Sáng kiến kinh nghiệm: Sửa chữa một số sai lầm thường gặp khi tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất

Trong chương trình môn đại số THCS nhất là các bài toán về tìm GTLN, GTNN, học sinh THCS đang gặp nhiều khó khăn trong cách giải vì các em chưa được vận dung linh hoạt , nhanh nhạy và sáng tạo trong việc vận dụng định nghĩa, tính chất của BĐT và một số BĐT như BĐT Cô si và BĐT Bunhiacopxki vào việc tìm GTLN, GTNN. Do đó hay mắc phải những sai lầm khá phổ biến do thường vi phạm một trong hai điều kiện khi tìm GTLN, GTNN Từ kinh nghiệm giảng dạy bộ môn toán cấp THCS và tham khảo các đồng nghiệp tôi nhận thấy: Khi gặp những bài toán tìm GTLN, GTNN học sinh thường gặp khó khăn và hay mắc phải sai lầm. Nhằm giúp học giải những bài toán tìm GTLN, GTNN có hiệu quả và tránh được những sai lầm (Nhất là với đối tượng học sinh Khá, giỏi). Tôi đã nghiên cứu, tập hợp và đề xuất đề tài

I ĐẶT VẤN ĐỀ Trong trình phát triển, xã hội đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính mà dạy tốn khơng ngừng bổ sung đổi để đáp ứng với đời địi hỏi xã hội Vì người giáo viên nói chung phải ln ln tìm tịi, sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi Đảng Nhà nước đặt Trong chương trình tốn THCS , toán lớp 8, lớp 9, học sinh tiếp cận loại tốn tìm GTLN, GTNN gặp nhiều khó khăn Khi thực hay vấp phải sai lầm Một số phương pháp giải việc tìm GTLN, GTNN dựa vào định nghĩa , tính chất BĐT , số BĐT cổ điển (BĐT Cô si BĐT Bunhiacơpxki) Vì việc tránh sai lầm tìm GTLN, GTNN, giúp giáo viên nắm vững nội dung xác định phương pháp giảng dạy phần đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi trường THCS II LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình mơn đại số THCS tốn tìm GTLN, GTNN, học sinh THCS gặp nhiều khó khăn cách giải em chưa vận dung linh hoạt , nhanh nhạy sáng tạo việc vận dụng định nghĩa, tính chất BĐT số BĐT BĐT Cô si BĐT Bunhiacopxki vào việc tìm GTLN, GTNN Do hay mắc phải sai lầm phổ biến thường vi phạm hai điều kiện tìm GTLN, GTNN Từ kinh nghiệm giảng dạy mơn tốn cấp THCS tham khảo đồng nghiệp tơi nhận thấy: Khi gặp tốn tìm GTLN, GTNN học sinh thường gặp khó khăn hay mắc phải sai lầm Nhằm giúp học giải tốn tìm GTLN, GTNN có hiệu tránh sai lầm (Nhất với đối tượng học sinh Khá, giỏi) Tôi nghiên cứu, tập hợp đề xuất đề tài III TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Một số sai lầm phổ biến giải tốn, nhóm tác giả Nguyễn Vĩnh Cận- Lê Thống Nhất – Phan Thanh Quang NXB giáo dục năm 2002 Toán nâng cao chuyên đề Đại số tác giả Vũ Dương Thuỵ NXB giáo dục năm 2005 Nâng cao phát triển tốn tập một, tác giả Vũ Hữu Bình NXB giáo dục năm 2007 Bộ đề : Đề thi học sinh giỏi huyện Nghĩa Đàn, học sinh giỏi Tỉnh Nghệ An, tốt nghiệp THCS (trước đây), thi tuyển vào lớp 10 … Tuyển tập đề thi mơn tốn THCS tác giả Vũ Dương Thuỵ - Lê Thống Nhất - Nguyễn Anh Quân NXB giáo dục năm 2006 Đề thi giáo viên dạy giỏi, học sinh giỏi huyện Diễn Châu, Thanh Chương IV TÁC GIẢ * Ngô Trọng Lâm IV.CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.Định nghĩa giá trị lớn Cho biểu thức f(x) xác định D Ta nói M giá trị lớn f(x) D, kí hiệu M = maxf(x), hai điều kiện sau thoả mãn: Với x thuộc D f(x)  M, với M số Tồn x0 thuộc D cho f(x0) = M Định nghĩa giá trị nhỏ Cho biểu thức f(x) xác định D Ta nói M giá trị nhỏ f(x) D, kí hiệu M = minf(x), hai điều kiện sau thoả mãn: Với x thuộc D f(x) M, với M số Tồn x0 thuộc D cho f(x0) = M Ta định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức f(x,y, ) cách tương tự 3.Một số BĐT thường sử dụng tìm GTLN, GTNN a BĐT Cơsi: Cho n số khơng âm a1 , a2 , a3, , an -1 , an ta ln có : a1  a   a n   a n n  n a1 * a * * a n Dấu “=” Xẩy a1 = a2 = a3= = an -1 = an b, BĐT Bunhiacopxki Cho n số a1 , a2 , a3, , an -1 , an b1 , b2 , b3, , bn -1 , bn ta ln có: (a1b1 + a2b2+ + anbn)2 ( a12+a22+ +an2)( b12+b22+ +bn2) a1 a2 an Dấu “=” Xẩy b = b = = b n VI.NỘI DUNG ĐỀ TÀI Dạng Sai lầm không xác định giá trị tương ứng biến để bất đẳng thức trở thành đẳng thức v đ ặt ẩn phụ chuyển tốn khơng tương đương Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: S  3x  Lời giải sai: với x �2 x Vì x �2 nên áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số: 3x x x 1 hay S �2 Dấu xẩy 3x  � x  Vậy x x 3 giá trị nhỏ S , đạt x  Ta có: S  3x  �2 3x Phân tích sai lầm chưa không đối 3 chiếu “điểm rơi” x  với điều kiện toán cho x �2 Nhận thấy  nên kết luận 3 Khi kết luận giá trị nhỏ S đạt x  chưa Lời giải đúng: x C ách 1: Ta có: S = 3x   3x  12 11  x x Vì x �2 nên áp dụng BĐT Cauchy cho số 3x 12 ta có: x 12 12 12 12 �2 3x hay 3x  �12 (1) Dấu “=” xẩy 3x  � x  x x x x 11 11 11 11 Vì x �2 � � (2) Dấu “=” xẩy x  x x 3x  Từ (1) (2) ta có: 12 11 11 13  �12  hay S � Dấu “=” xẩy x  x 2 13 Vậy giá trị nhỏ S đạt x  2 1 11 1 11 13 Cách 2: Ta có S= 3x   x   x 2 x *  *  D ấu ”=” x ảy x x 4 x 1  x x  x 2 4  x 2 S= 3x  Vậy giá trị nhỏ S 13 đạt x=2 Ví dụ 2: Cho phương trình bậc hai với tham m, ẩn x: x2+2(m-2)x – (2m-7) = (1) có nghiệm x1, x2 Tìm GTNN biểu thức A = x12+x22 Lời giải sai: Vì x1, x2 hai nghiệm phương trình  x1  x  2 m  2  x1 x  2m  Theo định lý Vi-et tacó:  Ta có x12 + x22 = (x1+x2)2 – 2x1x2 = (2m-3)2 -7  V ậy MinA = -7 m  Phân tích sai lầm Sai lầm chỗ không tồn x1 , x2 để biểu thức đạt GTNN - Thật vậy: Min x12 + x 22 = -7 m  th ì phương trình (1) v nghiệm Lời giải đúng: Ta có:  m  2m  Để phương trình có hai nghiệm x1, x2  m    0    m 3  x1  x  2 m  2  x1 x  2m  Theo định lý Vi-et tacó:  Ta c ó x12 + x22 = (x1+x2)2 – 2x1x2 = (2m-3)2 -7 Với m 3 th ì A  2.3  3  2 Với m  th ì A  2.  1  3  18 Do đ ó MinA=2 với m = Ví dụ 3: Cho phương trình ẩn x: mx2 - 2(m - 1) x + 4m = (m  0) Có nghiệm x1 , x2 Tìm GTNN biểu thức x12 + x 22 Lời giải sai 2(m  1) � �x1  x2  m � � �x1.x2  Theo Viét ta có: => x  x2   x1  x2  2 2 �1 �  x1.x2  �  1� �8 �m � Vậy giá trị nhỏ biểu thức - Phân tích sai lầm Sai lầm chỗ không tồn x1 , x2 để biểu thức đạt GTNN - Thật vậy: Min x12 + x 22 =  x1  x 2 0 Khi đó:   x1 x 4 -1=0 m=1 m vơ nghiệm Lời giải Cách 1: Ta có   m  1  4m  3m  2m  Để phương trình có hai nghiệm x1,x2   0   m  2 m  1   x1  x  m Khi theo hệ thức Vi- et ta có:   x1 x 4 1  Ta có: A = x +x = (x1+x2) –x1.x2 = 4  1  m  2 2 (1)   1  1 TH1: Với  m  ta có A 4  1  8 Dấu xảy m  3 1    3  TH2: Với  m  ta có A 4   2  8 Dấu xảy m = -1 Do đ ó: MinA = m = -1 m  Cách 2:Ta có    m  1  4m  3m  2m  Để phương trình có hai nghiệm x1,x2   0   m  (1) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: ( x12 + x 22 )2  x12 x 22 =4.16 = 64  = x12 = x22 Min ( x12 + x 22 ) = Vậy x1 = x2 = x1 = x2 = - Khi đó: 2(m  1) =4 m  m=-1 2(m  1) =-4 m  m= Ví dụ 4: Tìm GTNN biểu thức: A = x2 - 3x + với x > Lời giải sai: Ta có: A = (x2 - 3x + = (x - = x2 - 3x + 9 )+74 19 19 ) + > Vậy GTNN A 19 x = Phân tích sai lầm: Ta thấy x = Với x > (x - Lời giải đúng: )  không thoả mãn điều kiện x > 2 A3 A = x2 - 3x + = (x2 - 3x + 2) + = (x - 1) (x - 2) + Vì x2  (x - 1) (x - 2)  nên x-1>0 x-20 Vậy A  Do GTNN A  x-2=0  x=2 (x - 1) (x - 2) = Ví dụ 5: Tìm GTNN biểu thức x2 y2  x y  P =      với x  ; y  y x  y x Lời giải sai: x Đặt y t= yx Ta có: x y x2 y2  t =(y x) =  +2 y x  x2 y2  = t2 - y2 x2 9 ) -  4 P = t2 - - t = (t - Ta có: t = Vậy GTNN P Khi t = x y ta có: y  x = t = Mà ta có: x y x y    2 y x y x Nên không tồn x, y với x0;y0 Hay GTNN Lời giải đúng: Ta có: P = t2 - t - = (t + 1) (t - 2) - Nếu t2  (t + 1) (t - 2)  t-2 - Nếu   P  với t+1>0 t+10  x, y  Vậy P đạt GTNN t = hay x = y Ví dụ 6: Tìm GTNN biểu thức 1 M = (x2 + y ) (y2 + ) x x, y số dương thay đổi thoả mãn x + y = Lời giải sai (x - y )2  Ta có: (y - ) 0 x   y2 + x x2 + y  y y 2  x x Mặt khác, x > ; y > nên suy ra: x y M = (x2 + y ) (y2 + )  y = x x Vậy GTNN M=4 x.y=1 M=4 Phân tích sai lầm GTNN biểu thức x.y=1  x  y 1  x y 1 Kết hợp với điều kiện x + y = đề Ta có hệ:   Hệ vơ nghiệm Tức M 4, lời giải ta sai Lời giải M 1 = (x2 + y ) (y2 + ) = x x y 1 x y 1 y2 x2 x y 1 =( ) = (xy + xy )2 xy Mặt khác ta có: 1 15 xy + xy = (xy + 16 xy ) + 16 xy (1) áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: 1 (xy + 16 xy )2 xy 16 xy = Mặt khác:  xy =( )  xy nên xy  4 (3) 17 4 xy Từ (1), (2), (3) suy ra:  (2) 1 15 xy + xy  + 4= 16 17 289 M = (xy + xy )2  ( )2 = 16 Vậy GTNN M Thoả mãn 289 16  1 xy = 16 xy  x = y = x+y=1 Ví dụ 7: Tìm GTNN biểu thức: A = x+ x Lời giải sai: 1  1 1  A = x+ x =  x  x     x     4  2 4  Vậy minA = - Phân tích sai lầm: Sau chứng minh A  Dấu đẳng thức xảy x =  `1 , chưa trường hợp xảy A = 4 , vô lý Lời giải đúng: Để tồn x phải có x 0 Do A = x+ x 0 A = x=0 Ví dụ 7: Cho x,y số dương thoả mãn x  y 4 Tìm GTNN P= 2x  3y  10  x y Lời giải sai: Vì x>0 Áp dụng BĐT cơsi cho số 2x  2x Ta có x 6 2 x 4 x y x Dấu xảy x   x  Vì y>0 Áp dụng BĐT cơsi cho số 3y  10 3y y Ta có 10 10 2 y 2 30 y 10 10  y y Dấu xảy y  T (1) v (2) suy P 4  30 Dấu xảy x  3, y  30 Vậy MinP =  30 Phân tích sai lầm: Sai lầm MinP đạt x  3, y  30 không thoả mãn ĐK x  y 4 Lời giải đúng: Ta có P = x y 10 3x y 10 ( x  y)       2 2 x y 2 x y P 2+6+10 =18   x  y 4   3x MinP=18     x  y 2 x   y 10  y  V í d ụ: Tìm GTNN c bi ểu th ức  a b2   a b  A =     8   a  b a b L ời gi ải sai a b a2 b2  th ì  m  b a b a ab a b 4 n ên m2 4 suy m 2 m2 =    4 ba b a Đặt m = 4 3  Khi A = 3(m -2)- 8m = 3m – 8m – = 3 m     3 4  2 suy MinA = -3/4 m = 4/3 Ph ân t ích sai l ầm Sai lầm chuyển tốn khơng tương đương Giá trị nhỏ (1) không trùng với GTNN (2) với m thuộc R Có thể thấy với m = 4/3 khơng tồn a,b khơng có giá trị a,b để A = -3/4 a b a2 b2  th ì  m  b a b a ab a b 4 nên m2 4 suy m 2 Ta có m2 =    4 ba b a Lời giải đúng: Đặt m = Khi A = 3(m2-2)- 8m = 3m2 – 8m – = (m2-4) + 2(m-2)2-10 Do m2 4 , (m-2)2 0 nên A  10 Min A = - 10 với m = a = b Dạng Sai lầm sử dụng sai điều kiện tồn Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 - x + 3 + x2 - x - 2 Lời giải sai: Ta có: A = x2 - x + 3 + x2 - x - 2 1 11 1 x + ( )2 +  + x2 - x + ( )2 -  2 2 A = x2 - A = (x - 11 ) +  + (x - )2 -  4 Suy ra: A   11  + -  4 = 11 + 4 = 20 =5 Đẳng thức xảy khi: ) =0 x- =0 Vậy GTNN A x= (x -   x= 2 Phân tích sai lầm (x - 11 ) +  + (x - )2 -  4 Ta thấy: (x - 9 ) 2 4   11  + -  4 với  x Nhưng suy ra: (x - 9 ) -   -  4 Chẳng hạn x = thì: (x - 9 ) -  = (0 - )2 -  4 =   9  = - 2 = < -  4 Mà từ a  b suy a  b a  b  Lời giải A = (x - 11 ) +  + (x - )2 -  4 A = (x - 11 11 ) +  + - (x - )2 +   (x - )2 + - (x - )2 +  = 4 4 Do đó: A đạt GTNN (x  - (x - = 11 ) +  - (x - )2 +   4 9 ) +   (x - )2   x -  4  x-  2 -1  x  2 Ví dụ 2: Tìm GTNN A = x2 + y2 biết x + y = Lời giải sai: Ta có: A = x2 + y2  2xy Do đó: Amin  x2 + y2 = 2xy 10  x=y=2 Khi đó: Amin = 22 + 22 = Phân tích sai lầm Đáp số không sai lập luận mắc sai lầm Vì ta có f(x,y)  g(x, y) chưa có f(x, y)  m (m hệ số) Ví dụ: Với lập luận trên, từ bất đẳng thức x2  4x -  x2min  x2 = 4x -  (x - 2)2 =  x =  x2 = 22 = x = Nhưng kết phải là: x2 = x = x + y =  x2 + 2xy + y2 = 16 Cách giải đúng: (x - y)2  x2 - 2xy + y2  Ta lại có: (1) (2) Từ (1) (2): 2(x2 + y2)  16  x2 + y2  MinA = x = y = x y z Ví dụ 3: Tìm GTNN A = y + + với x, y, z > z x Lời giải sai: Giả sử: x  y  z Ta suy ra: x-z0 y(x - z)  z(x - z) - yz + xy - zx + z2  xy - yz + z2  xz Chia hai vế cho số dương xz ta có: x y z - + 1 z x x (1) Mặt khác ta có: x y +  y x x y (2) z Cộng (1) với (2): y + +  z x MinA = x=y=z Phân tích sai lầm Khi hốn vị vịng quanh: x  y  z  x biểu thức A trở thành: x y z + + y không đổi Điều cho phép ta giả sử x số lớn (hoặc nhỏ nhất) Nhưng z x không cho phép giả sử x  y  z Thật sau chọn x số lớn (x  y ; x  z) 11 vai trị y z lại khơng bình đẳng: giữ ngun x thay y z, thay z y ta được: z x z y + y + không biểu thức A x Cách giải áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương x A3 = ( y + x y z y z + )3 z x  27 y z x = 27 Do đó: MinA = x y z = = y z x  x=y=z Dạng 3: Sai lầm chỗ chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Ví dụ 1: Tìm GTNN biểu thức: F(x,y) = (x+y)2+(x+1)2+(y-2)2 Lời giải sai: với x, y  R ta có  x  y  0  x  1 0  y   0 Vậy F  x, y  0 với x, y  R Từ suy F(x,y) = Phân tích sai lầm: Sai lầm lời giải không giá trị x y để F(x,y) = Nhớ F  x, y  0 với x, y  R tồn x0,y0 cho F(x0,y0) = kết luận F(x,y) = Đối với tốn khơng tồn x0, y0 để F(x0,y0) = Lời giải đúng: Cách 1: áp dụng BĐT Bunhiacôpski với a1= -1; b1= (x+y); a2=1; b2= x+ 1; a3=1 b3=y-2 ta có:    1 x  y   1 x  1  1 y  2  b b 3F  x, y   F  x, y   b Đẳng thức xảy  a  a  a   x   x  y      x  y   y 5  12 Vậy : minF(x,y) =   x ;y  3 Cách 2: y 1 3 5  F  x, y  2 x    y   2 3  Do F ( x, y )  với x, y  R y 1   x  0  Đẳng thức xảy khi:   y  0  Vậy : minF(x,y) =    x    y 5    x ;y  3 Ví dụ 2: Với a, b, c số thực dương Tìm GTNN của: P = (1 + a b c ) (1 + ) (1 + ) 5b 5c 5a Lời giải sai Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: (1 + a a )  5b 5b (1) (1 + b b )  5c 5c (2) (1 + c c )  5a 5a (3) Nhân vế (1), (2), (3) ta có: P2  Do giá trị nhỏ P 64 125 25 Phân tích sai lầm Sai lầm chỗ không tồn a, b, c để P = Thật giá trị tồn a, b, c > để P = Thì phải có: b =  b = 5c 5c 25 a =  a = 5b 5b  a b c = 125abc 13 25 c =  c = 5a 5a  = 125 (vơ lý) Lời giải Ta có: + a 1 1 a = + + + + +  5b 5 5 5b Tương tự: 1+ c  5a 1+ a b b  5c (1) b c (2) c (3) a Nhân vế (1), (2), (3) ta có: Dấu đẳng thức xảy ra:  P  216 215  a b c = = = 5b 5c 5a a=b=c a=b=c Vậy Min P = 216 215 Ví dụ 3: Tìm GTLN biểu thức: M = - 5x2 - 2xy - 2y2 + 14x + 10y - Lời giải sai M = - (x2 - 2xy + y2) - (4x2 - 14x) - (y2 - 10y) - M = M  145 - (x + y)2 - (2x - )2 - (y - 5)2 145  x  y   Dấu "=" xảy   x    y 5 không thoả mãn Vậy không tồn giá trị lớn Phân tích sai lầm Do biến đổi M  145 mà dấu "=" không xảy cịn phụ thuộc vào x y Do kết luận sai Lời giải M = - (x2 + y2 - 6x + 2xy - 6y + 9) - (4x2 - 8x + 4) - (y2 - 4y + 4) + 16 14 = 16 - (x + y - 3)2 - 4(x - 1)2 - (y - 2)2  16  x  y  0  x 1    Dấu "=" xảy   x  0  y 2  y  0  Vậy GTLN M = 16 x = y = Ví dụ 5: Tìm GTLN A = xyz (x + y) (y + z) (z + x) Với x, y, z  x+y+z=1 Lời giải sai áp dụng bất đẳng thức: 4ab  (a + b)2 4(x + y)z  (x + y + z)2 = (1) 4(y + z)x  (y + z + x)2 = (2) 4(z + x)y  (z + x + y)2 = (3) Nhân vế với vế (1) , (2) , (3) ta có: 64xyz (x + y) (y + z) (z + x)  Max A = 64 Phân tích sai lầm Chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức Điều kiện A = là: 64  x  y z   y  z  x  x  y  z 0  z  x y  Mâu thuẫn với x + y + z = v x, y, z  Cách giải áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm: = (x + y + z )3  27 xyz (1) = {(x + y) + (y + z) + (z + x)}3  27 (x + y) (y + z) (z + x) (2) Nhân vế (1) với (2)  729 A Max A =   729 A  (do hai vế không âm) 729 x=y=z= Ví dụ 6: Tìm GTNN của: 15 A= ( x  a)( x  b) x Với x > , a, b hệ số dương cho trước Lời giải sai z + a  ax Ta có: x + b  bx Do đó: ( x  a)( x  b) x ax bx = ab x   x=a=b Min A = ab Phân tích sai lầm Chỉ xảy A = ab (1) (2) xảy dấu đẳng thức tức x = a x = b Như cần a = b Vậy a  b khơng có A = ab Cách giải A= ( x  a)( x  b) ab x  ax  bx  ab = = (x + ) + (a + b) x x x Ta có: x+ ab  x ab Nên A  ab + a + b = ( a  b )2  Min A = ( a  b )2 x= ab x  x = ab x>0 Ví dụ 7: Tìm GTNN biểu thức: A = 2x+3y biết 2x2+3y2 5 Lời giải sai: Gọi B = 2x2+3y2, ta có B 5 Xét A+B = 2x+3y+2x2+3y2 2 1 1 5   = 2 x    3 y     2 2 4   Ta lại có B 5 nên –B  -5 Cộng (1) với (2) ta có A  (1) (2) 25 25  A   x  y  4 Phân tích sai lầm: Sai lầm chỗ với x=y =  , xảy dấu “=” (1) dấu “=” (2) không xảy Lời giải đúng: áp dụng BĐT Bunhiacôpski với a1= ; a2= ; 16 b1= x ; A2 =  b2= y; ta có: 2x  3y         x    y     2 2 Suy A2   3 x  y  5.5 25 A2=25  x 2  y 3  x y Do A2 25 nên   A 5  x y  x  y   x  y 5 Vậy A = -5  Dạng M ột số sai lầm kh ác Ví dụ 7: T ìm GTLN c bi ểu th ức A= x  x  17 L ời gi ải sai Phân th ức A c ó tử khơng đổi nên A c ó GTLN mẫu có GTNN Ta c ó: B = x2-6x+7 = (x-3)2+8 8 ta c ó MinB =8 x=3 Ph ân t ích sai l ầm Tuy đáp số không sai lập luận sai khẳng định “A có tử số khơng đổi nên có GTLN mẫu có GTNN“ mà chưa đưa nhận xét tử mẫu số dương Mắc sai lầm khơng nắm vững tính chất B ĐT: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên sang hai phân số có tử mẫu số nguyên Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét : x2-6x+7 = (x-3)2+8 8 nên tử mẫu A số dương từ nhận xét suy A > 0, A lớn 1/A nhỏ Ví dụ 7: Bi ết r ằng x2+y2=x+x Tìm GTLN biểu thức: F = xy Lời giải sai: Ta c ó  x  y  0 với x, y  R  x  y 2 xy với x, y  R  x2  y2  F với x, y  R 17 Đẳng thức xảy x = y  x 0 Thay x = y vào hệ thức cho ta có 2x2=2x    x 1 Nếu x = y = nên F = Nếu x=1 y = nên F = Từ suy M axF = x=y=1 Phân tích sai lầm: Nhớ F  M v ới M số tồn x,y đ ể F=M, kết luận x2  y2 x2  y2 MaxF = M Lời giải sau chứng minh F  đ ã coi mắc sai lầm 2 Lời giải đúng:  x  y m  x  y m   Đặt x+ y = x +y = m  2  x  y m   x  y   xy m 2 x y tồn phương trình t  mt   x  y m   m2  m x y    m2  m 0 có nghiệm   t 0  m 2 VI KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Sau vận dụng sáng kiến thấy rằng: Học sinh có hứng thú học tốn khả tư tốt kết đạt cao VII KẾT LUẬN Nguyên nhân dẫn đến sai lầm ví dụ rõ Gặp sai lầm giải Tốn điều khó tránh khỏi Tìm sai lầm sửa sai lầm không dễ chút Nhưng em HS có ý thức giải Tốn chắn tránh sai lầm tự tin việc giải toán dạng “Một số sai lầm dễ mắc phải tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất”đã nhiều người nhắc đến Trên điều mà nghiên cứu, đúc kết trình giảng dạy mà thân vận dụng dạy học sinh đem lại kết tốt Tuy nhiên cịn nhiều thiếu sót, cịn nhiều vấn đề cần phải bàn thêm Kính xin đồng nghiệp, thầy giáo trước tiếp tục trao đổi bổ sung sửa đổi để nội dung đề tài thêm hoàn thiện 18 19 ... chút Nhưng em HS có ý thức giải Tốn chắn tránh sai lầm tự tin việc giải toán dạng ? ?Một số sai lầm dễ mắc phải tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất? ??đã nhiều người nhắc đến Trên điều mà tơi nghiên... dụng sáng kiến thấy rằng: Học sinh có hứng thú học tốn khả tư tốt kết đạt cao VII KẾT LUẬN Nguyên nhân dẫn đến sai lầm ví dụ rõ Gặp sai lầm giải Tốn điều khó tránh khỏi Tìm sai lầm sửa sai lầm. .. thuộc D cho f(x0) = M Ta định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức f(x,y, ) cách tương tự 3 .Một số BĐT thường sử dụng tìm GTLN, GTNN a BĐT Cơsi: Cho n số không âm a1 , a2 , a3, , an -1