2.Cơ sở thực tiễn: Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân, và những kinh nghiệm có được trong quá trình dạy học, tôi tổng kết được những dạng toán cơ bản của Xác suất
Trang 1PHẦN 1: LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lý luận:
Xác suất và biến cố là một phần kiến thức cơ bản, quan trọng trong chương trình Toán lớp 11 Các bài toán liên quan đến xác suất có đặc thù riêng, mang tính thực tiễn và
có nhiều ứng dụng trong cuộc sống Và các bài toán Xác suất và biến cố thường là các bài toán khó và hay có trong chương trình toán THPT Học sinh khi gặp các bài toán này thường thì lúng túng, không biết bắt đầu từ đâu để giải quyết bài toán
2.Cơ sở thực tiễn:
Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân, và những kinh nghiệm có được trong quá trình dạy học, tôi tổng kết được những dạng toán cơ bản của Xác suất và biến cố
3.Mục đích nghiên cứu đề tài:
Nghiên cứu đề tài Xác suất và biến cố nhằm mục đích là nâng cao kiến thức của mình về vấn đề này và hơn thế nữa để sử dụng nó trong quá trình dạy học sinh ôn thi tuyển sinh đại học và ôn thi học sinh giỏi
4.Phương pháp nghiên cứu đề tài:
-Phân dạng bài tập cơ bản
-Trong mỗi dạng bài tập cơ bản đều có ví dụ minh hoạ
-Sau các ví dụ minh hoạ là các chú ý, nhận xét, phương pháp giải của từng dạng -Cuối cùng là các ví dụ luyện tập, hướng dẫn và bài tập tự luyện
4.Nội dung cơ bản của đề tài:
Dạng 1 : Biến cố và xác suất của biến cố
Dạng 2 : Các quy tắc tính xác suất
Dạnh 3 : Biến ngẫu rời rạc
Dạng 4 : Xác suất có điều kiện (mở rộng)
Trang 2
PHẦN 2 : NỘI DUNG DẠNG 1: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1/ Phép thử ngẫu nhiên.
+/ Phép thử ngẫu nhiên ( gọi tắt là phép thử ) là một thí nghiệm hay hành động mà
- Kết quả của nó không đoán trớc đợc
- Có thể xác định đợc tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đợc gọi là không gian mẫu của phép thử, kí hiệu là
2/ Biến cố.
+/ Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy ra hay không xảy ra của A tuỳ thuộc vào kết quả của T
Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra , đợc gọi là một kết quả thuận lợi cho A
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A đợc kí hiệu là A
Khi đó ta nói biểu cố A đợc mô tả bởi tập hợp A.
3/ Xác suất của biến cố.
+/ Định nghĩa cổ điển
Giả sử phép thử T có không gian mẫu là một tập hợp hữu hạn và các kết quả của
T là đồng khả năng
Nếu A là một biến cố liên quan đến phép thử T và A là tập hợp các kết quả thuận lợi cho
A, thì xác suất của A là một số , ký hiệu là P(A), đợc tính bằng công thức;
P(A) = A
+/ L u ý / 0P(A)1
./ P( ) = 1 , P() = 0 +/ Định nghĩa thống kê xác suất
./ Xét phép thử T và biến cố A liên quan đến phép thử đó Ta thực hiện N lần phép thử T
Số lần xuất hiện biến cố A đợc gọi là tần số của A trong N lần thực hiện phép thử T
Tý số giữa tần số của A với số N đợc gọi là tần suất của A trong N lần thực
hiệnphép thử T
./ Khi N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định Số đó gọi lần xác suất của A theo nghĩa thống kê
Trong khoa học thử nghiệm , ngời ta thờng lấy tần suất làm xác suất Vì vậy tần suất còn đợc gọi là xác suất thực nghiệm
II MỘT SỐ VÍ DỤ.
Ví dụ 1;
Gieo một đồng tiền xu 3 lần
1/ Xây dựng không gian mẫu
Trang 32/ Gọi các biến cố
A “Lần đầu gieo xuất hiện mặt sấp”
B “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”
C “ ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”
-Mô tả các tập A , B , C.?
-Tính P(A), P(B), P(C)?
Giải
Ta ký hiệu S là chỉ đồng tiền xu xuất hiện mặt sấp và N là chỉ đồng tiền xu xuất hiện mặt ngửa
1/ Không gian mẫu
= SSS,SSN,SNS,SNN, NSN, NNS, NSS, NNN
Và = 8 2/
+/ Với biến cố A; “ lần đầu tiên gieo xuất hiện mặt sấp”
Ta có A = SSS,SSN,SNS,SNN
A
= 4
P(A) = 4
8 = 0,5 +/ Với biến cố B ; “ Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”
Ta có;
B = SSN,SNS, NSS Và B = 3
P(B) = 3
8 +/ Với biến cố C; “ ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”
Ta có;
C = SSN,SNS,SNN, NSN, NNS, NSS, NNN
C = 7 P(C) = 7
8
Ví dụ 2
Điểm bài kiểm tra học kỳ I của hai môn Toán, Văn của 10 học sinh nh sau;
Môn Toán ; 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10
Môn Văn ; 6, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10
Rút ngẫu nhiên từ tập bài đó mỗi môn một bài Tìm xác suất để trong hai bài rút ra 1/ Có đúng một bài điểm 5
2/ Có đúng một bài điểm 10
3/ có ít nhất một bài đạt điểm 10
Giải
+/ Ta ký hiệu T là phép thử “ Rút ngẫu nhiên từ tập bài thi, mỗi bài có một bài”
Biến cố A; “ Trong hai bài rút ra, có đúng một bài đạt điểm 5”
Biến cố B; “ Trong hai bài rút ra, có đúng một bài đạt điểm 10”
Biến cố C; “ Trong hai bài rút ra, có ít nhất một bài đạt điểm 10”
Trang 4+/ Do có 10 bài thi môn toán , 10 bài thi môn Văn nên không gian mẫu của phép thử T có;
= 10 10 = 100
1/ Ghép bài điểm 5 môn Toán với mỗi một bài thi môn Văn, ta có 10 cách ghép, tức là A
= 10
P(A) = 1
10 = 0,1
2/ +/Ghép mỗi bài điểm 10 môn Toán với một trong số 8 bài không đạt điểm 10 môn Văn,
ta có 3 8 = 24 cách
+/Ghép mỗi bài điểm 10 môn Văn với một trong số 7 bài không đạt điểm 10 môn Toán,
ta có 2 7 = 14 cách
= 24 + 14= 38B
P(B) = 38
100 = 0,38
3/ +/ Có 3 bài đạt điểm 10 môn Toán, 2 bài đạt điểm 10 môn Văn có 3 2 = 6 cách ghép hai bài Toán ,Văn cùng điểm 10
+/ Từ đây và từ câu (2), ta có;
C
= 24 + 14 + 6 = 44
P(B) = 44
100 = 0,44
Ví dụ 3
Trong một hộp có 10 con số; 0, 1, 2….9 Lờy ngẫunhiên 4 con số trong hộp và xếp lại thành dãy
Tìm xác suất đê số xếp đợc là một số có 4 chữ số khác nhau và chia hét cho 5
Giải
+/ Gọi phép thử T “ Lấy ngẫu nhiên 4 con số trong hộp”
Gọi biến cố A; “ Xếp đợc số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5”
+/ Khi đó không gian mẫu , có
= A4 10 = 5040 +/ Ta đi tìm số các số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5(Thực chất là tìm A ) Số này có dạng abc0 hoặc abc5
+/ Số có dạng abc0 có 9 8 7 = 504 (số)
+/ Số có dạng abc5 có 8 8 7 = 448 (số)
Vậy có 504 + 448 = 952 (số)
Hay A = 952
Từ đây, ta đợc P(A) = 952
5040 = 17
90
Ví dụ 4
Đội tuyển thi đấu thể thao của một trờng THPT gồm 20 em , trong đó có 11 em thi
đá cầu, 9 em thi điền kinh Gặp ngẫu nhiên 2 em trong đội Tìm xác suất để
1/ Hai em thi đấu hai môn khác nhau
2/ Hai em đều thi đấu điền kinh
Trang 5+/ Gọi phép thử T “Gặp ngẫu nhiên 2 em trong đội tuyển”
= C220 = 190
1/
+/ Gọi biến cố A ; “ Hai em thi đấu hai môn khác nhau.”
= CA 111 C 1 9 = 99
P(A) = 99
190
2/
+/ Gọi biến cố B; “ Hai em đều thi đấu điền kinh”
= CB 29 = 36
P(B) = 36
190 = 18
95
III/ BÀI TẬP
Bài 1
Gieo 2 đồng tiền đồng chát, cân đối Tìm xác suất để;
1/ Cả 2 dồng xu đều sấp
2/ Chỉ có một đồng xuất hiện mặt sấp
3/ ít nhất 1 đồng xuất hiện mặt sấp
Bài 2
Trong phép thử gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất Tìm xác suất của các biến cố sau;
1/ AK = “ Tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là k”
với k = 2, 3, 4, …,12
2/ Bi = “Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là i”
Với i = 0, 1, 2,…,5
3/ Cj = “Hiệu số chấm xuất hiện ở mặt trên của 2 con súc sắc là j”
Với j = 2, 4, 6, 8, 12
Bài 3
Túi 1 đựng 10 bài thi Toán, túi 2 đựng 10 bài thi Văn Điểm (thang điểm 20) của các bài thi nh sau;
Môn Toán ; 8, 9, 12, 15, 15, 17, 18, 19, 19, 19
Môn Văn ; 7, 10, 15, 16, 18, 18, 18, 19, 19, 20
Rút ngẫu nhiên mỗi túi một bài thi Tìm xác suất để
1/ Cả hai bài đều đạt 19 điểm
2/ It nhất một bài đạt 19 điểm
3/ Tổng số điểm thi của hai bài bằng 35
Bài 4
Trong một trận thi đấu bóng đá , tuổi của 11 cầu thủ thi đấu trên sân nh sau
Đội 1; 17, 17, 18, 19, 19, 19, 22, 23, 24, 24,26
Đội 2; 17, 18, 18, 18, 19, 20, 20, 22, 24, 25, 30
Trang 6Khai mạc trận đấu , các cầu thủ của hai đội lần lợt bắt tay nhau ( mỗi cầu thủ của đội này lần lợt bắt tay với từng cầu thủ của đội kia)
Tìm xác suất để2 cầu thủ bắt tay cùng tuổi
Bài 5
Cho một khối lập phơng mà các mặt của nó đều đợc sơn Ca khối lập phơng đó thành 1000 khối lập phơng nhỏ nh nhau
1/ Lấy ngẫu nhiên 1 khối nhỏ Tìm xác suất để khối đó có hai mặt đợc sơn
2/ Lấy ngẫu nhiên 2 khối nhỏ Tìm xác suất để 2 khối đó có 1 mặt đợc sơn
3/ Lấy ngẫu nhiên 3 khối nhỏ Tìm xác suất để cả 3 khối đó không có mặt nào đợc sơn Bài 6
Một khối gỗ hình hộp chữ nhật có kích thớc 5 cm 10 cm 15 cm Hai mặt đáy đợc sơn màu xanh và các mặt xung quanh đợc sơn màu vàng Ca khối đó thành 750 khối lập phơng nhỏ nh nhau Lờy ngẫu nhiên 2 khối nhỏ
Tìm xác suất để;
1/ Một khối không có mặt nào đợc sơn và một khối kia có 2 mặt đợc sơn
2/ Cả hai khối đều chỉ có 1 mặt đợc sơn màu vàng còn 5 mặt kia không đợc sơn
Bài 7
Trong một hộp khối kín có 9 bi màu xanh và 6 bi màu trắng kích thớc nh nhau Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp đó
Tìm xác suất để;
1/ Hai viên khác màu
2/ Hai viên đều màu trắng
3/ ít nhất một viên màu xanh
Bài 8
Đội văn nghệ của nhà trờng gồm 15 học sinh, trong đó 5 học hinh khối 10, 5 học hinh khối
11, và 5 học hinh khối 12 Gặp nhau ngẫu nhien 3 em trong đội Tìm xác suất để;
1/ Ba em học sinh là 3 học sinh khối khác nhau
2/ Trong đó có đúng 2 em học sinhh khối 11
3/ ít nhất có 1 học sinh khối 10
Bài 9
Trong hộp kín có 10 chữ số; 0, 1, 2, 3, ….9
Lấy ngẫu nhiên 5 số từ hộp đó rồi xếp thành hàng Tìm xác suất để số xếp đợc là;
1/ Số có 5 chữ số
2/ Số có 5 chữ số chia hết cho 5
3/ Số chẵn có 5 chữ số
DẠNG 2: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC XUẤT
I/ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1.Quy tắc cộng xác suất.
a Biến cố hợp: Cho hai biến cố A và B Biến cố “ A hoặc B xảy ra”,kí hiệu là A
B,được gọi là hợp của 2 biến cố Avà B
Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B là A B
Trang 7b Biến cố xung khắc: cho 2 biến cố A và B Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xay ra
Hai biến cố A và B xung khắc A B
c Quy tắc cộng xác xuất:
+/ Nếu 2 biến cố đối A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B
xảy ra là :
P(AB)P(A)P(B)
+/ Mở rộng : Cho k biến cố A ,A A1 2, k đôi 1 xung khắc
khi đó
P(A A A )P(A )P(A ) P(A )
d Biến cố đối :
+/ Cho A là một biến cố khi đó biến cố không xảy ra A kí hiệu là A,
được gọi là 1 biến cố của A
Ta có tập các kết quả thuận lợi cho A là :
A
A
\ +/ Định lí :
Cho biến cố A , xác suất của biến cố đối A là :
P A 1 P(A)
2.Quy tắc nhân xác suất :
a Biến cố giao:
+/ Cho 2 biến cố Avà B “Biến cố cả A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là
AB,được gọi là giao của 2 biến cố A và B
+/ Tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB:
AB A B
b Biến cố độc lập :
+/ Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không
xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất việc xảy ra biến cố kia
+/ Nếu A và B là độc lập thì Avà B; A và B ; Avà B cũng độc lập với nhau
c Quy tắc nhân xác suất
+/ Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì
P(AB)P(A).P(B) +/ Nếu P(AB)P(A).P(B) thì A và b không độc lập với nhau
II KĨ NĂNG CƠ BẢN
+/ Diễn đạt được nội dung các biến cố hợp,biến cố giao biến cố đối
+/ Vận dụng các quy tắc cộng,nhân để giải toán
III MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Hai khẩu cao xạ cùng bắn vào 1 chiếc máy bay 1 cách độc lập với
nhau xác suất trúng đích của khẩu thứ nhất là 0.75, khẩu thứ 2 là 0.65
Máy bay bắn rơi nếu đồng thời cả 2 khẩu bắn chúng Tính xác suất
Trang 8để máy bay bắn rơi.
Giải:
+/ Ta kí hiệu biến cố:
T1: “Khẩu thứ nhất bắn trúng máy bay "
T2: “Khẩu thứ hai bắn trúng máy bay”
R: “Máy bay rơi”
+/ Ta có:
P(T1) = 0.75
P(T2) = 0.65
R= T1 T2
+/ Vì T1,T2 là hai biến cố độc lập nên xác suất để máy bay bắn rơi
là:
P(R)=P(T1T2)= P(T1).P(T2)=0.750.65=0.4875
Ví dụ 2: Một nhóm học sinh giỏi gồm 60 học sinh trong đó có 40 học sinh
giỏi toán,30 học sinh giỏi lý và 20 học sinh giỏi toán và lý.Chọn ngẫu nhiên 1 học
sinh Tính xác suất để :
1/ Học sinh được chọn là học sinh giỏi toán
2/ Học sinh được chọn là học sinh giỏi lí
3/ Học sinh được chọn là học sinh giỏi cả toán và lý
Giải:
Gọi A,B,C,D là các biến cố ứng với 4 câu hỏi trong bài toán
Ta có :
1/ P(A)= 40 2
60 3 2/ P(B)= 30 1
60 2 3/ P(C)=P(A B) 20 1
60 3
4/ Từ
P(A B) P(A) P(B) P(A B)
Ta có :
P(D) P(A B) P(A B)
5 1
Ví dụ 3 : Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10,đồng thời các quả từ 1 đến 6 được tô màu xanh.Lấy ra ngẫu nhiên 1 quả
Kí hiệu biến cố A : “Quả lấy ra màu xanh”
B : “Quả lấy ra ghi số chẵn”
Hỏi 2 biến cố A,B độc lập hay không
Giải:
Trang 9+/ Ta cú 10
A 6
P(A) 6 3
10 5
+/.Mặt khỏc AB 3
P(B) 5 1
10 2
10
+/ Nhận thấy P(AB)P(A).P(B)
Vậy hai biến cố A,B độc lập
Vớ dụ 4: Trong kỡ thi kiểm tra chất lượng ở 2 lớp thuộc khối 11,mụi lớp cú 25% học sinh trượt mụnVăn ,15%học sinh trượt mụn Sử và 10% học sinh trượt mụn Địa Từ mỗi lớp trọn ngẫu nhiờn một học sinh.Tớnh xỏc suất sao cho :
1 Hai học sinh trượt mụn Văn
2 Hai học sinh đú đều bị trượt một mụn nào đú
3 Hai hoc sinh đú khụng bị trượt mụn nào
4 Cú ớt nhất một học sinh bị trượt ớt nhất một mụn
Giải:
Ta kớ hiệu biến cố:
A1: “Học sinh được chọn từ lớp thứ nhất trượt Văn”
A2:“Học sinh được chọn từ lớp thứ nhất trượt Sử”
A3:“Học sinh được chọn từ lớp thứ nhất trượt Địa”
B1:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Văn”
B2:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Sử”
B3:“Học sinh được chọn từ lớp thứ hai trượt Địa”
Khi đú cỏc biến A ,B ,(i,j 1,2,3) là độc lậpi j
1/ Ta cần tớnh P(A B )1 1 ,P(A B )1 1 P(A )P(B )1 1 1 1 1
4 4 16
2/ Biến cố “Hai học sinh đú đều bị trượt một mụn nào đú”, là
A1A2 A3 B1B2B3
Đặt A=A1A2 A3,B=B1B2B3
P(A) 1, P(B) 1
P(A B) P(A).P(B) 1
4
3/ Biến cố “Hai học sinh đú khụng bị trượt mụn nào”,là AB
+/ Ta cú
2
P A B P(A).P(B)
4/ +/ Biến cố “Cú ớt nhất một trong hai học sinh bị trượt ớt nhất một
mụn”., là AB
Trang 10
/ Ta cã P A B P A P B P AB
IV BÀI TẬP
Bài 1: Trong một hộp kín có 15 quả cầu kích thước như nhau.Trong đó có 5 viên màu xanh ,10 viên màu đỏ.Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 quả
Tìm xác suất để
1 Ba quả cầu lấy ra không cùng màu
2 Ba quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu xanh
Bài 2: Trong một phân xưởng có 10 máy hoạt động.Xác suất để trong 1 ca có 1 máy phải
sửa là 0,2 ; xác suất để có 2 máy phải sửa là 0,3 ; vấc suất để có nhiều hơn hai máy phải sửa là 0,07 Tìm xác suất để trong 1 ca phân xưởng đó không có máy phải sửa
Bài 3: Trong 1 phân xưởng có 3 máy làm việc độc lập với nhau.Trong 1 ca sản xuất xác
suất để máy 1 phải sửa là 0,12 ; máy 2 phải sửa là 0,18 ; máy 3 phải sưa là 0,1 Giả
sử 3 máy không đồng thời phải sửa
Tính xác suất để trong ca đó phải sửa máy
Bài 4: Trong hộp kín có 7 quả cầu màu xanh và 5 quả cầu màu đỏ.Lờy ngẫu nhiên từ
trong hộp mỗi lần 1 quả(không hoàn lại) cho đến khi được quả màu xanh thì dừng lại
Tính xác suất để người đó dừng lại ở lần thứ 4
Bài 5 :
Một xạ thủ bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu cho đến khi trúng đích thì ngừng Tìm xác
suất để bắn đến viên thứ 3 thì ngừng.Biết xác suất bắn trúng đích cho mỗi lần bắn là 0,85
Bài 6 : Chọn ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số Tính xác suất để :
1 Số vé không có số 1 hoặc không có số 5
2 Số vé có chữ số 5và chữ số chẵn
Bài 7: Trong một lớp học có 6 bóng đèn , mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25 Lớp học
đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng đèn sáng
Tính xác suất để lớp học không đủ sáng
Bài 8: Một bài thi trắc nhiệm gôm 12 câu hỏi mỗi câu hỏi cho 4 câu trẩ lời trong đó chỉ có
1 câu đúng
Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 1 điểm và mỗi câu trả ,lời sai không bi trừ điểm
Một học sinh học kém làm bài bằng cách chọn tùy ý câu trả lời Tính xác suất để anh ta được 6 điểm