Đề cương ôn tập Toán 11 (học kỳ 2) đầy đủ, bao gồm bài tập ôn thi cuối học kỳ 2, môn Toán lớp 11. Các chương: Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân; Giới hạn; Đạo hàm. Giúp các em học sinh ôn tập củng cố kiến thức, đồng thời là tài liệu giảng dạy cho thầy cô.
ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 – HK2 CHƯƠNG : DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN TÌM CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ Câu 1: Cho dãy số Câu 2: Cho dãy số Câu 3: Cho dãy số Câu 4: Cho dãy số Câu 5: Cho dãy số Câu 6: Cho dãy số Câu 7: Câu 8: Câu 9: u1 � � un xác định �un1 un 1 Tìm số hạng u4 u1 � � n 1 � un 1 un un xác định � � Tìm số hạng u4 u1 � � n 2 � un 1 un un xác định � � Tìm số hạng u5 n 1 u n un , biết 2n Số số hạng thứ dãy số? 2n un , biết un 5n Số 12 số hạng thứ dãy số? un , biết un 3n Tìm số hạng u2n 1 Tìm số hạng tổng quát dãy số có số hạng đầu là: 1; 1;1; 1;1; 1;1 u1 � � u 2un u Cho dãy số n xác định �n 1 Tìm số hạng tổng quát u1 � � u un u Cho dãy số n xác định �n 1 Tìm số hạng tổng qt TÍNH TĂNG GIẢM CỦA DÃY SỐ Câu 1: Xét tính tăng giảm dãy số a c Câu 2: un 2n 2n ( n ��* ) u n 2n un b d Tìm tất giá trị a un với số hạng tổng quát un sau: n un 3n ( n ��* ) 3n n n u để dãy số n với Câu 3: u Tìm tất giá trị a để dãy số n với Câu 4: Xét tính tăng giảm dãy số a un = 2n un = n b c un na n dãy số tăng? un n2a 2n dãy số tăng? un = n +5 3n +1 d un = 2n - n +1 3n đ un = n i un = e k un = n g un = n un = 3n - n +1 l un = n p un = n - s un = ( - 1) ( 2n +1) n +1 un = n n un = sin n o n un = - un = ( - 1) ( 2n +1) n q r n- 1 un = un = 2n + cos n +1 n t u u n = ( - 2) h m un = n + n- n un = 1- n n n v u n = 2n - � 1� un = � 1+ � � � � � � � n x y un = n + sin n TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ Câu Xét tính bị chặn dãy số cho số hạng tổng quát sau: a un 1 b un n với n ��* n * với n �� un n c 3n un 3n d n3 un n 1 e f Câu Câu Câu u n 2n g un (2)n h un n n i n2 n un n 2n j un 3n n5 k un n n l un n � u1 � � u un , n �N * u Xét tính bị chặn dãy số n , biết �n 1 u Xét tính bị chặn dãy số n , biết un n.cos n un1 un , n ��* u 1 n Xét tính bị chặn dãy số n có u1 NHẬN DẠNG MỘT DÃY SỐ LÀ MỘT CẤP SỐ CỘNG Câu n Trong dãy số sau, dãy số cấp số cộng ? u v v 2n a) Dãy số n với un 4n b) Dãy số n với n n wn wn t t 5n b) Dãy số với d) Dãy số n với n x1 x2 xn Câu x Tìm cơng sai cấp số cộng n thỏa mãn Cho cấp số cộng có u1 3; u6 27 Tìm d ? u1 ; u8 26 Cho cấp số cộng có Tìm d ? Câu Cho cấp số cộng Câu Câu Câu Câu 3n n 3 với n ��* un có: u1 0,1 d 0,1 Tìm số hạng thứ CSC Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 20 tổng bình phương chúng 120 Cho cấp số cộng cấp số cộng un u2 u3 u5 10 � � u u 26 thỏa mãn � Xác định công sai công thức tổng quát XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG VÀ CÔNG SAI CỦA CSC Câu Cho cấp số cộng un Câu Cho cấp số cộng un Câu Cho cấp số cộng un , biết u2 Câu u Xác định số hàng đầu u1 công sai d cấp số cộng n có u9 5u2 u13 2u6 Câu có u1 3 , u6 27 Tính cơng sai d u1 u8 26 Tìm cơng sai d có số hạng đầu u4 Tính u15 * S 5n 3n n �� Một cấp số cộng có tổng n số hạng đầu S n tính theo cơng thức n , Tìm số hạng đầu u1 cơng sai d cấp số cộng un có u5 15 , u20 60 Tính tổng 10 số hạng cấp số Câu Cho cấp số cộng cộng Câu Hãy viết ba số xen 22 để ta cấp số cộng có số hạng Câu Câu * S n 5n 3n n �� S n n Một cấp số cộng có tổng số hạng đầu tính theo cơng thức , Tìm số hạng đầu u1 cơng sai d cấp số cộng Tìm bốn số hạng liên tiếp cấp số cộng biết tổng chúng 20 tổng bình phương chúng 120 u2 u3 u5 10 � � u u 26 u thỏa mãn: � Xác định công sai n u Câu 10 Cho cấp số cộng n u Câu 11 Cho dãy số n có d 2 S8 72 Tính u1 ? XÁC ĐỊNH TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ CỘNG Câu 1: Cho cấp số cộng Câu 2: Cho cấp số un un có u1 3 , u6 27 Tính tổng S10 1 u1 ; d 4 Tính tổng số hạng đầu CSC có: Câu 3: Câu 4: un có u1 1; d 2; Sn 483 Tính số số hạng cấp số cộng? u Cho cấp số cộng n có u5 15; u20 60 Tính tổng 20 số hạng cấp số Cho cấp số cộng cộng Câu 7: Cho cấp số cộng: 2; 5; 8; 11; 14; Tìm d tổng 20 số hạng đầu tiên? u Cho cấp số cộng n , có số hạng tổng quát un 3n Tính tổng 10 số hạng cấp số cộng u Cho cấp số cộng n biết u5 18 Sn S 2n Tính u1 d Câu 8: Cho cấp số cộng un Câu 9: Cho cấp số cộng un , biết Câu 5: Câu 6: gọi S n tổng n số hạng Biết S7 77 S12 192 Tìm số hạng tổng quát un cấp số cộng u1 5 , d Số 91 tổng số hạng đầu cấp u số cộng n ? Câu 10: Bạn Hùng tiết kiệm để mua guitar Trong tuần đầu tiên, bạn để dành 70.000 đồng, tuần tiếp theo, bạn thêm 20.000 đồng vào tài khoản tiết kiệm Cây guitar Hùng cần mua có giá 1.650.000 đồng Hỏi vào tuần thứ bạn có đủ tiền để mua guitar đó? Câu 11: Giải phương trình 15 22 � x 12450 Câu 12: Người ta trồng 210 khu vườn hình tam giác sau: Hàng thứ có cây, hàng thứ hai có cây, hàng thứ ba có cây… Hỏi khu vườn có hàng cây? Câu 13: Cho cấp số cộng un có u1 3 tổng 60 số hạng đầu 3360 Tìm cơng thức số hạng tổng quát un u Câu 14: Cho cấp số cộng n có u2017 u4 10000 Tính tổng 2020 số hạng CSC Câu 15: Người ta viết thêm 999 số thực vào số số 2018 để cấp số cộng có 1001 số hạng Tìm số hạng thứ 501 TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ CỘNG Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu un u Cho cấp số cộng n có u1 1 u3 Tìm u2 có u1 1 u3 Tìm u4 Tìm x, y để số hạng 2; x; 8; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng Tìm x, y để số hạng x; 1; y;3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng Xác định x để ba số 1; x;3 x theo thứ tự lập thành cấp số cộng Cho cấp số cộng Xác định x để ba số 1– x; x ; x theo thứ tự lập thành cấp số cộng? Xác định x để ba số x; x 1; 2 x theo thứ tự lập thành cấp số cộng? Xác định x để ba số x; x 5;1 x theo thứ tự lập thành cấp số cộng? 2 Với giá trị x ta có cấp số cộng với ba số hạng x 5; x; x (ba số hạng lấy theo thứ tự đó) Câu 10 Ba số hạng cấp số cộng x 5; 3x y Tìm x; y biết cơng sai cấp số cộng 3 HÀM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ CỘNG Câu 1: Cho ba điểm A 0;5 , B (2;3), C a; b có tọa độ tạo thành cấp số cộng Tìm a, b Câu 2: Cho ba điểm A 0;5 , B (a; b), C 4; 1 có tọa độ tạo thành cấp số cộng Tìm a, b Câu 3: A 1;5 , B(3; b) Cho hàm số y x (d ) hai điểm không thuộc d, C điểm thuộc đường thẳng d cho tọa độ ba điểm A, B, C theo thứ tự tạo thành cấp số cộng Tìm tọa độ điểm B B 2;0 , C (4; 3) Câu 4: Cho hàm số y ax (d ) hai điểm không thuộc d, A điểm thuộc đường thẳng d cho tọa độ ba điểm theo thứ tự A, B, C tạo thành cấp số cộng Tìm a Câu 5: Câu 6: Câu 7: Câu 8: A 3; , C (1; 2) Cho hàm số y x m (d ), ( m ��) hai điểm không thuộc d, B điểm thuộc đường thẳng d cho tọa độ ba điểm theo thứ tự A, B, C tạo thành cấp số cộng Tìm m A 0; 1 , C (2; 1) Cho hàm số y x m (d ), ( m ��) hai điểm không thuộc d, B điểm thuộc đường thẳng d cho tọa độ ba điểm theo thứ tự A, B, C tạo thành cấp số cộng Viết phương trình đường thẳng d A 1; 1 , C (2; 2) Cho hàm số y x (C ) hai điểm , B điểm thuộc đường cong (C ) cho hoành độ ba điểm theo thứ tự A, B, C tạo thành cấp số cộng Tìm tọa độ điểm B A 2; , C (4;1) Cho hàm số y x x (C ) hai điểm , B điểm thuộc đường cong (C ) thỏa mãn xB tung độ ba điểm theo thứ tự A, B, C tạo thành cấp số cộng Tìm tọa độ điểm B Câu 9: A 2; �(C ), B(0; 4) �(C ) Cho hàm số y x bx c (C ) hai điểm Điểm C thuộc đường cong (C ) thỏa mãn tọa độ ba điểm theo thứ tự A, B, C tạo thành cấp số cộng Viết phương trình đường cong (C) A a; Câu 10: Cho phương trình x x điểm Tìm giá trị a để hồnh độ A hai nghiệm phương trình tạo thành cấp số cộng NHẬN DẠNG MỘT DÃY SỐ LÀ MỘT CẤP SỐ NHÂN Câu 7: Dãy số sau cấp số nhân? A u1 � � un 1 un 1, n �1 � B u1 1 � � un 1 3un , n �1 � C Câu 8: u1 2 � � un 1 2un 3, n �1 � Trong dãy un un 1 3n 1 � u1 � � � � � � un sin � � , n �1 � n � � � D sau, dãy số cấp số nhân? n A Câu 9: B un 1 n 3 n C un n D A B Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? � u1 � � � u un2 , n �1 A �n 1 C u1 � � un 1 5un , n �1 � B un 1 nun , n �1 D un 1 un 3, n �1 Câu 10: Trong dãy số sau, dãy số cấp số nhân? A un n2 B un 1 3n Câu 11: Viết công thức số hạng tổng quát dãy số C un un n D un n u1 � � � un 1 un � xác định hệ thức � XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG VÀ CÔNG BỘI CỦA CÂP SỐ NHÂN Câu u Xác định số hạng đầu công bội cấp số nhân n có u4 u2 54 u5 u3 108 u2 u , u5 16 Tìm cơng bội q số hạng đầu u1 Cho cấp số nhân n có Câu Cấp số nhân Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu un có cơng bội âm, biết u3 12 , u7 192 Tìm u10 u Cho cấp số nhân n biết u6 u9 Tìm u21 u S 5n Cho cấp số nhân n có tổng n số hạng n với n 1, 2, Tìm số hạng đầu u1 công bội q cấp số nhân đó? ; u5 16 Tìm q u1 Cho cấp số nhân có u Cho cấp số nhân n với u1 1; u6 0, 00001 Tìm q un ? u Tìm số hạng đầu u1 cấp số nhân n biết u1 u2 u3 168 u4 u5 u6 21 u1 u3 u5 65 � � u u 325 u Cho cấp số nhân n thỏa mãn �1 Tính u3 XÁC ĐỊNH TỔNG CỦA N SỐ HẠNG ĐẦU TIÊN CỦA CSN u2 Câu Một cấp số nhân hữu hạn có công bội q , số hạng thứ ba 32 số hạng cuối 524288 Tìm tổng cấp số nhân 1 S n Câu Tính Câu Trong cấp số nhân gồm số hạng dương, hiệu số số hạng thứ thứ 576 hiệu số số hạng thứ số hạng đầu Tìm tổng số hạng cấp số nhân Câu Câu Câu Câu Câu Cho CSN un biết S2 4; S3 13 Tìm S5 u Cho cấp số nhân n biết hai số hạng đầu số dương u1 5, u5 405 tổng n số hạng CSN 5465 Tìm n ? Cho cấp số nhân nhân Cho cấp số nhân un un S 8n có tổng n số hạng n Tìm số hạng thứ 10 cấp số u10 u1 39364 � � u7 u4 u1 1514 � có Tính tổng 30 số hạng đầu CSN 1 ; ; 1; L ; 4096 Cho cấp số nhân có tổng hai số hạng , tổng ba số hạng 26 Tính tổng mười số hạng cấp số nhân cho, biết công bội cấp số nhân số dương 1 1 ; ; ; ; 1;L ; 2048 Câu Cho cấp số nhân có số hạng 16 Tính tổng S tất số hạng cấp số nhân cho S 55 555 5555 14 43 2020 sè Câu 10 Tính tổng Câu 11 Một bóng tenis thả từ độ cao 243m Mỗi lần chạm đất bóng lại nảy lên hai phần ba độ cao lần rơi trước Tính chiều dài quãng đường bóng tenis di chuyển từ thả đến khơng nảy TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ NHÂN Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Tìm x để số 2; 8; x; 128 theo thứ tự lập thành cấp số nhân Với giá trị x số 4; x; theo thứ tự lập thành cấp số nhân? b để số ; b ; theo thứ tự lập thành cấp số nhân.? Tìm b Tìm tất giá trị x để ba số x 1; x; x theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm x để ba số x; x; 33 x theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm x, y để số hạng 2; x; 18; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân? Cho cấp số nhân có số hạng x; 12; y; 192 Tìm x, y Thêm hai số thực dương x y vào hai số 320 để bốn số 5; x; y; 320 theo thứ tự lập thành cấp số nhận Tìm x, y Ba số hạng đầu cấp số nhân x 6; x y Tìm y , biết công bội cấp số nhân Câu 10 Hai số hạng đầu của cấp số nhân x x Tìm số hạng thứ ba cấp số nhân HÀM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN CẤP SỐ NHÂN Câu Câu x3 3m 1 x 5m x Tìm tất giá trị tham số m để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Biết tồn hai giá trị thực tham số m1 m2 để phương trình x m 2m 1 x m 2m x 54 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân Tính giá trị biểu thức P m m Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu x m x m 3 x Tìm tất giá trị tham số m để phương trình ln có nghiệm ba nghiệm lập thành cấp số nhân x m x 5m x m Tìm tham số m để phương trình có nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân ? x x m 1 x m 1 Tìm tất giá trị thực tham số để phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân 16 x mx3 2m 17 x mx 16 Tìm tất giá trị thực tham số để phương trình có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CẢ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Cho ba số x ; ; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số x ; ; y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm x, y Cho ba số x , , 3y theo thứ tự lập thành cấp số cộng ba số x , , 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Tìm x, y Xét số thực dương a , b cho 25 , 2a , 3b cấp số cộng , a , b cấp số nhân Tìm a, b Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời số x,2y,3z theo thứ tự lập thành cấp số cộng với cơng sai khác Tìm q? 2 Tìm hai số x, y cho x; x y; y theo thứ tự lập thành CSC, số x ; xy 6; y lập thành CSN Cho ba số tạo thành cấp số nhân mà tổng chúng 93 Ta đặt chúng ( theo thứ tự cấp số nhân kể trên) số hạng thứ nhất, thứ hai thứ bảy cấp số cộng Tìm cơng bội cấp số nhân? Cho a b c ba số nguyên Biết a , b , c theo thứ tự tạo thành cấp số cộng a , c , b theo thứ tự tạo thành cấp số nhân Tìm giá trị nhỏ c Ba số phân biệt có tổng 217 coi số hạng liên tiếp cấp số nhân, coi số hạng thứ , thứ , thứ 44 cấp số cộng Hỏi phải lấy số hạng đầu cấp số cộng để tổng chúng 820 ? TÍNH TỔNG CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN Tính tổng sau: a) S = 9+ 99+ 999+ + 999 b) S = 1+11+111+ +111 c) S = + 2.3 + 3.32 + +11.310 d) S n 1 ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN 1.1 Giới hạn dãy số phân thức, dãy số chứa mũ n 1: Tính L lim n 2n 3n3 2n I lim 2: Tính L lim 3: Tính I lim 4: Tính n 2n 3n n 4n n 4n n 3.2n 1 2.3n 1 3n lim 5: Tính n 1 n3 u 6: Cho dãy số n lim Biết với n lim un n2 Tính 2n n an 2 với a �0 tham số Tìm a 7: un 3n 1 n un 4n un 8: Tính giới hạn dãy số với 1.2 Giới hạn dãy số phương pháp nhân liên hợp 9: Tính 10: Tính 11: Tính 12: Tính lim 3n 1 2n 3n lim 3n n 4n lim ( lim n3 2n ) n + 2n - n +1 lim n 4n a n a 13: Tìm để ? lim n n n 14: Tính 15: Tính giới hạn 16: Tính lim 17: Tính giá trị 18: Tính giá trị 19: Cho lim 20: Biết lim lim n n 4n n 4n n B lim M lim n3 9n2 n 1 n2 8n3 2n a a , a, b ��, b b phân số tối giản Tính giá trị a.b 4n kn 2n Tìm k 9n 4n 3n Câu 24: Tìm m để hàm số � x 1 1 x � f ( x) � x � x 3m x �0 � liên tục � Dạng 3.3 Bài toán chứa tham số Câu 25: Tìm giá trị thực tham số m để giới hạn lim x �1 x mx m 3 x 1 x2 5x 1 xa Câu 26: Tìm a để giới hạn x �2 ax lim 2 x �1 x a Câu 27: Tìm để giới hạn cx a lim x �� x b Câu 28: Tính lim x m x �0 � f x � mx x � Câu 29: Tìm tất giá trị tham số thực m cho hàm số liên tục � Câu 30: Tìm giá trị tham số m để hàm số � 3x x �1 � f x � x 1 �m x � liên tục điểm x0 �x x x �1 � f x � x 1 � 3m x Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số gián � Câu 31: Cho hàm số đoạn x �x ax a x �1 � f x � x 1 � 2ax 1, x liên tục � Tính � Câu 32: Cho a hai số thực cho hàm số a2 a Câu 33: Cho hàm số f x x2 1 x f m với x �2 Tìm tất giá trị m để f x liên tục x Câu 34: Cho hàm số �sin x � f x � 5x � a2 � x �0 x0 f x Tìm giá trị thực tham số a để liên tục điểm x Dạng 3.3 Chứng minh phương trình có nghiệm Câu 35: Câu 36: 2019 x có nghiệm khoảng 0;1 ? Chứng minh phương trình x m Chứng minh phương trình nghiệm phân biệt với m 3 x 1 x x 1 , với m tham số có hai Câu 37: 2; 1 Chứng minh phương trình x 3x có nghiệm khoảng Câu 38: Tìm số nghiệm phương trình x x x Câu 39: Cho hàm số trình f x f x 5 liên tục đoạn có nghiệm đoạn 1;5 cho 1;5 f 1 3 f 6 ; Chứng minh phương Câu 40: Tìm tất giá trị tham số thực m 2m 5m x 1 2017 x 2018 2x cho phương trình sau có nghiệm: GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG ĐẠO HÀM Dạng Tính đạo hàm định nghĩa Dạng 1.1 Tìm số gia đối số, số gia hàm số Câu 41: Tìm số gia hàm số f x x3 f x ứng với x0 x x2 ứng với số gia x đối số x x0 1 Câu 42: Tìm số gia hàm số Câu 43: Tìm số gia hàm số Câu 44: x Tính số gia hàm số y x x điểm ứng với số gia x Câu 45: Cho hàm số y x gọi x số gia đối số x y số gia tương ứng hàm số, tính f x x2 4x ứng với x x y x Câu 46: Câu 47: y Tính tỉ số x hàm số y x( x 1) theo x x f x x2 2x x Cho hàm số Tìm y Câu 48: Cho hàm số , có f x x số gia đối số x , y số gia tương ứng hàm số , có x số gia đối số x , y số gia tương ứng hàm số Tìm y Câu 49: Cho hàm số y sin x gọi x số gia đối số điểm x thuộc tập xác định hàm số Câu 53: y y số gia tương ứng hàm số, tính x ? x 1 f x x , tìm số gia tương ứng hàm số biết x0 2, x ? Cho hàm số x , x f x cos x Cho hàm số , tìm số gia tương ứng hàm số biết ? Tính số gia hàm số hàm số y x điểm x ứng với số gia đối số x ? f x x Gọi x số gia đối số x0 , tìm số gia tương ứng hàm số Cho hàm số Câu 54: Cho hàm số Câu 50: Câu 51: Câu 52: f x x3 x , gọi x số gia đối số x y số gia tương ứng hàm y số Tính tỉ số x Câu 55: Cho hàm số f x x , gọi x số gia đối số x thuộc tập xác định y số gia y tương ứng hàm số Tính tỉ số x Dạng 1.2 Tính đạo hàm hàm số điểm x0 cho trước Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm hàm số sau điểm a) b) f x x2 x x0 cho trước x0 y f x x2 2x x0 điểm x0 x 1 x x0 c) y f x 2sin x x0 d) y f x e) y f x x f) �3 x � � f x � �1 � �4 g) y f x x x x �0 x Tính giá trị i) f x x x0 f x sin x x0 j) y f x x xo h) k) Câu 56: điểm y f x x2 2x �x � f ( x ) �2 � ax b � Tính Câu 58: Câu 59: Câu 60: f� 0 f� 0 (nếu có) f� 0 x �1 x 1 Cho hàm số f x x x Cho hàm số �x � f ( x) �x � � Câu 57: Tính Tìm a, b để hàm số có đạo hàm x ? , tính đạo hàm hàm số ứng với số gia x đối số x x0 x x Tính đạo hàm hàm số Tính đạo hàm hàm số � x3 x x � x �1 f ( x) � x 1 � x � Tính đạo hàm hàm số �2 x �0 �x sin f ( x) � x � x � x Dạng Tính đạo hàm quy tắc 2.1 Tính đạo hàm hàm số bản, hàm hợp Câu 1: Tính đạo hàm hàm số sau quy tắc tính đạo hàm a) y x 3x x4 x2 x b) y x 5 x c) y x0 điểm x0 d) e) y 3x5 3x y x 1 x x 3 a 3x y� y x 1 Tìm a x có dạng Biết đạo hàm hàm số ax y� y x x 1 b x , với a, b số nguyên dương Tìm a, Biết đạo hàm hàm số có dạng Câu 2: Câu 3: b 2020 x2 x 2020 điểm x0 Tính đạo hàm hàm số y x Câu 4: Câu 6: x x2 nx mn n m Tính đạo hàm hàm số ( m, n số khác 0) ax bx c y� y x 2 x x , với a, b, c số nguyên Biết đạo hàm hàm số có dạng Câu 7: Tìm a, b, c Tính đạo hàm hàm số sau y Câu 5: a) y 2x b) y c) y d) y 20 x x4 x2 x 3x x e) y 2020 x x f) f x x2 x x 3x x 1 g) 1 y 3 x x h) f x i) y x 1 2021 j) y x x k) �mx � f x � x mx � �3 � 2020 l) Câu 8: y x2 x x Cho hàm số Tính g x xf x x với f x g� 3 , f � 1 hàm số có đạo hàm � Biết g 3 Dạng 2.2 Câu 1: Câu 2: Câu 3: Câu 4: ; � Cho hàm số y sin x Giải phương trình y � Cho hàm số y cos x x Giải phương trình y � Cho hàm số y tan x Giải phương trình y Cho hàm số y f x x x2 f� x Giải bất phương trình Câu 5: Câu 6: Cho hai hàm số Cho hàm số y f x x2 y f x y g x x3 x hàm số f� x g� x GPT x4 x f� x 24 Giải phương trình Câu 9: x3 2mx x f� x x �� Cho hàm số Tìm m để � Cho hàm số y x Giải phương trình y y x � Cho hàm số y x x Tìm tập hợp giá trị x thỏa mãn y �0 Câu 10: Cho hàm số y 2 x 3x Tập nghiệm S bất phương trình y ' Câu 7: Câu 8: y f x Câu 11: C Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ Cho hàm số y x x x có đồ thị Câu 12: � � Cho hàm số y sin x x Tập nghiệm S bất phương trình y Câu 14: x3 x x Giải phương trình f � Cho hàm số y f x x2 2x f� x �f x Câu 15: Cho hàm số y sin x cos x Giải phương trình Câu 13: Câu 16: C , y f x Cho hàm số Cho Giải bất phương trình y f x 3x y� 1 60 64 5 f� x x x3 Giải phương trình Dạng Ý nghĩa đạo hàm hình học (Phương trình tiếp tuyến) Dạng 3.1 Phương trình tiếp tuyến điểm Câu 1: Câu 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f x x3 x điểm M 1;1 2x y x có đồ thị (H) Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm (H) với trục Cho hàm số hoành y 2x - x - có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến C giao điểm C Câu 3: Cho hàm số với trục tung Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Câu 6: Cho đồ thị Cho hàm số x0 1 điểm có tung độ tiếp điểm Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị với đường thẳng y x : y f x x 3x có đồ thị C Đường thẳng d : y x cắt đồ thị C ba Câu 10: k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến C A B Tính k1.k2 2x 1 y x giao điểm có tung độ y0 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x 1 y x điểm có hồnh độ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số x 1 y x điểm M 2;3 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Câu 11: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x giao điểm đồ thị trục tung điểm Câu 8: Câu 9: A, B, C 0; điểm có hồnh độ y f x x4 x2 C : y f x x3 x x C giao điểm C Câu 7: f x x x 3x Gọi Câu 12: Cho hàm số y x2 8x hoành độ Câu 13: Cho hàm số y có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến C điểm có x2 x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến C điểm có tung độ Câu 14: Câu 15: Câu 16: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x điểm có hồnh độ x 1 x điểm có tung độ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 2x 1 y x giao điểm đồ thị hàm số với trục Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y tung Câu 17: Cho hàm số f x x có đồ thị C Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị C điểm có hồnh độ x 2 Dạng 3.2 Phương trình tiếp tuyến cho trước hệ số góc (cho hsg k , song song, vng góc) Câu 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Câu 2: Hàm số y x 3x y x3 3x , biết tiếp tuyến có hệ số góc k 9 C Viết phương trình tiếp tuyến C song song với đường thẳng y 3x 2020 Câu 3: Tìm tất phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 2x 1 x song song với đường thẳng y 3x 2021 Câu 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x , biết tiếp tuyến song song với trục hoành Câu 5: Cho hàm số C Câu 6: Câu 7: y cos x m sin x C điểm có hồnh độ x , ( m tham số) Tìm tất giá trị m để tiếp tuyến x C : Viết phương trình tiếp tuyến song song trùng y x 1 x song song với đường thẳng d : 3x y 15 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x vng góc với đường thẳng y x Câu 8: Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số thẳng Câu 9: y y x2 x , biết tiếp tuyến vng góc với đường x 5 tiếp điểm có hồnh độ dương Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x biết tiếp tuyến có hệ số góc 11 Câu 10: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x vng góc với đường thẳng y x 1 Câu 11: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x 3x 20 song song với đường thẳng y 24 x y Câu 12: Cho hàm số x x có đồ thị C Tìm tiếp tuyến C song song với đường thẳng :x y Câu 13: Tìm tiếp tuyến đồ thị hàm số C :y 2x 1 x vng góc với đường thẳng :y 3 x Dạng 3.3 Phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước Câu 1: C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp tuyến Cho hàm số y x x có đồ thị qua Câu 2: A 1; 3 C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp Cho hàm số y x 3x x có đồ thị N 0;1 tuyến qua Câu 3: C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp tuyến Cho hàm số y x x có đồ thị qua Câu 4: A 1;3 Cho hàm số y 2x x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp tuyến qua A 4;3 Câu 5: C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp tuyến Cho hàm số y x x có đồ thị qua Câu 6: A 2;0 Cho hàm số A 6;5 Câu 7: x2 x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp tuyến qua y 2x x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp tuyến qua C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp Cho hàm số y x x x có đồ thị tuyến qua Câu 9: y Cho hàm số A 7;5 Câu 8: Cho hàm số qua A 1;0 A 1;6 y x2 x x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp tuyến Câu 10: Câu 11: Câu 12: Câu 13: Cho hàm số qua A 3; qua A 1;6 x 2x2 C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp tuyến có đồ thị y C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết tiếp tuyến Cho hàm số y x x có đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f x Cho hàm số C : y x3 biết qua điểm M (2; 0) x2 x 1 C Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm M 2; 1 đến , có đồ thị C Câu 14: Cho hàm số y x x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M 1; Câu 15: y Cho hàm số x 1 x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm � 1 � I� 1; � � � Câu 16: Câu 17: x2 x Hãy tìm m để từ điểm A 0; m kẻ hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số Cho hàm số 2x y x Hãy tìm m để từ điểm A m;0 kẻ hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số Cho hàm số y hai tiếp điểm nằm hai phía trục tung Câu 18: Cho hàm số y 2x x Có giá trị m để từ điểm A m;0 kẻ hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số mà tích hai hệ số góc hai tiếp tuyến 144 Dạng 3.4 Tiếp tuyến Câu 1: Câu 2: C Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị C � C có hồnh độ nghiệm phương trình f � x x f � x ? điểm thuộc đồ thị C : y x3 3x , biết tiếp tuyến với C M cắt C Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị Cho hàm số f x x3 x x có đồ thị tai điểm thứ hai N thỏa mãn MN 333 Câu 3: Câu 4: x4 x2 y 2 C Viết phương trình tiếp tuyến d C biết khoảng Cho hàm số có đồ thị A 0;3 d cách từ điểm đến Cho hai hàm số f x g x , Câu 5: f x x g x x2 Gọi d1 , d tiếp tuyến đồ thị hàm số cho giao điểm chúng Tính góc hai tiếp tuyến Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số cos cho theo chiều dương y 2x x , biết tiếp tuyến tạo với trục hồnh góc x mx 1 Cho hàm số A điểm đồ thị có hồnh độ 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số A song song với đường thẳng y x 2020 2x y x có đồ thị C Viết phương trình tiếp tuyến C , biết biết tiếp tuyến tạo Cho hàm số y Câu 6: Câu 7: với hai trục tọa độ tam giác vng cân 3x x có điểm M x0 ; y0 x0 cho tiếp tuyến với Trên đồ thị hàm số trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích Tìm tọa độ điểm M ax b y x , có đồ thị C Tìm a, b biết tiếp tuyến đồ thị C giao điểm Cho hàm số y Câu 8: Câu 9: C Câu 10: y x2 trục Ox có phương trình C y x 3x Cho hàm số có đồ thị Giả sử d tiếp tuyến C điểm có hồnh độ x , đồng thời d cắt đồ thị C N , tìm tọa độ N 2x m 1 y Cm điểm có hồnh độ x0 x 1 Câu 11: Cho hàm số (Cm) Tìm m để tiếp tuyến 25 tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích 1;3 y x2 Câu 12: Tiếp tuyến parabol diện tích tam giác vng điểm tạo với hai trục tọa độ tam giác vng Tính x có điểm M cho tiếp tuyến với trục tọa độ Câu 13: Trên đồ thị hàm số tạo thành tam giác có diện tích Tìm tọa độ M Cm y x x m (Cm ) y Câu 14: Cho hàm số điểm có x0 cắt đồ thị Cm ba điểm phân biệt Tìm tọa độ giao điểm 2x m 1 y Cm Tìm m để tiếp tuyến Cm điểm có hồnh độ x0 x 1 Cho hàm số hoành độ Câu 15: Giả sử tiếp tuyến đồ thị qua A 4;3 Dạng Đạo hàm hàm số lượng giác Dạng 4.1 Tính đạo hàm hàm số lượng giác Câu 1: Tìm đạo hàm hàm số sau: a) y cot x y sin x cos x b) � � y sin x.tan � x � �2 � c) h) f x x sin x i) � � y cos � 3x � �4 � � � y sin � x � �2 � j) x y tan 2 k) 2 l) f ( x) cos x sin x �5 � f x 2sin � x � �6 � d) � 2 � f x tan �x � � � e) x f x tan f) m) y cos x �x3 x x � f x tan � � 3 3� � g) y x3 cot x n) f ( x) x sin x o) p) Dạng 4.2 Giới hạn hàm số lượng giác Câu 1: a) b) c) d) e) f) g) h) Tính giới hạn sau: sin x x �0 x 3x sin lim x �0 x cos x lim x �0 x2 sin x lim x �0 tan x tan x lim x �0 sin x cos x lim x �0 2sin x sin x lim x �0 tan x cos x lim x �0 x cot x lim sin 2x 3cos x B lim tan x x� j) k) l) m) sin x x �0 sin x D lim cos x cos x x �0 cos x cos x A lim A lim x �0 cos ax ax B lim x tan x n) o) i) sin 2x x �0 3x L lim p) x� 2sin x x �0 sin 3x B lim C lim x sin x �0 x ( 0) Dạng 4.3 phương trình, chứng minh đẳng thức �5 � � � y f x 2sin � x � f '� � �6 � Tính giá trị �6 � Xét hàm số � 2 � y f x tan �x � � � Tính f ' Cho hàm số Câu 1: Câu 2: � � f� �� f x cos x sin x Cho Tính �4 � � � � � � cos x f� y f ( x) � � f � � sin x Tính giá trị biểu thức �6 � � � Cho hàm số � � Cho hàm số y x.sin x Chứng minh y y cos x Câu 3: Câu 4: Câu 5: y f ( x) Câu 6: Cho hàm số � y sin � �3 Cho hàm số Câu 7: � � f� �� sin x Tính giá trị �2 � x� � � Giải PT y ' cos x f sin x Tính giá trị biểu thức Cho hàm số �2 � y cos � x � 0 �3 � Giải phương trình y� Cho hàm số � � f� � � y f x sin( sin x) �6 � Cho hàm số Tính y f ( x) Câu 8: Câu 9: Câu 10: Câu 11: Câu 12: Câu 13: f� 1 � � � � � � � f � � �4 � �4 � x f (x) x Tính Biết rằng: Cho y 3sin x 2cosx Tính giá trị biểu thức A y '' y f x sin x x � 0; 2 � 0 (x) 4x sin Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số với đường thẳng y x � � cos x f� f x �� �2 �biết sin x Câu 14: Tính Dạng Đạo hàm cấp vi phân Dạng 5.1 Vi phân Câu 1: Tính vi phân hàm số sau: a) y x x x x4 y 3x2 b) y cos x c) 2x 2x 1 d) y x5 x e) y f) y x x , , biết tiếp tuyến song song g) y x x 1 ? h) y tan x i) y cos x � � y sin � x � �2 � j) k) y x sin x cos x l) y tan x2 m) y = f ( x ) = ( x - 1) n) f x sin x điểm x ứng với x 0, 01 Dạng 5.2 Câu 1: Câu 2: Câu 3: Cho hàm số y x x Giải bất phương trình y '' �31 x x3 x 2020 a; b 12 Cho hàm số Bất phương trình y '' x �0 có tập nghiệm Tính giá trị a b Cho hàm số y cos2x x Giải phương trình y '' y Câu 4: Cho hàm số y cosx sin x Giải phương trình y '' Câu 5: Cho hàm số y sin x cos x Giải phương trình y '' 4sin x Câu 6: Câu 7: Câu 8: x Giải bất phương trình y y ' y '' Cho hàm số x2 y x Giải phương trình x 1 y '' y Cho hàm số x2 x y x Giải phương trình y '' y ' Cho hàm số y Câu 9: Cho hàm số y x Giải bất phương trình y '' y x x2 x y ' y y P y '' x2 x Tính Câu 10: Cho hàm số y '' y ' Q x 1 Câu 11: Cho hàm số y x x Rút gọn biểu thức y '' Câu 12: Cho hàm số y cos x x Tính y ' Dạng 5.3 Ý nghĩa đạo hàm vật lí: Câu 1: s t t t 6t Một chất điểm chuyển động có phương trình , t tính m/s giây, s tính mét Tính gia tốc chất điểm thời điểm vận tốc 24 Câu 2: Cho chuyển động xác định phương trình S t 2t 3t , với t thời gian tính giây, S quãng đường chuyển động tính mét Tính từ lúc bắt đầu chuyển động, thời điểm t giây gia tốc a chuyển động có giá trị bao nhiêu? Câu 3: Câu 4: 1 t 20t Một vật chuyển động theo quy luật với t (giây) khoảng thời gian tính từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật thời gian Hỏi vận tốc tức thời vật thời điểm t giây bao nhiêu? s Một vật rơi tự với phương trình chuyển động tính mét Câu 5: m S gt , s , S t tính giây g 9,8 m/s Tính vận tốc vật thời điểm t 4s Một chất điểm chuyển động có phương trình S 2t 6t 3t với t tính giây (s) S tính mét (m) Tính gia tốc chuyển động thời điểm t 3(s ) Câu 6: Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S t 3t 9t , t tính giây S tính mét Tính vận tốc chuyển động thời điểm gia tốc triệt tiêu Câu 7: Bạn An tham gia giải thi chạy, giả sử quãng đường mà bạn chạy hàm số theo s t t 3t 11t m biến t có phương trình thời gian t có đơn vị giây Tìm vận tốc tức thời nhỏ trình chạy Câu 8: Câu 9: s t 10 t 9t t Một chất điểm chuyển động theo phương trình s tính mét, t tính giây Tính thời gian để vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn (tính từ thời điểm ban đầu) Một chất điểm chuyển động 20 giây có phương trình s t t t 6t 10t 12 , s s t tính mét m Hỏi thời điểm gia tốc t với t tính giây vật đạt giá trị nhỏ vận tốc vật bao nhiêu? Câu 10: Một vật rơi tự theo phương trình thời điểm Câu 11: s gt (m), g 9,8 m/s với Tính vận tốc tức thời vật t 5 s Một chất điểm chuyển động có phương trình S t 4t t tính giây S tính mét Tính gia tốc chuyển động thời điểm Câu 12: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: t 2 s ? s f t t 2t , t tính giây S tính mét Tính vận tốc tức thời chuyển động thời điểm t 5s Câu 13: Một chất điểm chuyển động có phương trình chuyển động là: s f t t 2t 3t , t 10 m/s tính giây S tính mét Tính gia tốc thời điểm vận tốc Câu 14: S t 3t t Một chất điểm chuyển động theo quy luật , t tính giây S tính mét Vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn t Câu 15: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S t 3t 4t , t tính giây S tính mét Tính gia tốc chất điểm lúc t 2s Câu 16: s t 6t 2 Một vật chuyển động theo quy luật với t (giây) khoảng thời gian từ vật bắt đầu chuyển động s (mét) quãng đường vật di chuyển thời gian Hỏi khoảng thời gian giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn vật đạt bao nhiêu? Câu 17: Câu 18: Một vật giao động điều hịa có phương trình quảng đường phụ thuộc thời gian s A sin t A , , số, t thời gian Tìm biểu thức vận tốc vật s t t t3 m Một chất điểm chuyển động theo quy luật Tìm thời điểm t (giây) mà vận tốc v m/s chuyển động đạt giá trị lớn Dạng 5.4 Tính tổng - Khai triển nhị thức Câu 1: Chứng minh Câu 2: Tính tổng Câu 3: Câu 4: Trong Cn1 2Cn2 3Cn3 � nCnn n.2n 1 , n �� S 1.2.Cn2 2.3.Cn3 n n 1 Cnn 1 n 1 n.Cnn S C 2C 3C n 1 C n n n Tính tổng Tìm số nguyên dương n cho: n n , với n �, n C21n 1 2.2.C22n 1 3.22.C23n 1 4.23.C24n 1 (2n 1).22 n.C22nn11 2017 99 Câu 5: Câu 6: 100 198 199 1� 1� 1� 1� � � � 100 � S 100.C100 � � 101.C100 � � 199.C100 � � 200.C100 � � �2 � �2 � �2 � �2 � Tính tổng: n S Cn1 2Cn2 3Cn3 1 n.Cnn Tính tổng S 1.2 999 1000 C 2.2 C 998 1000 1000 1000.20 C1000 Câu 7: Tính tổng: Câu 8: 1.C 2.C 3.C n.Cnn 11264 Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: n n n Câu 9: 1.Cn0 2.Cn1 3.Cn2 n.Cnn 1 n 1 Cnn �1024 n Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: Câu 10: Tính tổng: Câu 11: Câu 12: Câu 13: Câu 14: Tính tổng Tính tổng: 100 S 2.21.C100 4.23.C100 6.25.C100 100.299.C100 2000 S 12.C2000 22.C2000 32.C2000 20002.C2000 S 2.1.3 C S C 2000 200 2.C 3.2.3 C 2000 3.C Tính tổng Tìm số ngun dương n cho: 200 2000 4.3.3 C 200 200.199.3198.C200 200 2001.C 2000 2000 C21n 1 2.2.C22n 1 3.2 2.C23n 1 4.23.C24n 1 2n 1 2 n.C22nn11 2005 Câu 15: Chứng minh 2.C22n 1 4.C24n 1 6.C26n 1 2n.C22nn1 2n 1 2n 1 ... Tính tổng sau: a) S = 9+ 99+ 999+ + 999 b) S = 1 +11+ 111+ +111 c) S = + 2.3 + 3.32 + +11. 310 d) S n 1 ĐỀ CƯƠNG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN 1.1 Giới hạn dãy số phân... un n2 B un 1 3n Câu 11: Viết công thức số hạng tổng quát dãy số C un un n D un n u1 � � � un 1 un � xác định hệ thức � XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG VÀ CÔNG BỘI CỦA CÂP SỐ NHÂN Câu... cấp số cộng un u2 u3 u5 10 � � u u 26 thỏa mãn � Xác định công sai công thức tổng quát XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG VÀ CÔNG SAI CỦA CSC Câu Cho cấp số cộng un Câu Cho cấp số cộng un Câu