Sáng kiến kinh nghiệm CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG KHỐI LỚP 9

Để giúp học sinh học tập có hiệu quả thì ngời thầy phải không ngừng tìm tòi, sáng tạo các phơng pháp dạy học mới, khai thác các bài toán một cách sâu, rộng hơn.. Đối với học sinh lớp 9 h

UBND tỉnh Hải Dơng

sở giáo dục và đào tạo

phơng trình trùng phơng

Môn: Toán Khối lớp 9

Nhận xét chung:

………

………

………

………

Điểm thống nhất Bằng số: ………

Bằng chữ:………

Giám khảo số 1: ……….

Giám khảo số 2: ……….

Năm học 2010-2011

1

Sở giáo dục và đào tạo Hải Dơng

Trờng thcs ngọc kỳ

phơng trình trùng phơng

Môn: Toán Tên tác giả:vũ thành khởi

Xác nhận của nhà trờng

(Ký, đóng dấu)

………

………

………

………

2

Phần ghi phách

Sở giáo dục và đào tạo hải Dơng Phòng giáo dục và đào tạo Tứ Kỳ

phơng trình trùng phơng

Môn: toán Khối lớp 9

Đánh giá của Hội đồng cấp huyện

(Nhận xét, xếp loại, ký, đóng dấu)

………

………

………

………

………

Tên tác giả :

Trờng :

3

Phần ghi số phách

(

A Đặt vấn đề

1 Cơ sở lý luận

Một trong những mục tiêu cơ bản của giáo dục phổ thông là đào tạo và xây dựng một thế hệ trẻ “vừa hồng, vừa chuyên” Xây dựng một thế hệ phát triển toàn diện về tri thức, đạo đức, thẩm mỹ nhằm đáp ứng nhu cầu của thời kỳ công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nớc

Để giải quyết bài toán khó đó, không chỉ phụ thuộc ở các em học sinh mà phần nhiều phụ thuộc ở đội ngũ giáo viên, thầy, cô là ngời quyết định tính thành công của giáo dục Hiện bộ giáo dục đang phát động phong trào “ mỗi thầy cô là tấm gơng sáng tự học và sáng tạo” Là giáo viên phổ thông tôi luôn ủng hộ và tích cực xây dựng phong trào bằng các sáng kiến đợc đúc kết từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, nhằm trang bị kiến thức sâu, rộng cho học sinh

Trong giảng dạy, toán học là một môn khoa học thể hiện rõ và cụ thể các sáng tạo của thầy và trò Để giúp học sinh học tập có hiệu quả thì ngời thầy phải không ngừng tìm tòi, sáng tạo các phơng pháp dạy học mới, khai thác các bài toán một cách sâu, rộng hơn Bên cạnh đó bằng kinh nghiệm, tri thức của mình cần đúc kết thành các bài toán tổng hợp, các dạng toán đặc trng cho từng thể loại để học sinh dễ học,dễ hiểu

Đối với học sinh lớp 9 hiện nay, dạng toán giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai mới dừng lại ở khía cạnh giản đơn, cha khai thác sâu các kiến thức ở từng dạng Đặc biệt với phơng trình trùng phơng, ngời viết sách giáo khoa mới chỉ nghiên cứu các phơng trình thuần tuý, chỉ yêu cầu giải phơng trình trùng phơng khi

hệ số là các số thực cụ thể Với học sinh khi gặp các dạng toán phức tạp, phơng trình có chứa tham số các em gặp rất nhiều khó khăn nh tìm điều kiện để phơng trình trùng phơng vô nghiệm, có bốn nghiệm phân biệt…, nhiều bài toán thậm chí không có hớng giải quyết

Bằng thực tế giảng dạy với phơng trình trùng phơng tôi mạnh dạn khai thác :

Các dạng toán liên quan đến ph

“ ơng trình trùng phơng” để học sinh và giáo

viên tham khảo

2 Cơ sở thực tế.

Trong quá trình dạy toán khối 9, đặc biệt khi khai thác các phơng trình quy

về phơng trình bậc hai tôi thấy các nhà giáo dục cha đề cập nhiều tới “phơng trình trùng phơng”, sách giáo khoa, thậm trí các sách tham khảo trong chơng trình học THCS cha khai thác nhiều đến loại toán này

Mặt dù biết đây là phần kiến thức khó, đòi hỏi phải tổng hợp nhiều kiến thức

đã học và phải có t duy tốt mới có khả năng giải thành công Đối với các em khá, giỏi trong khối bản thân các em vốn có một tố chất thông minh nếu cộng với sự giúp đỡ của thầy thì hiệu quả học toán rất cao Từ thực tế nh vậy tôi cùng đồng nghiệp có nhiều đề tài giảng dạy nhằm giúp các em khá- giỏi bổ sung thêm về vốn kiến thức toán học trên lớp, hiểu sâu hơn về các thể loại bài tập đợc đề cập trong

ch-ơng trình THCS Một trong những đề tài đó là: “Các dạng toán liên quan đến

ph-ơng trình trùng phph-ơng” mà tôi đề cập sau đây

B Giải quyết vấn đề

I Nội dung sáng kiến

Dạng I: Giải phơng trình trùng phơng

Đối với học sinh khối 9, giải các phơng trình chủ yếu là đa chúng về các

ph-ơng trình bậc hai, bậc nhất Khi giải phph-ơng trình trùng phph-ơng chúng ta cần nắm

đ-ợc dạng toán cơ bản sau:

*) Bài tập tổng quát : Giải phơng trình : ax + bx + c = 0 a 0 4 2    (1)

4

Gîi ý: Ta chuyÓn ph¬ng tr×nh vÒ ph¬ng tr×nh bËc hai

C¸ch gi¶i: §Æt x2 =y ( ®k y 0)

Ta cã ph¬ng tr×nh: ay + by + c = 0 a 0 2   (2) Gi¶i ph¬ng tr×nh (2): T×m y

chän c¸c gi¸ trÞ y 0

T×m x: Cã x2 =y  x y

KÕt luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1)

*) Bµi tËp vËn dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau

a, 3x 4 5x 2 8= 0 (*)

§Æt x2 =y ( ®k y 0)

Ta cã ph¬ng tr×nh: 2

3y  5y  8= 0(**)

Do a –b+c =3-(-5) +(-8)=0

Ph¬ng tr×nh (**) cã nghiÖm : y1= -1 (kh«ng tho¶ m·n)

y2 =8

3(tho¶ m·n)

Khi y =8

3 cã x

2 =8

8 3

x 

VËy ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm 8 8

;

S   

x x = 0 (*)

§Æt x2 =y ( ®k y 0)

Ta cã ph¬ng tr×nh: y 2 13y  36= 0(**)

Do  y 25 0 

Ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm : y1= 9 (tho¶ m·n)

y2 =4(tho¶ m·n) Khi y =9 cã x2 =9  x 3

Khi y= 4 cã x2= 4  x 2

VËy ph¬ng tr×nh (**) cã bèn nghiÖm S    3; 2; 2;3

c, 3x 4 x 2  2= 0 (*)

§Æt x2 =y ( ®k y 0)

Ta cã ph¬ng tr×nh: 2

Do  y 23 0 

Ph¬ng tr×nh (**) v« nghiÖm :

VËy ph¬ng tr×nh (*) v« nghiÖm

d, x 4 6x 2 8= 0 (*)

§Æt x2 =y ( ®k y 0)

Ta cã ph¬ng tr×nh: 2

Do   y 1 0

5

Phơng trình (**) có nghiệm : y1= -2 (không thoả mãn)

y2 =-4( không thoả mãn) Vậy phơng trình (*) vô nghiệm S 

Nhận xét: Từ các ví dụ trên ta thấy rằng

-Phơng trình (1) vô nghiệm khi phơng trình (2) có hai nghiệm cùng âm hoặc

phơng trình (2) vô nghiệm

- Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu

- Phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt khi phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt dơng

Ngoài nhận xét vừa đúc kết từ các ví dụ trên, số nghiệm của phơng trình trùng

ph-ơng phụ thuộc vào nghiệm của phph-ơng trình hệ quả nh thế nào ta nghiên cứu tiếp dạng toán sau

Dạng II: Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình trùng phơng

Kiến thức sử dùng:

Định lý viet: Nếu x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 +bx+c =0 (a 0)

thì S =x1+x2 = b

a



và P =x1.x2=c

a

Bài toán: Điều kiện để phơng trình ax2 +bx+c =0 (a 0)

a, Có hai nghiệm trái dấu : a c<0

b, Có hai nghiệm cùng âm :

0 0 0

S P

 











c, Có hai nghiệm cùng dơng:

0 0 0

S P

 











Bài toán tổng quát:

Cho phơng trình ax + bx + c = 0 a 0 4 2   (1) Tìm điều kiện để phơng trình

a, Vô nghiệm

b, Có một nghiệm

c, Có hai nghiệm phân biệt

d, Có ba nghiệm

e, Có bốn nghiệm phân biệt

*) Gợi ý: Số nghiệm của phơng trình ax + bx + c = 0 a 0 4 2    (1)

phụ thuộc vào số nghiệm của phơng trình ẩn phụ:

  

2

ay + by + c = 0 a 0 (2) với x 2 =y

*) Bài giải:

a, Để phơng trình (1) vô nghiệm thì phơng trình (2) phải

+) Vô nghiệm : (đk  y 0 ) Hoặc có hai nghiệm cùng âm: (đk

0 0 0

y

S P

 











)

b, Để phơng trình (1) có một nghiệm thì phơng trình (2) phải:

6

+) Có nghiệm kép bằng 0:

0 0 2

y

b a

 





 





hoặc có một nghiệm bằng 0 một nghiệm âm: (đk

0 0 0

y

S P

 











)

c, Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải:

+) Có hai nghiệm trái dấu: (đk a.c <0) Hoặc có một nghiệm kép dơng : (đk

0 0 2

y

b a

 





 







)

d, Để phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải:

+) Có một nghiệm bằng 0, một nghiệm dơng: (đk

0 0 0

y

S P

 











)

e, Để phơng trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải

+) Có hai nghiệm dơng phân biệt: (đk

0 0 0

y

S P

 











)

Bài tập vận dụng :

Bài 1 : Cho phơng trình: x4  (3m 2)x2   1 0 (1)

Tìm m để phơng trình có đúng hai nghiệm

Bài giải: x4  (3m 2)x2   1 0

Đặt x2 =y

Ta có phơng trình: 2

Để phơng trình (1) có đúng hai nghiệm thì :

TH1: Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu : a.c <0

Hay 1< 0 (vô lý) => không có giá trị của m

TH2: Phơng trình (2) có nghiệm kép dơng :

0 0 2

y

b a

 





 





Hay

2

0

4 3

0

2 2

3

m

m

m











Kết luận: Vậy với 4

3

m  thì bài toán thoả mãn

Bài 2: Cho phơng trình : (m2  1)x4  2(m 1)x2  1 0 

Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

7

Bài giải: (m2  1)x4  2(m 1)x2  1 0  (1)

Đặt x2 =y

Ta có phơng trình: (m2  1)y4  2(m 1)y2  1 0  (2)

Ta thấy a.c = (m2+1)(-1) <0 (với mọi giá trị của m)

 phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu

 phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 3 ; Cho phơng trình (m 2)x4  2(m 1)x2  2m 1 0 

Tìm m để phơng trình trên có

a, Một nghiệm

b, Hai nghiệm phân biệt

c, Bốn nghiệm phân biệt

Bài giải; (m 2)x4  2(m 1)x2  2m 1 0  (1)

Đặt x2 =y

Ta có phơng trình: 2

(m 2)y  2(m 1)y  2m 1= 0(2)

Gợi ý: Phơng trình một cha phải phơng trình trùng phơng vì thế khi giải có thể xét

hai trờng hợp a 0hoặc a 0

TH1: Khi m =2 phơng trình (1) trở thành -6x2+3 =0

2

x

1 2 1 2

x x



















Với m= 2 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

TH2: Khi m 2

a, Để phơng trình (1) có đúng một nghiệm thì phơng trình (2)

có nghiệm kép bằng 0 hoặc một nghiệm bằng 0 , nghiệm kia âm

Khi y= 0 ta có 2m-1 =0

1 2

m

Thay vào phơng trình (2) ta có :

3

2 0 2

y y









Vậy với 1

2

m  thì bài toán thoả mãn

b, Để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì

+)phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a.c <0

Hay (m-2)(2m-1)<0 8

2

Hoặc phơng trình (2) có nghiệm kép dơng :

0 0 2

y

b a

 





 







Hay

2

0 2

2

m

m

m



















2

Kết luận: Vậy với 1

2

2m hoặc

7 3 5 2

m  thì bài toán thoả mãn

c, Để phơng trình(1) có bốn nghiệm phân biệt thì phơng trình (2) phải có hai

nghiệm phân biệt dơng: 0

0 0

y

S P





 











hay

0 2

0 2

m m m m



















1 2 1 2 2

m m

m m m









 





 













2

2

Kết luận: Vậy với 7 3 5

2

2

  thì phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

*) Khó khăn: Giải hệ bất phơng trình và kết hợp nghiệm

*) Kinh nghiệm: Thiết lập trục số rồi tổng hợp nghiệm trên trục số

Bài 4: Biện luận số nghiệm của phơng trình sau: (m 3)x4  (2m 1)x2  3 0  theo m

*)Gợi ý: Khi biện luận cần quan sát hệ số a củaphơng trình, phơng trình cho cha là

phơng trình trùng phơng do đó ta không thể áp dụng bài toán tổng quát để giải:

*) Bài giải: (m 3)x4  (2m 1)x2  3 0  (1)

Đặt x2 =y

Ta có phơng trình: (m 3)y2  (2m 1)y  3 0  (2)

TH1: Khi m 3 phơng trình (1) có dạng: 7x2-3 =0

9

3 7 3 7

x x



















TH2: Khi m 3 ta có  y 4m2 8m 37 0  (với mọi giá trị m)

 phơng trình (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

KN1: Nếu phơng trình (2) có hai nghiệm dơng phân biệt khi: 0

0

P S











Hay

0

3 0 3

m

m













Thì phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

KN2: Nếu phơng trình (2) có hai nghiệm âm phân biệt khi: 0

0

P S











Hay

1 0

3

2 3

3 0

3

m

m m

m m













không có m

KN3: Nếu phơng trình (2) cso hai nghiệm trái dấu khi : a.c <0

Hay -3(m+3)<0

 m>-3 Thì phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

KN4: Nếu phơng trình (2) có nghiệm bằng 0 khi: -3 =0 (không có m)

Kết luận: Với m 3 thì phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Với m< -3 thì phơng trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

Bài 5: Cho phơng trình (m+1)x4-2(m-1)x2 +m-1 =0

1 Tìm mđể phơng trình có nghiệm x=2

2 Tìm m để phơng trình có nghiệm

*) Gợi ý 1; Một số x= là nghiệm của phơng trình f(x)= ax + bx + c = 4 2 0

Khi f( ) =0

*) Bài giải : (m+1)x4-2(m-1)x2 +m-1 =0 (1)

1 Để x =2 là nghiệm của phơng trình (1) ta có: (m+1)24-2(m-1)22 +m-1 =0

 9m =-23

9

m

Kết luận: Vậy với 23

9

m thì bài toán thoả mãn

*) Gợi ý 2: Học sinh cần trả lời các câu hỏi sau trớc khi giải phần 2

? Phơng trình (1) có phải phơng trình trùng phơng không

? Khi nào phơng trình (1) là phơng trình trùng phơng

? Phơng trình trùng phơng có nghiệm khi nào 2.TH1: Khi m =-1 ta có phơng trình: 4x2-2 = 0

10

 2 1

2

x 

2

x  (thoả mãn)

TH2: Khi m 1

Đặt x2 =y

Ta có phơng trình: (m 1)y2  2(m 1)y m 1 0  (2)

Để phơng trình (1) có nghiệm thì

+) KN1: Phơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu: a c<0

Hay (m+1)(m-1)<0

 -1 <m <1 +) KN2: Phơng trình (2) có hai nghiệm cùng dơng:

0 0

y

S P

 









Hay

1

0

2 1

1 0 1

m m

m m

m m













 











+) KN3: Phơng trình (2) có một nghiệm bằng 0: ta có

(m+1)04-2(m-1)02 +m-1 =0

 m =1 +) KN 4: Phơng trình (2) có nghiệm kép dơng:

0 2

y

b a

 



 







Hay

1 0 1

m m













 m =-2

Kết luận: Vậy với m 2 hoặc m 1 thì bài toán thoả mãn

Bài tập tham khảo:

Bài 1: Cho phơng trình : (m2+1)x4 -2(m+1)x2+1 =0

Tìm m để phơng trình vô nghiệm Bài 2: Biện luận số nghiệm của phơng trình sau:

(m+1)x4 -2(m-1)x2+1 =0

Dạng III: Dạng toán khác.

Bài toán: Cho phơng trình x4  2(m 1)x2  2m  1 0

Tìm m để phơng trình có bốn nghiệm x1 ; x2 ; x3 ;x4 sao cho khi biểu diễn

Trên trục số thì bốn điểm đó chắn trên trục số thành ba đoạn bằng nhau?

*) Gợi ý: Khi giải bài toán cần khẳng định :

11

- Điều kiện để phơng trình có bốn nghiệm phân biệt

- Điều thứ hai là : x1  x2 x2  x3 x3  x4

*) Bài giải: x4  2(m 1)x2  2m  1 0

Đặt x2 =y

Ta có phơng trình: y2  2(m 1)y  2m  1 0(2)

Để phơng trình ( 1) có bốn nghiệm x1 ; x2 ; x3 ;x4 thì phơng trình (2) phải

Có hai nghiệm dơng phân biệt :

0 0

y

S P

 









hay

2

m

m













1 2 0

m m













Khi đó phơng trình (2) có nghiệm : y 1=m+1+ m = 1 0

khi m









y 1=m+1- m = 1 0

khi m









Ta có thể cho nghiệm nh sau: x 1 , x 2m 1 do

1 2 0

m m













Giải sử thứ tự các nghiệm x1 <x2 < x3 <x4

+)Nếu m>0 theo bài ra ta có ; x2-x1=x3-x2 =x4-x3

Hay -1 + 2m 1 =1+1 = 2m 1+1  m=4 (thoả mãn)

+)Nếu m< 0 theo bài ra ta có - 2m 1+1 =2 2m 1 =1- 2m 1

9

m (thoả mãn)

Kết luận : Vậy với m=4 ; 4

9

m thì bài toán thoả mãn

Bài toán tham khảo:

Cho phơng trình ẩn x : x4 (3m 14)x2 (4m 12) 2  m  0

1 Tìm m để phơng trình có bốn nghiệm phân biệt?

2 Tìm m để tích bốn nghiệm trên đạt giá trị lớn nhất

II kết quả

Sau khi dạy xong chuyên đề này cho học sinh khối 9, tôi đều tiến hành khảo sát qua một số bài kiểm tra và thu đợc kết quả nh sau:

+ Khi cha áp dụng :

Giỏi: 10 % Khá: 20%

+ Sau khi dạy thực nghiệm ;

Giỏi: 18% Khá: 29%

12

Nhận xét: Năm học 2007- 2008 khi cha mạnh dạn dạy thực nghiệm dạng toán trên, lúc đa một số bài toán liên quan đến tham số hầu nh không học sinh nào

tự giải đợc Từ năm học 2008-2009 đến nay, trong quá trình bồi dỡng, ôn luyện cho các em học sinh khối 9, đặc biệt với các em khá giỏi tôi đã dành một số buổi cụ thể dạy áp dụng chuyên đề thì kết quả đã có sự chuyển biến rõ Số học sinh khá, giỏi tăng, số các em học trung bình cũng bớc đầu hiểu và tự giải các bài toán đơn giản khi có chứa tham số

Sau khi đợc làm quen, đa số các em khá luôn chủ động tìm tòi, khai thác thêm các bài toán có liên quan đến phơng trình trùng phơng từ các sách tham khảo hoặc các bài tập trong chơng trình THPT Học sinh đã chủ động hơn trong việc học tập của mình, luôn chủ động lĩnh hội cái mới

III Bài học kinh nghiệm

1.Đối với thầy:

Khi thực hiện đề tài này, một vấn đề tởng trừng không quan trọng trong

ch-ơng trình toán phổ thông THCS, nhng lại rất quan trọng với các em khi tiếp cận toán THPT, thi vào THPT Tôi nhận thấy điều thành công trong sáng kiến chính là:

Đã toạ cho các em thói quen sử dụng cái đã biết để khai thác những vấn đề sâu , rộng trong thực tế Đặc biệt đã tạo điều kiện cho các em rèn luyện tính sáng tạo, chủ động trong công việc

Qua thực hiện chuyên đề, tôi rút ra một số bài học :

Một là: Muốn dạy học sinh giải toán sáng tạo thì thầy phải định hớng và chủ động khai thác và phân dạng bài trong các loại toán cụ thể

Hai là: Giáo viên phải có lòng tin vào chính mình, tin vào trò Phải tự mình học tập,

tự mình tìm và nghiên cứa các vấn đề dù là nhỏ nhất trong thực tế Luôn đúc kết và thờng xuyên thực nghiệm những vấn đề đúc kết đó vào giảng dạy Phải thờng xuyên hoàn thiện mình trong mọi lĩnh vực

2 Đối với trò:

Chuyên đề Các dạng toán về ph“ ơng trình trùng phơng ” là chuyên đề hẹp, nhng rất phong phú về bài tập, một số bài rất khó Nhng để giải đợc thì học sinh phải tổng hợp nhiều kiến thức, phát huy hết khả năng suy luận, tổng hợp của mình trong giải toán Do đó học sinh phải thờng xuyên ôn tập cái cũ, tìm tòi, sáng tạo cái mới

Học trên lớp một cách tích cực, chủ động nắm bắt các vấn đề mới, tìm hiểu sách tham khảo Nên mạnh dạn đa ý kiến của mình trong mọi vấn đề để thầy và bạn cùng giải quyết

IV.Những vấn đề còn bỏ ngỏ và điều kiện áp dụng

1 Những vấn đề còn bỏ ngỏ

Bàn về các dạng bài liên quan đến phơng trình trùng phơng thì còn nhiều vấn

đề Trong phạm vi đề tài này tôi chỉ vận dụng kiến thức ở cấp THCS để giải quyết các bài toán Ngoài ra còn một số dạng toán “ so sánh nghiệm của phơng trình trùng phơng với một, hai ,ba số” đối với học sinh khối 9 không thể giải quyết đợc Việc

đó đợc giải quyết trong chơng trình toán THPT

Ngoài ra khi dạy các bài toán về phơng trình trùng phơng, thì việc chúng ta phải củng cố kỹ năng giải bất phơng trình, kết hợp nghiệm trong bất phơng trình rất quan trọng Trớc khi dạy, ngời thầy phải song song dạy chuyên đề giải hệ bất

ph-ơng trình thì học sinh mới không gặp khó khăn trong kết luận của bài toán

13