔  (*)  ∆ ' >  b − 3ac > Với điều kiện (*) hàm số có hai cực trị x1 , x2 nghiệm phương trình (1) Theo định lý Vi ét x1 + x2 = − 2b c , x1x2 = 3a 3a Gọi A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x) Vì y '( x1 ) = y '( x2 ) = suy đường thẳng qua hai điểm cực trị A, B là: 2 b2  bc   d : y =  c − ÷x +  d − ÷ 3 3a  9a    2 b2  k =  c − ÷ 3 3a   hay d : y = kx + q với   q =  d − bc   ÷  9a   Tích giá trị cực đại cực tiểu y1 y2 = ( kx1 + q ) ( kx2 + q ) = k x1 x2 + kq ( x1 + x2 ) + q ⇒ y1 y2 = k 2c 2bqk − + q2 3a 3a tổng y1 + y2 = kx1 + q + kx2 + q = k ( x1 + x2 ) + 2q = − Vậy y1 + y2 = − 2bk + 2q 3a 2bk + 2q 3a trang “ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , (a ≠ 0) ” Bài toán 1: Đồ thị hàm số y = f ( x ) có cực đại cực tiểu nằm hai phía  2 b2  b − 3ac > k =  c − ÷ 3 3a  ∆ ' >   ⇔  k c 2bqk trục hoành  với  − + q2 <  y1 y2 <  q =  d − bc   3a  3a  ÷  9a   Hoặc phương trình hoành độ f ( x) = có ba nghiệm phân biệt Ví dụ 1: Cho hàm số y = x + 3x + mx + m − có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) hàm số có cực đại cực tiểu nằm hai phía trục hoành Giải: Theo toán 1, để (Cm) có cực đại cực tiểu nằm hai phía trục b − 3ac > ∆ ' >   ⇔  k 2c 2bqk hoành ⇔  (1) y y < − + q <   3a  3a ta có k = 2 ( m − 3) , q = ( m − 3) ⇒ kq = ( m − 3) thay vào (1) ta 9 − 3m > m <   ⇔ ⇔m trục hoành   y1 y2 >  2 b2  b − 3ac > k =  c − ÷ 3 3a    ⇔  k c 2bqk với  − + q2 >   q =  d − bc  3a  3a  ÷  9a   Ví dụ 2: Cho hàm số y = x − x + mx có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) hàm số có cực đại cực tiểu nằm phía trục hoành Giải: Theo toán 2, để đồ thị (Cm) có cực đại cực tiểu nằm phía b − 3ac > ∆ ' >  ⇔  k c 2bqk trục hoành ⇔  (2) − + q2 >  y1 y2 >  3a  3a ta có k = m ( m − ) , q = ⇒ kq = m ( m − ) thay vào (2) ta m < m < 36 − 6m >  9    ⇔ ⇔ ⇔  m  m − ÷ >     (m ≠ 0) Vậy < m < đồ thị (Cm) có cực đại cực tiểu nằm phía trục hoành Đặc biệt: Đồ thị (Cm) có cực trị nằm trục hoành trang m < m < m =  ∆ ' >  m = ⇔ ⇔  22 ⇔    y y = m m − = m =   ÷  m =    3   Vậy m = m = đồ thị (Cm) có cực trị nằm trục hoành Bài toán 3: Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị nằm phía trục hoành  b − 3ac > ∆ ' >    2bk + 2q >  y1 + y2 > ⇔  − với a  y y >    k 2c 2bqk  3a − 3a + q >   2 b2  k =  c − ÷ 3 3a     q =  d − bc   ÷  9a   Ví dụ 3: Cho hàm số y = x − x + mx có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trục hoành Giải: Theo toán 3, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trục hoành  b − 3ac > ∆ ' >    2bk + 2q > (3)  y1 + y2 > ⇔  − a  y y >    k 2c 2bqk  3a − 3a + q >  ta có k = m ( m − ) , q = ⇒ kq = m ( m − ) thay vào (3) ta 3    36 − 6m > m < m <   4  ⇔  2(m − 4) > ⇔ m > ⇔ < m <  (m − 6) + m > 3    2 2 m  m − ÷ > m > 12 m m − m + m ( m − 6) + > ( )   27    27  trang Vậy < m < đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trục hoành trang Bài toán 4: Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị nằm phía trục hoành  b − 3ac >  2 b2  ∆ ' >  k =  c − ÷ 3 3a    2bk  + 2q <  y1 + y2 < ⇔ − với   y y >  3a q =  d − bc    ÷  k 2c 2bqk  9a   − + q >  3a 3a  Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 − 3x + (m − 6) x + m − 10 có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trục hoành Giải: Theo toán 4, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trục  b − 3ac > ∆ ' >    2bk + 2q < hoành  y1 + y2 < ⇔  − (4) a  y y >    k c 2bqk  3a − 3a + q >  ta có k = ( m − ) , q = (m − 9) ⇒ kq = ( m − ) thay vào (4) ta   b − 3ac > 9 − 3( m − 6) >    2bk 4 + 2q < ⇔  (m − 9) + ( m − 9) < −  3a 3 16 16  k c 2bqk 4 2 2  3a − 3a + q >  27 (m − 9) (m − 6) + (m − 9) + ( m − 9) >  trang   9 − 3(m − 6) > 9 − m >   4 ⇔  (m − 9) + (m − 9) < ⇔ 4(m − 9) < 3 4 16 16 4  ( m − ) ( m + 18 ) > 2  27  27 (m − 9) (m − 6) + (m − 9) + (m − 9) > m < m <  ⇔ m − < ⇔  ⇔ −18 < m < m > − 18  m + 18 >  Vậy −18 < m < đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trục hoành Bài toán 5: Hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung y ' = có hai nghiệm x1 ; x2 trái dấu ⇔ x1.x2 ⇔ x1.x2 >0 b − 3ac > b − 3ac >  ⇔ c ⇔ ac > 3a >  Ví dụ 6: Cho hàm số y = x − mx + (2m − 1) x − có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại cực tiểu nằm phía trục tung trang 10 Giải: Theo toán 6, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trục tung ( m − 1) >  m − (2m − 1) > m ≠ b − 3ac >  m − 2m + >    ⇔ 1 ⇔ ⇔ ⇔  1 ac > m − > (2 m − 1) >    m > m >  2 Vậy m > m ≠ đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trục tung Bài toán 7: Hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị có hoành độ dương ( nằm phía bên phải trục tung ) y ' = có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2  b − 3ac > ∆ ' > b − 3ac >     2b  >0 ⇔ ab < dương ⇔ x1 + x2 > ⇔ − x x >0  3a ac >   c >  3a Ví dụ 7: Cho hàm số y = (m + 2) x + 3x + mx − , (m ≠ −2) có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương Giải: Theo toán 7, để đồ thị (Cm) có hai cực trị có hoành độ dương b − 3ac > −m − 2m + > 9 − 3m( m + 2) >    ⇔ 3(m + 2) < ⇔ m + < ab < ac > m(m + 2) > m <    −3 < m <  ⇔ m < −2 ⇔ −3 < m < −2 m <  Vậy −3 < m < −2 đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ dương trang 11 Bài toán 8: Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị có hoành độ âm ( nằm phía bên trái trục tung ) y ' = có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 âm  b − 3ac > b − 3ac > ∆ ' >    2b  ⇔ x1 + x2 < ⇔ − x x >0  3a ac >   c >  3a Ví dụ 8: Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ âm Giải: Theo toán 8, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ âm 4m − m − > b − 3ac > (1 − 2m) − 3(2 − m) >     ⇔ 1 − 2m > ⇔ m < ab > ac > 2 − m >     m <   m < −1  m > ⇔  ⇔ m < −1  m <  Vậy m < −1 đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ âm Bài toán 9: Hàm số y = f ( x) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 x2 cho x1 < α < x2 y ' = có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1 < α < x2 ∆' > ⇔ ( x1 −α)( x2 −α) < ∆' > ⇔ x1 x2 −α( x1 + x2 ) + α < b − 3ac >  ⇔  3a ( 3aα + 2bα + c ) < trang 12 Ví dụ 9: Cho hàm số y = x + ( m − 2) x + (5m + 4) x + 3m + có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 x2 cho x1 < < x2 Giải: Theo toán với α = , để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 x2 cho x1 < < x2 b − 3ac > (m − 2) − 5m + >  ⇔ 1 12 a + b + c < ( )  + 4( m − 2) + 5m + <  3a (m − 2) − 5m + > m − 9m + > ⇔ ⇔ 4 + 4(m − 2) + 5m + < 9m < m <  ⇔   m > ⇔ m < m <  Vậy m < đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị thỏa mãn toán Bài toán 10: Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 x2 cho x1 < x2 < α y ' = có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn x1 < x2 < α ∆' > ∆' >   ⇔ ( x1 −α) + ( x2 −α) < ⇔ x1 + x2 − 2α < ( x −α)( x −α) > x x − α ( x + x ) + α >   2  b − 3ac >   2b ⇔ − − 2α <  3a 1  3a ( 3aα + 2bα + c ) > trang 13 Ví dụ 10: Cho hàm số y = m x + (m − 2) x + (m − 1) x + , (m ≠ 0) có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 x2 cho x1 < x2 < Giải: Theo toán 10 với α = , để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 x2 cho x1 < x2 <  b − 3ac >   2b −2 < − a  1 ( 3a + 2b + c ) >  3a     m < −3m + > (m − 2) − m(m − 1) >  m <    −4m +   m <  2( m − 2) ⇔ < ⇔  ⇔ 5 ⇔ − −2   m ( m + 2m − + m − 1) >   m > / Vậy m < < m < đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị thỏa mãn toán Bài toán 11: Hàm số y = f ( x ) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 x2 cho α < x1 < x2 y ' = có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn α < x1 < x2 ∆' > ∆' >   ⇔ ( x1 −α) + ( x2 −α) > ⇔ x1 + x2 − 2α > ( x −α)( x −α) > x x −α( x + x ) +α >   2 trang 14  b − 3ac >   2b ⇔ − − 2α >  3a 1  3a ( 3aα + 2bα + c ) > 2 Ví dụ 11: Cho hàm số y = x − mx + (m − m + 1) x + có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 x2 cho < x1 < x2 Giải: Theo toán 11 với α = , để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 x2 cho < x1 < x2  b − 3ac > m − (m − m +1) >    2b −2 > ⇔ 2m − > −  3a  ( − 2m + m − m +1) > 1 ( 3a + 2b + c ) >  3a m > m − >   ⇔ m > ⇔ m < ⇔ m > m − 3m + > m >   Vậy m > đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị thỏa mãn toán − − − − − —– − − − − − trang 15 BÀI TẬP 2 Cho hàm số y = x + (m − 2) x + (5m + 4) x + m + có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 x2 cho x1 < −1 < x2 2 Cho hàm số y = x + (m + 3) x + 4(m + 3) x + m − m có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 x2 cho −1 < x1 < x2 2 Cho hàm số y = x − mx + (m − 3) x có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ dương Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + , ( m ≠ 0) có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hoành độ x1 x2 cho x1 < x2 < Cho hàm số y = x + mx − 3x có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại cực tiểu nằm phía trục hoành Cho hàm số y = x − 3x − mx + có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại cực tiểu nằm phía trục hoành Cho hàm số y = x + x + m có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trục hoành trang 16 PHẦN C KẾT LUẬN Qua đề tài “Một số toán liên quan đến cực trị hàm số bậc ba” Nhằm hệ thống lại khắc sâu số dạng toán tìm tham số để hàm bậc ba có hai cực trị có hoành độ âm, dương so sánh hai hoành độ điểm cực trị với số α Hoặc tìm tham số để hàm bậc ba có giá trị cực trị dương, âm hay trái dấu Làm sở cho học sinh trung học phổ thông có mối liên hệ kiến thức chương trình phổ thông vận dụng vào giải toán liên quan đến cực trị kỳ quốc gia tới Đây tài liệu nhằm giúp cho học sinh khối 12 chuẩn bị phần kiến thức cực trị hàm số bậc ba Trong viết chuyên đề này, chân thành cám ơn quý thầy cô giáo tổ đóng góp nhiều ý kiến giúp đỡ để chuyên đề hoàn thành Rất mong quý thầy cô tổ đồng nghiệp có nhiều ý kiến nữa, để chuyên đề lần sau viết tốt Chân thành cám ơn! Vinh Xuân, ngày 20 tháng 03 năm 2015 Người thực Đỗ Văn Sơn trang 17 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất Giáo Dục 2006 Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất Giáo Dục 2008 Giải tích 12, Nhà xuất Giáo Dục 2008 Nguyễn Phú Khánh, “ Khảo sát hàm số ứng dụng đạo hàm”, Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2013 www Violet.vn www.moet.edu.vn trang 18 NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA TỔ CHUYÊN MÔN NHẬN XÉT:…………………………… Vinh Xuân, ngày 20 tháng năm 2015 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… ………………………………………… Đỗ Văn Sơn ĐIỂM:………………………………… XẾP LOẠI: …………………………… TỔ TRƯỞNG NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH-SK CỦA ĐƠN VỊ NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH-SK NGÀNH GD&ĐT NHẬN XÉT:…………………………… NHẬN XÉT:……………………………… ………………………………………… …………………………………………… ………………………………………… …………………………………………… ………………………………………… …………………………………………… ………………………………………… …………………………………………… ĐIỂM:………………………………… ĐIỂM:………………………………… XẾP LOẠI: …………………………… XẾP LOẠI: …………………………… CHỦ TỊCH HĐ KH-SK CỦA ĐƠN VỊ CHỦ TỊCH HĐ KH-SK NGÀNH GD&ĐT trang 19 trang 20