Sáng kiến kinh nghiệm: Các dạng toán về quan hệ vuông góc trong không gian (lớp 11)

. Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) bằng 900.. Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α).+) Định nghĩa 6: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆).+) Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α).+) Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.+) Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I Lời nói đầu .2 II Cơ sở lý thuyết 2.1 Các định nghĩa .2 2.2 Các định lý thường sử dụng B NỘI DUNG I Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với đường thẳng, mặt phẳng vng góc với mặt phẳng 1.1 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng .5 1.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc .7 1.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc II Các dạng tốn góc 15 2.1 Dạng 1: Góc hai đường thẳng .15 2.2 Dạng 2: Góc đường thẳng mặt phẳng 17 2.3 Dạng 3: Góc hai mặt phẳng 19 III Các dạng toán khoảng cách 23 3.1.Dạng 1: Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng 23 3.2.Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo .29 C KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian A MỞ ĐẦU I Lời nói đầu Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 11 e ngại học môn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu mơn học này, phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học khơng gian Hình học không gian phần quan trọng nội dung thi đại học Bộ giáo dục, học sinh khơng nắm kỹ em gặp nhiều lúng túng làm hai câu hình học khơng gian đề thi đại học Qua nhiều năm giảng dạy môn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng Từ lý tơi khai thác, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp thành chuyên đề: “Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian ” II Cơ sở lý thuyết 2.1 Các định nghĩa +) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 900 a ⊥ b ⇔ (a, b) = 900 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian +) Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vuông góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a ⊥ (α ) ⇔ ∀b ⊂ (α ) : a ⊥ b +) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 (α ) ⊥ ( β ) ⇔ ((α ),( β )) = 900 +) Định nghĩa 4: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song (hoặc trùng) với a b +) Định nghĩa 5: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (α) 900 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (α) góc a hình chiếu a’ mặt phẳng (α) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (α) +) Định nghĩa 6: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng +) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆) +) Định nghĩa 8: Khoảng cách đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (α) +) Định nghĩa 9: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng +) Định nghĩa 10: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Các dạng Tốn quan hệ vng góc không gian 2.2 Các định lý thường sử dụng a ∩b   Định lý 1: a, b ⊂ ( P )  ⇒ d ⊥ ( P ) d ⊥ a, d ⊥ b  a ⊂ (P)   Định lý 2: d ⊥ ( P )  ⇒ d ⊥ a ∀a ⊂ ( P)  Định lý 3: + Định lý 4: d ⊥ (P)  ⇒ d ' ⊥ ( P) d '/ / d  + ( P ) / /(Q)   ⇒ d ⊥ (Q ) d ⊥ (P)  + d / /( P )  ⇒d'⊥d d ' ⊥ ( P)  d ⊥ ( P)   ⇒ ( P) ⊥ (Q) d ⊂ (Q )  ( P ) ⊥ (Q )  ( P) ∩ (Q) = ∆  Định lý 5:  ⇒ d ⊥ (Q) d ⊂ ( P)   d ⊥∆ ( P ) ∩ (Q) = ∆   Định lý 6: ( P ) ⊥ ( R )  ⇒ ∆ ⊥ ( R)  (Q) ⊥ ( R)  Các dạng Tốn quan hệ vng góc không gian B NỘI DUNG I Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với đường thẳng, mặt phẳng vng góc với mặt phẳng 1.1 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 1.1.1 Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý để chứng minh Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý số trường hợp đặc biệt 1.1.2 Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giácvvuông C, SA ⊥ ( ABC ) a) Chứng minh rằng: BC ⊥ ( SAC ) b) Gọi E hình chiếu vng góc A SC Chứng minh rằng: AE ⊥ ( SBC ) c) Gọi mp(P) qua AE vng góc với (SAB), cắt SB D Chứng minh rằng: SB ⊥ ( P) d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF ⊥ ( SAB ) Giải: a) Ta có: BC ⊥ AC ( gt ) (1) Mặt khác, SA ⊥ ( ABC )   ⇒ SA ⊥ BC (2) BC ⊂ ( ABC )  Từ (1) (2) suy ra: BC ⊥ ( SAB ) b) Ta có: AE ⊥ SC (3) (gt) Theo a) BC ⊥ ( SAB ) ⇒ AE ⊥ BC (4) Từ (3) (4) suy ra: AE ⊥ ( SBC ) Các dạng Tốn quan hệ vng góc không gian c) Ta thấy: ( P ) ≡ ( ADE ) Theo b) AE ⊥ ( SBC ) ⇒ BC ⊥ AE (5) Trong mp(ADE) kẻ EH ⊥ AD, H ∈ AD Vì ( ADE ) ⊥ ( SAB )   ( ADE ) ∩ ( SAB ) = AD  ⇒ EH ⊥ ( SAB) ⇒ SB ⊥ EH (6)  EH ⊥ AD  Từ (5) (6) suy ra: SB ⊥ ( ADE ) hay SB ⊥ ( P) d) Từ SA ⊥ ( ABC )   ⇒ AF ⊥ SA (7) AF ⊂ ( ABC )  Theo c) SB ⊥ ( ADE ) ⇒ AF ⊥ SB (8) Từ (7) (8) suy ra: AF ⊥ ( SAB ) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vuông, tam giác SAB tam giác đều, ( SAB ) ⊥ ( ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Chứng minh rằng: FC ⊥ ( SID) Giải: Ta có: SI ⊥ AB   ( SAB ) ⊥ ( ABCD)  ⇒ SI ⊥ ( ABCD)  SI ⊂ ( SAB )  ⇒ SI ⊥ CF (1) Mặt khác, xét hai tam giác vng ADI DFC có: AI=DF, AD=DC Do đó, ∆AID = ∆DFC từ ta có: µ Iµ1 = F ¶ =C ¶ D   µ ¶  ⇒ F1 + D2 = 90 2 ả = 900 Ià1 + D · ⇒ FHD = 900 Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian Hay CF ⊥ ID (2) Từ (1) (2) suy ra: FC ⊥ ( SID ) 1.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc 1.2.1 Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý cách chứng minh vuông góc có hình học phẳng 1.2.2 Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vng A B, SA ⊥ ( ABCD ) , AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vng Giải: Ta có: SA ⊥ ( ABCD )   ⇒ SA ⊥ CD (1) CD ⊂ ( ABCD )  + Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do đó, ·ACI = 450 (*) Mặt khác, ∆CID tam giác vuông cân I nên: · BCI = 450 (*) Từ (*) (**) suy ra: ·ACD = 900 hay AC ⊥ CD (2) Từ (1) (2) suy ra: CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ SC hay ∆SCD vng C Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC CMR: MN ⊥ BD Giải: Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Ta có: IN / / AC   ⇒ BD ⊥ IN (1) AC ⊥ BD  Mặt khác, IM / / BE   ⇒ IM / / PO(*) BE / / PO  Mà PO ⊥ BD (**) (vì: BPD tam giác cân P O trung điểm BD) Từ (*) (**) ta có: BD ⊥ IM (2) Từ (1) (2) ta có: BD ⊥ ( IMN ) ⇒ BD ⊥ MN Các điểm cần ý giải ví dụ 2: + Chọn mp(IMN) với I trung điểm AB ( BD ⊥ AC nên chọn mp chứa MN vng góc với BD mp(IMN)) + Sử dụng giả thiết trung điểm để chứng minh song song + Sử dụng định lý: a / /b  ⇒b ⊥c a ⊥ c Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, tam giác SAD đều, ( SAD) ⊥ ( ABCD) Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh rằng: AM ⊥ BP Giải: Gọi I giao diểm AN BP, H trung điểm AD, K giao điểm AN BH Xét hai tam giác vng ABN BCP có: AB=BC, BN=CP Suy ra, ∆ABN = ∆BCP · · · mà ⇒ BAN = CBP , ·ANB = BPC · · BAN + ·ANB = 900 ⇒ CBP + ·ANB = 900 hay AN ⊥ BP (1) Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian SH ⊥ AD   Vì ∆SAD nên: ( SAD ) ⊥ ( ABCD)  ⇒ SH ⊥ BP(*) BP ⊂ ( ABCD )  Mặt khác, tứ giác ABNH hình chử nhật nên K trung điểm HB hay MK / / SH (**) Từ (*) (**) suy ra: BP ⊥ MH (2) Từ (1), (2) suy ra: BP ⊥ ( AMN ) ⇒ BP ⊥ AM 1.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 1.3.1 Phương pháp: Sử dụng định lý 1.3.2.Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng: ( SBD) ⊥ ( ABCD) Giải:+ Ta có: AC ⊥ BD (1) (giả thiết) + Mặt khác, SO ⊥ AC (2) (SAC tam giác cân A O trung điểm AC nên SO đường cao tam giác) + Từ (1) (2) suy ra: AC ⊥ ( SBD ) mà AC ⊂ ( ABCD ) nên ( SBD) ⊥ ( ABCD) Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD = a , SA ⊥ ( ABCD ) Gọi M trung điểm AD, I giao điểm AC BM Chứng minh rằng: ( SAC ) ⊥ ( SMB ) Giải: + Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BM (1) Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian + Xét tam giác vng ABM có: tan ·AMB = AB = Xét tam giác vng ACD có: AM · cot ·AIM = cot(1800 − ( ·AMB + CAD )) = CD · · tan CAD = = Ta có: = cot( ·AMB + CAD )=0 AD ⇒ ·AIM = 900 Hay BM ⊥ AC (2) + Từ (1) (2) suy ra: BM ⊥ ( SAC ) mà BM ⊂ ( SAC ) nên ( SAC ) ⊥ ( SMB) 1.4 Bài tập: Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm BC, D điểm đối xứng với A qua I, SD ⊥ ( ABC ), SD = a Chứng minh rằng: a) ( SBC ) ⊥ ( SAD) b) ( SAB ) ⊥ ( SAC ) Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông tâm O SA ⊥ (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD a) CMR: BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC) b) CMR: AH, AK vuông góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng c) CMR: HK ⊥ (SAC) Từ suy HK ⊥ AI Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA ⊥ (ABC) a) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) b) Gọi AH đường cao ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC 10 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian b) Tính d ( A,( SBD )) Giải: a) Kẻ AH ⊥ SB (H ∈ SB) (1) Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BC (*) AB ⊥ BC (gt) (**) Từ (*) (**) suy ra: BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) ta có: AH ⊥ ( SBC ) hay d ( A,( SBC )) = AH + Mặt khác, xét tam giác vng SAB có: Vậy, d ( A,( SBC )) = 1 2a = + = ⇒ AH = AH AB SA2 4a 2a b) Gọi O = AC ∩ BD Kẻ AK ⊥ SB (K ∈ SO) (1) Ta có: SA ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ BD (*) AC ⊥ BD (gt) (**) Từ (*) (**) suy ra: BD ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AK (2) Từ (1) (2) ta có: AK ⊥ ( SBD ) hay d ( A,( SBD )) = AK + Mặt khác, xét tam giác vng SAO có: Vậy, d ( A,( SBD )) = 1 2a = + = ⇒ AK = AK AO SA2 4a 2a Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB đều, ( SAB ) ⊥ ( ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Tính d ( I ,( SFC )) Giải: Gọi K = FC ∩ ID + Kẻ IH ⊥ SK (H ∈ K) (1) 25 Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian ( SAB) ⊥ ( ABCD)  ( SAB) ∩ ( ABCD) = AB  + Ta có:  ⇒ SI ⊥ ( ABCD) SI ⊂ ( SAB )   SI ⊥ AB ⇒ SI ⊥ FC (*) + Mặt khác, Xét hai tam giác vng AID DFC có: AI=DF, AD=DC Suy ra, mà · · ∆AID = ∆DFC ⇒ ·AID = DFC , ·ADI = DCF ·AID + ·ADI = 900 ⇒ DFC · + ·ADI = 900 hay FC ⊥ ID (**) + Từ (*) (**) ta có: FC ⊥ ( SID ) ⇒ IH ⊥ FC (2) Từ (1) (2) suy ra: IH ⊥ ( SFC ) hay d ( I ,( SFC )) = IH SI = + Ta có: a a 1 a , ID = , = + = ⇒ DK = 2 DK DC DF a ⇒ IK = ID − DK = Do đó, 3a 10 1 32 3a 3a Vậy, = + = ⇒ IH = d ( I ,( SFC )) = IH SI IK 9a 8 *) Ví dụ cho cách 2: Ví dụ 1: (B-2011) Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc A’ (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính d ( B ',( A ' BD )) Giải: + Gọi O giao điểm AC BD Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD) Do đó, 26 Các dạng Tốn quan hệ vng góc không gian d ( B ',( A ' BD)) = d ( B ' C ,( A ' BD)) = d (C ,( A ' BD)) + Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ CH ⊥ BD, (H ∈ BD) (1) Mặt khác, A ' O ⊥ ( ABCD) ⇒ A ' O ⊥ CH (2) Từ (1) (2) suy ra: CH ⊥ ( A ' BD ) ⇒ d ( B ',( A ' BD )) = CH + Xét tam giác vng BCD có: Vậy: d ( B ',( A ' BD )) = CH = 1 a = + = ⇒ CH = 2 CH BC CD 3a a Ví dụ 2: (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, ·ABC = 300 , ∆SBC tam giác cạnh a, ( SBC ) ⊥ ( ABC ) Tính d (C ,( SAB )) Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC Gọi M, I, J trung điểm BC, CD AB Lúc đó, CD//(SAB) hay d (C ,( SAB )) = d (CD,( SAB )) = d ( I ,( SAB )) + Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ IH ⊥ SJ , (H ∈ SJ) (1) IJ ⊥ AB   Mặt khác, ta có: SM ⊥ ( ABC ) ⇒ AB ⊥ SM  ⇒ AB ⊥ ( SIJ ) ⇒ AB ⊥ IH (2) Từ (1) (2) suy ra: IH ⊥ ( SAB ) hay d (C ,( SAB )) = IH 27 Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian + Xét tam giác SIJ có: S SIJ = IJ = AC = BC.sin 300 = Do đó: IH = 1 SM IJ IH SJ = SM IJ ⇒ IH = Với: 2 SJ a a a 13 , SM = , SJ = SM + MJ = 2 SM IJ a 39 a 39 Vậy d (C ,( SAB )) = = SJ 13 13 *) Ví dụ cho cách 3: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB=AD=a, CD=2a, SD ⊥ ( ABCD ) , SD=a a) Tính d ( D,( SBC )) b) Tính d ( A,( SBC )) Giải: Gọi M trung điểm CD, E giao điểm hai đường thẳng AD BC a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ DH ⊥ SB, (H ∈ SB) (1) CD ⇒ Tam giác BCD vuông B hay BC ⊥ BD (*) Mặt khác, SD ⊥ ( ABCD ) ⇒ SD ⊥ BC (**) Từ (*) + Vì BM = AD = (**) ta có: BC ⊥ ( SBD) ⇒ BC ⊥ DH (2) Từ (1) (2) suy ra: DH ⊥ ( SBC ) hay d ( D,( SBC )) = DH + Xét tam giác vng SBD có: 1 2a = + = ⇒ DH = 2 DH SD BD 2a Vậy, d ( D,( SBC )) = 2a 3 28 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian b) Ta có: d ( A,( SBC )) AE AB 1 a = = = ⇒ d ( A,( SBC )) = d (d ,( SBC )) = d ( D,( SBC )) DE CD 2 Vậy, d ( A,( SBC )) = a 3 Ví dụ 3: (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA=3a, · BC=4a, ( SBC ) ⊥ ( ABC ), SB = a 3, SBC = 300 Tính d ( B,( SAC )) Giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ SM ⊥ BC (M ∈ BC) ; mặt phẳng (ABC) kẻ MN ⊥ AC (N ∈ AC) ; mặt phẳng (SMN) kẻ MH ⊥ SN (N ∈ SN ) Suy ra, MH ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( M ,( SAC )) = MH + Ta có: SM = SB.sin 300 = a , BM = SB.cos300 = 3a ⇒ CM = a , MN = AB.CM 3a = Xét tam giác vng AC SMN có: 1 28 3a = + = ⇒ MH = MH SM MN 9a 28 3a ⇒ d ( M ,( SAC )) = 28 + Mặt khác, ta có: d ( B,( SAC )) BC = =4 d ( M ,( SAC )) MC ⇒ d ( B,( SAC )) = 4.d ( M ,( SAC )) = Vậy d ( B,( SAC )) = 6a 6a 3.2.Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo 3.2.1 Cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ 29 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Cách 1: + Xác định đường thẳng vng góc chung d d’ + Tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: +Tìm mp(P) chứa d’ song song với d + Khi d ( d , d ') = d (d ,( P )) = d ( A,( P)) với A điểm thuộc d Chú ý: mp(P) có sẵn phải dựng (Cách dựng: qua điểm B ∈ d ' dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc mp(P)≡(d’,∆)) 3.2.2 Các ví dụ mẫu *) Ví dụ cho cách Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cạnh cịn lại 3a Tính d ( AB, CD ) Giải: + Gọi I, J trung điểm CD AB + Vì ACD ACD tam giác nên: CD ⊥ AI , CD ⊥ BI ⇒ CD ⊥ ( AIB ) ⇒ CD ⊥ IJ (1) Mặt khác, ∆ACD = ∆ACD nên tam giác AIB cân I Do đó, IJ ⊥ AB (2) + Từ (1), (2) suy ra: IJ đường vng góc chung AB CD  3a   a  a 26 + Ta có: IJ = AI − AJ =  ÷ − ÷ = 2     2 30 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Vậy d ( AB, CD) = a 26 Ví dụ 2: (A_2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB AD, H giao điểm CN DM, SH ⊥ ( ABCD ), SH = a Tính d ( DM , SC ) Giải: + Trong mp(SCH) kẻ HK ⊥ SC (1), (K ∈ SC) + Mặt khác, SH ⊥ ( ABCD)   ⇒ SH ⊥ DM (*) DM ⊂ ( ABCD )  Xét hai tam giác vng AMD DNC có AM=DN, AD=DC ⇒ ∆AMD = ∆DNC Từ ·AMD = DNC ·   0 · · · · ta có: ·ADM = DCN  ⇒ DNC + ADM = 90 ⇒ NHD = 90 hay DM ⊥ CN (**) ·AMD + ·ADM = 900   Từ (*), (**) suy ra: DM ⊥ ( SCH ) ⇒ DM ⊥ HK (2) Từ (1), (2) suy ra: HK đoạn vuông góc chung DM SC CD a2 2a = = + Ta có: ∆HCD : ∆DCN ⇒ HC = CN CD − DN Xét tam giác vng SHC ta có: Vậy d ( DM , SC ) = HK = HK = HC + HS = 3a ⇒ HK = a 15 a 15 *) Ví dụ cho cách 31 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cạnh a, AA ' = a Tính d ( AB, CB ') Giải: + Gọi I, J trung điểm AB A’B’ + Ta có: AB / /(CA ' B ') ⇒ d ( AB, CB ') = d ( AB,(CA ' B ')) = + Trong mp(CIJ) kẻ IH ⊥ CJ (1), (H ∈ CJ) = d ( I ,(CA ' B ')) Ta có: A ' B ' ⊥ ( IJ ) (vì ABC A’B’C’ hình lăng trụ đứng) IC ⊥ A ' B ' (vì ∆ABC tam giác đều) nên A ' B ' ⊥ (CIJ ) ⇒ IH ⊥ A ' B ' (2) Từ (1), (2) suy ra: IH ⊥ (CA ' B ') hay d ( AB, CB ') = IH + Xét tam giác vng CIJ có: Vậy d ( AB, CB ') = IH = IH = IC + IJ = 3a + a = 10 3a ⇒ IH = a 30 10 a 30 10 Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên a Tính d ( AD, SB ) 32 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Giải: + Vì AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, SB) = d ( AB,( SBC )) + Gọi O giao điểm AC BD I, J trung điểm AD BC + Trong mp(SIJ) kẻ IH ⊥ SJ ,( H ∈ SJ ) (1) SO ⊥ ( ABCD) ⇒ SO ⊥ BC   ⇒ BC ⊥ ( SIJ ) Theo giả thiết ta có: IJ / / AB ⇒ IJ ⊥ BC Từ (1), (2) suy ra:  ⇒ IH ⊥ BC (2) IH ⊥ ( SBC ) hay d ( AD, SB) = IH + Xét tam giác SIJ có: S SIJ = a SO.IJ 2a 21 , SJ = SB − BJ = Suy ra: IH = = SJ SO = SA2 − AO = a Vậy d ( AD, SB ) = IH = 1 SO.IJ IH SJ = SO.IJ ⇒ IH = Với: IJ=a, 2 SJ 2a 21 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAD tam giác đều, (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính d ( SA, BD ) Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD Gọi O giao điểm AC BD; I, M trung điểm AD OD; N giao điểm d IM + Ta có: d ( SA, BD) = d (( SA, d ), BD ) = = d ( M ,( SA, d )) + Trong mp(SMN) kẻ MH ⊥ SN (1), (H ∈ SN) 33 Các dạng Tốn quan hệ vng góc không gian Theo giả thiết: SI ⊥ AD   ⇒ SI ⊥ ( ABCD) ⇒ SI ⊥ d (*) Mặt khác ta có: ( SAD) ⊥ ( ABCD )    BD ⊥ AO  ⇒ d ⊥ MN (**) Từ (*), (**) suy ra: d ⊥ ( SMN ) ⇒ d ⊥ MH (2) Từ (1), (2) AO / / MN  d / / BD suy ra: MH ⊥ ( SA, d ) + Xét tam giác SMN có: S SMN = SI = 1 SI MN MH SN = SI MN ⇒ MH = với 2 SN a a a 10 SI MN a 15 Do đó, MH = , MN = AO = , SN = SI − IN = = 2 SN Vậy d ( SA, BD) = a 15 Ví dụ 4: (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính d ( AB, SN ) Giải: + Gọi I trung điểm BC Do MN//BC nên N trung điểm AC Do đó, IN//AB hay d ( AB , SN ) = d ( AB ,( SNI )) + Trong mp(ABC) kẻ AJ ⊥ IN ,( J ∈ IN ) (*) Trong mp(SAJ) kẻ AH ⊥ SJ ,( H ∈ SJ ) (1) + Theo giải thiết ta có: ( SAB) ⊥ ( ABC )   ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ IN (**) ( SAC ) ⊥ ( ABC )  Từ (*), (**) ta có: IN ⊥ ( SAJ ) ⇒ IN ⊥ AH (2) Từ (1), (2) ta có: AH ⊥ ( SIN ) ⇒ d ( AB, SN ) = AH 34 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian · + Ta có: (( SBC ),( ABC )) = SBA = 600 ⇒ SA = AB.tan 600 = a ; AJ = BI = a + Xét tam giác vng SAJ có: Vậy d ( AB, SN ) = AH = AH = SA + AJ = 13 12a ⇒ AH = a 12 13 a 156 13 3.3 Bài tập Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, SA=a, cạnh lại a Chứng minh: SA ⊥ SC Tính d ( S ,( ABCD)) Bài tập 2: (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, AA’=2a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính d ( A,( IBC )) Bài tập 3: Cho hình chóp SABC, SA = 3a, SA ⊥ ( ABC ), AB = 2a, ·ABC = 1200 Tính d ( A,( SBC )) Bài tập 4: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang , ·ABC = BAD · = 900 , BA=BC=a, AD=2a, SA ⊥ ( ABCD) , SA = a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính d ( H ,( SCD)) · Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, BCD = 600 đường cao SO=a Tính d ( AD, SB ) Bài tập 6: (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông cân B, BA=BC=a, AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính d ( AM , B ' C ) Bài tập 7: (B-2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC Chứng minh rằng: MN ⊥ BD Tính d ( MN , AC ) 35 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Bài tập 8: Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) OA BC b) AI OC Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD b) AC SD Bài tập 10: Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC ⊥ (BHK), HK ⊥ (SBC) c) Xác định đường vuông góc chung BC SA Bài tập 11: a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC dường vuông góc chung AB CD đường nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD b) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vuông góc chung AB CD AC = BD, AD = BC Bài tập 12: Cho hình vuông ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS ⊥ (ABCD) IS = a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) NP vaø AC b) MN vaø AP Bài tập 13: Cho hình chóp SABCD, có SA ⊥ (ABCD) SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a 36 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) cách (SAD) khoảng a Bài tập 14: Cho hình lăng trụ ABC.A′ B′ C′ có AA′ ⊥ (ABC) AA′ = a, đáy ABC tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′ B′ ) b) Tính khoảng cách từ A đến (A′ BC) c) Chứng minh AB ⊥ (ACC′ A′ ) tính khoảng cách từ A′ đến mặt phẳng (ABC′ ) Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA ⊥(ABCD) SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) b) M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD) c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự E, F Cho biết AD cách (P) khoảng a , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) diện tích tứ giác BCFE Bài tập 16: Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 60 0, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mp(ABD) 37 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian b) Tính khoảng cách AC BD Bài tập 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a · BAD = 600 Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng SO ⊥ (ABCD) SO = 3a Gọi E trung điểm BC, F trung điểm BE a) Chứng minh (SOF) ⊥ (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) 38 Các dạng Tốn quan hệ vng góc không gian C KẾT LUẬN Qua đề tài này, lần khẳng định tầm quan trọng hình học khơng gian Tốn học nói chung Tốn học phổ thơng nói riêng Việc tiếp thu tốt phần đòi hỏi người học có tính tưởng tượng phong phú, ngồi giáo viên cần trang bị cho em lớp dạng toán cách giải tương ứng Trên số kinh nghiệm thân đúc kết q trình giảng dạy, có nhiều thiếu sót mong q thầy đóng góp ý kiến đề tài hoàn thiện vào áp dụng Xin chân thành cảm ơn! 39 ... 6a 3.2 .Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo 3.2.1 Cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ 29 Các dạng Tốn quan hệ vng góc không gian Cách 1: + Xác định đường thẳng vuông góc chung... Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 a ⊥ b ⇔ (a, b) = 900 Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian +) Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm... ⊥ ( R)  Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian B NỘI DUNG I Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với đường thẳng, mặt phẳng vng góc với mặt phẳng 1.1 Dạng 1: Chứng