Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức đa thức với đa thức và bảy hằng đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho về một biểu thức đơn giản ,ngắn gọn hơn.Rồi thay giá trị của bi[r]
(1)CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP CHƯƠNG I TOÁN Dạng 1: Thực phép tính.(Rút gọn biểu thức) Phương pháp:Sử dụng quy tắc nhân đơn thức (đa thức) với đa thức và bảy đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho biểu thức đơn giản ,ngắn gọn VD:a) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) – 5x(x + 1) = 2x2 + 3(x2 – 1) –5x2 – 5x = 2x2 + 3x2 - 3x - 5x2 – 5x = - 8x Bài tập: Thực phép tính a) x(x + 4)(x - 4) – (x2 + 1)(x2 – 1) b) (a + b – c)2 – (a - c)2 - 2ab + 2bc c) (a - 1)(a - 2) + (a - 3)(a +4 ) – (2a2 + 5a – 34) d) (a + c)(a - c) – b(2a - b) – (a – b + c)(a – b - c) Dạng 2: Tìm x,biết: Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức (đa thức) với đa thức và bảy đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho dạng ax + b = x = - b a dạng A.B = A = B = VD: Tìm x,biết (x + 2)( x + 3) – (x – 2)(x + 5) = x + 3x + 2x + – (x2 + 5x – 2x - 10) = x2 + 5x + – x2 - 5x + 2x + 10 = x + 16 = 16 x = - x = -8 Bài tập: Tìm x,biết a) (x + 3)( x + 5) – (x – 2)(x + 3) = b) (x + 3)3 – x(3x + 1)2 + (2x + 1)(4x2 – 2x + 1) -3x2 = 54 c) x2 – x + =0 d) 25x2 – = e) x(x – 2) + x – = f) x3 – 4x = g) (5x – 2)2 – (3x + 2)2 = Dạng : Tính giá trị biểu thức giá trị nào đó biến Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức (đa thức) với đa thức và bảy đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho biểu thức đơn giản ,ngắn gọn hơn.Rồi thay giá trị biến vào biểu thức vừa rút gọn đó thực phép tính VD: Tính giá trị biểu thức 3(2x – 1) + 5(3 – x) x = 88 Ta có : 3(2x – 1) + 5(3 – x) = 6x – + 15 – 5x = x + 12 Thay x = 88 vào biểu thức x + 12 ta 88+12 = 100 Vậy 100 là giá trị biểu thức đã cho x = 88 Bài tập: Tính giá trị biểu thức: a) 4x – 2(10x – 1) + (8x – 2) x = - 0,2 Lop6.net (2) b) (x2 – 5)(x + 3) + (x + 4)(x – x2) x = 15 c) 49x2 – 70x + 25 x = d) x3 + 12x2 + 48x + 64 x = e) x3 – 6x2 + 12x – x = 22 f) x(x – 1) – y(1 – x) x = 2000 và y = 1999 Dạng 4: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến Phương pháp: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức (đa thức) với đa thức và bảy đẳng thức đáng nhớ để biến đổi biểu thức đã cho biểu thức đơn giản không còn chứa biến VD: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến x(2x + 1) – x2(x + 2) + x3 – x + =2x2 + x - x3 – 2x2 + x3 – x + = (x3- x3 )+ ( 2x2– 2x2) + (x – x) + = (không phụ thuộc vào biến) Bài tập: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào biến a) x(y – z) + y(z – x) + z(x – y) b) y4 – (y2 – 1)(y2 + 1) c) (x – 5)(2x + 3) – 2x(x – 3) + x + d) (x + 5)(x – 5) – (x + 2)(x – 2) Dạng 5: Chứng minh đẳng thức A = B Phương pháp: Biến đổi biểu thức A thành biểu thức B Biến đổi biểu thức B thành biểu thức A Biến đổi biểu thức A và B thành biểu thức C nào đó Ta sử dụng quy tắc nhân đơn thức (đa thức) với đa thức và đặc biệt là bảy đẳng thức đáng nhớ VD: Chứng minh rằng: (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab - Cách 1: Ta có VT = a2 + 2ab + b2 = (a2 - 2ab + b2 ) + 2ab + 2ab = (a – b)2 + 4ab = VP - Cách 2: Ta có VP =a2 - 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = VT - Cách 3: Ta có VT = a2 + 2ab + b2 VP = a2 - 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2 VT = VP hay (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab Bài tập: Chứng minh rằng: a) (a - b)2 = (a + b)2 - 4ab b) (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax – by)2 +(ay + bx)2 c) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab d) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2 e) a2(b – c) + c2(a – b) + b2(c – a) = (a – c)(b – a)(c – b) Dạng 6: Tìm giá trị lớn ,nhỏ đa thức Phương pháp: Để tìm giá trị nhỏ ,ta biến đổi đa thức đã cho dạng [f(x)]2 + a đó a là số.Vì [f(x)]2 với x nên [f(x)]2 + a a với x.Do đó giá trị nhỏ đa thức đã cho a f(x) = Để tìm giá trị lớn ,ta biến đổi đa thức đã cho dạng - [f(x)]2 + a đó a là số.Vì [f(x)]2 với x nên - [f(x)]2 đó - [f(x)]2 + a a với x.Do đó giá trị lớn đa thức đã cho a f(x) = Lop6.net (3) VD1: Tìm giá trị nhỏ đa thức A = x2 + 5x + Ta có : A = x2 + 5x + = x2 + 2.x 25 25 + + = (x + )2 + 4 5 7 ) x nên (x + )2 + 2 4 5 x + = x = A có giá trị nhỏ là 2 Vì (x + VD2: Tìm giá trị lớn đa thức B = – 8x – x2 Ta có B = – 8x – x2 = – 8x – x2= – x2 – 8x – 16 + 16 + = - (x2 + 8x + 16) + 21 = (x + 4)2 + 21 Vì (x + 4)2 x nên - (x + 4)2 x Do đó - (x + 4)2 + 21 21 Vậy giá trị lớn B là 21 x + = suy x = - Bài tập: Tìm giá trị lớn (nhỏ )của các đa thức sau: a) x(x - 6) b) – 3x(x + 3) – c) x2 +3x + d) (x – 2)(x – 5)(x2 – 7x – 10) e) 11 – 10x – x2 Dạng 7: Chứng minh biểu thức luôn có giá trị dương (âm) với giá trị biến Phương pháp: Ta biến đổi biểu thức đã cho dạng [f(x)]2 , [f(x)]2 + a với a (hoặc - [f(x)]2 ) Bài tập: Chứng minh biểu thức luôn có giá trị dương (âm) với giá trị biến a) x2 + x + b) x4 + x2 + c) (x + 3)(x – 11) + 2003 d) - 9x2 + 12x – 15 e) – – (x – 1)(x + 2) Dạng 8: Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp: Để phân tích đa thức thành nhân tử ta thường dùng các phương pháp: Các phương pháp thường dùng: - Đặt nhân tử chung - Dùng các đẳng thức - Nhóm các hạng tử cách thích hợp để làm xuất các đẳng thức xuất nhân tử chung - Phối hợp các phương pháp trên Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) (x – y + 4)2 – (2x + 3y – 1)2 b) 25x2 + 10x + c) x2 – 2x d) x3 + 3x2 +3x + e) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2 f) x3 - y3 + 3x2 + 3xy + 3y2 g) x2 + y2 + 2x - 2xy - 2y h) x3 + 3x2 + 4x + 12 i) x8 – Lop6.net (4) j) (x + y)3 – x3 - y3 Các phương pháp khác - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Thêm , bớt cùng hạng tử thích hợp - Đặt biến phụ VD: Phân tích đa thức thành nhân tử Cách 1: x3 – 7x - = x3 – x – 6x – (tách hạng tử - 7x thành – x – 6x ) = x(x – 1) – 6(x + 1) = x(x + 1)(x -1) – 6(x + 1) (đặt x + làm nhân tử chung) = (x + 1)[x(x – 1) – 6] =(x + 1)(x2 – x – 6) =(x + 1)(x2 – – x – 2) (tách hạng tử - thành – – ) =(x + 1)[(x + 2)(x – 2) – (x + 2) ] =(x + 1)(x + 2)(x – -1) ) (tiếp tục đặt x + làm nhân tử chung) =(x + 1)(x + 2)(x – 3) Cách 2: x3 – 7x - = x3 + – 7x – 14 (thêm và bớt ) = (x3 + 23) – 7(x + 2) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7(x + 2) = (x +2)( x2 – 2x + – 7) = (x +2)( x2 – 2x – 3) =(x +2)( x2 – 2x + - 4) =(x +2)[( x - 1)2 – 4] = (x +2)(x – + 2)(x – - 2) =(x +2)(x + 1)(x – 3) Bài tập: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) x2 + 7x + 12 b) x2 + 6x + c) x2 - 10x + 16 d) x2 - 8x + 15 e) x4 + f) x2 - 8x – g) x2 + 3x – 18 Dạng 9: Chia đơn thức cho đơn thức ,chia đa thức cho đơn thức Đơn thức A chia hết cho đơn thức B biến B là biến A với số mũ không lớn số mũ nó A Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ,ta làm sau: - Chia hệ số đơn thức A cho hệ số đơn thức B - Chia lũy thừa biến A cho lũy thừa biến đó B - Nhân các kết tìm với Muốn chia đa thức A cho đơn thức B, ta chia hạng tử A cho B cộng các kết với Dạng 10: Chia đa thức biến đã xếp Với hai đa thức tùy ý A và B biến (B khác 0),tồn hai đa thức Q và R cho A = B.Q + R đó R = bậc R nhỏ bậc B Khi R = phép chia A cho B là phép chia hết Lop6.net (5)