SKKN rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh một số bài toán thể tích khối đa diện

Lí do chọn đề tài - Nghị Quyết số 29-NQ/TW của Trung ương Đảng ban hành ngày4/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo có nêu rõ nhiệm vụ,giải pháp: ‘‘Tiếp tục đổi mới m

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT TƯƠNG DƯƠNG 2

MỤC LỤC

2

B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN. 4

4 1 Tính trực tiếp thể tích khối đa diện và bài

toán liên quan

10

5 2 Tính thể tích bằng phương pháp gián tiếp 22

6 3 Vận dụng bài toán thể tích để giải các bài

1 Lí do chọn đề tài

- Nghị Quyết số 29-NQ/TW của Trung ương Đảng ban hành ngày4/11/2013 về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo có nêu rõ nhiệm vụ,giải pháp: ‘‘Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiệnđại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năngcủa người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc Tậptrung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tựcập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực Chuyển từ học chủyếu trên lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng…”

- Luật giáo dục sửa đổi năm 2019, tại Điều 29 Yêu cầu về phương phápgiáo dục Phổ thông có ghi: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phát huy tính tíchcực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc trưng từng mônhọc, lớp học và đặc điểm đối tượng học sinh; bồi dưỡng phương pháp tự học,hứng thú học tập, kỹ năng hợp tác, khả năng tư duy độc lập; phát triển toàn diệnphẩm chất và năng lực của người học; tăng cường ứng dụng công nghệ thông tin

và truyền thông vào quá trình giáo dục”

- Đất nước chúng ta đang trên đà đổi mới và phát triển đòi hỏi cấp bách phảinâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo Trong công cuộc đổi mới đó Toán học

là môn khoa học cơ bản và chiếm một vị trí rất quan trọng giúp các em học sinhphát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo Để làm được điều đó mỗi Giáo viêncần “ Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở đểngười học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực sángtạo…”

- Trong chương trình môn Hình học 12, thể tích khối đa diện là một trongnhững chủ đề trọng tâm, đa dạng, có tính ứng dụng thực tiễn khá cao Các bàitoán liên quan đến chủ đề này có thường tính trừu tượng Vì vậy, nó gây không

ít khó khăn cho các em học sinh đặc biệt là các học sinh miền núi nơi có tỷ lệđầu vào thấp; các bài toán chủ đề này xuất hiện nhiều trong các kỳ thi chọn họcsinh giỏi tỉnh lớp 12 và kỳ thi THPT quốc gia ở nhiều cấp độ khác nhau Thực tếdạy học cho thấy nhiều giáo viên khi dạy học còn nặng về khâu truyền thụ kiếnthức, các kiến thức đưa ra hầu như là sẵn có, ít yếu tố tìm tòi phát hiện, chưa chútrọng nhiều về việc dạy học sinh cách học, do đó chưa phát triển được tư duysáng tạo cho học sinh Thông thường thì các em học sinh mới chỉ giải quyết trựctiếp các bài tập toán mà chưa khai thác được tiềm năng của bài toán đó Họcsinh chỉ có khả năng giải quyết vấn đề một cách rời rạc mà ít có khả năng xâuchuỗi chúng lại với nhau thành một hệ thống kiến thức lớn Chính vì vậy việcrèn luyện kỹ năng giải bài tập kết hợp bồi dưỡng, phát triển tư duy tương tự hóa,khái quát hóa,… là rất cần thiết đối với học sinh phổ thông Việc làm này giúpcác em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả năng nhìn nhận, phát hiệnvấn đề nhanh và giải quyết vấn đề có tính lôgic và hệ thống cao Để học tốt chủ

đề này người học ngoài việc nắm vững hệ thống kiến thức cơ bản thì cần cóthêm nhiều kỹ năng giải, có khả năng tưởng tượng, có tư duy độc lập và tư duysáng tạo Với đối tượng học sinh miền núi, nếu trong quá trình dạy học ngườidạy biết cách tạo cho học sinh có niềm tin để chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹnăng, khai thác và sáng tạo ra các bài toán về thể tích khối đa diện từ những kiếnthức cơ bản, bài tập đơn giản thì không những giúp các em học tập có hiệu quả

mà còn tạo hứng thú học tập cho các em học sinh, và còn góp phần quan trọngtrong việc rèn luyện và bồi dưỡng năng lực tư duy sáng tạo cho người học

Từ thực trạng và những lý do nêu trên, với sự chỉ đạo trực tiếp của thầy hiệutrưởng nhà trường, chuyên môn toán chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên

cứu (SKKN) là: “Rèn luyện kỹ năng giải toán và Phát triển năng lực sáng

tạo cho học sinh miền núi qua việc luyện tập cho học sinh một số bài toán thể tích khối đa diện”

2 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu, phân tích, đánh giá tình hình thực tế trong giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT Tương Dương 2 Trên cở sở những ưu khuyết điểm đề ra giải pháp thực hiện Đồng thời rút ra bài học kinh nghiệm từ thực tế

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Tìm hiểu phương pháp dạy của giáo viên, cách học của học sinh ở các lớpđại trà , lớp ôn thi TN THPT QG và ôn thi học sinh giỏi môn toán tại trường THPT Tương Dương 2

4 Mục tiêu đề tài:

Đối với giáo viên:

+ Ôn thi học sinh giỏi môn Toán

trong cuộc sống ở nhiều khía cạnh khác nhau một cách năng động và sáng tạohơn

5 Nội dung nghiên cứu của đề tài

Ngoài phần đặt vấn đề và kết luận đề tài gồm các phần chính như sau

I Cơ sở lý luận và thực tiễn

2 Bài toán tính gián tiếp thể tích khối đa diện

3 Vận dụng thể tích để giải các bài toán khác

4 Thực nghiệm sư phạm

6 Các phương pháp nghiên cứu chính

+ Điều tra tìm hiểu việc dạy và học ở các lớp ôn thi TN THPT QG

+ Dự giờ rút kinh nghiệm giảng dạy

+ Tham khảo các bài viết, các ý kiến trao đổi về việc dạy và học toán trong các cuộc thảo luận về đổi mới phương pháp giảng dạy, trong các tài liệu vàsách tham khảo về bộ môn toán

7 Tổng quan về đề tài và tính mới của đề tài

7.1 Tổng quan về đề tài

Từ một số bài toán đơn giản xây dựng được các bài toán mới, bài toán thực tiễn nhằm giúp học sinh không những ôn tập tốt phần thể tích khối đa diện mà còn biết vận dụng vào các bài toán thực tế trong cuộc sống

7.2 Tính mới của đề tài

Đề tài đã tạo cho đối tượng học sinh yếu, trung bình và khá non có niềm tin

để chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, khai thác và sáng tạo ra các bài toán

về thể tích khối đa diện từ những kiến thức cơ bản, bài tập đơn giản Ngoài ra đềtài còn góp phần bồi dưỡng cho đối tượng học sinh khá giỏi cách tư duy độc lập,phát triển năng lực sáng tạo từ đó góp phần nâng cao chất lương dạy học môn Toán và rút ngắn khoảng cách giữa miền núi với miền đồng bằng

B NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

I.1 Cơ sở lý luận

I.1.1 Khái niệm kỹ năng

Kỹ năng là khả năng thực hiện một hành động với kết quả được xác định

thường trong một khoảng thời gian cùng năng lượng nhất định hoặc cả hai

I.1.2 Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là khả năng vận dụng có mục đích những tri thức và kinh

nghiệm đã có vào giải những bài toán cụ thể, thực hiện có kết quả một hệ thống hành động giải toán để đi đến lời giải của bài toán một cách khoa học

Khi dạy học để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh cần:

- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mỗi quan hệ giữa chúng;

- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết bài tập, các đối tượng cùng loại;

- Xác lập được mối liên hệ giữa bài tập mô hình với khái quát với kiến thức tương ứng

I.1.3 Khái niệm về năng lực

Theo moddun3 bồi dưỡng giáo viên Toán THPT, chương trình giáo giáo

dục phổ thông năm 2018“Năng lực là thuộc tính cá nhân được hình thành, phát

triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập , rèn luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,…thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”.

Như vậy nói đến năng lực là nói đến cái gì đó tiềm ẩn bên trong một cánhân, một thứ phi vật chất Song nó được thể hiện qua hành động và đánh giáđược nó thông qua kết quả của hoạt động

Thông thường một người được gọi là có năng lực nếu người đó nắm vữngtri thức, kỹ năng, kỹ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt kết quả cao hơn,tốt hơn so với trình độ trung bình của những người khác cùng tiến hành hoạtđộng đó trong những điều kiện tương đương

I.1.4 Năng lực Toán học

Năng lực Toán học được đánh giá trên hai phương diện: Năng lực nghiên

cứu toán học và năng lực học tập toán học.

Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng đượccác yêu của của hoạt động toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng,

kĩ xảo trong lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc trong nhữngđiều kiện ngang nhau

Cấu trúc của năng lực toán học:

- Về mặt thu nhập thông tin

- Chế biến các thông tin đó

- Lưu trữ thông tin

- Thành phần tổng hợp chung

Năng lực sáng tạo thể hiện ở những khả năng sau:

- Khả năng phát hiện ra những điểm tương đồng, khác biệt cũng nhưmối liên hệ giữa nhiều sự vật, hiện tượng khác nhau trong đời sống

- Khả năng tìm tòi, phát hiện ra những vấn đề mới, những giải phápmới dựa trên những kiến thức, kinh nghiệm đã có hay những hạn chế, bất cập

- Khả năng giải quyết vấn đề bằng nhiều con đường, cách thức khácnhau; phân tích, đánh giá vấn đề ở nhiều phương diện, góc nhìn khác nhau.

- Khả năng phát hiện ra những điều bất hợp lí, những bất ổn haynhững quy luật phổ biến trong những hiện tượng, sự vật cụ thể dựa trên sự tinh

tế, nhạy cảm và khả năng trực giác cao của chủ thể

Để phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh có nhiều cách, tuy nhiên ở đâychúng tôi chú trọng phát triển cho học sinh ở khả năng: Năng lực tư duy, Nănglực tìm tòi cách giải, năng lực tìm tòi để sáng tạo ra bài toán mới (Bài toántương tự, bài toán đảo, bài toán tổng quát, bài toán đặc biệt… )

I.1.5 Cơ sở lý thuyết

=

+ h: Độ dài chiều cao khối chóp

1.2 Thể tích khối lăng trụ: V S h = đáy

+ h: chiều cao khối chóp

* Lưu ý: Lăng trụ đứng có chiều cao chính là cạnh bên.

1.3 Thể tích khối hộp chữ nhật: V a.b.c =

1.4 Thể tích khối lập phương: V a = 3

* Chú ý:

2

2) Công thức hình phẳng

2.1 Hệ thức lượng trong tam giác

a) Cho Δ ABC vuông tại A, đường cao AH

AH = AB + AC

 AB BC.sin C BC.cos B AC.tan C AC cot B = = = = =

b) Cho có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là m , m , m a b c; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p

 ∆ ABC vuông tại A: S AB.AC BC.AH

+) a, b, c là các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng A, B, C

+) R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

+) r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

+)

2

a b c

P= + +

là nửa chu vi của tam giác

b) Hình vuông: S a = 2 (a: cạnh hình vuông)

c) Hình chữ nhật: S ab = (a, b: hai kính thước)

d) Hình bình hành: S =đáy×ch.cao =AB.AD sin ∠BAD

e) Hình thoi: S AB AD BAD AC.BD

2

1 sin

g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S 1AC.BD

2

=

I.2 Cơ sở thực tiễn

I.2.1 Thuận lợi

- Ban giám hiệu có 3 người thì có 2 người là chuyên môn Toán, luôn quantâm, chỉ đạo sát sao việc dạy học bộ môn Toán của nhà trường

- Chúng tôi thường xuyên trao đổi về phương pháp dạy học nhằm nâng caochất lượng học tập của học sinh

I.2.2 Khó khăn

- Trường THPT Tương Dương 2 đóng trên địa bàn huyện miền núi caoTương Dương Tương Dương là một huyện nghèo, người dân chủ yếu đang lokiếm cái ăn chứ chưa thực sự chăm lo đến việc học của con cái Giao thôngkhông thuận lợi, đa số học sinh đi học xa nhà phải ở trọ nên việc quản lý các emhọc cũng gặp nhiều khó khăn

- Song song với điều kiện về hoàn cảnh, vị trí địa lý thì Thể tích khối đadiện là một chủ đề trừu tượng, nhiều em cảm thấy không thích học chủ đề này

I.2.3 Thực trạng của đề tài

- Tỷ lệ đầu vào của trường thấp, khả năng tiếp thu cảu học sinh không

đồng đều, một số giáo viên còn ngại đưa vào yếu tố sáng tạo khi dạy học luyệntập toán cho các em

- Trong giảng dạy nếu đơn thuần chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản mà quên

đi hoạt động tìm tòi, sáng tạo, nghiên cứu thì bản thân người giáo viên sẽ bị maimột kiến thức và học sinh cũng bị hạn chế khả năng suy luận, tư duy sáng tạo

- Một số học sinh mang khuynh hướng học đối phó để thi nên không hiểusâu, hiểu rộng vấn đề nào đó của toán học

I.2.4 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Để các em học tốt phần thể tích trước hết phải làm cho các em có niềm

tin, hứng thú để học tập Muốn vậy, trước hết hãy bám sát đối tượng để dạy kiếnthức phù hợp

- Giáo viên phải khéo léo dẫn dắt, hướng dẫn để học sinh tìm tòi, sáng tạotrong việc tìm lời giải cũng như sáng tạo bài toán mới từ những bài toán đơngiản, quen thuộc

- Biết khai thác các kiến thức cơ bản để rèn luyện kỹ năng giải toán và pháttriển năng lực sáng tạo cho học sinh

II NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

Chúng ta hãy bắt đầu với bài toán tính thể tích khối chóp có đáy là tam giác đều đơn giản

Bài toán 1: Tính thể tích khối chóp S ABC biết tam giác ABC đều cạnh a,

B= ∆ABC =

12

6 2

4

3 3

1 3

.

a a

a Bh

Cách 2.

4

6 3

1

Nhận xét Với học sinh khá, giỏi thì bài toán trên chẳng có vấn đề gì Tuy nhiên,

với đối tượng học sinh của trường đầu vào đa số có học lực yếu và trung bình thì lại là vấn đề khác, đôi khi ta phải cầm tay chỉ việc nhưng không phải vì thế

mà bỏ qua việc dạy học định hướng phát triển năng lực sáng tạo cho người học Chẳng hạn với bài toán trên giáo viên nên đặt các câu hỏi kích thích suy nghĩ của học sinh: Để tính thể tích khối chóp ta cần biết yếu tố nào? Hãy chỉ ra chiều cao và đáy? Có những cách nào để tính diện tích đáy?Em có thể giải bài toán bằng cách khác được không?Từ bài toán trên em hãy giải bài sau.

Từ bài toán trên giáo viên khéo léo kết hợp với các kiến thức cơ bản về quan hệ song song, quan hệ vuông góc và các tính chất hình học của các hình quen thuộc ta có thể sáng tạo ra các bài toán phù hợp với từng đối tượng học sinh.

1 Tính trực tiếp thể tích khối đa diện và bài toán liên quan

Định hướng 1 Thay đổi giả thiết về chiều cao để sáng tạo bài toán thể tích

mới

Bài 1.1 Tính thể tích khối chóp S ABC biết tam giác ABC đều cạnh a và chiều

3 3

1

3

.

a a

a SA S

Bài 1.2 Tính thể tích khối chóp S ABC biết tam giác ABC đều cạnh a và chiều

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC,vì tam giác

ABC đều nên AM ⊥ BC ⇒SM⊥BC ( Định

Lời giải

có

8 2

3 4

3

3

.

a a

a

Bài 1.4 Tính thể tích của khối chóp S ABC biết tam giác ABC đều cạnh a, cạnh

4

3 3

1 3

.

a a

a Bh

Nhận xét Các bài 1.1; 1.2; 1.3 và 1.4 vừa giúp các em ôn tập các kiến thức cơ

bản vừa giúp các em nhìn nhận ban đầu về việc trực tiếp tính đường cao để tính thể tích khối chóp

Bài 1.5 Tính thể tích khối chóp tam giác đều S ABC có tất cả các cạnh bằng a ( Bài tập 1, SGK hình học 12, trang 25)

Nhận xét Bài toán này với đối tượng học sinh trung bình và yếu thì có thể đặt

các câu hỏi sau nhằm giúp học sinh nhớ lại kiến thức về đường cao trong hình chóp đều: Em hãy nêu tính chất của hình chóp đều?(Mặt đáy, cạnh bên, chiều cao?)

Khi đã giúp học sinh nhớ lại các tính chất cơ bản về hình chóp đều giáo viên yêu cầu học sinh xác định và tính chiều cao của khối chóp, từ đó tính được thể tích của khối chóp

Lời giải.

Cách 1 Gọi H là chân đường cao của khối chóp

3

3 2

3 3

2

Do đó

12

2

3

.

a SH S

V S ABC = ∆ABC =

Giáo viên có thể đặt thêm câu hỏi: Em có thể giải cách khác được không? Hãy thử tìm hình vẽ liên quan mật thiết đến hình đã cho Nếu học sinh không giải được thì giáo viên có thể vẽ hình, phân chia lắp ghép khối đa diện từ

đó gợi ý để học sinh sáng tạo các cách giải khác.

S ′ ′ ′

= 24

1

Ta có S A′ 2+S C′ 2 =4a2

2

a C S B

vuông; Các tam giác MSC, NSB là các

tam giác vuông cân, suy ra:

MC SH

BM

SH ⊥ , ⊥ và SH ⊥(MNBC)

2 2

2

a

V S MNCB = =

12

2 2

.

.

a V

N ABC Q ABS

3

1

3

1 3

3

.

a a

SM V

Với đối tượng học sinh khá giỏi giáo viên

có thể yêu cầu học sinh chứng minh côngthức: V SABC d.SA.BC sin(SA;BC)

6

1

a

V S ABC = .

Cách 6.

Gọi M,N,P,Q,I,J lần lượt là trung điểm của SB,AC,SC,AB,SA,BC và G là giao điểm của PQ,MN,IJ

Ta thấy tứ giác MINJ là hình vuông Dễ dàng chứng minh được PQ là đường

giác đều có tất cả các cạnh đều bằng

1 2

3

1 2

a

V S ABC =

Nhận xét.

Như vậy chúng ta thấy rằng việc tính thể tích khối đa diện có thể tính trực

tiếp theo công thức tính thể tích, tuy nhiên đôi khi chúng ta có thể phân chia, lắp ghép khối đa diện để tính, hoặc có thể dùng tỷ số thể tích

Từ bài 1.5 với học sinh khá giỏi chúng ta có thể yêu cầu học sinh giải bài

toán sau nhằm sáng tạo trong việc tìm lời giải bài toán

Bài 1.6 Tính thể tích của khối chóp S ABC biết SA=BC=a, SB=AC=b,

Nhận xét

- Rõ ràng bài tập 1.6 là tình huống có vấn đề khi các em cố gắng tìm chiều cao của khối chóp Tuy nhiên, giáo viên có thể định hướng để các em giải theo các cách giải còn lại của bài 1.5.

- Từ bài toán 1.5 giữ nguyên cạnh đáy, cạnh bên bằng a thay bởi b ta có bài 1.7: Bài 1.7 Tính thể tích của khối chóp đều S ABC Biết cạnh đáy bằng a, cạnh bênbằng b

Hướng dẫn: Với cách giải tương tự cách 1 bài 1.4 ta có kết quả

2 2 2

12

1

a b a

V S ABC = − ( )1

Vẫn cho khối chóp đều lúc đó đáy vẫn là tam giác đều nhưng ẩn đi bằng

cách giữ nguyên cạnh bên bằng b , cho chiều cao SH =x Ta có bài toán 1.8

Bài 1.8 Tính thể tích của khối chóp đều S ABC Biết cạnh bên bằng b, chiều cao

x

SH =

Nhận xét Giáo viên có thể đặt các câu hỏi gợi ý: Giả thiết cho chúng ta biết

những gì?(Câu trả lời mong đợi: Cạnh bên và chiều cao) Cần tính cái gì để tính được thể tích? (Câu trả lời mong đợi: Diện tích đáy) Hãy tìm mỗi liên hệ giữa các đại lượng của giả thiết để tính diện tích đáy? (Câu trả lời mong đợi: Từ giả thiết tính AH ⇒ AM Từ đó tính cạnh đáy và diện tích đáy).

2

3

x b

4

3 4

3 3

x b x V

x b

Nhận xét Giữ nguyên cạnh bên bằng b, cho góc giữa cạnh bên và đường cao,

hoặc góc giữa cạnh bên và mặt đáy, hoặc góc giữa mặt bên và mặt đáy ta có các bài toán 1.9; 1.10; 1.11 như sau:

Bài 1.9 Tính thể tích của khối chóp đều S ABC Biết cạnh bên bằng b, góc giữa

Hướng dẫn giải

nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác

Bài 1.10 Tính thể tích của khối chóp đều S ABC Biết cạnh bên bằng b, góc

Hướng dẫn giải.

Tương tự như trên áp dụng công thức

2

3 cos