Rèn luyện kỹ năng giải toán vận dụng cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán cực trị về thể tích khối chóp

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Đất nước ta đường hội nhập phát triển, từ cần người phát triển tồn diện Muốn vậy, phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục phải đổi cách toàn diện để đáp ứng nhu cầu phát triển xã hội Để đổi nghiệp giáo dục đào tạo trước hết phải đổi phương pháp dạy học, có phương pháp dạy học mơn Tốn Chính trình dạy học giáo viên cần phát huy cao độ tính tích cực, sáng tạo học sinh học tập, nhằm đạt kết cao dạy Muốn đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kĩ chương trình, đối tượng học sinh, đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền đạt Những năm gần đề thi TN THPT đề thi HSG 12 có phần cực trị thể tích khối chóp Trước kì thi TN THPT năm học 2020 - 2021 đến gần, với mong muốn cung cấp thêm cho em học sinh số kiến thức để lấy điểm tối đa từ toán liên quan đến thể tích đặc biệt cực trị thể tích khối chóp Từ tơi nghiên cứu viết đề tài: “Rèn luyện kỹ giải toán vận dụng cho học sinh lớp 12 thông qua số tốn cực trị thể tích khối chóp’’ Hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học sinh Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận, làm quen thành thạo với loại tốn tìm cực trị thể tích cách nhanh nhất, hiệu - Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi muốn học sinh khơng cịn cảm thấy sợ hay lo lắng gặp toán cực trị thể tích khối chóp 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Kiến thức thể tích khối chóp, góc khoảng cách - Kiến thức bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopxki - Kiến thức đạo hàm ứng dụng đạo hàm - Học sinh lớp 12A35, 12B35 năm học 2020 - 2021 trường THPT Triệu Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng phương pháp nghiên cứu tổng hợp - Sử dụng phương pháp thực nghiệm - Sử dụng phương pháp phân tích so sánh vấn đề có liên quan đến đề tài - Sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vơ quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp toán Trong dạy học giáo viên người có vai trị thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong “Khái niệm thể tích khối đa diện” sách giáo khoa Hình học lớp 12 đưa khái niệm thể tích sau: “Thể tích khối chóp”; “Thể tích khối lăng trụ” Với khái niệm đưa dạng tốn tính thể tích sau: Dạng 1: Tính thể tích khối chóp Dạng 2: Tính thể tích khối lăng trụ Hai dạng toán dạng toán bản, quan trọng ln có mặt đề thi TN THPT đề thi HSG Đặc biệt dạng vận dụng: cực trị thể tích khối chóp cực trị thể tích khối lăng trụ phát triển dạng toán tốn tương đối khó Trong khn khổ sáng kiến nghiên cứu dạng cực trị thể tích khối chóp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Triệu Sơn trường nằm phía tây huyện, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134; có nhiều học sinh em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp Tư học sinh chậm, điều kiện kinh tế cịn khó khăn, đường học cịn xa khó nên ảnh hưởng nhiều đến kết học tập em Trong trình dạy học tơi nhận thấy điều để học tốt mơn HHKG cần phải nắm vững kiến thức, địi hỏi học sinh phải có khả phán đốn, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ vẽ hình , kỹ trình bày chặt chẽ tư logic cao, kỹ phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình khơng gian Nhưng thực tế điều lại điểm yếu khơng học sinh, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý chán, ngại sợ học môn HHKG Hơn việc áp dụng kiến thức thể tích học sinh đa số dừng lại mức độ nhận biết, học sinh thục kỹ sáng tạo vận dụng kiến thức thể tích để xử lý toán cực trị, mà đa phần học sinh tỏ lúng túng khơng định hình cách giải Phần lớn giáo viên dừng lại mức trang bị lý thuyết giao nhiệm vụ cho học sinh vài tập cụ thể mà chưa khai thác tốn khó khơng có sách giáo khoa Ngoài số tiết theo phân phối chương trình dành cho phần nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống kiến thức học cho học sinh trước tiếp nhận kiến thức V = Bh +) Cơng thức tính thể tích khối chóp: B h : Diện tích mặt đáy : Chiều cao khối chóp +) Tỷ số thể tích S ABC Cho hình chóp , gọi A ', B ', C ' điểm SA, SB, SC VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = VS ABC SA SB SC Khi đó: +) Các hệ thức lượng tam giác: b + c −a a = b + c −2bc cos A ⇒ cos A = 2bc a + c2 − b2 b2 = a + c − 2ac cos B ⇒ cos B = 2ac a + b2 − c2 2 c = a + b − 2ab cos C ⇒ cos C = 2ab +) Cơng thức tính diện tích tam giác 1 S∆ABC = aha = bhb = chc 2 1 S∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 abc S∆ABC = = pr 4R S∆ABC = p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) ; p= a +b+c +) Bất đẳng thức Côsi cho n số không âm: x1 , x2 , , xn Cho n số không âm x1 + x2 + + xn ≥ n n x1.x2 xn Ta có: ⇔ x1 = x2 = = xn Dấu xảy +) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( x1, x2 , , xn ) ( y1, y2 , , yn ) Cho hai ( x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ) ≤ ( x12 + x22 + + xn2 ) ( y12 + y22 + + yn2 ) Ta có: x x x ⇔ = = = n y1 y2 yn Dấu xảy +) Đạo hàm ứng dụng đạo hàm 2.3.2 Tìm hiểu cực trị thể tích khối chóp Bài tốn cực trị thể tích khối chóp tốn tìm giá trị lớn nhỏ đại lượng hình học có liên quan đến thể tích khối chóp Để tìm cực trị thể tích khối chóp ta thực theo hai bước sau: Bước 1: Tính thể tích khối chóp cần tìm dựa vào kiến thức học giả thiết tốn Bước 2: Tìm cực trị biểu thức cần tính việc sử dụng bất đẳng thức sử dụng đạo hàm bảng biến thiên 2.3.3 Hướng dẫn rèn luyện số dạng cực trị thể tích khối chóp thường gặp giúp học sinh làm tốn trắc nghiệm nhanh gọn, xác Dạng 1: Tìm cực trị thể tích khối chóp có cạnh đơi vng góc SA, SB, SC S ABC Giả sử cho hình chóp có đơi vng góc với Khi đó: 1 1 VS ABC = SA SB SC ; = 2+ 2+ 2 SH ⊥ ( ABC ) SH SA SB SC H + với ; ∆ ABC H trực tâm tam giác + Dạng thường dùng bất đẳng thức Côsi để xử lý cực trị Nhận xét: Trước hết đưa ví dụ đơn giản với mục đích giúp học sinh tiếp cận dạng tốn cực trị thể tích cách dễ hiểu làm nhanh Ox, Oy, Oz Ví dụ 1: Trên ba tia vng góc với đơi một, A, B, C : OA = a, OB = b, OC = c B, C A lấy điểm Giả sử cố định thay Vmax OA = OB + OC đổi ln ln thỏa mãn: Tính thể tích lớn tứ O ABC diện a3 a3 a3 a3 Vmax = Vmax = Vmax = Vmax = 24 32 A B C D Phân tích: O ABC Bước 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào giả thiết OA = OB + OC Bước 2: Khai thác giả thiết sử dụng linh hoạt bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: a =b+c Từ giả thiết ta có : abc 1  b + c  a3 V= = a ( bc ) ≤ a  = 6  ÷ 24 Khi đó: a3 Vmax = Vậy: 24 SA, AB, AC S ABC Ví dụ 2: Cho tứ diện có đơi vng góc với nhau, Vmax BC = a, SB = b, SC = c S ABC độ dài cạnh Tính thể tích lớn tứ diện abc abc abc abc Vmax = Vmax = Vmax = Vmax = 12 24 A B C D Phân tích: S ABC Bước 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào giả thiết Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: Đặt :  x2 + y = a2  AB = x, AC = y, AS = z ⇒  x + z = b  z + y = c2  Khi đó: ( xy ) ( xz ) ( yz ) xyz V= ⇒V = 288 V (x ≤ ⇒V ≤ + y ) ( z + y ) ( x + z ) a 2b c = 288 288 abc 24 Nhận xét: ví dụ khó ví dụ chỗ tìm mối quan hệ a, b, c trước áp dụng bất đẳng thức Côsi S ABC ABC A Ví dụ 3: Cho tứ diện có đáy tam giác vuông cân , SA ⊥ ( ABC ) ( SBC ) α A , khoảng cách từ đến Gọi góc hai mặt ( SBC ) ( ABC ) cosα S ABC phẳng , tính thể tích nhỏ 2 cosα = cosα = cosα = cosα = 3 A B C D Trích đề thi thử Sở Vĩnh Phúc năm 2019 Phân tích: S ABC Bước 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào giả thiết Khai thác tính chất tứ diện có ba cạnh đơi vng góc Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị nhỏ thể tích cosα Từ suy Lời giải: · BC ⇒ SH ⊥ BC ⇒ ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = SHA = α H Gọi trung điểm AB = x, AC = x, AS = y ⇒ VS ABC = x y Đặt: 1 1 = + + ⇒1= + + 2 d ( A / ( SBC ) ) AB AC AS x2 x2 y Ta có: 1 ; ; x2 x2 y Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương: ta được: 1 1 = + + ≥ 33 x x y x y x, y, z ⇒ x y ≥ 81 ⇒ V ≥ 27 Vmin = 27 Dấu “=” xảy khi: 1 = ⇒ x= y=3 x2 y 1 AH = BC = x = 2 SA ⇒ tan α = = ⇒ cosα = AH S ABC cosα Nhận xét: tính thể tích khối chóp theo xét hàm, lập bảng biến thiên để suy giá trị nhỏ thể tích Tuy nhiên cách dài cách mà tác giả trình bày O ABC OA, OB, OC 4: Cho tứ diện có đơi vng góc Gọi Ví dụ ( ABC ) α ; β ;γ OA, OB, OC góc với Tính giá trị nhỏ 2 M = (3 + cot α ).(3 + cot β ).(3 + cot γ ) biểu thức sau: Trích đề minh họa học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm 2020-2021 Phân tích: ( ABC ) O H Bước 1: Gọi hình chiếu lên mặt phẳng · ∆ABC ⇒ (OA;( ABC )) = OAH = α H Sử dụng tính chất trực tâm tam giác ; · · BOH = β ; COH =γ Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị nhỏ biểu thức Lời giải: Ta có: 1 1 = + + 2 OH OA OB OC OH OH OH ⇔ + + =1 OA2 OB OC ⇒ sin α + sin β + sin γ = Đặt  x = sin α ;   y = sin β ;  x; y; z > ⇒  z = sin γ x + y + z =1 ⇒ = x + y + z ≥ 3 xyz ⇔ xyz ≤ 27 Khi :    M =  + ÷ + ÷ + sin α   sin β  sin γ       ÷ =  + ÷ + ÷ + ÷ x  y  z    1 1 1 36 18 = + 4( + + ) +  + + ÷+ ≥ 8+ + + = 125 x y z 1  xy yz zx  xyz 27 1 M = 125 ⇔ x = y = z = ⇔ sin α = sin β = sin γ = 3 Dạng 2: Tìm cực trị thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Đối với dạng cạnh bên vng góc với đáy chiều cao hình chóp, đó: 1 Vk c = Bh Vk c = Bh h 3 B + với diện tích đáy, chiều cao Tính dựa vào giả thiết toán + Thường dùng bất đẳng thức Côsi đạo hàm để xử lý cực trị S ABCD ABCD Ví dụ 1: Cho hình chóp có đáy hình chữ nhật với SA ⊥ ( ABCD ) Vmax SC = AB = , cạnh bên Tính thể tích lớn khối chóp cho 40 80 20 Vmax = Vmax = Vmax = Vmax = 24 3 A B C D Phân tích: S ABCD Bước 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào giả thiết Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi xét hàm để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: BC = x > ⇒ AC = 16 + x ; Đặt SC = 20 − x S ABCD = AB.BC = x ; ⇒ VS ABCD = x 20 − x Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: x + 20 − x x 20 − x ≤ = 10 40 40 ⇒ VS ABCD ≤ 10 = ⇒ Vmax = 3 Dấu “=” xảy khi: Cách khác x = 10 f ( x ) = x 20 − x Xét hàm số 0;2 Ta có: 4  −x f ' ( x ) = 20 − x + x. 3  20 − x ( )  40 = f ÷ = ⇒ x = 10 ⇒⇒ Vmax =  ( 10 ) Nhận xét: ví dụ dùng bất đẳng thức Côsi để xử lý cực trị nhanh sử dụng cách xét hàm số S ABCD ABCD a Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , SA = b, SA ⊥ ( ABCD ) CD H M cạnh bên Điểm thay đổi cạnh , hình S BM chiếu vng góc Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp a, b S ABH theo a 2b a 2b a 2b a 2b Vmax = Vmax = Vmax = Vmax = 12 24 18 A B C D Phân tích: Bước 1: Tính thể tích khối chóp AH ⊥ BH S ABH dựa vào giả thiết với ý Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: Ta có:  BH ⊥ SH ⇒ BH ⊥ ( SAH ) ⇒ BH ⊥ AH   BH ⊥ SA b VS ABH = SA.S ABH = HA.HB Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: b HA2 + HB ab2 ab VS ABH ≤ = ⇒ Vmax = 12 12 Dấu = xảy : BH = AH ⇒ H ≡ O hay M ≡ D Trong đó: O = AC ∩ BD S ABCD ABCD a Ví dụ 3: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , SA = a, SA ⊥ ( ABCD ) SB, SD M,N cạnh bên Trên lấy hai điểm SM SN = m > 0; =n>0 SB SD cho: Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp 2 2m + 3n = S AMN biết a3 a3 a3 a3 Vmax = Vmax = Vmax = Vmax = 72 48 A B C D Phân tích: VS AMN VABD S AMN Bước 1: Tính thể tích khối chóp dựa tỷ số thể tích 2 2m + 3n = Bước 2: Sử dụng giả thiết bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: 10 cạnh chưa biết hình chữ nhật Sau sử dụng bất đẳng thức xét hàm lập bảng biến thiên để suy giá trị lớn thể tích Phân tích: S ABCD Bước 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào giả thiết Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: H AD Gọi trung điểm ⇒ SH ⊥ AD ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) DA = x > Giả sử: x2 x2 ⇒ HC = + 16 ⇒ SH = 20 − 4 Khi đó: 1 x2 VS ABCD = SH AB AD = x 20 − 3 1 80 = x 80 − x ≤ ( x + 80 − x ) = 3 ) ( Vmax = Vậy: 80 S ABCD ABCD 2a Ví dụ 2: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh α SAB S Tam giác vng nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi ( SBC ) α < 450 SD góc tạo đường thẳng mặt phẳng , với Tìm giá trị S ABCD lớn thể tích khối chóp 8a 4a 2a 4a 3 3 A B C D Phân tích: S ABCD Bước 1: Tính thể tích khối chóp dựa vào giả thiết Chú ý việc ( SBC ) SD xác định xác góc đường thẳng mặt phẳng Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: 12 Gọi D′ đỉnh thứ tư hình SADD′ bình hành ′ DD //SA Khi đó: mà SA ⊥ ( SBC ) SA ⊥ SB SA ⊥ BC (vì , ) D′ nên hình chiếu vng góc ( SBC ) D lên · · ′ = SDA ⇒ ( SD, ( SBC ) ) = α = DSD SA = AD.tan α = 2a.tan α Do : tan α = x x∈ ( 0;1) Đặt , S H AB Gọi hình chiếu lên , 1 VS ABCD = S ABCD SH = 4a SH 3 ta có VS ABCD Do đạt giá trị lớn SH SAB lớn Vì tam giác S vng nên : SA.SB SA AB − SA2 x2 +1− x2 = SH = ≤ a =a = 2ax − x AB AB SH max = a tan α = 2 max VS ABCD = a.4a = a3 3 Từ Suy Dạng 4: Tìm cực trị thể tích khối chóp Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy + Hình chóp có mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với đáy góc + Các cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc M,N ABCD Ví dụ 1: Cho tứ diện có cạnh Gọi hai điểm ( AMN ) BC , BD thay đổi thuộc cạnh cho ln vng góc với mặt 13 phẳng ( BCD ) V1 V2 Gọi , giá trị lớn giá trị nhỏ thể V1 + V2 ABMN tích khối tứ diện Tính 17 17 17 2 216 72 144 12 A B C D Trích đề thi thử SGD - Bắc Ninh năm 2018 Phân tích: ABMN Bước 1: Tính thể tích tứ diện dựa vào giả thiết Chú ý rằng: AH ⊂ ( AMN ) MN H hay ln qua Bước 2: Quan sát hình, dựa vào kiện cho đánh giá nhận xét tích BM BN lớn nhất, nhỏ để suy giá trị lớn nhất, nhỏ thể tích Lời giải: BCD H Gọi tâm tam giác , ta AH ⊥ ( BCD ) ( AMN ) ⊥ ( BCD ) có , mà AH ⊂ ( AMN ) MN nên hay qua BH = H Ta có = 1− = 2 ⇒ AH = AB − BH 3 ABMN Thể tích khối chóp BM BN V = AH S BMN = 12 MN H M Do qua BM BN BC chạy nên lớn V1 = M ≡C N ≡D 24 14 BM BN Vậy nhỏ 17 V1 + V2 = 216 MN //CD BM = BN = 2 ⇒ V2 = 27 ABCD Ví dụ 2: Cho tứ diện M,N có cạnh Gọi hai điểm ( DMN ) ⊥ ( ABC ) AB, AC theo thứ tự di động hai cạnh cho Khi thể tích AMND AM + AN tứ diện đạt giá trị lớn nhất, giá trị tổng bao nhiêu? Trích đề minh họa học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa 2020-2021 Đây dạng câu 50 đề Sở GD Sơn La năm 2020-2021 Phân tích: ABMN diện dựa vào giả thiết Chú ý rằng: Bước 1: Tính thể tích tứ D ABC ABC H tứ diện nên tâm tam giác ABMN Bước 2: Viết biểu thức tính thể tích tứ diện , áp dụng bất đẳng thức Côsi để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: AM = x; AN = y Đặt Dựng DH ⊥ MN = H ( DMN ) ⊥ ( ABC ) ⇒ DH ⊥ ( ABC ) Do D ABC H tứ diện nên tâm tam ABC DHA giác Trong tam giác vuông : mà DH =  3 DA − AH = −  ÷ = ÷   2 S AMN = AM AN sin 600 = xy Ta có: VDAMN = S AMN DH = xy 12 15 Ta có: ⇔ S AMN = S AMH + S ANH 1 ⇔ xy.sin 600 = x AH sin 300 + y AH sin300 2 2 4 x + y = 3xy ≥ xy ⇒ xy ≤ V = 12 xy ≤ 12 = 27 x = y = ⇒ x+ y = 3 Dấu xảy Nhận xét: hai ví dụ giả thiết tương tự nhau, nhiên với cách hỏi khác tạo nên hai toán riêng biệt tạo hứng thú, khơi dậy đam mê học toán cho em đặc biệt học sinh khá, giỏi S ABCD a Ví dụ 3: Cho hình chóp có cạnh , góc tao đường SH α α S ABCD cao hình chóp mặt bên Tìm để lớn 0 30 60 75 450 A B C D Phân tích: S ABCD α Bước 1: Tính thể tích hình chóp theo Bước 2: Thiết lập hàm số lập bảng biến thiên để suy giá trị lớn nhất, nhỏ thể tích Lời giải: CD M Gọi trung điểm HK ⊥ SM H Từ kẻ: π  · · ⇒ α = HSK = HSM 0 , Đặt: 16 t Vmax = 4a ⇔ t = ⇒ α = 450 Lập hàm tính thể tích theo suy được: Dạng 5: Tìm cực trị thể tích số khối chóp khác Ở dạng tốn khối chóp có đặc điểm quen thuộc, gần gũi với học sinh Tuy nhiên thực tế cực trị quen, nên dạng tốn này, tác giả xin trình bày thêm số ví dụ điển hình đề thi để em quy từ “lạ” “quen” giải tốt cực trị thể tích, có nhìn tổng quan đầy đủ dạng tốn vận dụng ABCD AB = x Ví dụ 1: Xét khối tứ diện có cạnh cạnh cịn lại x ABCD Tìm để thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn x= x = 14 x=2 x=3 A B C D Trích mã đề 110 năm 2017 Phân tích: ABCD Bước 1: Tính thể tích tứ diện dựa vào giả thiết ABCD Bước 2: Viết biểu thức tính thể tích tứ diện , xét hàm số lập bảng biên thiên để suy giá trị lớn thể tích Lời giải: Cách 1: ABC DA = DB = DC I Gọi tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ( ABC ) ⇒I D hình chiếu ⇒R= AB.AC.BC x x2 S ABC = = 12 − 4R R Ta có: ID = BD − R Và: x VABCD = DI S ABC = 108 − 3x = f ( x ) ⇒ 17 Khảo sát lập bảng biến thiên Vmax = 3 hàm số suy được: x =3 Dấu “=” xảy khi: Cách 2: M,N Gọi trung điểm CD AB CD ⊥ MB  CD ⊥ MA Ta có: ⇒ CD ⊥ ( MAB ) CD ⊥ MN ⇒ CD ⊥ AB ⇒ VA.BCD = AB.CD.d ( AB, CD ) x x = 32 −  ÷ ≤ 3 2 Dấu “=” xảy khi: x =3 Nhận xét: ví dụ có nhiều cách giải khác nhau, tác giả giới thiệu hai cách khai thác lời giải ngắn gọn giúp học sinh có nhìn dễ hiểu,làm nhanh xác S ABC SA = 1; SB = 2; SC = G Ví dụ 2: Cho hình chóp có Gọi (α ) ∆ABC SG I trọng tâm Mặt phẳng qua trung điểm cắt cạnh SA; SB ; SC M , N,P Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 T= + + 2 SM SN SP 18 Tmin = Tmin = Tmin = Tmin = 7 A B C D 18 Phân tích: Bước 1: Sử dụng điều kiện đồng phẳng vectơ Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để suy giá trị nhỏ 1 T= + + 2 SM SN SP biểu thức Lời giải: uuur ∆ABC G SG = r uuur uuur uuu SA + SB + SC ( ) trọng tâm nên u u u u r u u u SA SB r SC uuur  uur  SA uuuur SB uuur SC uuur  ⇒ SI =  SM + SN + SP ⇒ SI =  SM + SN + SP SI  SM SN SP ÷  SM SN SP ÷ SG uur  SA SB SC  SA SB SC + + =1⇒ + + =6  ÷  SM SN SP  SM SN SP I,M , N,P Do đồng phẳng nên: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có: 1    SA SB SC  2  SM + SN + SP ÷( SA + SB + SC ) ≥  SM + SN + SP ÷ = 36     Tmin = Suy ra: 18 Nhận xét: ta dùng phương pháp đặc biệt hóa để giải ví dụ Vì tốn với hình chóp nên trường hợp hình chóp có cạnh đơi vng góc tọa độ hóa S ABC SA = BC = x ; SB = AC = y ; Ví dụ 3: Cho hình chóp có 2 x + y + z = 12 SC = AB = z S ABC thỏa mãn: Giá trị lớn khối chóp là: 2 3 Vmax = Vmax = Vmax = Vmax = 3 A B C D Phân tích: Bước 1: Dựng hình để xuất tứ diện vng sử dụng tính chất tứ diện vng Bước 2: Sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm giá trị lớn khối chóp S ABC Lời giải: 19 ( ABC ) D, E , F A, B, C Trong mặt phẳng dựng cho trung DE = 2SA = x, DF = 2SB = y, EF = 2SC = z DE, DF , EF điểm SD, SF , SE Suy đơi vng góc Ta có: 1 VS ABC = VS DEF = SD.SE.SF 24 Mặt khác:  SD = ( x + y − z )  SD + SE = x    2 2 2  SF + SD = y ⇒  SE = ( x + z − y )   2 2 2  SF + SF = z   SF = ( z + y − x ) ⇒ VS ABC = ( − x ) ( − y ) ( − z ) 24  18 − x − y − z  ≤ ÷=  3  Vmax = 2 Vậy : Nhận xét: Bài làm theo cách khác: khai thác tính chất tứ diện gần đều: đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện tứ diện vng góc với hai cạnh 2.3.4 Hệ thống tập tự M,N ABCD Bài 1: Cho tứ diện có cạnh Gọi hai điểm ( DMN ) ⊥ ( ABC ) AB, AC theo thứ tự di động hai cạnh cho Khi thể AMND tích tứ diện đạt giá trị lớn bao nhiêu? 27 27 16 16 A B C D Trích đề thi thử Sở GD Sơn La năm 2020-2021 S ABCD V ABCD Bài 2: Cho hình chóp tích , đáy hình ( P) ( ABCD ) SA, SB, SC , SD bình hành Mặt phẳng song song với cắt đoạn 20 ( ABCD ) M , N , E, F M , N , E, F S tương ứng ( khác không nằm ) Các H , K , P, Q M , N , E, F điểm , tương ứng hình chiếu vng góc lên MNEFHKPQ ( ABCD ) Thể tích lớn khối đa diện là: 4 V V V V 27 9 A B C D Trích đề thi thử trường THPT Yên Lạc - Vĩnh Phúc- Lần năm 2018 SA = a, SB = a 2, SC = a S ABC Bài 3: Cho khối chóp có Thể tích lớn khối chóp a3 a3 a3 a3 6 A B C D Trích đề thi thử trường Chuyên Thái Bình – Lần năm 2018 S ABC SA = BC = x Bài 4: Cho hình chóp có độ dài cạnh , 2 SB = AC = y SC = AB = z x + y +z =9 , thỏa mãn Tính giá trị lớn S ABC thể tích khối chóp 6 6 4 A B C D Trích đề thi thử trường THPT chuyên Thái Nguyên - Lần năm 2018 ABCD V M Bài 5: Cho tứ diện tích Điểm thay đổi tam AB, AC , AD BCD M giác Các đường thẳng qua song song với cắt N , P, Q ( ACD ) , ( ABD ) , ( ABC )   mặt phẳng Giá trị lớn khối MNPQ là: V V V V 27 16 54 A B C D Trích đề thi thử trường Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An- Lần năm 2018 S ABCD ABCD a Bài 6: Khối chóp có đáy hình thoi cạnh SA = SB = SC = a SD S ABCD , cạnh thay đổi Thể tích lớn khối chóp là: 21 A a3 a3 Bài 7: Cho hình chóp SA = a , SA ⊥ ( ABCD ) B S ABCD có đáy M C ABCD 3a3 D hình vng cạnh a3 a , cạnh CD H thay đổi , hình chiếu bên Điểm S CD MB M lên Khi thay đổi , tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S ABH Vmax = A a3 Vmax = a3 12 Vmax = a3 3 Vmax = ( ) a3 B C D α ; β ;γ O ABC OA, OB, OC Bài 8: Cho tứ diện có đơi vng góc Gọi ABC ( ) OA, OB, OC góc với Tính giá trị nhỏ biểu thức 2 2 M = tan α + tan β + tan γ + cot α + cot β + cot γ sau: 15 27 10 2 A B C D S ABCD ABCD Bài 9: Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh , cạnh SA = 2, SA ⊥ ( ABCD ) AB, AD M,N bên Trên lấy hai điểm cho 1 T= + ( SMC ) ⊥ ( SNC ) S AMCN AM AN Tính tổng thể tích khối chóp lớn 13 2+ T= T= T= T =2 A B C D SC = x < x < a S ABCD Bài 10: Cho hình chóp có , cạnh lại a S ABCD Biết thể tích khối chóp lớn a m x= ( m, n ∈Ν* ) n Mệnh đề sau đúng? m2 − n = 30 −3m + 2n < 15 4m − n = −20 m + 2n = 10 A B C D 22 S ABC SA, SB, SC I có đơi vng góc Gọi ( P) ABC I tâm đường tròn nội tiếp tam giác Mặt phẳng thay đổi qua cắt SA, SB, SC A ', B ', C ' SA = SB = 2, SC = S A ' B 'C ' tia biết Hỏi thể tích nhỏ ? 81 243 27 7 256 256 256 A B C D ABCD a Bài 12: Cho hình vng cạnh , đường thẳng vng góc với ( ABCD ) S A A mặt phẳng , ta lấy điểm di động khơng trùng Hình chiếu SB, SD H,K A vng góc lên Tìm giá trị lớn thể tích ACHK khối tứ diện a3 a3 a3 a3 32 16 12 A B C D ABCD AB = AC = CD = BD = Bài 13: Cho tứ diện có Khi thể tích ABCD BC AD khối tứ diện lớn khoảng cách hai đường thẳng bằng: 1 3 A B C D SA = a < a < S ABC Bài 14: Cho khối chóp có , cạnh cịn lại S ABC hình chóp Khi thể tích khối chóp lớn giá trị P = 4a + a − biểu thức thuộc khoảng ?  15   33 35   37   33   ;8 ÷  4; ÷  9; ÷  8; ÷         A B C D a M Bài 15: Cho tứ diện cạnh , điểm thuộc miền khối tứ diện tương ứng Tính giá trị lớn tích khoảng cách từ điểm M đến bốn mặt tứ diện cho Bài 11: Cho hình chóp ( ) 23 A a4 521 B a4 576 C a4 81 ABCD D a4 324 S ABCD Bài 16: Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi ( P) SB, SD SC K AK trung điểm Mặt phẳng qua cắt cạnh lần V1 V1 S = max + V1 = VS AMKN , V = VS ABCD N V V M lượt Đặt Tìm 1 17 S= S= S= T= 24 A B C D S ABCD A Bài 17: Cho hình chóp tứ giác có khoảng cách từ đến ( SBC ) ( SBC ) ( ABCD ) α , góc mặt phẳng Thể tích khối a a cosα = a, b ∈ ¥ , b ≠ b S ABCD b chóp nhỏ với tối giản Tính P = 2020a − 2021b −4043 −2022 −8086 −2020 A B C D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Thông qua việc đưa bước giải cụ thể cho dạng toán cực trị đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng dạng tốn, tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh đạt độ xác cao Từ nhận kết kiểm tra tiến rõ rệt Cụ thể, qua kiểm tra thử nghiệm hai lần với học sinh lớp 12A35 12B35, đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt nhiều so với lần Kết khảo sát thực nghiệm sau: Kết kiểm tra lần Điểm 7-8 Điểm 9-10 Số HS Điểm Điểm 5-6 Lớp thực SL % SL % SL % SL % nghiệm 12A3 13,95 46,51 34,88 4,66 43 20 15 % % % % 21,95 21,95 12B35 41 23 56,1% 0% % % Kết kiểm tra lần 24 Số HS thực nghiệ m Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 SL % SL SL SL 43 0 12B35 41 0 11 Lớp 12A3 % 18,6 % 26,8 % 23 22 % 53,48 % 53,65 % 12 % 27,92 % 19,55 % Kết thu được: Qua quan sát thực tế kết hợp với kiểm tra dạng tốn này, tơi thấy - Học sinh định hướng giải nhanh toán cực trị thể tích tơi sưu tầm từ đề thi HSG, đề thi THPT Quốc gia, đề TN THPT trường THPT nước - Học sinh rèn luyện thành thục kỹ tìm cực trị thể tích - cực trị hình học, kỹ tính tốn phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho toán, dạng toán - Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh lớp thực nội dung theo yêu cầu câu hỏi có kết tốt chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy Từ kết khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hồn tồn khả thi áp dụng hiệu trình dạy học 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thực tế giảng dạy tơi thấy cách làm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Hình học khơng gian thân, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Từ việc sử dụng kiến thức thể tích để tìm cực trị hình học cộng với định hướng giáo viên giúp học sinh giải tốt dạng tập cực trị thể tích Với cách tiếp cận hình thành học sinh kỹ giải tốn hình học nói chung, phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho tốn, dạng tốn Tóm lại, để phát triển lực tốn học q trình dạy học mơn Tốn tìm cách nâng cao yếu tố “Tri thức chun mơn Tốn, kỹ làm tốn thái độ tình cảm mơn Tốn” Làm điều trước hết giáo viên phải cần có lực nghiên cứu khó, sáng tạo (phương pháp mới, kiến thức mới, toán ) để nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ ln giữ vững vai trị người điều khiển q trình dạy học Đối với dạng toán người thầy nên hình thành ý rèn luyện, phát triển lực Toán học cho em Rèn luyên kỹ tính cực trị thể tích khối chóp giúp học sinh chủ động việc phát tri thức nắm bắt 25 tri thức để từ kích thích đam mê, sáng tạo học tập mơn Tốn học sinh 3.2 Kiến nghị Trên số sáng kiến kinh nghiệm thực đơn vị năm học vừa qua Rất mong đề tài xem xét, mở rộng để áp dụng cho đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích say mê học Toán XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Nguyễn Thị Lan Hương 26 ... biệt dạng vận dụng: cực trị thể tích khối chóp cực trị thể tích khối lăng trụ phát triển dạng toán toán tương đối khó Trong khn khổ sáng kiến tơi nghiên cứu dạng cực trị thể tích khối chóp 2.2... học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong “Khái niệm thể tích khối đa diện” sách giáo khoa Hình học lớp 12 đưa khái niệm thể tích sau: ? ?Thể tích. .. giá trị lớn nhỏ đại lượng hình học có liên quan đến thể tích khối chóp Để tìm cực trị thể tích khối chóp ta thực theo hai bước sau: Bước 1: Tính thể tích khối chóp cần tìm dựa vào kiến thức học