Cac dang toan lien quan den cuc tri

DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị hoặc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.. - Lập bảng biến thiên - Từ bàng biến thiên duy ra các điểm cực trị.[r]

§2 CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ CÁC DẠNG BÀI TẬP: DẠNG 1: Tìm cực trị hàm số DẠNG 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị (hoặc có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước)  Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Quy tắc 1: - Tìm TXĐ hàm số - Tính f '( x) Tìm các điểm đó f '( x) f '( x ) không xác định - Lập bảng biến thiên - Từ bàng biến thiên các điểm cực trị Quy tắc 2: - Tìm TXĐ hàm số x i 1, 2,3, . là các nghiệm - Tính f '( x) Giải phương trình f '( x ) 0 và ký hiệu i  nó - Tính f  x  và - Dựa vào đấu f  xi  f  xi  suy tính chất cực trị điểm xi LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm các điểm cực trị các hàm số sau: a) y 3 x  x b) y  x  3x  x 2 c) y  x4  x2  2 d) y  x x  2 e) y  x  x  f) y x  x  x Bài 2: Tìm các điểm cực trị các hàm số sau: f  x   x  x  2 f  x  2sin x  a) b) c) f  x   x  sin x  d) f  x  3  cos x  cos x GIẢI a) TXĐ: D=R  x  x   voi x 0 f  x    x  x   voi x  f  x  2 x    Với x  : (vì x  ) f  x   x  f  x  0  x   Với x  : , x  , f  x   Bảng biến thiên: x -1  y + y -  + Kết luận: f  f   1 1 o Hàm số đạt cực đại x  , CD f  f   0 o Hàm số đạt cực tiểu x 0 , CT b) TXĐ: D=R     f x   cos x   x   k   x   k    f  x  4 cos x , k  , f  x   8sin x      voi k 2n f   k   8sin   k   2 4 2  8 voi k 2n  , n   Tính: Kết luận:    x   n fCD  f   n   4   HS đạt cực đại ,    3  fCD 2sin   2n      x    2n  1   2,  HS đạt cực tiểu c) TXĐ: D = R    f x   cos x   cos  x   k   f  x  1  cos x , , k  f  x  4sin x      f   k  4sin   k 2  2   x   k 6  3  Tính: là điểm cực tiểu        f    k  4sin    k 2     x   k     là điểm cực đại Kết luận:     k fCD  f    k    k   6   + Hàm số đạt cực đại ,    x   k fCT  f   k    k  2 6  6 + Hàm số đạt cực tiểu , d) TXĐ: D=R f  x  2sin x  2sin x 2sin x  4sin x cos x 2sin x   2cos x  x   x k  x k  sin x 0  f  x  0    2   2  cos x  cos x   k 2   cos x 0 3   f  x  2 cos x  cos x Xét: + f  k  2 cos k  cos k 2 2 cos k    HS đat cực tiểu các điểm x k  , fCT  f  k  3  cos k  cos k 2 2  cos k 2 4  2   1  1 f    k 2  2cos  cos 2          3   2  2 +  2 x   k 2  HS đat cực đại các điểm 2 4  2  fCD  f    k 2  3  cos  cos  3    Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Lưu ý: 1) Để tính giá trị cực trị hàm bậc 3: f  x  ax  bx  cx  d ta làm sau: f  x x  Ax  B  f  x  f  x   f  x   Ax  B  f  x    x   (*) x f  x 0 Gọi i là nghiệm pt   ( f  xi   Ax  B  f  xi    xi    xi là các điểm cực trị) 0  f  xi   xi   Trong đó  x   là phần dư phép chia Đường thẳng qua điểm cực trị là: ( Vì toạ độ điểm cực trị M  x; y  f  x f  x  y  x   f  x  0 thoả pt , nên từ (*) ta suy y  x   ) 2) Tính giá trị cực đại, cực tiểu hàm số: ax  bx  c u  x  y  ax  b v  x y  u  x  v  x   u  x  v x   v  x   , y 0  u x  v  x   u  x  v x  0 Gọi xi (1) là các nghiệm (1), từ (1) ta suy ra:  u  xi  u xi  v  xi   u  xi  v xi  0 v  xi  Các giá trị cực trị là: u  xi  u  xi  2axi  b y  xi     v  xi  v xi  a  u  xi  v xi  Do đó pt đường thẳng qua điểm cực trị là: y 2ax  b a y  m   x  mx  Bài 1: Cho hàm số: Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số không có điểm cực đại và điểm cực tiểu GIẢI TXĐ: D =  y 3  m   x  m Đạo hàm: Để hàm số không có cực trị thì phương trình y 0 vô nghiệm có nghiệm kép   0   4.3m  m   0  m 2 y  x3  mx   m  m  1 x  Bài 2: Cho hàm số: Tìm m để hàm số đạt cực tiểu điểm x 1 GIẢI  TXĐ: D = 2 Đạo hàm: y  x  2mx  m  m  y 2 x  2m  y 1 0   y 1  Hàm số đạt cực tiểu x 1 m 1  m 2   m   m  3m  0    2m  Vậy không có giá trị nào m để hàm số đạt cực tiểu x 1 Bài 3: Cho hàm số y x  3x  3x  a) Tìm cực trị hàm số b) Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị GIẢI a) TXĐ: D =  Đạo hàm: y  x  x   x 1  y 0  x  x  0    x 1  Cho  Chia f  x  cho f  x  , ta được: 1 1 f  x   3x  x  3  x    x  3 3 Giá trị cực trị là: f  x0   x0       f        f     Lập bảng biến thiên  CĐ, CT b) Phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị là: y  x  y x3  x   m   x  m  Bài 4: Cho hàm số Xác định m cho: a) Hàm số có cực trị b) Hàm số có hai cực trị cùng dấu GIẢI a) TXĐ: D =  y 3x  12 x   m   Đạo hàm: Cho y 0  x  x  m  0 (*)   4   m     m Để hàm số có cực trị thì:     m   m  b) Chia f  x cho f  x  , ta được: 2 1 f  x   3x  12 x   m     x    x  2mx  m  3 3  giá trị cực trị là: f  x0   x0  2mx0  m  2 x0  m    m   m    x0  1 Gọi x1 x2 , là điểm cực trị Hàm số có cực trị cùng dấu  f  x1  f  x2     m    x1  1  m    x2  1    m  2  x1 1  x2 1    m    x1 x2  x1  x2  1    m    x1 x2   x1  x2   1  (1) 12 x1  x2  4 x1.x2 m  Mặt khác: ,   m     m    2.4 1  Do đó (1) 17  m    m 2   m    4m  17   Kết hợp với điều kiện có cực trị m  , ta được: 1 y  mx3   m  1 x   m   x  3 Bài 5: Cho hàm số:  17 m2 x  x2 1 Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 thoả GIẢI  TXĐ: D = y mx   m  1 x   m   Đạo hàm: m 0    m  1  3m  m      Hàm số có cực trị m 0  m 0  6  1  m 1   2   2m  4m   (*) x x Gọi , là nghiệm phương trình y 0 thì:   x1  x2 1 1   m  1   2  x1  x2  m   3 m  2  3  x1 3  x2    x1.x2  m  m, m Từ (1) và (2)   3 m  2     1      m  m m  Thay vào (3)   m 2  m  (Nhận so với điều kiện)  3m  5m  0 m 2  m  Vậy: x3 x2 y    mx Bài 6: Cho hàm số: (ĐH Y - Dược) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu có hoành độ lớn m GIẢI TXĐ: D =  Đạo hàm: y  x  x  m Hàm số đạt cực trị điểm có hoành độ x  m  y 0 có nghiệm x1 , x2 thỏa m  x1  x2       y m   s  m 2  1  4m     m  2m     m   m    m    m   m     m2 Vậy  m   y  f  x  2 x3   m  1 x   m   x  Bài 7: Cho hàm số: (1) Tìm m để (1) có cực đại, cực tiểu và đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y  x  GIẢI TXĐ: D =  y 6 x   m  1 x   m   Đạo hàm: x   m  1 x   m   0  y   Cho 2    m  1   m      m  3   m 3 Hàm số (1) có cực trị f  x  Lấy (1) chia cho ta được: y   x  m  1 f  x    m  3 x  m  3m  Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: y   m  3 x  m  3m  (d) Để (d) song song với đường thẳng y  x  thì:   m  3   m    m 3  y x  3x  x2 Bài 8: Cho hàm số: a) Tìm cực trị hàm số b) Viết phương trình đường thẳng qua các điểm cực trị GIẢI a) TXĐ: D  \   2 y  x  x 1  x  2 Đạo hàm: Giá trị cực trị là: y  xo    x   y 0  x  x  0    x   , u x0  x0   v x0    y  2     y     , Lập bảng biến thiên  CĐ, CT b) Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị là: x  mx  m y x m Bài 9: Cho hàm số: y 2 x   m 0  Tìm m để hàm số: a) Có cực đại và cực tiểu b) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu GIẢI a) TXĐ: D  \  m x  2mx  m  m y   x  m 2 Đạo hàm: , y 0  x  2mx  m  m 0 (1) Hàm số có cực đại, cực tiểu  (1) có nghiệm phân biệt     m  m  m   m    b) Hàm số có giá trị cực trị trái dấu và khi: y 0 có nghiệm phân biệt Đồ thị không cắt trục ox ( Pt y 0 vô nghiệm) y        y  m    m  m   m   0m4  0  m  mx  2mx  m  y x Bài 10: Cho hàm số: Tìm m để giá trị cực đại và giá trị cực tiểu hàm số cùng dấu GIẢI TXĐ: D  \  1 y  mx  2mx  3m   x  1 2 Đạo hàm: , y  0  mx  2mx  3m  0 Hàm số có giá trị cực trị cùng dấu và y 0 có nghiệm phân biệt y 0 có nghiệm phân biệt (đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt)  m    m0       m  m   y   m         y  m    m  Vậy m