SKKN các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số f(x)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ f '( x) Người thực hiện: Lê Ngọc Hùng Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Đơn vị công tác: Trường THPT Thọ Xn SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học THANH HĨA NĂM 2018 MỤC LỤC Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3.Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 17 Trang 18 Trong môn giải tích đạo hàm cơng cụ mạnh để giải nhiều bai toán Giữa fx y = f '( x) hàm số đạo hàm có nhiều mối liên hệ chặt chẽ Điển hình đồng biến nghịch biến, cực trị Đạo hàm hàm số ngồi việc biểu diễn dạng cơng thức cịn biểu diễn dạng đồ thị Việc đưa vào đồ thị f ( x) tính chất hàm số cho ta toán hay f '( x) để tìm f '( x ) Trong đề thi xuất nhiều tốn có giả thiết cho đồ thị hàm số yêu cầu tính chất biến thiên cực trị số tính chất khác f f ( x) hàm số Chính tơi chọn đề tài “Các toán liên quan đến đồ thị hàm số '( x) ” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh học tốt toán liên quan đến đồ thị đạo hàm - Tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 12 đồng nghiệp 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh trường THPT Thọ Xuân - Các dạng tập liên quan đến đồ thị đạo hàm 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Tìm hiểu khó khăn học sinh làm dạng tập liên quan đến đồ thị đạo hàm - Trao đổi với đồng nghiệp - Tìm tài liệu, phần mềm để vẽ hình ảnh trực quan - Áp dụng giảng dạy lớp 12A1, 12A4 trường THPT Thọ Xuân 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Dùng hình ảnh trực quan vẽ từ phần mềm [10] - Áp dụng toán đề thi thử THPT QUỐC GIA năm học 2017-2018 [3] Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Đổi phương pháp dạy học với mục đích phát huy tốt tính tích cực, sáng tạo người học Nhưng thay đổi phương pháp hoàn toàn lạ mà phải trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Đồ thị hàm số kiến thức chương trình tốn giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ tính chất hàm số, trực quan toán liên quan đến đồ thị Để học sinh hiểu dạng f ' ( x) tốn đồ thị Tơi phân dạng tập minh họa, sau tốn thực tế đề thi thử trường năm học 2017-2018 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Chủ đề đồ thị hàm số kiến thức chương trình tốn giải tích lớp 12 Việc dạy học vấn đề học sinh giúp học sinh hiểu rõ tính chất hàm số, trực quan toán liên quan đến đồ thị Nhìn chung học vấn đề này, đại đa số học sinh(kể học sinh giỏi)thường gặp khó khăn, sai lầm sau: - Các tốn liên quan đến cho đồ thị cùa hàm số f '( x) f ( x) từ đồ thị học sinh tìm tính chất hàm số điểm cực trị, so sánh giá trị hàm số, hay tìm số nghiệm phương trình - Hình vẽ minh họa sách giáo khoa sách tập cịn “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư từ trực quan đến trừu tượng - Học sinh chưa thực hứng thú có cảm giác khó hiểu - Kiến thức đồ thị như: Các phép tịnh tiến, đối xứng học sinh chưa thành thạo 2.3 Giải pháp để giải vấn đề Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu điểm cực trị hàm số: y = f ( x ) ; y = f ( x ± a ) ; y = f ( x ) ±ax y = f ( x) y = f '( x) Bài 1.1: Hàm số liên tục khoảng K , biết đồ thị hàm số y = f ( x) K hình vẽ bên Tìm số cực trị hàm số K A C B D y Giải: Đối với dạng ta cần tìm xem đồ thị y = f '( x) cắt trục Ox điểm mà thôi, không kể điểm mà đồ thị Ox tiếp xúc với trục Ta chọn đáp án B y = f '( x) Nhận xét: a) Xét thực a dương Ta đổi u cầu lại là: Tìm số cực trị hàm số y = f ( x + a) y = f ( x - a) K , đáp án khơng thay đổi Chú ý số cực trị y = f ( x) y = f ( x +a ) y = f ( x - a) hàm số , hàm số đạt cực x trị giá trị khác nhau! b) Giả thiết thí dụ thí dụ sau thay đổi theo hướng sau: y=g(x) liên tục khoảng K có đồ thị hình vẽ Biết y = f ( x) y = g ( x) nguyên hàm hàm số Tìm số cực trị hàm số K ( ) y=f x y = f '( x) Bài 1.2: Hàm số liên tục khoảng K , biết đồ thị hàm số g ( x ) = f ( x +1) K hình vẽ Tìm số cực trị hàm số K ? Hàm số y = f ( x) A B C D x Giải: Ta có g ' ( x ) = f ' ( x +1) có đồ thị phép tịnh tiến đồ thị hàm số phương trục hoành sang trái đơn vị Khi đồ thị hàm số trục hồnh điểm Ta chọn đáp án B y f x y = f '( x ) theo g ' ( x ) = f ' ( x +1) cắt f x Bài 1.3: Cho hàm số có đồ thị khoảng K hình vẽ Khi K, y f x 2018 hàm số có điểm cực trị? A B C D O Giải: x f ' ( x - 2018) phép tịnh tiến đồ thị hàm số f x theo phương trục Đồ thị hàm số hoành nên đồ thị hàm số f ' ( x - 2018) cắt trục hoành điểm.Ta chọn đáp án A Bài 1.4: Cho hàm số f x xác định số f x hình vẽ Hàm số có đồ thị hàm y = g ( x ) = f ( x ) +4x nhiêu điểm cực trị? A B.2 Giải: Cách 1: có bao C D.4 y ' = g ' ( x ) = f ' ( x) +4 có đồ thị phép tịnh tiến đồ thị hàm số f '( x) theo phương Khi đồ thị hàm số ta chọn đáp án A Oy lên đơn vị g ' ( x) Cách 2: Số cực trị hàm cắt trục hoành điểm, g ( x) số nghiệm bội lẻ phương trình g ' ( x ) = f ' ( x ) + = Û f ' ( x) =- f '( x) Dựa vào đồ thị hàm ta thấy phương trình có nghiệm đơn y = f ( x) y = f '( x) Bài 1.5: Cho hàm số liên tục ¡ Hàm số Hàm số y = g ( x ) = f ( x) + 2017 - 2018x có A C B y ' = g ' ( x ) = f '( x) - 2018 D Giải: Ta có Oy vị Ta có 2017 x1 2017 Suy đồ thị hàm é1 Û êê é0 < x < +< Û ê ê >4 x ë −∞ ë x +∞ y , - + - + y g ' ( x ) = f '( x +1 Ta chọn đáp án C Cách 2: Đồ thị hàm số phép tịnh tiến đồ thị hàm số ) phương trục hoành sang trái đơn vị g'(x) Ta thấy khoảng hàm số ( f '(x) g ' x ) = f ' (x +1 2; ) đồ thị hàm số g ( x) nghịch biến khoảng y = f ( x) Bài 1.7: Cho hàm số Biết ) ( ( 2; 4) nằm bên trục hoành nên , ta chọn đáp án C f ( x) có đạo hàm '( x) hàm số y = f '( x) có đồ thị hình vẽ Hàm số f g x = f ( x - đạt cực đại điểm đây? ( ) ) A x = B x = Giải: g' ( ) ( Cách : g' x ( éx = ê ê ê ê x ê ( - )> −∞ x D x =1 =4 ê - 1=5 ê =6 ë ë é1 é2 x - êx x x ë x ê - 1=3Û x f 'x )= ) x=f'x-1=0Û C x =3 éx - 1= ë +∞ y = f ' x) ( theo y , - + - + y Ta chọn đáp án B Cách : đồ thị hàm số g ' ( x ) = f ' ( x - 1) y = f '( x) phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang phải đơn vị = f ' x - ( Đồ thị hàm số g ' (x ) ) x = 2; x = 4; x = cắt trục hoành giá trị hàm số điểm có hồnh độ g ' ( x) đổi dấu từ dương sang âm qua điểm x = Ta chọn đáp án B Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ so sánh giá trị hàm số y = f ( x) Bài 2.1: Cho hàm số f x có đạo hàm f x Đồ thị hàm số y f x cho hình vẽ bên Biết f f f f m giá trị Tìm giá trị nhỏ f x 0;5 ? lớn M đoạn m f 0,M f A B m 1,M f D m m f f 2,M f f 2,M f C Hướng dẫn: x y , 0 f ( 0) + + f( f () y ) f ( 2) f '(x) g'(x) f x = f 0;5 é ù ëê ûú () ff < () ff > () () 2f f f f f0 f f f ( ) () Ta chọn đáp án D Bài 2.2: Cho hàm số f x có đạo hàm f x Đồ thị y f x hàm số cho hình vẽ bên Biết f f 2f f f Tìm giá trị nhỏ m giá trị lớn M f x đoạn 0; ? m f 4,M f A 0,M f m f B m f 4,M f1 D m f1,M f C Giải : x , y + f( 2) y f ( 0) f ( 4) M = f ( 2) f ( 0) f ( 4) Dựa vào BBT ta có , GTNN ) Ta lại có: f ; f < f ( Þ f + f < f ( 2) Û f ( ) - f - f () () () () () 3>0 () f f f f f 3f f f f f f f Ta chọn đáp án A Bài 2.3: Cho hàm số Phương trình f x y f x y f x có đồ thị hàm số có nhiều nghiệm? A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm f a hình bên Biết y a b Giải: Từ đồ thị hàm số −∞ x a O c x y = f '( x) ta có bảng biến thiên sau: c b +∞ , - y y + - f (b) f ( a) f(c)- + f ( c) c b c f ( a ) = ò f ' ( x ) dx = ò f ' ( x ) dx + ò f ' ( x ) dx < Þ f (c ) < f ( a) a a =0 f ( c) >0 : PT f ( x) vô nghiệm b =0 có nghiệm f (c) = : PT f ( x) =0 f ( c) Þ f (c ) > f ( a) >0 a a b f ( x) nằm trục ox với xÞ đồ thị f ( x) đồ thị f ( x) Đồ thị y f x f x Chọn đáp án: A Bài 2.5: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đồ thị hàm số f x hình vẽ Số lớn số sau f ( ) ; f ; f ; f ( ) ? () () A f ( ) B f C f () ) ( D f (4 ) Giải: x y , + - f( ) ) ( y f + f ( 4) ( f ) f 4-f 1= () ò () f ' x dx = ( ) Ta chọn đáp án B Bài 2.6: Cho hàm số ( f ' x dx + f ' x dx < Þ f ( ) < f ) ị fx ( ) ị có đạo hàm f x liên tục hình vẽ Khẳng định A f ( a ) > f (b) f ( c ) > f ( a) B f ( a ) > f (b) f ( c ) < f ( a) C f ( a ) < f (b) f ( c ) > f ( a) D f ( a ) < f (b) f ( c ) < f ( a) 11 () y f x đồ thị hàm số sau đúng? f(a)- Giải: a f (b ) = ò f ' ( x ) dx > Û f ( a ) > f (b) b f(c)- c f ( a ) = ò f ' ( x ) dx < Û f (c ) < f ( a ) a Ta chọn đáp án B Bài 2.7: Cho hàm số y = f ( x) xác định liên tục ¡ y = f ' ( x) , có đồ thị hàm số hình vẽ sau Đặt g(x)=f(x)-x Mệnh đề sau ? g ( - 1) < g ( 1) < g ( ) C g < g - < g A () Giải : ( ) g ( -g -1 () = ( ) g' Þg1