SKKN rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM, GĨP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ƠN TẬP THI THPT QUỐC GIA TẠI TRƯỜNG THPT NHƯ THANH Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm Tổ: Toán - Tin Trường: THPT Như Thanh SKKN thuộc mơn Tốn THANH HĨA, NĂM 2019 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2.NỘIDUNGSÁNGKIẾNKINHNGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng 2.3 Giải vấn đề 2.3.1 Cơ sở lý thuyết 2.3.2 Một số dạng toán hàm số f (x), f u(x) é ù ë û ê biết đồ thị ú hàm số f '(x) 2.4 Một số tập trắc nghiệm vận dụng 23 2.5 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 25 3.KẾTLUẬN,KIẾNNGHỊ 26 3.1 Kết luận 26 3.2 Kiến nghị 26 TÀILIỆUTHAMKHẢO 27 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong công đổi toàn diện giáo dục nước nhà, đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng hàng đầu Đổi phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt tính tích cực, sáng tạo người học Nhưng thay đổi phương pháp hoàn toàn lạ mà phải trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, đạo hàm công cụ mạnh để giải nhiều toán Giữa hàm số f ( x ) đạo hàm f '( x ) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Đạo hàm hàm số việc biểu diễn dạng cơng thức cịn thể qua đồ thị, việc dựa vào đồ thị hàm số f '( x ) để tìm tính chất hàm số f ( x ) giúp ta giải nhiều tốn khó Từ năm học 2016- 2017, Bộ GD&ĐT thay đổi từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm mơn Tốn, xuất đề thi nhiều tốn có giả thiết cho đồ thị bảng biến thiên hàm số f '( x ) yêu cầu tính chất hàm số f ( x ) Đây yêu cầu mẻ học sinh, để giải dạng tốn học sinh cần phải nắm vững kiến thức hàm số, đạo hàm ứng dụng Xuất phát từ lý trên, chọn đề tài “Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT Quốc Gia trường THPT Như Thanh” để nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Đê tai nghiên cưu nhằm giup hoc sinh giai quyêt tôt cac bai toan vận dụng, vận dụng cao vê hàm số f ( x ), f u ( x ) biết đồ thị hàm số f '( x ) 1.3 Đối tượng nghiên cứu Sang kiên kinh nghiêm co đôi tương nghiên cưu la vận dụng số lý thuyết chương trình SGK lớp 12 để giải cac bai toan đơn điệu, cực trị, GTLN-GTNN hàm f u( x ) biết đồ thị hàm số f '( x ) 1.4 Phương pháp nghiên cứu Đê trinh bay sang kiên kinh nghiêm nay, đa sử dung phôi kêt hơp nhiêu phương phap như: -Nghiên cưu tai liêu, quan sát, điều tra bản, thưc nghiêm so sanh, phân tich kêt qua thưc nghiêm, … phù hơp vơi môn hoc thc lĩnh vưc Tốn hoc - Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Nghị Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực " Mọi người cần phải học tốn dùù̀ng tốn sống hàng ngày Vì mà Tốn học có vị trí quan trọng tất lĩĩ̃nh vực đời sống xã hội Hiểu biết Toán học giúp cho người ta tính tốn, suy nghĩĩ̃, ước lượng, có cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩĩ̃, suy luận lôgic, giải vấn đề nảy sinh, học tập sống hàng ngày Ở trường phổ thơng, học tốn hoạt động giải toán Giải toán liên quan đến việc lựa chọn áp dụng xác kiến thức, kỹ bản, khám phá số, xây dựng mơ hình, giải thích số liệu, trao đổi ý tưởng liên quan, Giải toán địi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống Học toán giải toán giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp Kiến thức mơn Tốn cịn ứng dụng, phục vụ cho việc học mơn học khác Vật lí, Hóa học, Sinh học, Do đó, trường phổ thơng nói chung, việc dạy học mơn Tốn để đáp ứng yêu cầu đổi giai đoạn phải tập trung vào việc hình thành phát triển lực chung lực chuyên biệt mơn Tốn như: Năng lực tư (gồm: tư lôgic; tư phê phán; tư sáng tạo; khả suy diễn, lập luận toán học), Năng lực tính tốn (gồm: lực sử dụng phép tính; lực sử dụng ngơn ngữ tốn; lực mơ hình hóa; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện hỗ trợ tính tốn) 2.2 Thực trạng Trong q trình dạy học trường THPT Như Thanh nhiều năm tơi nhận thấy việc học mơn tốn học sinh khó khăn, đặc biệt toán hàm số f ( x ) biết đồ thị hàm số f '( x ) Các em đâu, vận dụng kiến thức liên quan nào… Chính khó khăn ảnh hưởng khơng nhỏ đến chất lượng học tập mơn Tốn, dẫn đến em khơng có hứng thú việc học mơn Tốn Khi chưa áp dụng nghiên cứu đề tài để dạy học giải tập hàm số f ( x ) biết đồ thị hàm số f '( x ) , em thường thụ động việc tiếp cận toán phụ thuộc nhiều vào cách giải mà giáo viên cung cấp chưa chủ động việc giải toán dạng Kết khảo sát số lớp chọn khối A trường có 10% học sinh hứng thú với dạng toán 2.3 Giải vấn đề Năm học 2017-2018 năm học thứ hai mơn Tốn thi hình thức trắc nghiệm, mã đề 101 có tốn sau: Cho hai hàm số y f x , y g x Hai hàm số y f x y g x có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y g x y y f x 10 O x 1011 y g x Hàm số h x f x g 2x A 5; 31 B đồng biến khoảng đây? C 31 ;3 ; (Trích câu 50 đề thức thi THPT Quốc gia 2018) Đây tốn tương đối khó với em học sinh phổ thơng, kể học sinh có học lực giỏi Cái khó khăn bái tốn việc tìm mối liên hệ hai điều kiện đồ thị hàm số f '( x ), g '( x ) tính đơn điệu hàm h ( x ) Sau số cách giải tốn Ta có h x Cách 1: Đặt X x , Y 2x f X 2g Y Để hàm số h x f x g 2x f X 2g Y x 2x x 19 x Cách 2: Kẻ đường thẳng a 8;10 Khi ta có: f x g Do h x 2x đồng biến h x x 2x 9 19 ;3 x Vì 4 X ,Y 3;8 với 19 y 10 5, 2x 2x 19 ; Vậy, chọn B 4 cắt đồ thị hàm số y f x A a;10 , 10, x a fx g f 11 x g 2x x 10, x 3 5, x 25 Vậy, chọn B Cách 3: Ta có h x f x 2g Suy h biến Dựa vào đồ thị, x 2x , 2 x 2x 25 ;3 , ta có x 7, 4 g f x f x 2g 2x 0, f x f 10 ; x ;3 Do hàm số đồng ;3 Vậy, chọn B Rõ ràng tốn có nhiều hướng để giải quyết, nhiên học sinh khơng có kỹ đọc đồ thị hàm số đạo hàm khó khăn Trong năm học 2016- 2017 năm tổ chức thi hình thức trắc nghiệm với mơn Tốn, đề thi thức mã đề 101 có toán sau: Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ¢(x) hình bên Đặt h(x) = 2f (x) - x2 Mệnh đề ? y -2 - 22 x A h(4) = h(- 2) > h(2) B h(4) = h(- 2) < h(2) C h(2) > h(4) > h(- 2) D h(2) > h(- 2) > h(4) (Trích câu 49 đề thức thi THPT Quốc gia 2017) Giả i fx x Ta có: h¢(x) = 2f ¢(x) - 2x + Tính đạo hàm: h x h¢x f ¢x x ( )=2( )- f ¢x x ()=0Û2()-2=0Û ( ) = + Vẽ thêm đường thẳng y = x vào đồ thị hình bên y ê éx =-2 -2 ¢( )=0Û ê =2 hx êx ê (tại giao điểm đường 24 x -2cong đường thẳng hình) êx = ë é h¢(x) > Û 2f ¢(x) - 2x > Û -2 0, " x ẻ K thỡ hàm số y = f ( x) đồng biến K + Nu f Â(x) < 0, " x ẻ K hàm số y = f ( x) nghịch biến K Định lý mở rộng: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm K Nếu £ 0, " x Ỵ K ) f x số hữu hạn f ¢(x) ³ 0, " x Ỵ K (hoặc f ¢(x) điểm hàm số y = f ( x) đồng biến (nghịch biến) K Định lý 2:: Giả sửử̉ hàm số f x f x 0 có cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm Định lý 3: Giả sửử̉ hàm số y f x liên tục khoảng K x0 h; x0 h có đạo hàm K K \ x0 , với h x0 ; x0 h x0 a Nếu f ' x khoảng x0 h; x0 f ' x khoảng điểm cực đại hàm số f x b Nếu f ' x khoảng x0 h; x0 f ' x khoảng x0 ; x0 h x0 điểm cực tiểu hàm số f x 2.3.1.3 Một số phép biến đổi đồ thị hàm số - Cho hàm số y f x có đồ thị C Đồ thị hàm số C : y f x a suy từ đồ thị C cách tịnh tiến đồ thị C theo phương trục hoành đoạn a Nếu a tịnh tiến đồ thị C qua phải a đơn vị a tịnh tiến đồ thị C qua trái a đơn vị - Cho hàm số y f x có đồ thị C Đồ thị hàm số C : y f x b suy từ đồ thị C cách tịnh tiến đồ thị C theo phương trục tung đoạn b Nếu b tịnh tiến đồ thị C xuống b đơn vị b tịnh tiến đồ thị C lên b đơn vị - Cho hàm số y ( C3 ) : y = f ( f x có đồ thị C Đồ thị hàm số ì x > suy từ đồ thị hàm số ï f(x) x ) =í f (- x ) ï ï ỵ x £ C cách: + Giữ nguyên phần đồ thị C nằm bên phải trục Oy bỏ phần C nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị C nằm bên phải trục Oy qua Oy - Cho hàm số y f x ( C3 ) : y = f ( x) có đồ thị C Đồ thị hàm số ì ï f ( x ) f ( x) >0 =í ( x ) f ( x) £ ï- f suy từ đồ thị hàm số C cách: ï ỵ + Giữ ngun phần đồ thị C nằm Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị C nằm Ox qua Ox bỏ phần đồ thị C nằm trục Ox 2.3.1.4 Một số ứng dụng tích phân a Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x liên tục, trục f x dx S b hoành hai đường thẳng x a ; x b tính theo cơng thức: a b Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y g x Cho hai hàm số y f x liên tục đoạn a;b Khi diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x a , x b S f x g x b f x,y g x hai đường thẳng dx a é 2.3.2 Một số dạng toán hàm số ù ê f (x), f u(x) biết đồ thị hàm ú ë û số f '(x) é ù Dạng 1: Xét tính đơn điệu, cực trị hàm số f (x), f u(x) biết đồ thị êë úû y fx hàm số f '(x) Với dạng ta thường gặp dạng tốn sau đây: Bài toán: Cho hàm số xác định, liên tục hàm y có đồ thị đạo f x hình vẽ cho trước Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, é ù cực trị hàm số y = f ë ( x)û ú Để giải toán ta thường thực theo bước sau: Bước 1: Từ đồ thị hàm số y f x tìm nghiệm phương trình f ¢(x) = (hoành độ giao điểm đồ thị hàm f x với trục Ox ) Giả sửử̉ có nghiệm é là: x x1, x x2, Bước u x f 2: Tính u x đạo hàm hàm u x f u y=fu ê ë ( x û x u x x1 ux0 số ù u x x2 nghiệm xi (i 1, n) )ú giải phương trình Vậy, £ m < hàm số y = f (x2 + m) có cực trị Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm y = f ¢(x) Hàm số g( x) = f ( x ) + 2019 có điểm cực trị? y = f '(x) Giải + Ta có f '( x) = có nghiệm thực x = a < 0; x = b > 0; x = c > f '( x) > khoảng (a;b) ( c;+¥ ) f '( x) < khoảng (- ¥ ;a) ( b;c) + Bảng biến thiên: + Vì hàm số y = f ( x) có cực trị có cực trị có hồnh độ dương + Thực biến đổi đồ thị hàm số dạng y = f ( x ) Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung, lấy đôi xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung (hình vẽ đây) đồ thị hàm số y = f ( x ) y = f ( x) + Ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) có cực trị, suy đồ hàm số g( x) = f =f ( x ) + m có cực trị với giá trị m Vậy, hàm số g( x) ( x ) + 2019 có cực trị 14 Ví dụ 9: Cho hàm số f x có đạo hàm , đồ thị hàm số y f x hình vẽ bên, f a Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x) ? y f x O a b c x Từ đồ thị hàm số y = Giải.: x y, f '( x) ta có bảng biến thiên sau: b c a - + - + f ( b) y f ( a) f ( c) Đề suy đồ thị hàm số y = f ( x) ta cần phải so sánh hai giá trị f ( a ) , f ( c) dấu chúng Ta có: f ( c ) - c b c f ( a ) = ò f ' ( x ) dx = ò f '( x ) dx + ò f ' ( x ) dx > Þ f (c ) > f ( a) > a a b đồ thị f ( x) Do đó, đồ thị hàm số f ( x) nằm phía trục ox với xÞ đồ thị f ( x) Vậy, đồ thị hàm số f ( x) có điểm cực trị Ví dụ 10: Cho hàm số y f x f 49 ; f xác định có f ; Biết hàm số y trị đồ thị hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực x 12 2f x Giải Nhận xét: Số cực trị hàm số y f x số cực trị hàm số y f x cộng với số giao điểm đồ thị hàm số y f x với trục hoành Đặt g ( x ) f x Ta có: h ' x 2f'x x 12, x 2x h x h'x 2f x f'x x 12, x x (*) 15 Dự vào đồ thị, nghiệm phương trình (*) hồnh độ giao điểm đồ thị x y f x đường thẳng y x 1, x ta có: * x x Ta có bảng biến thiên hàm số h x sau: Ta có: h2 2f 2 12 f (2) h f 33 f h4 2f 4 12 Suy h x f có hai nghiệm phân biệt x1 3; x2 3; Vậy, hàm số g x hx có điểm cực trị Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, so sánh giá trị hàm f (x) biết đồ thị hàm số f '(x) Cơ sở phương pháp toán dạng tốn trình bày dạng Sau ta xét số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho hàm số f x có đạo hàm f x Đồ thị hàm số y f x cho hình vẽ đây: Biết f f f f Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y f x đoạn 1; Giả Từ đồ thị hàm số y f x i ta có bảng biến thiên hàm số y f x đoạn 1; sau: 16 Nhận thấy: f x f (1) 1; Để tìm Max f x 1; Theo giả thiết, ta so sánh f ( 1) f (2) f f 0f f 2f f f f Từ bảng biến thiên , ta có f f Do f f f f Hay max f x f Vậy, hàm số đạt 1;2 giá trị nhỏ x giá trị lớn x Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ¢(x) Đồ thị hàm số y = f ¢(x) cho hình vẽ bên Biết ff( 0) + (3) = ff(2) + (5) Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y f x đoạn 0;5 Giải é + Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x) êë0;5úû + Từ bảng biến thiên ta thấy f x f (2) 0;5 + Để tìm Max f x ta so sánh f (0) f (5) + Ta có: ff( )0 + () 0;5 Hay max f x f = ff + () Þ ff () ( ) = ff () () () < Þ ff < () () Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ x giá trị lớn 0;5 x 17 Ví dụ : Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ , đồ thị hàm số y = f (x) hình vẽ bên Tìm giá trị x ¢ đề hàm số đạt giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y f x đoạn a ; c Giải : Từ đồ thị hàm số y = f ¢ (x) ta có bảng biến thiên sau: Max f x f (b) Để tìm giá trị nhỏ ta so Dựa vào bảng biến thiên ta thấy a ; c sánh hai giá trị f (a);f(c) Tuy nhiên khó tốn so với ví dụ trước khơng có kiện để ta so sánh, ta phải dựa vào dấu hiệu diện tích hình b phẳng Bằng trực quan ta thấy Hay b é ù êa;bú lớn hình phẳng giới hạn êb;cúnên c ë û b ë û c a) = ị f ¢( x)dx = ị f ¢( x )dx + ũf Â(x )dx > ị f ( c) > f ( a) a f x x)dx > 0; ịf ¢(x)dx < diện tích hình a é phẳng giới hạn Ta có f ( c) - f ( ị f ¢( c f a a b Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ x a giá trị lớn a ; c x b Ví dụ : Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ¢(x) Đồ thị hàm số y = f ¢(x) cho hình vẽ bên Biết () ff + () - 2ff = () 4-f () ( ) So sánh giá trị ff(0); (2); f(4) 18 Giải : é Từ đồ thị suy bảng biến thiên êë0;4úû Dựa vào BBT ta có f ( ) lớn ba giá trị cần so sánh Ta lại có: ff < (2); ff < 2Þ () () () ff + < 2ff Û () () - ff - ( () ) 3>0 () () Theo giả thiết: ff + () - 2ff = () () - ff Û () () - ff = 2 - ff () () () > Þ ff > () () () () Vậy, ff(4) < (0) g ( () x +1 dx < Þ g )û ) é ( ë ( ) )ù ) û f 'x - x dx = - f ' ò ( g òë ) ( ( ë f ' x - x +1 dx > Þ g > g - é ( ) ( ù () () ò ) -3 ) ( é( x ( ù - x + dx = é( ) ( f )û - < g1 ò ë 'x ) - ù x+1 dx + é( ) ( òë )û f' x - -3 g Vậy, ta có: g g Dạng 3: Tìm số giao điểm, số nghiệm phương trình liên quan đến hàm f (x) biết đồ thị hàm số f '(x) Ví dụ 1: Cho hàm số f (x) có đạo hàm , đồ thị hàm số y f (x) hình vẽ Biết f ( a ) , tìm số giao điểm đồ thị hàm số y f ( x ) với trục hoành Giải +) Từ đồ thị ta thấy f '( x ) x x a b qua nghiệm trên, đạo hàm đổi x c dấu nên hàm số f ( x ) có điểm cực trị +) Ta có bảng biến thiên: Nhận thấy, f ( a ) f ( c ) giá trị nhỏ hàm số y f ( x ) (1) Do đó, để tìm số giao điểm đồ thị hàm số y f ( x ) với trục hoành ta cần phải so sánh f (a) f (c) biết dấu chúng 20 ) x +1 b Ta có: S1 c f '( x ) dx f ( x ) b a b c f ( b ) f a ; S 2f '( x ) dx f ( x ) a f(b) f c b Ta thấy S1 S f (b ) f ( a ) f (b ) f (c ) f ( a ) f (c ) f ( a ) f ( c ) , f ( a ) (2) Từ (1) (2) suy đồ thị hàm số y f ( x ) nằm hồn tồn phía trục hồnh hay đồ thị hàm số y f ( x ) khơng cắt trục hồnh Ví dụ 2: Cho hàm số y f x có đồ thị hàm số y f x hình bên Biết f a Phương trình f x có nhiều nghiệm? y a b O c x Giải: Từ đồ thị hàm số y = f '( x) x y, - a ta có bảng biến thiên sau: b c +0 - + f ( b) y f ( a) c b f ( c) c f ( c ) - f ( a ) = ò f ' ( x ) dx = ò f ' ( x ) dx + ò f ' ( x ) dx < a a Þ f ( c ) < f ( a) b Do f ( a) > nên ta có: f ( x) = vơ nghiệm Nếu f ( c) > phương trình Nếu f ( c) = phương trình f ( x) = có nghiệm Nếu f ( c)