SKKN rèn luyện kỹ năng giải toán vận dụng cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán cực trị về thể tích khối chóp

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Đất nước ta đường hội nhập phát triển, từ cần người phát triển tồn diện Muốn vậy, phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục phải đổi cách toàn diện để đáp ứng nhu cầu phát triển xã hội Để đổi nghiệp giáo dục đào tạo trước hết phải đổi phương pháp dạy học, có phương pháp dạy học mơn Tốn Chính trình dạy học giáo viên cần phát huy cao độ tính tích cực, sáng tạo học sinh học tập, nhằm đạt kết cao dạy Muốn đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kĩ chương trình, đối tượng học sinh, đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền đạt Những năm gần đề thi TN THPT đề thi HSG 12 có phần cực trị thể tích khối chóp Trước kì thi TN THPT năm học 2020 - 2021 đến gần, với mong muốn cung cấp thêm cho em học sinh số kiến thức để lấy điểm tối đa từ toán liên quan đến thể tích đặc biệt cực trị thể tích khối chóp Từ tơi nghiên cứu viết đề tài: “Rèn luyện kỹ giải toán vận dụng cho học sinh lớp 12 thông qua số tốn cực trị thể tích khối chóp’’ Hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học sinh Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận, làm quen thành thạo với loại tốn tìm cực trị thể tích cách nhanh nhất, hiệu - Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi muốn học sinh khơng cịn cảm thấy sợ hay lo lắng gặp toán cực trị thể tích khối chóp 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Kiến thức thể tích khối chóp, góc khoảng cách - Kiến thức bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopxki - Kiến thức đạo hàm ứng dụng đạo hàm - Học sinh lớp 12A35, 12B35 năm học 2020 - 2021 trường THPT Triệu Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp - Sử dụng phương pháp thực nghiệm - Sử dụng phương pháp phân tích so sánh vấn đề có liên quan đến đề tài - Sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vơ quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp toán Trong dạy học giáo viên người có vai trị thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong “Khái niệm thể tích khối đa diện” sách giáo khoa Hình học lớp 12 đưa khái niệm thể tích sau: “Thể tích khối chóp”; “Thể tích khối lăng trụ” Với khái niệm đưa dạng tốn tính thể tích sau: Dạng 1: Tính thể tích khối chóp Dạng 2: Tính thể tích khối lăng trụ Hai dạng toán dạng toán bản, quan trọng ln có mặt đề thi TN THPT đề thi HSG Đặc biệt dạng vận dụng: cực trị thể tích khối chóp cực trị thể tích khối lăng trụ phát triển dạng toán tốn tương đối khó Trong khn khổ sáng kiến nghiên cứu dạng cực trị thể tích khối chóp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Triệu Sơn trường nằm phía tây huyện, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134; có nhiều học sinh em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư học sinh chậm, điều kiện kinh tế cịn khó khăn, đường học cịn xa khó nên ảnh hưởng nhiều đến kết học tập em Trong trình dạy học tơi nhận thấy điều để học tốt mơn HHKG cần phải nắm vững kiến thức, địi hỏi học sinh phải có khả phán đốn, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ vẽ hình , kỹ trình bày chặt chẽ tư logic cao, kỹ phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình khơng gian Nhưng thực tế điều lại điểm yếu khơng học sinh, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý chán, ngại sợ học môn HHKG Hơn việc áp dụng kiến thức thể tích học sinh đa số dừng lại mức độ nhận biết, học sinh thục kỹ sáng tạo vận dụng kiến thức thể tích để xử lý toán cực trị, mà đa phần học sinh tỏ lúng túng khơng định hình cách giải Phần lớn giáo viên dừng lại mức trang bị lý thuyết giao nhiệm vụ cho học sinh vài tập cụ thể mà chưa khai thác tốn khó khơng có sách giáo khoa Ngoài số tiết theo phân phối chương trình dành cho phần nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức học cho học sinh trước tiếp nhận kiến thức V  Bh +) Cơng thức tính thể tích khối chóp: B : Diện tích mặt đáy h : Chiều cao khối chóp +) Tỷ số thể tích Cho hình chóp S ABC , gọi A ', B ', C ' điểm SA, SB, SC VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '  V SA SB SC S ABC Khi đó: +) Các hệ thức lượng tam giác: b  c a a  b2  c 2bc cos A � cos A  2bc a  c  b2 b2  a  c  2ac cos B � cos B  2ac a  b2  c2 2 c  a  b  2ab cos C � cos C  2ab +) Công thức tính diện tích tam giác 1 SABC  aha  bhb  chc 2 1 SABC  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 abc SABC   pr 4R SABC  p  p  a   p  b   p  c  ; a bc +) Bất đẳng thức Côsi cho n số không âm: Cho n số không âm x1 , x2 , , xn p Ta có: x1  x2   xn �n n x1.x2 xn Dấu xảy � x1  x2   xn +) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: x , x , , xn   y1, y2 , , yn  Cho hai  2 x1 y1  x2 y2   xn yn  � x12  x22   xn2   y12  y22   yn2   Ta có: x x x �    n y1 y2 yn Dấu xảy +) Đạo hàm ứng dụng đạo hàm 2.3.2 Tìm hiểu cực trị thể tích khối chóp Bài tốn cực trị thể tích khối chóp tốn tìm giá trị lớn nhỏ đại lượng hình học có liên quan đến thể tích khối chóp Để tìm cực trị thể tích khối chóp ta thực theo hai bước sau: Bước 1: Tính thể tích khối chóp cần tìm dựa vào kiến thức học giả thiết tốn Bước 2: Tìm cực trị biểu thức cần tính việc sử dụng bất đẳng thức sử dụng đạo hàm bảng biến thiên 2.3.3 Hướng dẫn rèn luyện số dạng cực trị thể tích khối chóp thường gặp giúp học sinh làm tốn trắc nghiệm nhanh gọn, xác Dạng 1: Tìm cực trị thể tích khối chóp có cạnh đơi vng góc Giả sử cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc với Khi đó: 1 1 VS ABC  SA SB SC ;  2 2 2 SH SA SB SC với SH   ABC  H ; + H trực tâm tam giác  ABC + Dạng thường dùng bất đẳng thức Côsi để xử lý cực trị Nhận xét: Trước hết đưa ví dụ đơn giản với mục đích giúp học sinh tiếp cận dạng tốn cực trị thể tích cách dễ hiểu làm nhanh Ví dụ 1: Trên ba tia Ox, Oy, Oz vng góc với đơi một, lấy điểm A, B, C : OA  a, OB  b, OC  c Giả sử A cố định cịn B, C thay đổi ln ln thỏa mãn: OA  OB  OC Tính thể tích lớn Vmax tứ diện O ABC a3 a3 a3 a3 Vmax  Vmax  Vmax  Vmax  24 32 A B C D Phân tích: Bước 1: Tính thể tích khối chóp O ABC dựa vào giả thiết Bước 2: Khai thác giả thiết OA  OB  OC sử dụng linh hoạt bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: Từ giả thiết ta có : a  b  c abc 1 �b  c � a V  a  bc  � a � � 24 6 � � Khi đó: Vmax  a3 24 Vậy: Ví dụ 2: Cho tứ diện S ABC có SA, AB, AC đơi vng góc với nhau, độ dài cạnh BC  a, SB  b, SC  c Tính thể tích lớn Vmax tứ diện S ABC abc abc abc abc Vmax  Vmax  Vmax  12 D 24 B A C Phân tích: Bước 1: Tính thể tích khối chóp S ABC dựa vào giả thiết Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: Đặt : �x  y  a � AB  x, AC  y, AS  z � �x  z  b �z  y  c � Vmax  Khi đó:  xy   xz   yz  xyz V �V  288 2 2 x  y   z  y   x  z  a 2b c  V �  288 288 abc V  24 Nhận xét: ví dụ khó ví dụ chỗ tìm mối quan hệ x, y, z a, b, c trước áp dụng bất đẳng thức Cơsi Ví dụ 3: Cho tứ diện S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , SA   ABC  , khoảng cách từ A đến  SBC  Gọi  góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  , tính cos thể tích S ABC nhỏ 2 cos  cos  cos  cos  3 C A B D Trích đề thi thử Sở Vĩnh Phúc năm 2019 Phân tích: Bước 1: Tính thể tích khối chóp S ABC dựa vào giả thiết Khai thác tính chất tứ diện có ba cạnh đơi vng góc Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị nhỏ thể tích Từ suy cos Lời giải: �  � SH  BC �   SBC  ,  ABC    SHA Gọi H trung điểm BC AB  x, AC  x, AS  y � VS ABC  x y Đặt: 1 1    �1    2 d  A /  SBC   AB AC AS x2 x2 y Ta có: 1 ; 2; 2 x x y ta được: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương: 1 1    �3 x x y x y �x y 81 � V 27 27 Dấu “=” xảy khi: Vmin  1  �x y3 x2 y 1 AH  BC  x  2 SA � tan    � cos  AH Nhận xét: tính thể tích khối chóp S ABC theo cos xét hàm, lập bảng biến thiên để suy giá trị nhỏ thể tích Tuy nhiên cách dài cách mà tác giả trình bày 4: Cho tứ diện O ABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi Ví dụ  ;  ; góc OA, OB, OC với  ABC  Tính giá trị nhỏ 2 biểu thức sau: M  (3  cot  ).(3  cot  ).(3  cot  ) Trích đề minh họa học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm 2020-2021 Phân tích: Bước 1: Gọi H hình chiếu O lên mặt phẳng  ABC  � Sử dụng tính chất H trực tâm tam giác ABC � (OA;( ABC ))  OAH   ; � � BOH   ; COH  Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị nhỏ biểu thức Lời giải: Ta có: 1 1    2 OH OA OB OC OH OH OH �   1 OA2 OB OC � sin   sin   sin   �x  sin  ; � �y  sin  ; �x; y; z  �� � z  sin  � �x  y  z  Đặt � ��  x y z 3 xyz xyz 27 Khi : �� �� � M  �2  ��2  ��2  � sin  � � sin  � � sin  � 1� � � 1� � 1�  ��2  ��2  � � � � z� � � x� � y� �1 1 1 1� 36 18   4(   )  �   � �8     125 x y z 1 �xy yz zx � xyz 27 1 M  125 � x  y  z  � sin   sin   sin   3 Dạng 2: Tìm cực trị thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Đối với dạng cạnh bên vng góc với đáy chiều cao hình chóp, đó: 1 Vk c  Bh Vk c  Bh 3 + với B diện tích đáy, h chiều cao Tính dựa vào giả thiết tốn + Thường dùng bất đẳng thức Cơsi đạo hàm để xử lý cực trị Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  , cạnh bên SA   ABCD  SC  Tính thể tích lớn Vmax khối chóp cho 40 80 20 Vmax  Vmax  Vmax  D Vmax  24 A B C Phân tích: Bước 1: Tính thể tích khối chóp S ABCD dựa vào giả thiết Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi xét hàm để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: 2 Đặt BC  x  � AC  16  x ; SC  20  x ; S ABCD  AB.BC  x � VS ABCD  x 20  x Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: x  20  x 2 x 20  x �  10 40 40 VS ABCD .10  � Vmax  3 Dấu “=” xảy khi: x  10 Cách khác f  x   x 20  x Xét hàm số  0;2  Ta có: 4 � x � 40 20  x  x.�  f 10 � � x  10 �� Vmax  3 � 20  x � Nhận xét: ví dụ dùng bất đẳng thức Cơsi để xử lý cực trị nhanh sử dụng cách xét hàm số Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA  b, SA   ABCD  Điểm M thay đổi cạnh CD , H hình f ' x     chiếu vng góc S BM Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABH theo a, b a 2b a 2b a 2b a 2b Vmax  Vmax  Vmax  Vmax  12 24 C D 18 A B Phân tích: Bước 1: Tính thể tích khối chóp S ABH dựa vào giả thiết với ý AH  BH Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: Ta có: �BH  SH � BH   SAH  � BH  AH � �BH  SA b VS ABH  SA.S ABH  HA.HB Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: b HA2  HB ab2 ab VS ABH �  � Vmax  12 12 Dấu = xảy : BH �AH  H O hay M D Trong đó: O  AC �BD Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA  a, SA   ABCD  Trên SB, SD lấy hai điểm M , N cạnh bên SM SN  m  0; n0 SD cho: SB Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp 2 S AMN biết 2m  3n  a3 a3 a3 a3 Vmax  Vmax  Vmax  Vmax  72 48 A B C D Phân tích: VS AMN Bước 1: Tính thể tích khối chóp S AMN dựa tỷ số thể tích VABD 2 Bước 2: Sử dụng giả thiết 2m  3n  bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: VSABD  VSAMN VSABD mn  a3 Ta có: SM SN mna   mn � VSAMN  SB SD 2m 3n 2m2  3n2 �  6 Dấu “=” xảy : � m � � a3 � 2m  3n � � � V  � � max 72 2m  3n2  �n  � � � Nhận xét: ta dễ dàng thiết lập biểu thức thể tích khối chóp, nhiên khó tốn việc áp dụng khéo léo bất đẳng thức Cơsi, điều địi hỏi học sinh biết cách vận dụng bất đẳng thức cách thục Dạng 3: Tìm cực trị thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với đáy Đối với dạng đường cao mặt bên vng góc với đáy chiều cao hình chóp, đó: 1 Vk c  Bh Vk c  Bh 3 + với B diện tích đáy, h chiều cao Tính dựa vào giả thiết toán + Thường dùng bất đẳng thức Cosi đạo hàm để xử lý cực trị Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  4, SC  Tam giác SAD cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABCD 40 80 A B 40 C 80 D Nhận xét: ví dụ mức độ vận dụng thấp cực trị thể tích khối chóp Lập biểu thức tính thể tích khối chóp theo biến độ dài cạnh chưa biết hình chữ nhật Sau sử dụng bất đẳng thức xét hàm lập bảng biến thiên để suy giá trị lớn thể tích Phân tích: Bước 1: Tính thể tích khối chóp S ABCD dựa vào giả thiết Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích 10 Lời giải: Gọi H trung điểm AD � SH  AD � SH   ABCD  Giả sử: DA  x  x2 x2 � HC   16 � SH  20  4 Khi đó: 1 x2 VS ABCD  SH AB AD  x 20  3 1 80  x 80  x �  x  80  x   3 80 Vmax  Vậy: Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Tam giác SAB vuông S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi  SBC  , với   450 Tìm giá trị góc tạo đường thẳng SD mặt phẳng  lớn thể tích khối chóp S ABCD 8a3 4a 2a 3 A 4a B C D Phân tích: Bước 1: Tính thể tích khối chóp S ABCD dựa vào giả thiết Chú ý việc xác định xác góc đường thẳng SD mặt phẳng  SBC  Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: Gọi D�là đỉnh thứ tư hình bình hành SADD� //SA mà Khi đó: DD� SA   SBC  (vì SA  SB , SA  BC ) nên D�là hình chiếu vng góc D lên  SBC  � � � �  SD,  SBC      DSD  SDA Do : SA  AD.tan   2a.tan  x� 0;1 Đặt tan   x , Gọi H hình chiếu S lên AB , 1 VS ABCD  S ABCD SH  4a SH 3 ta có Do VS ABCD đạt giá trị lớn   11 SH lớn Vì tam giác SAB vuông S nên : SA.SB SA AB  SA2 x2 1 x2  SH  � a a  2ax  x AB AB 2 tan   max V  a a  a S ABCD Suy 3 Từ SH max  a Dạng 4: Tìm cực trị thể tích khối chóp Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy + Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với đáy góc + Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N hai điểm AMN  thay đổi thuộc cạnh BC , BD cho  ln vng góc với mặt BCD  Gọi V1 , V2 giá trị lớn giá trị nhỏ thể phẳng  tích khối tứ diện ABMN Tính V1  V2 17 17 17 2 A 216 B 72 C 144 D 12 Trích đề thi thử SGD - Bắc Ninh năm 2018 Phân tích: Bước 1: Tính thể tích tứ diện ABMN dựa vào giả thiết Chú ý rằng: AH � AMN  hay MN ln qua H Bước 2: Quan sát hình, dựa vào kiện cho đánh giá nhận xét tích BM BN lớn nhất, nhỏ để suy giá trị lớn nhất, nhỏ thể tích Lời giải: 12 Gọi H tâm tam giác BCD , ta AH   BCD  AMN    BCD  có , mà  AH � AMN  nên hay MN qua H Ta có BH  3  1  � AH  AB  BH 3 Thể tích khối chóp ABMN BM BN V  AH S BMN  12 Do MN qua H M chạy BC nên BM BN lớn V1  M �C N �D 24 2 2 BM  BN  � V2  BM BN nhỏ MN //CD 27 17 V1  V2  216 Vậy Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N hai điểm theo thứ tự di động hai cạnh AB, AC cho ( DMN )  ( ABC ) Khi thể tích tứ diện AMND đạt giá trị lớn nhất, giá trị tổng AM  AN bao nhiêu? Trích đề minh họa học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa 2020-2021 Đây dạng câu 50 đề Sở GD Sơn La năm 2020-2021 Phân tích: ABMN dựa vào giả thiết Chú ý rằng: Bước 1: Tính thể tích tứ diện D.ABC tứ diện nên H tâm tam giác ABC Bước 2: Viết biểu thức tính thể tích tứ diện ABMN , áp dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: 13 Đặt AM  x; AN  y Dựng DH  MN  H Do  DMN    ABC  � DH   ABC  mà D ABC tứ diện nên H tâm tam giác ABC Trong tam giác vuông DHA : DH  � 3� DA  AH   � � �3 � � � 2 S AMN  AM AN sin 600  xy Ta có: VDAMN  S AMN DH  xy 12 1 0 � xy sin 60  x AH sin 30  y AH sin300 S  S  S AMN AMH ANH 2 Ta có: 2 4 xy �  xy V  x  y  3xy �2 xy 12 12 27  x  y  �x y  3 Dấu xảy Nhận xét: hai ví dụ giả thiết tương tự nhau, nhiên với cách hỏi khác tạo nên hai toán riêng biệt tạo hứng thú, khơi dậy đam mê học toán cho em đặc biệt học sinh khá, giỏi Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có cạnh a , góc tao đường cao SH hình chóp mặt bên  Tìm  để S ABCD lớn 0 0 A 30 B 60 C 75 D 45 Phân tích: Bước 1: Tính thể tích hình chóp S ABCD theo  Bước 2: Thiết lập hàm số lập bảng biến thiên để suy giá trị lớn nhất, nhỏ thể tích Lời giải: 14 Gọi M trung điểm CD Từ H kẻ: HK  SM �  HSM � �0     � �   HSK � 2� � � Đặt: SH  h � HC  a  h2 � BC   a  h  a  h2 a �h 2h 2tan   1 4a tan  � VS ABCD   tan    , Đặt: t   tan   � tan   4a Vmax  � t  �   450 Lập hàm tính thể tích theo t suy được: Dạng 5: Tìm cực trị thể tích số khối chóp khác Ở dạng tốn khối chóp có đặc điểm quen thuộc, gần gũi với học sinh Tuy nhiên thực tế cực trị quen, nên dạng toán này, tác giả xin trình bày thêm số ví dụ điển hình đề thi để em quy từ “lạ” “quen” giải tốt cực trị thể tích, có nhìn tổng quan đầy đủ dạng tốn vận dụng Ví dụ 1: Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB  x cạnh cịn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x  14 B x  C x  Trích mã đề 110 năm 2017 D x  Phân tích: Bước 1: Tính thể tích tứ diện ABCD dựa vào giả thiết Bước 2: Viết biểu thức tính thể tích tứ diện ABCD , xét hàm số lập bảng biên thiên để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: Cách 1: Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC DA  DB  DC � I hình chiếu D  ABC  �R AB.AC.BC x x2 S ABC   12  4R R Ta có: 2 Và: ID  BD  R x VABCD  DI S ABC  108  3x  f  x  � 15 Khảo sát lập bảng biến thiên hàm số suy được: Vmax  3 Dấu “=” xảy khi: x  Cách 2: Gọi M , N trung điểm CD AB CD  MB � � Ta có: �CD  MA � CD   MAB  CD  MN � �� CD  AB � � VA.BCD  AB.CD.d  AB, CD  x x�  32  � � � �3 �2 � Dấu “=” xảy khi: x  Nhận xét: ví dụ có nhiều cách giải khác nhau, tác giả giới thiệu hai cách khai thác lời giải ngắn gọn giúp học sinh có nhìn dễ hiểu,làm nhanh xác Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có SA  1; SB  2; SC  Gọi G  trọng tâm ABC Mặt phẳng   qua trung điểm I SG cắt cạnh SA; SB ; SC M , N , P Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1   2 SM SN SP 18 Tmin  Tmin  Tmin  7 A B C D Tmin  Phân tích: Bước 1: Sử dụng điều kiện đồng phẳng vectơ Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để suy giá trị nhỏ 1 T   2 SM SN SP biểu thức Lời giải: T 16 uuur r uuu r uuur uuu SA  SB  SC G trọng tâm ABC nên SG uur �SA uuuur SB uuur SC uuur � uur �SA uuuur SB uuur SC uuur � � SI  � SM  SN  SP � SI  � SM  SN  SP SI �SM SN SP � �SM SN SP � � � �SA SB SC � SA SB SC   1�   6 � � SM SN SP SM SN SP I , M , N , P � � Do đồng phẳng nên: SG    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 1 � �1 �SA SB SC � 2  SA  SB  SC  ��SM  SN  SP � 36 �SM  SN  SP � � � � � Suy ra: Tmin  18 Nhận xét: ta dùng phương pháp đặc biệt hóa để giải ví dụ Vì tốn với hình chóp nên trường hợp hình chóp có cạnh đơi vng góc tọa độ hóa Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABC có SA  BC  x ; SB  AC  y ; 2 SC  AB  z thỏa mãn: x  y  z  12 Giá trị lớn khối chóp S ABC là: 2 3 Vmax  Vmax  Vmax  Vmax  C A B D Phân tích: Bước 1: Dựng hình để xuất tứ diện vng sử dụng tính chất tứ diện vng Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm giá trị lớn khối chóp S ABC Lời giải: ABC  Trong mặt phẳng  dựng D, E, F cho A, B, C trung điểm DE, DF , EF DE  2SA  x, DF  2SB  y, EF  2SC  z Suy SD, SF , SE đôi vuông góc 17 Ta có: 1 VS ABC  VS DEF  SD.SE.SF 24 Mặt khác: 2 2 � SD  SE  x �SD   x  y  z  � � � 2 SF  SD  y � SE   x  z  y  � � � SF  SF  z � SF   z  y  x  � � �   x    y    z  24 �18  x  y  z � � � � � � � VS ABC  Vmax  2 Vậy : Nhận xét: Bài làm theo cách khác: khai thác tính chất tứ diện gần đều: đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện tứ diện vng góc với hai cạnh 2.3.4 Hệ thống tập tự Bài 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh Gọi M , N hai điểm theo thứ tự di động hai cạnh AB, AC cho ( DMN )  ( ABC ) Khi thể tích tứ diện AMND đạt giá trị lớn bao nhiêu? 27 27 A 16 B C D 16 Trích đề thi thử Sở GD Sơn La năm 2020-2021 Bài 2: Cho hình chóp S ABCD tích V , đáy ABCD hình P ABCD  cắt đoạn SA, SB, SC , SD bình hành Mặt phẳng   song song với  ABCD  tương ứng M , N , E , F ( M , N , E , F khác S không nằm  ) Các điểm H , K , P, Q , tương ứng hình chiếu vng góc M , N , E , F lên  ABCD  Thể tích lớn khối đa diện MNEFHKPQ là: 4 V V V V A B 27 C D Trích đề thi thử trường THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc- Lần năm 2018 Bài 3: Cho khối chóp S ABC có SA  a, SB  a 2, SC  a Thể tích lớn khối chóp a3 a3 a3 A a B C D Trích đề thi thử trường Chuyên Thái Bình – Lần năm 2018 18 Bài 4: Cho hình chóp S ABC có độ dài cạnh SA  BC  x , SB  AC  y , SC  AB  z thỏa mãn x  y  z  Tính giá trị lớn thể tích khối chóp S ABC 6 6 A B C D Trích đề thi thử trường THPT chuyên Thái Nguyên - Lần năm 2018 Bài 5: Cho tứ diện ABCD tích V Điểm M thay đổi tam giác BCD Các đường thẳng qua M song song với AB, AC , AD cắt ACD  ,  ABD  ,  ABC    N , P, Q Giá trị lớn khối mặt phẳng  MNPQ là: V V V V A 27 B 16 C D 54 Trích đề thi thử trường Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An- Lần năm 2018 Bài 6: Khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a SA  SB  SC  a , cạnh SD thay đổi Thể tích lớn khối chóp S ABCD là: a3 a3 3a3 a3 A B C D Bài 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh SA  a , SA   ABCD  bên Điểm M thay đổi CD , H hình chiếu S lên MB Khi M thay đổi CD , tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABH a3 a3 a3 Vmax  Vmax  D 12 C A B Bài 8: Cho tứ diện O ABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi  ;  ; Vmax  a3 Vmax  góc OA, OB, OC với  ABC  Tính giá trị nhỏ biểu thức 2 2 2 sau: M  tan   tan   tan   cot   cot   cot  15 27 A B C 10 D Bài 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh , cạnh SA  2, SA   ABCD  Trên AB, AD lấy hai điểm M , N cho bên 1  SMC    SNC  Tính tổng T  AM  AN thể tích khối chóp S AMCN lớn 13 2 T T T A T  B C D 19   SC  x  x  a Bài 10: Cho hình chóp S ABCD có , cạnh cịn lại a Biết thể tích khối chóp S ABCD lớn a m x m, n �*   n Mệnh đề sau đúng? 2 A m  2n  10 B m  n  30 C 3m  2n  15 D 4m  n  20 Bài 11: Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Mặt phẳng  P  thay đổi qua I cắt tia SA, SB, SC A ', B ', C ' biết SA  SB  2, SC  Hỏi thể tích S A ' B 'C ' nhỏ ? 81 243 27 7 A 256 B 256 C 256 D Bài 12: Cho hình vng ABCD cạnh a , đường thẳng vng góc với ABCD  mặt phẳng  A , ta lấy điểm S di động khơng trùng A Hình chiếu vng góc A lên SB, SD H , K Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK a3 a3 a3 a3 A 32 B C 16 D 12 Bài 13: Cho tứ diện ABCD có AB  AC  CD  BD  Khi thể tích khối tứ diện ABCD lớn khoảng cách hai đường thẳng AD BC bằng: 1 A B C D SA  a  a  Bài 14: Cho khối chóp S ABC có , cạnh cịn lại hình chóp Khi thể tích khối chóp S ABC lớn giá trị biểu thức P  4a  a  thuộc khoảng ? 15 � � �33 35 � � 37 � � 33 � 9; � 8; � �2 ;8 � �4 ; � � � 4 � � � � � � � � A B C D Bài 15: Cho tứ diện cạnh a , M điểm thuộc miền khối tứ diện tương ứng Tính giá trị lớn tích khoảng cách từ điểm M đến bốn mặt tứ diện cho  a4 A 521 a4 B 576 a4 C 81  a4 D 324 20 Bài 16: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi K trung điểm SC Mặt phẳng  P  qua AK cắt cạnh SB, SD lần V1 V1 S  max  V V lượt M N Đặt V1  VS AMKN , V  VS ABCD Tìm 1 17 S S S T 24 A B C D Bài 17: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có khoảng cách từ A đến  SBC  , góc mặt phẳng  SBC   ABCD   Thể tích khối a a cos = b với a, b  �, b b tối giản Tính chóp S ABCD nhỏ P  2020a  2021b A 4043 B 2022 C 8086 D 2020 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Thông qua việc đưa bước giải cụ thể cho dạng toán cực trị đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng dạng tốn, tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh đạt độ xác cao Từ nhận kết kiểm tra tiến rõ rệt Cụ thể, qua kiểm tra thử nghiệm hai lần với học sinh lớp 12A35 12B35, đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt nhiều so với lần Kết khảo sát thực nghiệm sau: Kết kiểm tra lần Điểm 7-8 Điểm 9-10 Số HS Điểm Điểm 5-6 Lớp thực SL % SL % SL % SL % nghiệm 12A3 13,95 46,51 34,88 4,66 43 20 15 % % % % 21,95 21,95 12B35 41 23 56,1% 0% % % Kết kiểm tra lần Số HS Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 thực Lớp nghiệ SL % SL % SL % SL % m 12A3 18,6 53,48 27,92 43 0 23 12 % % % 26,8 53,65 19,55 12B35 41 0 11 22 % % % 21 Kết thu được: Qua quan sát thực tế kết hợp với kiểm tra dạng tốn này, tơi thấy - Học sinh định hướng giải nhanh toán cực trị thể tích tơi sưu tầm từ đề thi HSG, đề thi THPT Quốc gia, đề TN THPT trường THPT nước - Học sinh rèn luyện thành thục kỹ tìm cực trị thể tích - cực trị hình học, kỹ tính tốn phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho toán, dạng toán - Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh lớp thực nội dung theo yêu cầu câu hỏi có kết tốt chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy Từ kết khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hồn tồn khả thi áp dụng hiệu trình dạy học 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thực tế giảng dạy tơi thấy cách làm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Hình học khơng gian thân, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Từ việc sử dụng kiến thức thể tích để tìm cực trị hình học cộng với định hướng giáo viên giúp học sinh giải tốt dạng tập cực trị thể tích Với cách tiếp cận hình thành học sinh kỹ giải tốn hình học nói chung, phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho tốn, dạng tốn Tóm lại, để phát triển lực tốn học q trình dạy học mơn Tốn tìm cách nâng cao yếu tố “Tri thức chuyên mơn Tốn, kỹ làm tốn thái độ tình cảm mơn Tốn” Làm điều trước hết giáo viên phải cần có lực nghiên cứu khó, sáng tạo (phương pháp mới, kiến thức mới, tốn ) để nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ ln giữ vững vai trị người điều khiển q trình dạy học Đối với dạng tốn người thầy nên hình thành ý rèn luyện, phát triển lực Toán học cho em Rèn luyên kỹ tính cực trị thể tích khối chóp giúp học sinh chủ động việc phát tri thức nắm bắt tri thức để từ kích thích đam mê, sáng tạo học tập mơn Tốn học sinh 3.2 Kiến nghị Trên số sáng kiến kinh nghiệm thực đơn vị năm học vừa qua Rất mong đề tài xem xét, mở rộng để áp dụng cho đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích say mê học Toán 22 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Thị Lan Hương 23 ... biệt dạng vận dụng: cực trị thể tích khối chóp cực trị thể tích khối lăng trụ phát triển dạng toán toán tương đối khó Trong khn khổ sáng kiến tơi nghiên cứu dạng cực trị thể tích khối chóp 2.2... học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong “Khái niệm thể tích khối đa diện” sách giáo khoa Hình học lớp 12 đưa khái niệm thể tích sau: ? ?Thể tích. .. giá trị lớn nhỏ đại lượng hình học có liên quan đến thể tích khối chóp Để tìm cực trị thể tích khối chóp ta thực theo hai bước sau: Bước 1: Tính thể tích khối chóp cần tìm dựa vào kiến thức học