Lý do chọn đề tài Nhắc đến cực trị của hàm số là nói đến những ứng dụng của nó trong chương trình toán phổ thông và ở lớp 12 nói riêng, khi biết được cực trị của đồ thị hàm số, do đó đề
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THỪA THIÊN HUẾ
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VINH XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA
( )
l
Lĩnh vực/môn: Toán học
Giáo viên môn: Toán
Vinh Xuân, tháng 3 năm 2015
Trang 2MỤC LỤC
Trang
Phần A - ĐẶT VẤN ĐỀ……… …… …… 2
1 Lý do chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu đề tài 3 Phạm vi nghiên cứu đề tài 4 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 5 Phương pháp nghiên cứu đề tài Phần B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ …….….……… …… … 3
1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT ……… ……… ………… 3
2 “MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA y f x ( ) ax3 bx2 cx d , ( a 0)” 4
3 BÀI TẬP……… … … …… .14
Phần C - KẾT LUẬN ……… 15
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 16
Trang 3PHẦN A ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Lý do chọn đề tài
Nhắc đến cực trị của hàm số là nói đến những ứng dụng của nó trong chương trình toán phổ thông và ở lớp 12 nói riêng, khi biết được cực trị của đồ
thị hàm số, do đó đề tài “Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc
ba ” đề cập đến vị trí hai giá trị cực trị của hàm bậc ba nằm phía trên trục
hoành , dưới trục hoành hay ở hai phía đối với trục hoành để suy ra được số giao điểm của đồ thị hàm bậc ba cắt trục hoành tại một, hai hay ba giao điểm Còn biết được các điểm cực trị của hàm số nằm bên trái, bên phải hoặc hai phía đối với trục tung thì ta suy ra được hoành độ các điểm cực trị đều âm, đều dương hay trái dấu nhau…
Mặt khác còn giúp cho chúng ta vẽ đồ thị của hàm bậc ba dễ dàng nếu biết hai cực trị của nó
2 Mục đích nghiên cứu đề tài
Đề tài “ Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba”
nhằm giúp học sinh hệ thống lại các mối quan hệ giữa cực trị của đồ thị hàm
số bậc ba và sự tương giao của nó với trục hoành, cũng như giúp cho học sinh khối 12 giải quyết một số bài toán tìm tham số để đồ thị hàm số có các hoành
3 Phạm vi nghiên cứu đề tài
- Chương trình toán trung học phổ thông
4 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài
Chuyên đề “ Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba”, cung
cấp cho học sinh về phương pháp tổng quát, kỹ năng và hệ thống các bài tập về cực trị của hàm số bậc ba, để chuẩn bị cho học sinh khối 12 khi gặp bài toán này giải một cách dễ dàng hơn
5 Phương pháp nghiên cứu đề tài
Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết.
Trang 4PHẦN B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Ta có y' 3 ax22bx c
2
y x y c x d
a a
,
x x x x
Gọi A x y( ; ); ( ; )1 1 B x y là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 2 2 yf x( )
Vì y x'( )1 y x'( ) 02 suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A B, là:
2
2 :
b bc
d y c x d
hay d y kx q: với
2
2
9
b
k c
a bc
q d
a
Tích giá trị cực đại và cực tiểu là
y y kx q kx q k x x kq x x q
2
2
1 2
2
k c bqk
a a
2
3
bk
y y kx q kx q k x x q q
a
2 3
bk
a
Trang 52 “ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC
yf x ax bx cx d a ”
Bài toán 1: Đồ thị hàm số y f x( )có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với
trục hoành khi và chỉ khi
2 2
2
1 2
' 0
2
b ac
k c bqk
a a
với
2
2
9
b
k c
a bc
q d
a
Ví dụ 1: Cho hàm số y x 3 3x2 mx m 2 có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị
Giải: Theo bài toán 1, để (Cm)có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục
hoành
2
2
2
1 2
' 0
2
b ac
k c bqk
a a
(1)
3
k m 2 3 4 32
3
m
hoành
Cách khác: Hoành độ giao điểm của (Cm)và trục hoành là nghiệm phương trình
x x mx m (x1)(x22x m 2) 0
2
1
x
x x m
2
g x x x m
Trang 6' 0 3 0
3
m
m
Bài toán 2: Đồ thị hàm số yf x( )có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía
đối với trục hoành khi và chỉ khi
1 2
' 0
y y
2 2
2
2
0
b ac
k c bqk
q
a a
với
2
2
9
b
k c
a bc
q d
a
Ví dụ 2: Cho hàm số y2x3 6x2 mx có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm)
của hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục hoành
Giải: Theo bài toán 2, để đồ thị (Cm)có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía
đối với trục hoành
2 2
2
1 2
' 0
2
b ac
k c bqk
a a
(2)
3
k m 2 6
m
2
6 6
6 2
3
m m
m
m m m m
m
trục hoành
Đặc biệt: Đồ thị (Cm)có một cực trị nằm trên trục hoành
Trang 71 2
6
2
m
m
m m
m
2
Bài toán 3: Đồ thị hàm số yf x( ) có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành
khi và chỉ khi
2
1 2
2
1 2
2
' 0
2
3
2
0
b ac bk
a
y y
k c bqk
q
a a
với
2
2
9
b
k c
a bc
q d
a
Ví dụ 3: Cho hàm số y2x3 6x2mx có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm)
của hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành
Giải: Theo bài toán 3, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành
2
2
1 2
2
' 0
2
3
2
0
b ac bk
a
y y
k c bqk
q
a a
(3)
3
k m 2 6
m
2
9 2
2 3
m
m
m m m m
Trang 8Vậy 9 6
Trang 9Bài toán 4: Đồ thị hàm số yf x( ) có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục hoành
khi và chỉ khi
2
1 2
2
1 2
2
' 0
2
3
2
0
b ac bk
a
y y
k c bqk
q
a a
với
2
2
9
b
k c
a bc
q d
a
Ví dụ 4: Cho hàm số y x 3 3x2 (m 6)x m 10 có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ
Giải: Theo bài toán 4, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm phía dưới trục
hoành là
2
1 2
2
1 2
2
' 0
2
3
2
0
b ac bk
a
y y
k c bqk
q
a a
(4)
3
k m 4( 9) 8 92
2
2
2
0
bk
a
q
a a
Trang 10
2
4
27
m
m
m m
9
9
18
18 0
m
m
m m
Bài toán 5: Hàm số yf x( ) có hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục
3
c
a
Ví dụ 5: Cho hàm số y x3(2m1)x2 (m2 3m2)x 4 có đồ thị (Cm)
Giải: Theo bài toán 5, để đồ thị (Cm)có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối
Bài toán 6: Hàm số y f x( )có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía đối với trục
2
2
1 2
3
b ac b ac c
a
Ví dụ 6: Cho hàm số 1 3 2
3
Trang 11Giải: Theo bài toán 6, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía đối với trục tung là
2
2
1
2
m
2
trục tung
Bài toán 7: Hàm số y f x( ) có hai điểm cực trị có hoành độ đều dương ( nằm
đều dương
2
2
1 2
2
3
0
>0
0 3
b ac b ac b
a
ac
a
Ví dụ 7: Cho hàm số y (m2)x33x2 mx 5 , (m 2)có đồ thị (Cm) Tìm
m để đồ thị (Cm)của hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ đều dương
Giải: Theo bài toán 7, để đồ thị (Cm)có hai cực trị có hoành độ đều dương là
0
m
m
Trang 12Bài toán 8: Hàm số yf x( ) có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm ( nằm phía
âm
2
2
2
3
0
>0
0 3
b ac
b ac b
a
ac
a
Ví dụ 8: Cho hàm số y x 3(1 2 ) m x2 (2 m x m) 2 có đồ thị (Cm) Tìm m
Giải: Theo bài toán 8, để đồ thị (Cm)có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm là
2
1
2
1 5
1 4
1 2
m
m
Vậy m thì đồ thị 1 (Cm)có hai điểm cực trị có hoành độ đều âm
Bài toán 9: Hàm số yf x( ) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1và x2 sao
' 0 ' 0
2
2
1
3
b ac
Trang 13Ví dụ 9: Cho hàm số 1 3 2
3
m để đồ thị (Cm)có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1và x2 sao cho
1 2 2
x x
Giải: Theo bài toán 9 với 2, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1và x2 sao cho x1 2x2 là
2
2
1
3
b ac
m m
a b c a
1
0 8
0
m
m m
m
Bài toán 10: Hàm số y f x( ) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1và x2
sao cho x1 x2 khi và chỉ khi y ' 0 có hai nghiệm x1và x2 thỏa mãn
x x
2
2
2
2
3 1
3
b ac b a
a b c a
Trang 14Ví dụ 10: Cho hàm số 3 ( 2) 2 ( 1) 2
3
m
y x m x m x , (m có đồ thị 0) (Cm)
1 2 1
x x
Giải: Theo bài toán 10 với 1, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có
hoành độ x1và x2 sao cho x1 x2 1 là
2
2 0 3
1
3
b ac b a
a b c a
2
2 0 1
m m m
m
m
m m m
m
4
0 0
1
0
5 / 4
m m
m m
m
m
Bài toán 11: Hàm số y f x( ) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1và x2
sao cho x1 x2 khi và chỉ khi y ' 0 có hai nghiệm x1và x2 thỏa mãn
x x
2
Trang 15
2
2
2
3 1
3
b ac b a
a b c a
Ví dụ 11: Cho hàm số 1 3 2 2
3
Giải: Theo bài toán 11 với 1, để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1và x2 sao cho 1 x 1 x2 là
2
2
2
3
1
3
b
m a
a
2
1
1 0
2
m m
m
m m
Trang 163 BÀI TẬP
3
x x
3
m để đồ thị (Cm)có hai điểm cực trị lần lượt có hoành độ x1và x2 sao cho
3 Cho hàm số 1 3 1 2 2
4 Cho hàm số y x 3(1 2 ) m x2 (2 m x m) 2, (m 0) có đồ thị (Cm)
cho x1 x2 1
5 Cho hàm số y4x3mx2 3x có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm)có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục hoành
6 Cho hàm số y x 3 3x2 mx2 có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm)có cực đại và cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục hoành
7 Cho hàm số y x 33x2 m có đồ thị (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm)có hai điểm cực trị nằm phía trên trục hoành
Trang 17PHẦN C KẾT LUẬN
Qua đề tài “Một số bài toán liên quan đến cực trị của hàm số bậc ba” Nhằm
hệ thống lại và khắc sâu một số dạng toán tìm tham số để hàm bậc ba có hai cực trị lần lượt có hoành độ âm, dương và so sánh hai hoành độ của điểm cực trị với một
đều âm hay trái dấu
Làm cơ sở cho học sinh trung học phổ thông có mối liên hệ giữa các kiến thức trong chương trình phổ thông và vận dụng vào giải bài toán liên quan đến cực trị trong kỳ quốc gia sắp tới
Đây cũng là tài liệu nhằm giúp cho học sinh khối 12 chuẩn bị một phần kiến thức về cực trị của hàm số bậc ba
Trong khi viết chuyên đề này, tôi chân thành cám ơn quý thầy cô giáo trong tổ
đã đóng góp nhiều ý kiến giúp đỡ để chuyên đề được hoàn thành Rất mong quý thầy cô trong tổ và đồng nghiệp có nhiều ý kiến hơn nữa, để chuyên đề lần sau tôi viết tốt hơn
Chân thành cám ơn!
Vinh Xuân, ngày 20 tháng 03 năm 2015
Người thực hiện
Đỗ Văn Sơn
Trang 18DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Đại số 10 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục 2006
2 Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008
3 Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo Dục 2008
4 Nguyễn Phú Khánh, “ Khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm”, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2013.
5 www Violet.vn
6 www.moet.edu.vn
Trang 19NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
CỦA TỔ CHUYÊN MÔN
NHẬN XÉT:………
………
………
………
………
ĐIỂM:………
XẾP LOẠI: ……….
TỔ TRƯỞNG Vinh Xuân, ngày 20 tháng 3 năm 2015 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác. (Ký và ghi rõ họ tên) Đỗ Văn Sơn NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH-SK CỦA ĐƠN VỊ NHẬN XÉT:………
………
………
………
………
ĐIỂM:………
XẾP LOẠI: ……….
CHỦ TỊCH HĐ KH-SK CỦA ĐƠN VỊ NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI CỦA HỘI ĐỒNG KH-SK NGÀNH GD&ĐT NHẬN XÉT:………
………
………
………
………
ĐIỂM:………
XẾP LOẠI: ……….
CHỦ TỊCH HĐ KH-SK NGÀNH GD&ĐT