(SKKN 2022) rèn luyện kỹ năng giải toán vân dụng cho học sinh lớp 12 thông qua một số bài toán cực trị hình học giả tích trong không gian bằng phương pháp ứng dụng tâm tỉ cự của hệ điểm

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Đất nước ta đường hội nhập phát triển, từ cần người phát triển tồn diện Muốn vậy, phải nghiệp giáo dục đào tạo, đòi hỏi nghiệp giáo dục phải đổi cách toàn diện để đáp ứng nhu cầu phát triển xã hội Để đổi nghiệp giáo dục đào tạo trước hết phải đổi phương pháp dạy học, có phương pháp dạy học mơn Tốn Chính trình dạy học giáo viên cần phát huy cao độ tính tích cực, sáng tạo học sinh học tập, nhằm đạt kết cao dạy Muốn đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kĩ chương trình, đối tượng học sinh, đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền đạt Những năm gần đề thi TN THPTQG đề thi HSG 12 có phần cực trị hình học giải tích khơng gian Trước kì thi TN THPTQG kì thi học sinh giỏi tỉnh, với mong muốn cung cấp thêm cho em học sinh số kiến thức để lấy điểm tối đa từ tốn liên quan đến cực trị hình học giải tích khơng gian Từ tơi nghiên cứu viết đề tài: “Rèn luyện kỹ giải tốn vận dụng cho học sinh lớp 12 thơng qua số tốn cực trị hình học giải tích khơng gian phương pháp ứng dụng tâm tỉ cự hệ điểm’’ Hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên học sinh Rất mong nhận đóng góp ý kiến, nhận xét đánh giá đồng nghiệp để đề tài hồn thiện 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận, làm quen thành thạo với loại tốn tìm cực trị hình học giải tích khơng gian cách nhanh nhất, hiệu - Thứ hai: Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mình, tơi muốn học sinh khơng cịn cảm thấy sợ hay lo lắng gặp tốn cực trị hình học giải tích không gian 1.3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: - Kiến thức hình học phẳng véc tơ (lớp 10) - Kiến thức hình học giải tích Oxyz - Học sinh lớp 12A8, 12A9 năm học 2021 - 2022 trường THPT Nông Cống I 1.4 Phương pháp nghiên cứu: - Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Sử dụng phương pháp phân loại thống hóa lý thuyết - Sử dụng phương pháp kiểm tra đánh giá - Sử dụng phương pháp thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong nghiên cứu khoa học việc tìm quy luật, phương pháp để giải vấn đề vơ quan trọng giúp có định hướng tìm lời giải lớp toán Trong dạy học giáo viên người có vai trị thiết kế điều khiển cho học sinh thực luyện tập hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì trang bị phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện kỹ năng, phát triển lực cho học sinh nhiệm vụ quan trọng người giáo viên Trong chương 1“ véc tơ” hình học lớp 10, hướng dẫn học sinh kiến thức toán xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véc tơ thực chất toán sử dụng tâm tỉ cự hệ điểm để giải toán Trong năm gần đây, việc tìm cực trị hình học giải tích khơng gian có mặt nhiều đề thi TN THPT đề thi HSG.Trong khuôn khổ sáng kiến nghiên cứu dạng ứng dụng tâm tỉ cự hệ điểm để tìm cực trị hình học giải tích không gian 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Nông Cống I trường nằm trung tâm huyện, đa số học sinh thuộc địa bàn xã lân cận thị trấn nên điều kiện học tập em nhìn chung thuận lợi Điều tác động tốt đến kết học tập em Trong q trình dạy học tơi nhận thấy điều để học tốt mơn hình học cần phải nắm vững kiến thức, địi hỏi học sinh phải có khả phán đốn, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ vẽ hình , kỹ trình bày chặt chẽ tư logic cao, kỹ phân tích giả thiết quan hệ đối tượng hình học Nhưng thực tế điều lại điểm yếu khơng học sinh, kể học sinh giỏi, dẫn đến tâm lý chán, ngại sợ học mơn hình học nói chung phần cực trị hình học giải tích khơng gian nói riêng Hơn việc áp dụng kiến thức tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học giải tích khơng gian học sinh đa số dừng lại mức độ nhận biết, học sinh thục kỹ sáng tạo vận dụng kiến thức tâm tỉ cự để xử lý tốn cực trị hình học dạng này, mà đa phần học sinh tỏ lúng túng khơng định hình cách giải.Mặt khác, phần lớn giáo viên dừng lại mức trang bị lý thuyết giao nhiệm vụ cho học sinh vài tập cụ thể mà chưa khai thác tốn khó khơng có sách giáo khoa Ngồi số tiết theo phân phối chương trình dành cho phần khơng có mà chủ đề tự chọn có đụng đến tốn liên quan cho cơng thức sử dụng nhanh nên ảnh hưởng không nhỏ đến việc dạy học 2.3 Nội dung cụ thể 2.3.1 Hệ thống kiến thức học cho học sinh trước tiếp nhận kiến thức +) Véc tơ, phép toán véc tơ +) Kiến thức trọng tâm hình học tọa độ Oxy Oxyz 2.3.2 Tìm hiểu ứng dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học giải tích khơng gian Bài tốn ứng dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học giải tích khơng gian tốn tìm giá trị lớn nhỏ đại lượng hình học có liên quan đến biểu thức véc tơ 2.3.3 Hướng dẫn rèn luyện ứng dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học giải tích khơng gian thường gặp giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn, xác 2.3.3.1.Cơ sở phương pháp giải sử dụng tâm tỉ cự Xuất phát từ việc khai thác toán sau: Cho hệ n điểm a) Chứng minh có điểm I cho: Điểm I gọi tâm tỉ cự hệ điểm , gắn với hệ số Trong trường hợp hệ số I gọi trọng tâm hệ điểm b) Chứng minh I tâm tỉ cự nói câu a, điểm O ta có: Chứng minh a) Ta có: Vậy điểm I xác định b) Với điểm O bất kì, Điều phải chứng minh 2.3.3.2 MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý Kết ( Bài toán tâm tỉ cự điểm) Cho hai điểm Vì: nên: 1) Nếu 2) Nếu M gọi tâm tỉ cự điểm A;B ứng với số 3) Nếu 4) Nếu 5) Với điểm O,ta có: Khi mà cơng thức quen thuộc mà ta biết Kết ( Bài toán tâm tỉ cự điểm) Cho hai điểm Vì: nên: 1) Nếu 2) Nếu M gọi tâm tỉ cự điểm A;B:C ứng với số 3) Nếu 4) Nếu 5) Nếu: 6) Với điểm O,ta ln có: Khi mà công thức quen thuộc mà ta biết *) Nhận xét: Từ toán kết nhận được, ta rút nhận xét sau: 1) Hình thành khái niệm trọng tâm hệ điểm: Cho n điểm Tồn điểm I cho: Khi đó, I gọi trọng tâm hệ n điểm *) Khi n=2 trọng tâm hệ hai điểm trùng với trung điểm đoạnn thẳng *) Khi n=3 trọng tâm hệ ba điểm trùng với trọng tâm tam giác *) Khi n=4 trọng tâm hệ điểm trùng với trọng tâm tứ giác (giao điểm đoạn nối trung điểm cạnh đối diện, trung điểm đoạn nối trung điểm đường chéo) 2)Cho n điểm có I trọng tâm Khi đó, với điểm M tùy ý, ta có: 3) Trong khơng gian Oxyz cho n điểm: Từ hệ thức (1), ta có cơng thức tính tọa độ điểm I là: 2.3.3.3 CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Cực trị độ dài véc tơ Bài toán 1:Cho hệ n điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm điểm M đường thẳng d mặt phẳng (P) cho đạt giá trị nhỏ Phương pháp giải: Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự Gọi điểm I thỏa mãn: Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Bước 3: Điểm M cần tìm hình chiếu vng góc điểm I đường thẳng d mp(P) Vídụ1.1: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm Điểm đạt giá trị nhỏ Khi đó, A B C D Phân tích: Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự Gọi điểm I thỏa mãn: Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Bước 3: Điểm M cần tìm hình chiếu vng góc điểm I mp(P) Lời giải *) Gọi Khi đó: *) Ta có: = = Vậy nhỏ Khi M hình chiếu vng góc I mp(P) *) - Phương trình - Tọa độ Chọn D Ví dụ 1.2: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm Điểm đạt giá trị nhỏ Khi đó, mệnh đề sau đúng? A B C D Phân tích: Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự Gọi điểm I thỏa mãn: Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Bước 3: Điểm M cần tìm hình chiếu vng góc điểm I đường thẳng Lời giải *) Gọi Khi đó: *) Ta có: = = Vậy nhỏ Khi M hình chiếu vng góc I đường thẳng *) - Phương trình - Tọa độ Chọn A *) Chú ý: Nếu toán cho điểm M thuộc mặt cầu khơng tìm hình chiếu vng góc mặt cầu nên lúc thay tìm hình chiếu vng góc xác định M giao điểm đường thẳng nối tâm tỉ cự tâm cầu với mặt cầu.để hiểu rõ toán này, tiến hành làm ví dụ 1.3sau Ví dụ 1.3: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm Điểm đạt giá trị nhỏ Khi đó, mệnh đề sau đúng? A B C D Phân tích: Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự Gọi điểm I thỏa mãn: Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Bước 3: Điểm M cần tìm giao điểm đường thẳng Lời giải *) Gọi Khi đó: *) Ta có: = = Vậy nhỏ Khi M giao điểm đường thẳng *) Phương trình đường thẳng *) Vậy ) điểm cần tìm Khi đó: Chọn A Nhận xét: tương tự em ý tìm điểm M phải xét xem điểm thỏa mãn yêu cầu tốn Dạng 2: Cực trị độ dài bình phương vơ hướng véc tơ Bài tốn 2: Cho hệ n điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) Tìm điểm M đường thẳng d mặt phẳng (P) cho tốn đạt giá trị nhỏ nhất( lớn nhất) Phương pháp giải: Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự Gọi điểm I thỏa mãn: Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Do tổng khơng đổi nên : Bước 3: *) Nếu tổng S nhỏ M hình chiếu vng góc điểm I đường thẳng d mp(P) *) Nếu tổng S lớn M hình chiếu vng góc điểm I đường thẳng d mp(P) Ví dụ 2.1 : (Câu 41 đề minh họa năm 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm Xét M điểm thay đổi thuộc (P) Khi đó, giá trị nhỏ A B C 106 D Phân tích: Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự Gọi điểm I thỏa mãn: Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Bước 3: Xem giá trị k âm hay dương để tìm max, tổng S Lời giải Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự Gọi điểm thỏa mãn: Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Bước 3: Do tổng không đổi nên tổng S nhỏ M hình chiếu vng góc điểm I mp(P) Khi Mà Vậy Chọn A Ví dụ 2.2: Trong không gian Oxyz cho điểm: Xét điểm thay đổi thuộc cho: Khi đó, tổng bằng: A B C D Phân tích: Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự Gọi điểm I thỏa mãn: Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Bước 3: Lời giải Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự Gọi điểm I thỏa mãn: Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Bước 3: Do tổng không đổi nên tổng S nhỏ M hình chiếu vng góc điểm I đường thẳng *) Vậy Chọn C Ví dụ 2.3: Trong không gian Oxyz cho điểm: Xét điểm thay đổi thuộc cho: Khi đó, tổng bằng: A B C D Phân tích: Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự Gọi điểm I thỏa mãn: Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Bước 3: Lời giải Bước 1: Áp dụng tâm tỉ cự Gọi điểm thỏa mãn: Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Bước 3: Do tổng không đổi nên tổng S nhỏ *) Phương trình đường thẳng *) Vậy điểm cần tìm Khi đó: Chọn B *)Tổng quát: - Đối với dạng toán này, làm em ý: + Nếu M thuộc đường thẳng hay mặt phẳng M hình chiếu vng góc tâm tỉ cự I đường thẳng mặt phẳng +) Nếu M thuộc mặt cầu M giao điểm đường thẳng nối tâm tỉ cự tâm cầu với mặt cầu( ý cách lựa chọn điểm M cho phù hợp) Chú ý: Chúng ta có tính chất quan trọng việc ứng dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học sau: *)Tính chất: Cho Gọi tâm đường trịn nội tiếp Khi đó, Ta có: Ví dụ 2.4: Trong không gian Oxyz cho điểm:A qua tâm đường tròn nội tiếp Xét điểm thay đổi Khi đó, giá trị nhỏ A B C D Phân tích: Bước 1: Áp dụng tính chất tâm đường trịn nội tiếp I tâm tỉ cự Gọi điểm I thỏa mãn: (với Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Bước 3: Lời giải Bước 1:Áp dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp I tâm tỉ cự Gọi điểm thỏa mãn: (với hay : Bước 2: Áp dụng quy tắc điểm biến đổi: Bước 3: =(0;1;1) Khi đó, = Chọn B 2.3.4 Hệ thống tập tự Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm Điểm là: A B C D.4 Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm Điểm Khi đó, tọa độ điểm M là? A B C D Bài 3:Trong không gian Oxyz cho điểm: Xét điểm thay đổi cho: Khi đó, giá trị bằng: A B C D Bài : Trong không gian Oxyz, cho điểm Điểm Khi đó, giá trị A B C D Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho điểm Điểm đạt giá trị nhỏ Khi đó, giá trị A B C D Bài 6: Cho tứ diện Điểm đạt giá trị nhỏ Khi đó, giá trị A B C D Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho điểm Điểm Khi đó, cao độ điểm M là? A B C D Hướng dẫn:- Áp dụng tâm tỉ cự cho điểm điểm ta có: (trong đó: ) -Xét vị trí tương đối I J mặt phẳng (P): +) Nếu I J phía với (P) gọi I’ đối xứng với I qua (P) +) Nếu I J khác phía với (P) Bài 8: Trong không gian Oxyz cho điểm: Xét điểm thay đổi thuộc cho: Khi đó, giá trị của: bằng: A B C.𝑃=-82 D Bài 9: Trong không gian Oxyz cho điểm: Xét điểm thay đổi thuộc cho: Khi đó, giá trị nhỏ bằng: A B C D Bài 10: Trong không gian Oxyz cho điểm: điểm thay đổi cho: Khi đó, tổng bằng: A B C D Bài 11: Trong không gian Oxyz cho điểm: Điểm điểm thay đổi cho: Khi đó, tổng bằng: 10 A B C D Bài 12: Trong không gian Oxyz cho điểm: Điểm điểm thay đổi cho: Khi đó, tổng bằng: A B C D Bài 13: Trong không gian Oxyz cho điểm: Điểm điểm thay đổi cho: Khi đó, giá trị lớn bằng: A B C D Bài 14: Trong không gian Oxyz cho điểm: Xét điểm thay đổi thuộc cho: Khi đó, giá trị ? A B C D Bài 15: Trong không gian Oxyz cho điểm: Xét điểm thay đổi thuộc cho: Khi đó, giá trị ? A B C D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục Thông qua việc đưa bước giải cụ thể cho dạng toán cực trị đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng dạng tốn, tơi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh đạt độ xác cao Từ nhận kết kiểm tra tiến rõ rệt Cụ thể, qua kiểm tra thử nghiệm hai lần với học sinh lớp 12A8 12A9, đề kiểm tra lần mức độ khó thời gian làm ngắn kết tốt nhiều so với lần Kết khảo sát thực nghiệm sau: Kết kiểm tra lần Điểm 7-8 Điểm 9-10 Số HS Điểm Điểm 5-6 Lớp thực SL % SL % SL % SL % nghiệm 12A 19,51 51,22 29,27 41 21 12 0% % % % 12A 21,95 21,95 41 23 56,1% 0% % % Kết kiểm tra lần Số HS Điểm Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 thực Lớp nghiệ SL % SL % SL % SL % m 12A 41 0 12 29,27 25 60,97 9,76% 11 12A 41 0 16 % 30,02 % 21 % 51,22 % 9,76% Kết thu được: Qua quan sát thực tế kết hợp với kiểm tra dạng tốn này, tơi thấy - Học sinh định hướng giải nhanh toán cực trị hình học giải tích khơng gian tơi sưu tầm từ đề thi HSG, đề thi THPT Quốc gia, đề TN THPT trường THPT nước - Học sinh rèn luyện thành thục kỹ tìm cực trị hình học giải tích khơng gian nhờ vào tâm tỉ cự, kỹ tính tốn phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho toán, dạng toán - Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh lớp thực nội dung theo yêu cầu câu hỏi có kết tốt chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy Từ kết khẳng định giải pháp mà đề tài đưa hồn tồn khả thi áp dụng hiệu trình dạy học 2.4.2 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thực tế giảng dạy tơi thấy cách làm góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Hình học giải tích khơng gian thân, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy mơn Tốn nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Từ việc sử dụng kiến thức tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học giải tích khơng gian cộng với định hướng giáo viên giúp học sinh giải tốt dạng tập cực trị hình học dạng Với cách tiếp cận hình thành học sinh kỹ giải tốn hình học nói chung, phát huy tính sáng tạo tìm tịi lời giải cho tốn, dạng tốn Tóm lại, để phát triển lực tốn học q trình dạy học mơn Tốn tìm cách nâng cao yếu tố “Tri thức chuyên mơn Tốn, kỹ làm tốn thái độ tình cảm mơn Tốn” Làm điều trước hết giáo viên phải cần có lực nghiên cứu khó, sáng tạo (phương pháp mới, kiến thức mới, tốn ) để nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ ln giữ vững vai trị người điều khiển q trình dạy học Đối với dạng tốn người thầy nên hình thành ý rèn luyện, phát triển lực Toán học cho em Rèn luyên kỹ tìm cực trị hình học giải tích khơng gian nhờ ứng dụng tâm tỉ cự giúp học sinh chủ động việc phát tri thức nắm bắt tri thức để từ kích thích đam mê, sáng tạo học tập mơn Tốn học sinh 3.2 Kiến nghị Trên số sáng kiến kinh nghiệm thực đơn vị năm học vừa qua Rất mong đề tài xem xét, mở rộng 12 để áp dụng cho đối tượng học sinh, giúp học sinh yêu thích say mê học Toán XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 28 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Lê Thị Yến 13 ... áp dụng kiến thức tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học giải tích khơng gian học sinh đa số dừng lại mức độ nhận biết, học sinh thục kỹ sáng tạo vận dụng kiến thức tâm tỉ cự để xử lý tốn cực trị hình. .. dẫn rèn luyện ứng dụng tâm tỉ cự để tìm cực trị hình học giải tích khơng gian thường gặp giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh gọn, xác 2.3.3.1.Cơ sở phương pháp giải sử dụng tâm tỉ cự Xuất... thác toán sau: Cho hệ n điểm a) Chứng minh có điểm I cho: Điểm I gọi tâm tỉ cự hệ điểm , gắn với hệ số Trong trường hợp hệ số I gọi trọng tâm hệ điểm b) Chứng minh I tâm tỉ cự nói câu a, điểm