SKKN Phương pháp giải các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

Phòng giáo dục và đào tạo thuận thànhTrờng THcs nghĩa đạo ************************ Sáng kiến kinh nghiệm: Phơng pháp giảI các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số Giáo viên: Ngu

Phòng giáo dục và đào tạo thuận thành

Trờng THcs nghĩa đạo

************************

Sáng kiến kinh nghiệm:

Phơng pháp giảI các bài toán cơ bản liên quan đến

đồ thị hàm số

Giáo viên: Nguyễn Hồng Bốn

Nghĩa Đạo, tháng 3 năm 2009

A – Phần mở đầu Phần mở đầu

Bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số là một phần kiến thức tơng

đối nhiều và rất cơ bản trong bộ môn toán ở lớp 9 cũng nh ở chơng trình toán THPT

Trong thực tế nếu giáo viên không nghiên cứu kỹ và hớng dẫn học sinh thì các em sẽ gặp nhiều khó khăn ngay từ khâu nhận dạng bài toán và phơng pháp giải cho từng loại bài

Đặc điểm của môn Đại số nói chung là có sự liên quan mật thiết, lôgic giữa các chơng, bài đòi hỏi các em phải nắm chắc kiến thức, kĩ năng cơ bản

từ đó học sinh biết nhận dạng và giải đợc nhanh hơn

Đối với bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số đây là một chuyên

đề mà SGK cha đề cập hết các dạng toán nên các em học sinh lớp 9 còn lúng túng

Để giúp các em có một phơng pháp học và ôn tập tốt trong các kì thi đạt kết quả cao vợt qua các trở ngại, khó khăn trên Bản thân tôi đã tiến hành phân loại các đơn vị kiến thức, các dạng bài tập theo từng chủ đề mà các em thờng gặp Tìm hiểu, nghiên cứu các cách giải ngắn gọn tơng ứng cho từng loại bài Với những yêu cầu và mong muốn trên tôi đã chọn đề tài: Phơng pháp giải các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số

II - Đối t ợng nghiên cứu

Các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số và phơng pháp giải của từng dạng bài, loại bài

1 – Cơ sở lý luận của ph Cơ sở lý luận của ph ơng pháp giải các bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số.

2 - Nghiên cứu phơng pháp giải ở 4 dạng bài cơ bản

Điểm thuộc đờng, đờng đi qua một điểm;

Vị trí tơng đối giữa 2 đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ;

Bài toán về lập phơng trình của một đờng thẳng;

Bài toán về chứng minh đờng thẳng luôn đi qua một điểm

Trong khuôn khổ một đề tài với thời gian cho phép cùng các điều kiện khác ở đây chỉ nghiên cứu 4 dạng bài cơ bản, phơng pháp giải tơng ứng cha

đi sâu, mở rộng đến các bài toán nâng cao khó khăn phức tạp nhằm giúp học sinh đại trà đạt yêu cầu tối thiểu

B – Phần mở đầu Phần nội dung

“ Bài toán cơ bản liên quan đến đồ thị hàm số” muốn có phơng pháp giải đúng, khắc phục đợc những khó khăn cần phải nắm chắc một số nội dung kiến thức cơ bản và các kĩ năng tơng ứng đó là:

Khái niệm và dấu hiệu bản chất của đồ thị hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai dạng đặc biệt y = a x2 (a 0)

Cách biểu diễn và hình ảnh một điểm trên mặt phẳng toạ độ, vị trí của chúng trên mặt phẳng toạ độ, ở trên trục nào và khi đó giá trị của hoành độ và tung độ ra sao?

Điều kiện để phơng trình ax + b = 0 có nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, vô nghiệm

Cách giải hệ phơng trình bậc nhất, bậc 2 hai ẩn số

Các điều kiện về nghiệm của phơng trình bậc 2, hệ 2 phơng trình bậc nhất hai ẩn số

Cách giải bất phơng trình bậc nhất, bậc 2 một ẩn số

Cách vẽ đồ thị

Vị trí tơng đối giữa:1 điểm với 1 đờng thẳng;

1 điểm với một Parabol;

2 đờng thẳng với nhau, 1 đờng thẳng với 1 Parabol;

và quan hệ của 3 đờng

Các điều kiện tơng ứng cho mỗi trờng hợp trên Đặc biệt là việc hớng dẫn cho học sinh nhận đợc các dạng bài toán và viết đợc các điều kiện tơng ứng Học sinh biết lập luận chặt chẽ, trình bày lời giải khoa học

Dạng 1: Điểm thuộc đ ờng - đ ờng đi qua một điể m

* Ví dụ 1: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A( -2, 2) và đờng thẳng

(d1) có PT y = - 2(x + 1)

a) Giải thích vì sao A nằm trên (d1)

b) Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị ( P ) đi qua A

Bài giải

a) f (xA) = f( - 2) = -2( -2 + 1) = 2 = yA

Vậy A  (dd1)

b) Vì (P)đi qua A nên toạ độ điểm A phải nghiệm đúng phơng trình (P) thay x = - 2, y = 2 vào PT của (P) ta đợc

2 = a( - 2)2  a = 21 Vậy với a = 21 thì (P) y = 21 x2 luôn đi qua A

mặt phẳng toạ độ thì toạ độ điểm đó nghiệm đúng của phơng trình y = f(x)

Dạng 2: Xét vị trí t ơng đối của hai đồ thị hàm số trên cùng mặt phẳng toạ độ.

* Nội dung: Cho (P) và (d) theo thứ tự là đồ thị của hàm số y = f( x) và

y = g(x)

Hỏi (P) và (d) sẽ xảy ra vị trí nh thế nào đối với nhau trên cùng mặt phẳng toạ độ

* Phơng pháp giải : Toạ độ điểm chung của (P) và (d) nếu có là

nghiệm của hệ phơng trình sau:

y = f(x) (A)

y = g(x) Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình

f(x) – Cơ sở lý luận của ph g(x) = 0 (1)

- Nếu phơng trình (1) vô nghiệm thì hệ phơng trình (A) vô nghiệm  (P)và (d) không có điểm chung  Hai đồ thị không giao nhau

- Nếu phơng trình (1) có nghiệm kép  hệ PT(A) có nghiệm kép  (P) và (d) tiếp xúc với nhau, đờng thẳng trở thành tiếp tuyến của đờng cong

Điểm chung là tiếp điểm của đờng thẳng và đờng cong

Nếu PT(1) có hai nghiệm phân biệt  PT(A) có hai nghiệm phân biệt

 (P) và(d) có hai điểm chung phân biệt

đ-ờng thẳng (d) có PT: y = 2x + m

Tìm m để a) (P) và(d) không có điểm chung

b ) (P) tiếp xúc với (d)

c ) (P) Cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Bài giải:

a) ( P) và (d) không có điểm chung khi và chỉ khi hệ PT

y = f(x) (*) vô nghiệm

y =g(x)

Hệ PT(*) vô nghiệm khi phơng trình

x2 - 2x - m = 0 Vô nghiệm

 ∆’< 0  b’2 - ac < 0  1 + m ≤ 0  m < - 1

Vậy với m < - 1 thì (P) và ( d) không cắt nhau

b) (P) và (d) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phơng trình

x2 – Cơ sở lý luận của ph 2x – Cơ sở lý luận của ph m = 0 có nghiệm kép

 ∆’ = 0  1 + m = 0  m = - 1 Khi đó x =

a

b'



= 1  y = 1 Vậy với m = - 1 thì (P) và (d) tiếp xúc nhau và toạ độ tiếp điểm là (1; 1) c) ( P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phơng trình

x2 – Cơ sở lý luận của ph 2x – Cơ sở lý luận của ph m = 0 có 2 nghiệm phân biệt

 ∆’ > 0  1 + m > 0  m > - 1 Vậy với m > - 1 thì (P) và(d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

(d1): y = ax +

2

b

(d2): y = bx +

3

a

a) Xác định a và b để đờng thẳng(d1)và (d2) cùng đi qua điểm A(1; 2)

b) Với a, b vừa tìm đợc ở câu a, gọi giao điểm của (d1) và (d2) cùng đi qua

điểm A (1; – Cơ sở lý luận của ph 2) với trục tung lần lợt là B,C hãy tìm toạ độ của B và C

c) Hãy xác định a và b để đờng thẳng (d1)và (d2) cắt nhau tại một điểm (0; 5)

Bài giải:

a) Đây là bài toán cơ bản điểm thuộc đờng, đờng đi qua điểm:

Vì (d1)và (d2) cùng đi qua A(1; 2) nên toạ độ điểm A phải nghiệm đúng

đồng thời 2 phơng trình ( d1) và (d2)

Thay x = 1, y = 2 vào (d1)và (d2) ta có HPT:

2 = a +

2

b

2a + b = 4 ( 1) 

2 = a +

3

a

a + 3b = 6 ( 2) Giải hệ ta đợc : a =

5 6

b =

5 8

Vậy với : a =

5 6

thì ( d1) và (d2) cùng đi qua A (1; 2)

5 8

b) Để giải câu b ta cần phải hiểu một điểm nằm trên trục tung thì hoành độ của điểm đó bằng 0

Việc xác định tung độ của các điểm đó tức là việc xác định tung độ gốc của các đờng thẳng trên

Với a =

5

6

và b =

5

8

thì:

(d1) y =

5

6

x +

5

4



5

4

là tung độ điểm B Vậy toạ độ điểm B( 0;

5

4

) Với a =

5

6

và b =

5

8

thì (d2) : y =

5

8

x +

5 2

 tung độ điểm C là

5 2

Vậy toạ độ điểm C ( 0;

5

2

) c) Câu này cách giải giống câu a, nhng điểm (0; 5) nằm trên trục tung vì (d1)

và (d2) cắt nhau tại điểm (0; 5) nên x = 0, y = 5 là nghiệm của HPT:

y = ax +

2

b

y = bx +

3

a

Thay x = 0, y = 5 vào hệ trên ta đợc hệ HPT:

5 = a 0 +

2

b

a = 15 

5 = b 0 +

3

a

b = 10 Vậy với a = 15; b = 10 thì ( d1) và (d2) cùng đi qua điểm( 0; 5)

* Cách giải thứ 2:

Vì (d1) đi qua điểm (0; 5) là điểm trên trục tung (điểm có tung độ y = 5)

là tung độ gốc của (d1)



2

b

= 5  b = 10 Tơng tự điểm có tung độ y = 5 là tung độ gốc của (d2) cùng đi qua điểm (0; 5)

* Chú ý: Đồ thị hàm số y = ax + b luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

Dạng 3 : Bài toán về lập ph ơng trình đ ờng thẳng

góc k

Đây là bài toán đi tìm hệ số b trong phơng trình đờng thẳng và là một bài toán cơ bản đờng đi qua một điểm

Lời giải

Phơng trình tổng quát của (d) là y = ax + b

+ Xác định a: Theo bài toán ta có a = k

+ Xác định b: Vì đờng thẳng (d) đi qua A ( xA, yA)

ta thấy a = k, x = xA, y = yA vào phơng trình tổng quát của d ta đợc

ph-ơng trình của (d) cần tìm là:

y = kx + yA - kxA

Lời giải

Phơng trình tổng quát của (d) là y = ax + b

Vì (d) đi qua A và B nên ta có hệ PT

yA = axA+ b

yB = axB+ b Giải hệ trên ta tìm đợc a và b

Thay a và b vào PT(d) đợc PT của (d) cần tìm

* Bài toán 3: Lập phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp xúc

với đờng cong (P) có PT: y = f(x)

Lời giải

Phơng trình tổng quát của (d) có dạng: y = kx + b

Phơng trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là f(x) = kx + b (1) Vì (d) tiếp xúc với (P) nên PT(1) có nghiệm kép

Từ điều kiện này ta tìm đợc b và suy ra PT của (d)

đờng cong P: y = f(x) và song song với đồ thị hàm số: y = kx +m

Giải:

Ta đa bài toán này về dạng bài 3 và 4 vì (d) song song với y = kx +m

do đó hệ số góc là k

Dạng 4: Bài toán về chứng minh đờng thẳng luôn đi qua điểm cố định

Ta có phơng trình ax +b = 0 có vô số nghiệm khi a = 0, b = 0

* Bài toán: Chứng minh rằng với mọi m thì đờng thẳng sau đây luôn đi

qua một điểm cố định và tìm toạ độ điểm đó

y = mx + m - q ( m, q là tham số  R)

Cách giải

Gọi A( x0, y0)là một điểm cố định trong mặt phẳng toạ độ mà đờng thẳng y = mx + m – Cơ sở lý luận của ph q luôn đi qua với mọi m

Vì A là điểm thuộc đờng thẳng, nên toạ độ A nghiệm đúng phơng trình

đờng thẳng Thay vào đó ta có:

y0 = mx0 + m - q luôn đúng m

 m (x0 + 1) - (y0 + q) đúng m

 x0 + 1= 0 x0 = 0



y0 + q = 0 y0= - q

A(- 1, -q) là điểm cố định

Vậy đờng thẳng trên luôn đi qua điểm A( - 1, - q) cố định với mọi m

* Các ví dụ:

Ví dụ 4: CM rằng đờng thẳng y = mx + m – Cơ sở lý luận của ph 2 luôn đi qua 1 điểm cố

định với mọi giá trị của m Tìm toạ độ điểm đó:

Bài giải

Gọi A( x0 , y0)là một điểm cố định mà đờng thẳng trên luôn luôn đi qua với mọi m

Ta có y0 = mx 0 + m – Cơ sở lý luận của ph 2  m (x0 + 1) – Cơ sở lý luận của ph (y0 + 2) = 0 luôn đúng m

 x0 + 1 = 0 x0 = - 1



y0 + 2 = 0 y0= - 2

Vậy điểm A( - 1; - 2) là điểm cố định mà đờng thẳng trên luôn đi qua Am

* Ví dụ 5: Trên mặt phẳng toạ độ xOy ta xét Parabol( P) và đờng

thẳng(d) lần lợt có PT:

(P) : y = 2x2

(d) : y = ax + 2 – Cơ sở lý luận của ph a Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì Parabol( P) và đờng thẳng (d)

có một điểm chung cố định

Tìm toạ độ điểm chung đó:

( Trích đề thi vào THPT năm học 1999 - 2000)

Đây là bài toán đi tìm điểm cố định mà đờng thẳng luôn luôn đi qua

a rồi chứng tỏ điểm đó thuộc đờng cong (P)

Bài giải

Gọi điểm cố định mà đờng thẳng (d)luôn đi qua là M( x0, y0)với mọi a

Thay vào PT của (d) ta có:

y0 = ax0+ 2 – Cơ sở lý luận của ph a luôn đúnga

 ( x0 – Cơ sở lý luận của ph 1) a – Cơ sở lý luận của ph y0+ 2 = 0

 x0 – Cơ sở lý luận của ph 1 = 0 x0 = 1



2 – Cơ sở lý luận của ph y0 = 0 y0 = 2

Vậy đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua điểm M (1; 2) cố định a

Ta nhận thấy rằng toạ độ M(1; 2) luôn luôn thoả mãn phơng trình của (P) Thật vậy f(1) = 2 12 = 2 = yM

Vậy (P) và(d) luôn luôn có một điểm chung cố địnhM(1; 2) với mọi a

(d1): y = 3x – Cơ sở lý luận của ph 2 (d2): y = x + m Hãy tìm m để 2 đờng thẳng (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm nằm trên Parabol có PT: y = x2

Bài giải:

Ta có thể giải theo hai cách sau:

(P) và (d1) là nghiệm của hệ PT sau:

y = 3x – Cơ sở lý luận của ph 2

y = x2

Hoành độ giao điểm là nghiệm của PT: x2 – Cơ sở lý luận của ph 3x + 2 = 0

Ta thấy: a + b + c = 1 – Cơ sở lý luận của ph 3 + 2 = 0

Nên PT có 2 nghiệm phân biệt x1 = 1 ; x2 = 2

Với x1 = 1 thì tung độ giao điểm y1 = 1 ta có toạ thứ nhất là A(1 ; 1) Với x2 = 2 thì tung độ giao điểm là y2 = 4 ta có toạ độ giao điểm thứ hai là B(2 ; 4)

Vì(d2) cũng đi qua A hoặc B

Nếu( d2) đi qua A thì m thoả mãn PT: 1 = 1 + m  m = 0

Nếu( d2) đi qua B thì m thoả mãn PT: 4 = 2 + m  m = 2

Vậy với m = 0 thì (d1) cắt(d2) tại điểm A(2, 1) trên đồ thị hàm số y = x2

Với m = 2 thì ( d1) cắt (d2) tại B (2; 4 ) trên đồ thị hàm số y = x2

thay toạ độ x, y theo m vào phơng trình (P): y = x2 để tìm đợc các giá trị của m

* Thực chất để tìm m và toạ độ giao điểm của d1, d2 trên P là giải hệ 3PT:

d1: y = 3x - 2

d2: y = x + m

P: y = x2

Với 3 ẩn m,x,y

Ví dụ 7: Trong cùng một hệ trục toạ độ vuông góc cho Parabol

(P): y =

4

1

x2 và đờng thẳng (d): y = mx – Cơ sở lý luận của ph 2m – Cơ sở lý luận của ph 1

a) Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm đó

b) Chứng tỏ (d) luôn đi qua một điểm cố định A (P)

Bài giải:

a) ( d) tiếp xúc với (P)  phơng trình x2 + 4mx – Cơ sở lý luận của ph 8m – Cơ sở lý luận của ph 4 = 0 có nghiệm kép

 ’ = b’2 – Cơ sở lý luận của ph ac = 0  4m2 + 8m + 4 = 0  (m + 1)2 = 0  m = - 1

Vậy với m = -1 thì (d) tiếp xúc với (P) Toạ độ tiếp điểm là nghiệm của hệ PT

y =

4

1

x2 x = 2 

y = - x + 1 y = - 1 Vậy toạ độ tiếp điểm là ( 2; – Cơ sở lý luận của ph 1)

b) Gọi toạ độ điểm cố định A(x0, y0) mà đờng thẳng (d) luôn đi qua m ta có:

y0 = mx0 – Cơ sở lý luận của ph 2m – Cơ sở lý luận của ph 1 luôn đúng m  (x0 – Cơ sở lý luận của ph 2 ) m – Cơ sở lý luận của ph (y0 + 1) = 0 m

 x0 – Cơ sở lý luận của ph 2 = 0 x = 2 

y0 + 1 = 0 y = - 1

Ta nhận thấy x0 = 2; y0 = - 1 thoả mãn PT của (P) do đó điểm A(2; - 1)

thuộc Parabol y =

4

1

x2 mà A cố định

Ví dụ 8: Xác định các giá trị của tham số k để 3 đờng thẳng

(I): x +6y = 0 (II): ( 1 – Cơ sở lý luận của ph k) x + ky = 1 + k (III): 6x + 7y = - 6

Đồng quy tại 1điểm

Bài giải:

Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng (I) và (III) điểm chung của (I) và (III) là nghiệm của hệ PT:

x + 6y = 0 (1) 6x + 7y = - 6 (2) Giải hệ ta đợc : x = - 2936

y =

29 6

Vậy toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng (I) và(III) là

A(-

29

36

;

29

6

) Vì toạ độ điểm A thoả mãn PT II ( vì 3 đờng thẳng đồng quy) thay x =-

29

36

; y =

29 6

vào PT II, ta đợc

(1 – Cơ sở lý luận của ph k) (-

29

36

) +

29

6K

= 1 + k

 - 36 + 36 k + 6k = 29 + 29k

 13k = 65

 k = 5 Vậy với k = 5 thì 3 đờng thẳng trên đồng quy tại điểm A(-

29

36

;

29

6

)

* Tơng tự ví dụ 6 ta có thể tìm k và xác định toạ độ điểm đồng quy bằng cách giải hệ 3 PT

Ví dụ 9: Cho Parabol y = -

2

1

x2 và điểm A( - 1 ; 1) Viết phơng trình đờng thẳng (d) tiếp xúc với(P) và đi qua điểm A( - 1;1)

Bài giải:

Phơng trình tổng quát (d) là: y = ax + b vì (d) đi qua điểm A(- 1 ; 1) nên toạ độ A(- 1; 1) là nghiệm của phơng trình (d), thay vào ta có:

a – Cơ sở lý luận của ph b = - 1 (1)

Vì (d) tiếp xúc với Parabol nói trên nên phơng trình:

x2 + 2ax + 2b = 0 có nghiệm kép  ’ = 0  a2 – Cơ sở lý luận của ph 2b = 0 (2) Kết hợp (1) và(2) ta có HPT

a – Cơ sở lý luận của ph b = -1 (1)

a2 – Cơ sở lý luận của ph 2b = 0 (2) Giải hệ HPT ta đợc

a1 = 1 + 3, b 1 = 2 + 3 khi đó (d1) là y = (1 + 3)x + 2 +

3

a2 = 1+ 3; b2 = 2 - 3 ta có PT(d2) là y = ( 1 - 3) x + 2 - 3

Qua các năm nghiên cứu và thực tế dạy học sinh tôi nhận thấy:

Các em đã biết phân loại bài tập và nhận dạng đợc bài tập và có định h-ớng giải đúng

Phần lớn học sinh dễ tiếp thu hơn và đã có kỹ năng giải bài tập khá tốt, tuy nhiên những bài tập ở mức độ cao thì học sinh còn gặp khó khăn

Các em đã có hứng thú không còn ngần ngại khi giải quyết bài tập loại này

IV – Phần mở đầu Bài học kinh nghiệm và ý kiến đề xuất

Việc phân chia kiến thức theo từng chuyên đề từng dạng bài là hết sức cần thiết, giíp chúng ta có thể đi sâu hơn về từng nội dung kiến thức, phân tích đánh giá đợc đầy đủ hơn vì vậy chúng ta nên coi đây là việc làm thờng xuyên, cần thiết để đem lại hiệu quả cao

Trong quá trình giảng dạy ngoài việc giáo viên tự phân tích, tổng hợp

để phân dạng các nội dung kiến thức thì việc dạy cho học sinh biết cách phân tích, tổng hợp, biết tự mình phân chia các đơn vị, các dạng bài tập Đây là nhiệm vụ chính của ngời giáo viên của quá trình dạy học và giáo dục