SKKN rèn luyện kỹ năng giải các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NHƯ THANH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐẠO HÀM, GĨP PHẦN NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG ƠN TẬP THI THPT QUỐC GIA TẠI TRƯỜNG THPT NHƯ THANH Giáo viên: Nguyễn Khắc Sâm Tổ: Toán - Tin Trường: THPT Như Thanh SKKN thuộc mơn Tốn THANH HĨA, NĂM 2019 MỤC LỤC XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ .28 Như Thanh, ngày 16 tháng 05 năm 2019 28 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 28 28 Nguyễn Khắc Sâm 28 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Trong cơng đổi tồn diện giáo dục nước nhà, đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng hàng đầu Đổi phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt tính tích cực, sáng tạo người học Nhưng thay đổi phương pháp hoàn toàn lạ mà phải trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Trong chương trình đổi nội dung Sách giáo khoa, đạo hàm công cụ mạnh để giải nhiều toán Giữa hàm số f ( x ) đạo hàm f '( x ) có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Đạo hàm hàm số ngồi việc biểu diễn dạng cơng thức thể qua đồ thị, việc dựa vào đồ thị hàm số f '( x ) để tìm tính chất hàm số f ( x ) giúp ta giải nhiều tốn khó Từ năm học 2016-2017, Bộ GD&ĐT thay đổi từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm mơn Tốn, xuất đề thi nhiều tốn có giả thiết cho đồ thị bảng biến thiên hàm số f '( x ) yêu cầu tính chất hàm số f ( x ) Đây yêu cầu mẻ học sinh, để giải dạng toán học sinh cần phải nắm vững kiến thức hàm số, đạo hàm ứng dụng Xuất phát từ lý trên, chọn đề tài “Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT Quốc Gia trường THPT Như Thanh” để nghiên cứu 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài nghiên cứu nhằm giúp học sinh giải tốt toán vận dụng, vận dụng cao hàm số f ( x ), f [ u( x ) ] biết đồ thị hàm số f '( x ) 1.3 Đối tượng nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm có đối tượng nghiên cứu vận dụng số lý thuyết chương trình SGK lớp 12 để giải toán đơn điệu, cực trị, GTLN-GTNN hàm f [ u( x )] biết đồ thị hàm số f '( x ) 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để trình bày sáng kiến kinh nghiệm này, tơi sử dụng phối kết hợp nhiều phương pháp như: -Nghiên cứu tài liệu, quan sát, điều tra bản, thực nghiệm so sánh, phân tích kết thực nghiệm, … phù hợp với mơn học thuộc lĩnh vực Tốn học - Trao đổi với đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Nghị Hội nghị BCH Trung ương Đảng lần thứ tám (Khóa XI) đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo nêu rõ: "Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực " Mọi người cần phải học toán dùng toán sống hàng ngày Vì mà Tốn học có vị trí quan trọng tất lĩnh vực đời sống xã hội Hiểu biết Toán học giúp cho người ta tính tốn, suy nghĩ, ước lượng, có cách thức tư duy, phương pháp suy nghĩ, suy luận lôgic, giải vấn đề nảy sinh, học tập sống hàng ngày Ở trường phổ thơng, học tốn hoạt động giải toán Giải toán liên quan đến việc lựa chọn áp dụng xác kiến thức, kỹ bản, khám phá số, xây dựng mô hình, giải thích số liệu, trao đổi ý tưởng liên quan, Giải tốn đòi hỏi phải có tính sáng tạo, hệ thống Học toán giải toán giúp học sinh tự tin, kiên nhẫn, bền bỉ, biết làm việc có phương pháp Kiến thức mơn Tốn ứng dụng, phục vụ cho việc học môn học khác Vật lí, Hóa học, Sinh học, Do đó, trường phổ thơng nói chung, việc dạy học mơn Tốn để đáp ứng u cầu đổi giai đoạn phải tập trung vào việc hình thành phát triển lực chung lực chun biệt mơn Tốn như: Năng lực tư (gồm: tư lôgic; tư phê phán; tư sáng tạo; khả suy diễn, lập luận tốn học), Năng lực tính tốn (gồm: lực sử dụng phép tính; lực sử dụng ngơn ngữ tốn; lực mơ hình hóa; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện hỗ trợ tính tốn) 2.2 Thực trạng Trong trình dạy học trường THPT Như Thanh nhiều năm nhận thấy việc học mơn tốn học sinh khó khăn, đặc biệt toán hàm số f ( x ) biết đồ thị hàm số f '( x ) Các em đâu, vận dụng kiến thức liên quan nào… Chính khó khăn ảnh hưởng khơng nhỏ đến chất lượng học tập mơn Tốn, dẫn đến em khơng có hứng thú việc học mơn Toán Khi chưa áp dụng nghiên cứu đề tài để dạy học giải tập hàm số f ( x ) biết đồ thị hàm số f '( x ) , em thường thụ động việc tiếp cận toán phụ thuộc nhiều vào cách giải mà giáo viên cung cấp chưa chủ động việc giải toán dạng Kết khảo sát số lớp chọn khối A trường có 10% học sinh hứng thú với dạng toán 2.3 Giải vấn đề Năm học 2017-2018 năm học thứ hai mơn Tốn thi hình thức trắc nghiệm, mã đề 101 có tốn sau: Cho hai hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) Hai hàm số y = f ′ ( x ) y = g ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y = g ′ ( x ) y = f ′( x) y 10 O x 1011 y = g′ ( x )   Hàm số h ( x ) = f ( x + ) − g  x − ÷ đồng biến khoảng đây?   9   ; ÷ 4        A  5; ÷ B C  ; + ∞ ÷ D  6; ÷       (Trích câu 50 đề thức thi THPT Quốc gia 2018) Đây toán tương đối khó với em học sinh phổ thơng, kể học sinh có học lực giỏi Cái khó khăn bái tốn việc tìm mối liên hệ hai điều kiện đồ thị hàm số f '( x ), g '( x ) tính đơn điệu hàm h( x ) Sau số cách giải toán 31 31 25 Cách 1: Đặt X = x + , Y = x − Ta có h′ ( x ) = f ′ ( X ) − g ′ ( Y )   Để hàm số h ( x ) = f ( x + ) − g  x − ÷ đồng biến h′ ( x ) ≥   3 ≤ x + ≤  ⇒ f ′ ( X ) ≥ g ′ ( Y ) với X , Y ∈ [ 3;8] ⇒  3 ≤ x − ≤ −1 ≤ x ≤ −1 ≤ x ≤ 19      19  ⇔ 9 ⇔ 19 9 19 ⇔ ≤ x ≤ Vì  ; ÷ ⊂  ; ÷ Vậy, ≤ 2x ≤ 4 4  4    ≤ x ≤ 2 chọn B Cách 2: Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) A ( a;10 ) , a ∈ ( 8;10 ) Khi ta có:  f ( x + ) > 10, < x + < a  f ( x + ) > 10, − < x <   ⇒    3 3 25  g  x − ÷ ≤ 5, ≤ x − < 11  g  x − ÷ ≤ 5, ≤ x ≤       3  Do h′ ( x ) = f ′ ( x + ) − g ′  x − ÷ > ≤ x < Vậy, chọn B     Cách 3: Ta có h′ ( x ) = f ′ ( x + ) − g ′  x − ÷   25 9  Dựa vào đồ thị, ∀x ∈  ;3 ÷, ta có < x + < , f ( x + ) > f ( 3) = 10 ;   3  < x − < , g  x − ÷< f ( ) = 2 2  3  9  Suy h′ ( x ) = f ′ ( x + ) − g ′  x − ÷ > 0, ∀x ∈  ;3 ÷ Do hàm số đồng     9  biến  ;3 ÷ Vậy, chọn B   Rõ ràng tốn có nhiều hướng để giải quyết, nhiên học sinh khơng có kỹ đọc đồ thị hàm số đạo hàm khó khăn Trong năm học 2016-2017 năm tổ chức thi hình thức trắc nghiệm với mơn Tốn, đề thi thức mã đề 101 có tốn sau: Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f ¢(x) hình bên Đặt h(x) = 2f (x) - x2 Mệnh đề ? y - 2 - x A h(4) = h(- 2) > h(2) B h(4) = h(- 2) < h(2) C h(2) > h(4) > h(- 2) D h(2) > h(- 2) > h(4) (Trích câu 49 đề thức thi THPT Quốc gia 2017) Giải + Tính đạo hàm: h(x) = 2f (x) - x Ta có: h¢(x) = 2f ¢(x) - 2x h¢(x) = Û 2f ¢(x) - 2x = Û f ¢(x) = x + Vẽ thêm đường thẳng y = x vào đồ thị hình bên y -2 2 -2 x éx = - ê ¢ h (x) = Û ê êx = (tại giao điểm đường cong đường thẳng hình) ê x=4 ê ë é- < x < h¢(x) > Û 2f ¢(x) - 2x > Û ê êx > ê ë éx < - h¢(x) < Û 2f ¢(x) - 2x < Û ê ê2 < x < ê ë + Bảng biến thiên + Từ bảng biến thiên ta nhận thấy h ( 2) lớn giá trị cực trị + Chỉ cần so sánh hai giá trị cực tiểu lại - - Ta có: h(4) - h(- 2) = ò h '(x)dx = ò h '(x)dx + ò h '(x)dx > Û h(4) > h(- 2) + Vậy thứ tự là: h(2) > h(4) > h(- 2) Vậy, chọn đáp án C Như vây, toán liên quan đến đồ thị hàm số ln xuất nhiều đề thi thức năm học qua đề minh hoạ Bộ GD& ĐT năm học 2018-2019 Trong sáng kiến kinh nghiệm tập trung vào giải ù biết đồ thị hàm số f '(x) toán liên quan đến hàm số f (x), f é ê ëu(x)ú û 2.3.1 Cơ sở lý thuyết Các kiến thức bản: Các kiến thức sử dụng đề tài bao gồm định nghĩa tính chất từ sách giáo khoa mà học sinh học 2.3.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1: Cho hàm số f xác định K Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến (hay tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) gọi nghịch biến (hay giảm) K ∀ x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Định nghĩa 2: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục khoảng ( a; b ) (có thể a −∞ ; b +∞ ) điểm x0 ∈ ( a; b ) a Nếu tồn số h > cho f ( x ) < f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h ) x ≠ x0 ta nói hàm số f ( x ) đạt cực đại x0 b Nếu tồn số h > cho f ( x ) > f ( x0 ) với x ∈ ( x0 − h; x0 + h ) x ≠ x0 ta nói hàm số f ( x ) đạt cực tiểu x0 Định nghĩa 3: Cho hàm số y = f (x) xác định tập D a Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f ( x ) tập D f ( x ) ≤ M f ( x) với x thuộc D tồn x0 ∈ D cho f ( x0 ) = M Kí hiệu M = max D b Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f ( x ) tập D f ( x ) ≥ m f ( x) với x thuộc D tồn x0 ∈ D cho f ( x0 ) = m Kí hiệu m = D 2.3.1.2 Các tính chất Định lý 1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm K + Nếu f ¢( x) > 0, " x Î K hàm số y = f ( x) đồng biến K + Nếu f ¢( x) < 0, " x Ỵ K hàm số y = f ( x) nghịch biến K Định lý mở rộng: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm K Nếu ( ) f ¢( x) 0, " x ẻ K (hoc f Â( x) £ 0, " x Ỵ K ) f ′ x = số hữu hạn điểm hàm số y = f ( x) đồng biến (nghịch biến) K Định lý 2:: Giả sử hàm số f có cực trị điểm x0 Khi đó, f có đạo hàm x0 f ′ ( x0 ) = Định lý 3: Giả sử hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng K = ( x0 − h; x0 + h ) có đạo hàm K K \ { x0 } , với h > a Nếu f ' ( x ) > khoảng ( x0 − h; x0 ) f ' ( x ) < khoảng ( x0 ; x0 + h ) x0 điểm cực đại hàm số f ( x ) b Nếu f ' ( x ) < khoảng ( x0 − h; x0 ) f ' ( x ) > khoảng ( x0 ; x0 + h ) x0 điểm cực tiểu hàm số f ( x ) 2.3.1.3 Một số phép biến đổi đồ thị hàm số - Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) Đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x + a ) suy từ đồ thị ( C ) cách tịnh tiến đồ thị ( C ) theo phương trục hoành đoạn a Nếu a < tịnh tiến đồ thị ( C ) qua phải a đơn vị a > tịnh tiến đồ thị ( C ) qua trái a đơn vị - Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) Đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) + b suy từ đồ thị ( C ) cách tịnh tiến đồ thị ( C ) theo phương trục tung đoạn b Nếu b < tịnh tiến đồ thị ( C ) xuống b đơn vị b > tịnh tiến đồ thị ( C ) lên b đơn vị - Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) Đồ thị hàm số ìï f ( x ) x > (C3 ) : y = f ( x ) = ïí suy từ đồ thị hàm số ( C ) cách: ïï f ( - x ) x £ ỵ + Giữ ngun phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục Oy bỏ phần ( C ) nằm bên trái Oy + Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm bên phải trục Oy qua Oy - Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) Đồ thị hàm số ìï f ( x ) f ( x ) > (C3 ) : y = f ( x ) = ïí suy từ đồ thị hàm số ( C ) cách: ïï - f ( x ) f ( x ) £ ỵ + Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) nằm Ox + Lấy đối xứng phần đồ thị ( C ) nằm Ox qua Ox bỏ phần đồ thị ( C ) nằm trục Ox 2.3.1.4 Một số ứng dụng tích phân a Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hồnh Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục, trục b hoành hai đường thẳng x = a; x = b tính theo công thức: S = ∫ f ( x ) dx a b Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) liên tục đoạn [ a; b] Khi diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) hai đường thẳng b x = a, x = b S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx a ù biết đồ thị hàm 2.3.2 Một số dạng toán hàm số f (x), f é êu(x)û ú ë số f '(x) ù biết đồ thị Dạng 1: Xét tính đơn điệu, cực trị hàm số f (x), f é ê ëu(x)ú û f '( x ) hàm số Với dạng ta thường gặp dạng toán sau đây: Bài toán: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, liên tục ¡ có đồ thị đạo hàm y = f ′ ( x ) hình vẽ cho trước Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến , ù cực trị hàm số y = f é ( x) û ú ë Để giải toán ta thường thực theo bước sau: Bước 1: Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) tìm nghiệm phương trình f ¢( x) = (hoành độ giao điểm đồ thị hàm f ′ ( x ) với trục Ox ) Giả sử có nghiệm là: x = x1, x = x2, ù giải phương trình Bước 2: Tính đạo hàm hàm số y = f é ( x) û ú ë ( ) ( ) u′ x f ′ u x  =   ( ) ( ) ( ) u′ x =  u x = x1 u′ ( x ) f ′ u ( x )  = ⇔  ⇒ nghiệm xi (i = 1, n)   u x = x2   Bước 3: Tìm khoảng f ′ ( x ) > 0, f ′ ( x ) < Giả sử f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ ( a;b) ( ) ( ) ( ) ( ) f ′ u x  > 0, ∀u x ∈ a;b Giải bất phương trình a < u x < b   Bước 4: Lập bảng biến thiên kết luận Sau số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x) có đồ thị hình vẽ sau Tìm khoảng đồng biến hàm số y = f ( − x ) (Trích đề minh hoạ năm 2018 – BGD&ĐT) Giải +) Dựa vào đồ thị hàm f ′ ( x ) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ′ x > 0, ∀x ∈ −1;1 ∪ 4; +∞ ; f ′ x < 0, ∀x ∈ −∞; −1 ∪ 1;4 x = −1  f ′ x = ⇔ x = x =  ( ) +) Đặt g( x ) = f ( − x ) Ta có: g′ ( x ) = ( − x) ′ f ′ ( − x ) = − f ′ ( − x ) +) Để hàm g( x ) = f ( − x ) đồng biến thì: g′ ( x ) > ⇔ − f ′ ( − x ) > ⇔ f ′ ( − x ) < 2 − x < −1 ⇔ ⇔ 1 < − x < x >   −2 < x < Vậy, hàm số đồng biến khoảng ( −2;1) ( 3; + ∞ ) Qua ví dụ 1, học sinh hình thành tư tương tự cho toán việc xét tính đơn điệu hàm số Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ , hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị hàm số g ( x ) = f ( − x − x ) ¡ 10 Vậy, £ m < hàm số y = f (x2 + m) có cực trị Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ đồ thị hình bên đồ thị đạo hàm y = f ¢( x) Hàm số g( x) = f ( x ) + 2019 có điểm cực trị? y = f '(x) Giải + Ta có f '( x) = có nghiệm thực x = a < 0;x = b > 0;x = c > f '( x) > khoảng ( a;b) và( c; +¥ ) f '( x) < khoảng ( - ¥ ;a) và( b;c) + Bảng biến thiên: + Vì hàm số y = f ( x) có cực trị có cực trị có hoành độ dương + Thực biến đổi đồ thị hàm số dạng y = f ( x ) Bỏ phần đồ thị phía bên trái trục tung, lấy đôi xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung (hình vẽ đây) đồ thị hàm số y = f ( x ) y = f(x ) + Ta thấy đồ thị hàm số y = f ( x ) có cực trị, suy đồ hàm số ( ) g( x) = f x + m có cực trị với giá trị m Vậy, hàm số g( x) = f ( x ) + 2019 có cực trị 16 Ví dụ 9: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm ¡ , đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ bên, f ( a ) > Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) ? y O f ′( x) a b c x Giải.: Từ đồ thị hàm số y = f '( x ) ta có bảng biến thiên sau: a c +∞ x −∞ b , y + 0 + f ( b) y f ( a) f ( c) Đề suy đồ thị hàm số y = f ( x) ta cần phải so sánh hai giá trị f ( a ) , f ( c ) dấu chúng c b c a a b Ta có: f ( c) - f ( a ) = f '( x )dx = f '( x)dx + f '( x )dx > Þ f ( c ) > f ( a ) > ò ò ò Do đó, đồ thị hàm số f ( x) nằm phía trục ox với x Þ đồ thị f ( x) đồ thị f ( x) Vậy, đồ thị hàm số f ( x) có điểm cực trị Ví dụ 10: Cho hàm số y = f ( x ) xác định ¡ có f ( −3) > ; f ( ) > ; f ( ) < 2 Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) − ( x − 1) Giải Nhận xét: Số cực trị hàm số y = f ( x ) số cực trị hàm số y = f ( x ) cộng với số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) với trục hoành Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x − 1) , ∀x ∈ ¡ h ( x ) = f ( x ) − ( x −1) , ∀x ∈ ¡ Ta có: h ' ( x ) = f ' ( x ) − ( x − 1) ⇒ h ' ( x ) = ⇔ f ' ( x ) = x − (*) 17 Dự vào đồ thị, nghiệm phương trình (*) hồnh độ giao điểm đồ thị  x = −1 x = y = f ′ ( x ) đường thẳng y = x − , ta có: ( *) ⇔  x =  x = Ta có bảng biến thiên hàm số h ( x ) sau: Ta có: 2 h ( −3) = f ( −3) − ( −3 − 1) > f ( −3) > h ( ) = f ( ) − ( − 1) > f ( ) > Suy h ( x ) = có hai nghiệm phân biệt x1 ∈ ( −3; − 1) x2 ∈ ( 3; ) h ( ) = f ( ) − ( − 1) < f (2) < Vậy, hàm số g ( x ) = h ( x ) có điểm cực trị Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất, so sánh giá trị hàm f (x) biết đồ thị hàm số f '(x) Cơ sở phương pháp toán dạng tốn trình bày dạng Sau ta xét số ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ đây: Biết f ( −1) + f ( ) < f ( 1) + f ( ) Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = f ( x ) đoạn [ −1; 2] Giải Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) đoạn [ −1; 2] sau: 18 f ( x ) = f (1) Nhận thấy: [min −1;2] f ( x ) ta so sánh f ( −1) f (2) Để tìm Max [ −1;2] Theo giả thiết, f ( −1) + f ( ) < f ( 1) + f ( ) ⇔ f ( ) − f ( −1) > f ( ) − f ( 1) Từ bảng biến thiên , ta có f ( ) − f ( 1) > Do f ( x ) = f ( ) Vậy, hàm số đạt f ( ) − f ( −1) > ⇔ f ( ) > f ( −1) Hay max [ −1; 2] giá trị nhỏ x = giá trị lớn x = Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ¢( x) Đồ thị hàm số y = f ¢( x) cho hình vẽ bên Biết ff( 0) + ( 3) = ff( 2) + ( 5) Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = f ( x ) đoạn [ 0;5] Giải ù + Từ đồ thị ta có bảng biến thiên hàm số y = f ( x) é ê ë0;5ú û f ( x ) = f (2) + Từ bảng biến thiên ta thấy [ 0;5] f ( x ) ta so sánh f (0) f (5) + Để tìm Max [ 0;5] + Ta có: ff( 0) + ( 3) = ff( 2) + ( 5) Þ ff( 0) - ( 5) = ff( 2) - ( 3) < Þ ff( 0) < ( 5) f ( x ) = f ( 5) Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ x = giá trị lớn Hay max [ 0;5] x = 19 Ví dụ : Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ , đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình vẽ bên Tìm giá trị x0 đề hàm số đạt giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y = f ( x ) đoạn [ a ; c ] Giải: Từ đồ thị hàm số y = f ¢( x) ta có bảng biến thiên sau: f ( x ) = f (b) Để tìm giá trị nhỏ ta so Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Max [ a ; c] sánh hai giá trị f (a);f(c) Tuy nhiên khó tốn so với ví dụ trước khơng có kiện để ta so sánh, ta phải dựa vào dấu hiệu diện tích hình b phẳng Bằng trực quan ta thấy ò f ¢( x)dx > 0; a c ò f ¢( x)dx < diện tích hình b ùlớn hình phẳng giới hạn é b;cù phẳng giới hạn é êa;bú ê únên ë û ë û c b c a a b Ta có f ( c) - f ( a) = ò f ¢( x)dx = ò f ¢( x)dx + ò f ¢( x)dx > Þ f ( c) > f ( a) f ( x ) = f ( a ) Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ x = a giá trị lớn Hay [ a ; c] x = b Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ¢( x) Đồ thị hàm số y = f ¢( x) cho hình vẽ bên Biết ff( 0) + ( 1) - 2ff( 2) = ( 4) - f ( 3) So sánh giá trị ff(0); (2); f (4) 20 Giải: ù Từ đồ thị suy bảng biến thiên é ê ë0;4ú û Dựa vào BBT ta có f ( 2) lớn ba giá trị cần so sánh Ta lại có: ff( 1) < (2); ff( 3) < Theo giả thiết: ff( 0) + ( 1) - 2ff( 2) = ( 2) Þ ff( 1) + ( 3) < 2ff( 2) Û ( 2) - ff( 1) - ( 3) > ( 4) - ff( 3) Û ( 0) - ff( 4) = ( 2) - ff( 3) - ( 1) > Þ ff( 0) > ( 4) Vậy, ff(4) < (0) < f (2) Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Đặt g ( x ) = f ( x ) − ( x + 1) So sánh giá trị g ( −3) ; g ( 1) ; g ( 3) (Trích câu 48 MĐ 102 đề thức thi THPT Quốc gia 2018) y −3 O −2 x Giải: +) Ta có: g ' ( x ) = f ' ( x ) − ( x + 1) =  f ' ( x ) − ( x + 1)  +) Vẽ đường thẳng y = x +1 (Như hình vẽ) 21 Từ đồ thị ta có: 1 ù g ( 1) - g ( - 3) = ò g'( x )dx = ò é ëf '( x ) - ( x +1) ûdx > Þ g ( 1) > g ( - 3) - 3 - 3 ù g ( 3) - g ( 1) = ò g'( x )dx = ò é ëf '( x ) - ( x +1) ûdx < Þ g ( 3) < g ( 1) 1 3 ù é ù é g ( 3) - g ( - 3) = ò g'( x )dx = ò é ëf ' ( x ) - ( x +1) ûdx = ò ëf ' ( x ) - ( x +1) ûdx + ò ëf ' ( x ) - ( x +1) - - - = S1 - S2 > Þ g ( 3) > g ( - 3) Vậy, ta có: g ( 1) > g ( 3) > g ( −3) Dạng 3: Tìm số giao điểm, số nghiệm phương trình liên quan đến hàm f (x) biết đồ thị hàm số f '(x) Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm ¡ , đồ thị hàm số y = f ′( x) hình vẽ Biết f ( a) > , tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hoành Giải x = a  +) Từ đồ thị ta thấy f '( x ) = ⇔  x = b qua nghiệm trên, đạo hàm đổi  x = c dấu nên hàm số f ( x) có điểm cực trị +) Ta có bảng biến thiên: Nhận thấy, f (a) f (c) giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) (1) Do đó, để tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hoành ta cần phải so sánh f (a) f (c) biết dấu chúng 22 b c Ta có: S1 = ∫ f '( x )dx = f ( x ) a = f (b) − f ( a ) ; S = ∫ − f '( x )dx = f ( x ) c = f (b) − f ( c ) b a b b Ta thấy S1 > S2 ⇒ f (b) − f (a ) > f (b) − f (c) ⇔ f (a ) < f (c ) ⇒ < f (a ) < f (c) , f (a) > (2) Từ (1) (2) suy đồ thị hàm số y = f ( x) nằm hồn tồn phía trục hồnh hay đồ thị hàm số y = f ( x) khơng cắt trục hồnh Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình bên Biết f ( a ) > Phương trình f ( x ) = có nhiều nghiệm? y a b O c x Giải: Từ đồ thị hàm số y = f '( x ) ta có bảng biến thiên sau: a c x −∞ +∞ b y, + 0 + f ( b) y f ( a) c b f ( c) c f ( c) - f ( a ) = ò f '( x )dx = ò f '( x )dx + ò f '( x )dx < Þ f ( c ) < f ( a ) a a b Do f ( a ) > nên ta có: Nếu f ( c) > phương trình f ( x) = vơ nghiệm Nếu f ( c) = phương trình f ( x) = có nghiệm Nếu f ( c) < phương trình f ( x) = có nghiệm Vậy, phương trình có nhiều nghiệm Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ 23 Tìm m để bất phương trình f ( 2sin x ) − 2sin x < m nghiệm với x ∈ ( 0; π ) Đối với dạng tốn lạ với học sinh, em lúng túng định hướng để giải quy lạ quen Giải: Xét bất phương trình: f ( 2sin x ) − 2sin x < m ( 1) Ta có: x ∈ ( 0; π ) ⇒ sin x ∈ ( 0;1] Đặt 2sin x = t ( t ∈ ( 0; 2] ) ta bất phương trình: f ( t ) − t < m ( ) Nhận xét: bất pt ( 1) với x ∈ ( 0; π ) bất pt ( ) với t ∈ ( 0; 2] Xét g ( t ) = f ( t ) − t với t ∈ ( 0; 2] Ta có: g ′ ( t ) = f ′ ( t ) − t Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) y = x (hình vẽ) ta có BBT g ( t ) sau: Vậy, yêu cầu toán tương đương với m > g ( 1) = f ( 1) − Ví dụ 4: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′( x ) có bảng biến thiên sau: Tìm m để bất phương trình f ( x + 2) − xe x < m nghiệm với giá trị x ∈ [ −1;1] 24 Giải: Xét hàm số g ( x) = f ( x + 2) − xe đoạn [ −1;1] Ta có: g ′( x) = f ′( x + 2) − ( x + 1)e x Với x ∈ [ −1;1] , ta có: ≤ ( x + 1)e x Và ≤ x + ≤ suy f ′( x + 2) < −1 Do đó, x e ta có g ′( x) < 0, ∀x ∈ [ −1;1] Vì g (1) ≤ g ( x) ≤ g (−1) = f (1) + , ∀x ∈ [ −1;1] Suy bất phương trình nghiệm với x ∈ [ −1;1] m > max g ( x ) ⇒ m > f (1) + [ −1;1] e Qua ví dụ thấy khơng rèn luyện học sinh lúng túng với câu hỏi dạng 2.4 Một số tập trắc nghiệm vận dụng Bài 1: Cho hàm số y = f ( x) Đồ thị hàm số y = f , ( x) hình bên Đặt g ( x) = f ( x) + ( x + 1)2 Mệnh đề đúng? A g (1) < g (3) < g (−3) B g (1) < g (−3) < g (3) C g (3) = g ( −3) < g (1) D g (3) = g ( −3) > g (1) (Trích câu 47-MĐ 104 thi THPT QG năm 20172018) Bài 2: Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có bảng biến thiên sau x Bất phương trình f ( x ) < e + m với x ∈ ( −1;1) A m ≥ f ( 1) − e B m > f ( −1) − e C m ≥ f ( −1) − e D m > f ( 1) − e (Trích câu 39 đề minh hoạ 2018-2019 BGD&ĐT) Bài 3: Cho hàm số f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau Hàm số y = f ( x + ) − x + 3x đồng biến khoảng đây? A ( 1; +∞ ) B ( −∞; −1) C ( −1;0 ) (Trích câu48 đề minh hoạ 2018-2019 BGD&ĐT) D ( 0; ) 25 Bài 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục [ −2;1] Hình bên x đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) Đặt g ( x ) = f ( x ) − Khẳng định sau đúng? A g( 1) < g( - 2) < g( 0) B g( 0) < g( 1) < g( - 2) C g( - 2) < g( 1) < g( 0) D g( 0) < g( - 2) < g( 1) (Trích câu 45 trường chuyên Phan Bội Châu-Nghệa An lần 2-2019) Bài 5: Cho hàm số f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cho hình vẽ bên Hàm số y = f ( x ) + x − f ( ) có nhiều cực trị khoảng ( −2;3) A.6 B.2 C.5 D.3 Bài 6: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp giá trị nguyên m ∈ [ −5;5] để hàm số g ( x ) = f ( x + m ) nghịch biến khoảng ( 1; ) Hỏi S có phần tử? A B C Bài 7: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ¡ , đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Giá trị lớn hàm số y = f ( x ) đoạn [ −1; 2] A f ( 1) B f ( −1) C f ( ) D f ( ) (Trích câu 48 THPT Chuyên Lê Hồng Phong lần 2-2019) D 26 Bài 8: Cho hàm số y = f ( x ) hàm đa thức có f ( −2 ) < đồ thị hàm số y = f ' ( x ) hình vẽ bên Số cực trị hàm số g ( x ) = f ( x ) là: A B C D (Trích câu 43 chuyên Quốc học Huế lần 1-2019) Bài 9: Cho y = f ( x) hàm đa thức bậc , có đồ thị hàm số y = f ¢( x) hình vẽ Hàm số y = f ( - 2x) + 4x2 - 10x đồng biến khoảng khoảng sau đây? ỉ 5ư ç ÷ ç2; ÷ ÷ ÷ ç è 2ø ( 3;4) A B ổ ỗ ữ ç ;2÷ ÷ ç è2 ÷ ø C ỉ 3ử ỗ ữ ỗ0; ữ ữ ữ ỗ ố 2ứ D (Trích câu 47 Sở GD&ĐT Thái Bình năm học 2018-2019) Bài 10: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số f ′ ( x ) hình vẽ Hàm số y = f ( x ) + 2e nghịch biến khoảng cho đây? A ( −2;0 ) B ( 0; +∞ ) C ( −∞; +∞ ) D ( −1;1) 2.5 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm - SKKN thực giảng dạy năm học 2017-2018 năm học 2018-2019 Trong trình học chuyên đề này, học sinh hứng thú tự tin, biết vận dụng thành thạo gặp toán đồ thị hàm số f '( x ) , tạo cho học sinh niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo kiến thức học Kết đạt nói khả quan, sau học xong chuyên đề tất em giải câu hỏi dạng - Đối với đồng nghiệp: chia sẻ kinh nghiệm học hỏi lẫn nhau, thúc đẩy phong trào tự học, tự nghiên cứu nhà trường - Đối với học sinh: Trang bị thêm cho học sinh vài kỹ phương pháp giải toán đồ thị hàm số kì thi THPT Quốc gia −x 27 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Quá trình nghiên cứu đề tài thu số kết sau: - Trong đề tài hướng dẫn cho học sinh kỹ đọc đồ thị hàm số cho trước chuyển đổi từ đồ thị bảng biến thiên hàm số liên quan cách có hiệu quả, qua giúp HS có ý thức việc tự học- tự nghiên cứu - Đưa sở lý luận phương pháp dạy học học sinh kỹ đọc đồ thị hàm số - Đưa dạng tập mà học sinh gặp giải toán liên quan đến hàm số, hàm hợp - Thông qua dạy học chuyên đề gây hứng thú học tập cho học sinh, nâng cao khả tư lô gic khả sáng tạo học sinh Sáng kiến có tác dụng tốt việc ơn luyện thi THPT QG Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắn có nhiều thiếu sót hạn chế Rất mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn 3.2 Kiến nghị - Đối với tổ chuyên môn, cần phân dạng tập cho học sinh giảng dạy Trong trình ơn tập cho học sinh nên nhiều dạng đề với cấu trúc đề minh họa Bộ GD&ĐT - Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần quan tâm đến việc rèn luyện cho học sinh kỹ tìm mối liên hệ hàm số f '( x ) hàm số liên quan Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời viết thành tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên - Sở GD& ĐT nên gửi SKKN đạt giải trường THPT để giáo viên tham khảo trình giảng dạy XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Như Thanh, ngày 16 tháng 05 năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Khắc Sâm 28 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)- Giải tích 12 bản- NXBGD năm 2008 [2] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)- Giải tích 12 nâng cao- NXBGD năm 2008 [3] Trần Phương -Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính tích phân NXB Hà Nội, năm 2012 [4] Vũ Thế Hựu – Bộ Tài liệu ôn thi Đại Học.NXB Đại học Sư phạm2012 [5] Nguyễn Bá Kim – Phương pháp dạy học mơn Tốn - NXBGD [6].Đề thi thử trường toàn quốc năm học 2017-2018, 2018-2019 [7] Tạp chí tốn học tuổi trẻ- NXB Giáo dục 29 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Khắc Sâm Chức vụ đơn vị cơng tác: Tổ phó chun mơn tổ Tốn-Tin trường THPT Như Thanh TT Tên đề tài SKKN Vận dụng phương pháp điều kiện cần đủ để giải tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số Hướng dẫn học sinh khai thác vận dụng tập sách giáo khoa hình học 12 nhằm rèn luyện lực tư lơgíc cho học sinh Rèn luyện kỹ giải tốn cực trị mơđun số phức phương pháp toạ độ mặt phẳng nhằm nâng cao lực giải toán cho học sinh Cấp đánh giá xếp loại QĐ số 988/QĐSGD&ĐT ngày 03/11/2015 QĐ số 972/QĐSGD&ĐT ngày 24/11/2016 QĐ số 1455/QĐSGD&ĐT ngày 26/11/2018 Kết đánh giá xếp loại Năm học đáng giá xếp loại C 2015 C 2016 C 2018 ... thức hàm số, đạo hàm ứng dụng Xuất phát từ lý trên, chọn đề tài Rèn luyện kỹ giải toán liên quan đến đồ thị hàm số đạo hàm, góp phần nâng cao chất lượng ôn tập thi THPT Quốc Gia trường THPT. .. Tìm số giao điểm, số nghiệm phương trình liên quan đến hàm f (x) biết đồ thị hàm số f '(x) Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x) có đạo hàm ¡ , đồ thị hàm số y = f ′( x) hình vẽ Biết f ( a) > , tìm số giao... Biết hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Tìm số điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) − ( x − 1) Giải Nhận xét: Số cực trị hàm số y = f ( x ) số cực trị hàm số y = f ( x ) cộng với số giao