các dạng toán về quan hệ vuông góc trong không gian

bài tập về quan hệ vuông góc trong không gian×các dạng toán quan hệ vuông góc trong không gian×quan hệ vuông góc trong không gian× Từ khóa bài tập quan hệ vuông góc trong không gianlý thuyết quan hệ vuông góc trong không gianbài tập quan hệ vuông góc trong không gian 11bài tập quan hệ vuông góc trong không gian violetchuyên đề quan hệ vuông góc trong không gianquan hệ vuông góc trong không gian 11quan hệ vuông góc trong không gian lớp 11

Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian MỤC LỤC Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian A MỞ ĐẦU I Lời nói đầu Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trò, vị trí quan trọng Ngồi việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh lớp 11 e ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu mơn học này, phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học khơng gian Hình học khơng gian phần quan trọng nội dung thi đại học Bộ giáo dục, học sinh khơng nắm kỹ em gặp nhiều lúng túng làm hai câu hình học khơng gian đề thi đại học Qua nhiều năm giảng dạy mơn học tơi đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng Từ lý tơi khai thác, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp thành chun đề: “Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian ” II Cơ sở lý thuyết 2.1 Các định nghĩa +) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 a ⊥ b ⇔ (a, b) = 900 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian +) Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a ⊥ (α ) ⇔ ∀b ⊂ (α ) : a ⊥ b +) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 (α ) ⊥ ( β ) ⇔ ((α ),( β )) = 900 +) Định nghĩa 4: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song (hoặc trùng) với a b +) Định nghĩa 5: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (α) 900 Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (α) góc a hình chiếu a’ mặt phẳng (α) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (α) +) Định nghĩa 6: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng +) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆) +) Định nghĩa 8: Khoảng cách đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (α) +) Định nghĩa 9: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng +) Định nghĩa 10: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian 2.2 Các định lý thường sử dụng a ∩b Định lý 1: Định lý 2: Định lý 3: +   a, b ⊂ ( P )  ⇒ d ⊥ ( P ) d ⊥ a, d ⊥ b  a ⊂ ( P)   d ⊥ ( P)  ⇒ d ⊥ a ∀a ⊂ ( P)  d ⊥ ( P)   ⇒ d ' ⊥ ( P) d '/ / d  + + Định lý 4: ( P) / /(Q)   ⇒ d ⊥ (Q ) d ⊥ ( P)  d / /( P)  ⇒ d'⊥ d d ' ⊥ ( P) d ⊥ ( P)   ⇒ ( P ) ⊥ (Q ) d ⊂ (Q )  ( P ) ⊥ (Q ) Định lý 5:  ( P ) ∩ (Q) = ∆   ⇒ d ⊥ (Q) d ⊂ ( P)   d ⊥∆ ( P ) ∩ (Q) = ∆   ( P) ⊥ ( R)  ⇒ ∆ ⊥ ( R)  (Q ) ⊥ ( R )  Định lý 6: Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian B NỘI DUNG I Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, đ ường th ẳng vng góc với đường thẳng, mặt phẳng vng góc với mặt phẳng 1.1 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 1.1.1 Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý để chứng minh Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý số trường hợp đặc biệt 1.1.2 Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giácvvng C, SA ⊥ ( ABC ) a) Chứng minh rằng: BC ⊥ ( SAC ) b) Gọi E hình chiếu vng góc A SC Chứng minh rằng: AE ⊥ ( SBC ) c) Gọi mp(P) qua AE vng góc với (SAB), cắt SB D Chứng minh rằng: SB ⊥ ( P) d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF ⊥ ( SAB ) Giải: a) Ta có: BC ⊥ AC ( gt ) (1) Mặt khác, SA ⊥ ( ABC )   ⇒ SA ⊥ BC (2) BC ⊂ ( ABC )  BC ⊥ ( SAB) Từ (1) (2) suy ra: b) Ta có: Theo a) AE ⊥ SC (3) (gt) BC ⊥ ( SAB ) ⇒ AE ⊥ BC (4) Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Từ (3) (4) suy ra: c) Ta thấy: Theo b) AE ⊥ ( SBC ) ( P) ≡ ( ADE ) AE ⊥ ( SBC ) ⇒ BC ⊥ AE (5) Trong mp(ADE) kẻ EH ⊥ AD, H ∈ AD Vì ( ADE ) ⊥ ( SAB)   ( ADE ) ∩ ( SAB) = AD  ⇒ EH ⊥ ( SAB) ⇒ SB ⊥ EH (6)  EH ⊥ AD  Từ (5) (6) suy ra: d) Từ SB ⊥ ( ADE ) hay SB ⊥ ( P) SA ⊥ ( ABC )   ⇒ AF ⊥ SA (7) AF ⊂ ( ABC )  Theo c) SB ⊥ ( ADE ) ⇒ AF ⊥ SB (8) Từ (7) (8) suy ra: AF ⊥ ( SAB ) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, tam giác SAB tam giác đều, ( SAB) ⊥ ( ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Chứng minh rằng: FC ⊥ ( SID ) Giải: Ta có: SI ⊥ AB   ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  ⇒ SI ⊥ ( ABCD )  SI ⊂ ( SAB )  ⇒ SI ⊥ CF (1) Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Mặt khác, xét hai tam giác vng ADI DFC có: AI=DF, AD=DC Do đó, ∆AID = ∆DFC từ ta có: µ Iµ1 = F ¶ =C ¶ D   µ ¶  ⇒ F1 + D2 = 90 2 ¶ = 900  Iµ1 + D  · ⇒ FHD = 900 Hay CF ⊥ ID (2) Từ (1) (2) suy ra: FC ⊥ ( SID ) 1.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc 1.2.1 Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý cách chứng minh vng góc có hình học phẳng 1.2.2 Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vng A B, SA ⊥ ( ABCD ) , AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vng Giải: Ta có: SA ⊥ ( ABCD)   ⇒ SA ⊥ CD(1) CD ⊂ ( ABCD )  Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian + Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do đó, khác, ∆CID tam giác vng cân I nên: Từ (*) (**) suy ra: Từ (1) (2) suy ra: ·ACD = 900 hay · BCI = 450 AC ⊥ CD CD ⊥ ( SAC ) ⇒ CD ⊥ SC ·ACI = 450 (*) Mặt (*) (2) hay ∆SCD vng C Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC CMR: MN ⊥ BD Giải: Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD Ta có: IN / / AC   ⇒ BD ⊥ IN (1) AC ⊥ BD  Mặt khác, Mà IM / / BE   ⇒ IM / / PO(*) BE / / PO  PO ⊥ BD (**) (vì: BPD tam giác cân P O trung điểm BD) Từ (*) (**) ta có: Từ (1) (2) ta có: BD ⊥ IM (2) BD ⊥ ( IMN ) ⇒ BD ⊥ MN Các điểm cần ý giải ví dụ 2: + Chọn mp(IMN) với I trung điểm AB ( vng góc với BD mp(IMN)) BD ⊥ AC nên chọn mp chứa MN + Sử dụng giả thiết trung điểm để chứng minh song song Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian a / /b  ⇒b ⊥c a ⊥ c + Sử dụng định lý: Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, tam giác SAD đều, ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh rằng: AM ⊥ BP Giải: Gọi I giao diểm AN BP, H trung điểm AD, K giao điểm AN BH Xét hai tam giác vng ABN BCP có: AB=BC, BN=CP Suy ra, ∆ABN = ∆BCP · · · ⇒ BAN = CBP , ·ANB = BPC mà · · BAN + ·ANB = 900 ⇒ CBP + ·ANB = 900 hay AN ⊥ BP (1) SH ⊥ AD Vì ∆SAD nên:   ( SAD ) ⊥ ( ABCD)  ⇒ SH ⊥ BP (*) BP ⊂ ( ABCD )  Mặt khác, tứ giác ABNH hình chử nhật nên K trung điểm HB hay Từ (*) (**) suy ra: Từ (1), (2) suy ra: MK / / SH (**) BP ⊥ MH (2) BP ⊥ ( AMN ) ⇒ BP ⊥ AM 1.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 1.3.1 Phương pháp: Sử dụng định lý 1.3.2.Các ví dụ mẫu: 10 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Từ (1) (2) suy ra: CH ⊥ ( A ' BD ) ⇒ d ( B ',( A ' BD)) = CH + Xét tam giác vng BCD có: d ( B ',( A ' BD)) = CH = Vậy: 1 a = + = ⇒ CH = 2 CH BC CD 3a a Ví dụ 2: (A-2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, ∆SBC ·ABC = 300 , tam giác cạnh a, ( SBC ) ⊥ ( ABC ) Tính d (C ,( SAB)) Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC Gọi M, I, J trung điểm BC, CD AB Lúc đó, CD//(SAB) hay d (C ,( SAB)) = d (CD,( SAB)) = d ( I ,( SAB)) + Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ IH ⊥ SJ , (H ∈ SJ) (1) IJ ⊥ AB   SM ⊥ ( ABC ) ⇒ AB ⊥ SM  Mặt khác, ta có: ⇒ AB ⊥ ( SIJ ) ⇒ AB ⊥ IH (2) Từ (1) (2) suy ra: IH ⊥ ( SAB) hay d (C ,( SAB)) = IH 31 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian 1 SM IJ IH SJ = SM IJ ⇒ IH = 2 SJ S SIJ = + Xét tam giác SIJ có: IJ = AC = BC.sin 300 = a a a 13 SM = SJ = SM + MJ = 2 , IH = Do đó: Với: , SM IJ a 39 = SJ 13 d (C ,( SAB)) = Vậy a 39 13 *) Ví dụ cho cách 3: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB=AD=a, CD=2a, SD ⊥ ( ABCD ) , SD=a a) Tính d ( D,( SBC )) b) Tính d ( A,( SBC )) Giải: Gọi M trung điểm CD, E giao điểm hai đường thẳng AD BC a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ + Vì BM = AD = CD ⇒ vng B hay DH ⊥ SB, (H ∈ SB) (1) Tam giác BCD BC ⊥ BD (*) Mặt khác, SD ⊥ ( ABCD) ⇒ SD ⊥ BC (**) Từ (*) (**) ta có: BC ⊥ ( SBD ) ⇒ BC ⊥ DH (2) (2) suy ra: DH ⊥ ( SBC ) Từ (1) hay d ( D,( SBC )) = DH 32 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian + Xét tam giác vng SBD có: Vậy, d ( A,( SBC )) AE AB 1 a = = = ⇒ d ( A,( SBC )) = d ( d ,( SBC )) = d ( D,( SBC )) DE CD 2 d ( A,( SBC )) = Vậy, 2a 3 d ( D,( SBC )) = b) Ta có: 1 2a = + = ⇒ DH = 2 DH SD BD 2a a 3 Ví dụ 3: (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA=3a, · ( SBC ) ⊥ ( ABC ), SB = 2a 3, SBC = 300 BC=4a, Giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ MN ⊥ AC (N ∈ AC) Tính d ( B,( SAC )) SM ⊥ BC (M ∈ BC) ; mặt phẳng (SMN) kẻ ; mặt phẳng (ABC) kẻ MH ⊥ SN (N ∈ SN ) Suy ra, MH ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( M ,( SAC )) = MH + Ta có: SM = SB.sin 300 = a , BM = SB.cos300 = 3a ⇒ CM = a MN = AB.CM 3a = AC , Xét tam giác vng SMN có: 1 28 3a = + = ⇒ MH = 2 MH SM MN 9a 28 3a ⇒ d ( M ,( SAC )) = 28 33 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian d ( B,( SAC )) BC = =4 d ( M ,( SAC )) MC ⇒ d ( B,( SAC )) = 4.d ( M ,( SAC )) = + Mặt khác, ta có: d ( B,( SAC )) = Vậy 6a 6a 3.2.Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo 3.2.1 Cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ Cách 1: + Xác định đường thẳng vng góc chung d d’ + Tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: +Tìm mp(P) chứa d’ song song với d + Khi d ( d , d ') = d ( d ,( P)) = d ( A,( P)) với A điểm thuộc d Chú ý: mp(P) có sẵn phải dựng (Cách dựng: qua điểm dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc mp(P)≡(d’,∆)) B∈d ' 3.2.2 Các ví dụ mẫu *) Ví dụ cho cách Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất cạnh lại 3a Tính d ( AB, CD ) Giải: + Gọi I, J trung điểm CD AB 34 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian + Vì ACD ACD tam giác nên: CD ⊥ AI , CD ⊥ BI ⇒ CD ⊥ ( AIB) ⇒ CD ⊥ IJ (1) AIB cân I Do đó, Mặt khác, ∆ACD = ∆ACD nên tam giác IJ ⊥ AB (2) + Từ (1), (2) suy ra: IJ đường vng góc chung AB CD  3a   a  a 26 IJ = AI − AJ =  ÷ − ÷ = 2   2 + Ta có: d ( AB, CD ) = Vậy a 26 Ví dụ 2: (A_2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB AD, H giao điểm CN DM, SH ⊥ ( ABCD), SH = a Tính d ( DM , SC ) Giải: + Trong mp(SCH) kẻ HK ⊥ SC (1), (K ∈ SC) + Mặt khác, SH ⊥ ( ABCD )   ⇒ SH ⊥ DM (*) DM ⊂ ( ABCD )  Xét hai tam giác vng AMD DNC có AM=DN, AD=DC ⇒ ∆AMD = ∆DNC Từ ta ·AMD = DNC · ·ADM = DCN · có:   0 · · ·  ⇒ DNC + ADM = 90 ⇒ NHD = 90 ·AMD + ·ADM = 900   hay DM ⊥ CN (**) 35 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Từ (*), (**) suy ra: DM ⊥ ( SCH ) ⇒ DM ⊥ HK (2) Từ (1), (2) suy ra: HK đoạn vng góc chung DM SC + Ta có: CD a2 2a ⇒ HC = = = CN CD − DN ∆HCD : ∆DCN Xét tam giác vng SHC ta có: d ( DM , SC ) = HK = Vậy HK = HC + HS = 3a ⇒ HK = a 15 a 15 *) Ví dụ cho cách Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cạnh a, AA ' = a 2 Tính d ( AB, CB ') Giải: + Gọi I, J trung điểm AB A’B’ + Ta có: AB / /(CA ' B ') ⇒ d ( AB, CB ') = d ( AB,(CA ' B ')) = = d ( I ,(CA ' B ')) Ta có: A ' B ' ⊥ ( IJ ) + Trong mp(CIJ) kẻ (vì ABC A’B’C’ hình lăng trụ đứng) A ' B ' ⊥ (CIJ ) ⇒ IH ⊥ A ' B ' (2) giác đều) nên IH ⊥ CJ (1), (H ∈ CJ) IC ⊥ A ' B ' (vì ∆ABC tam 36 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian IH ⊥ (CA ' B ') hay Từ (1), (2) suy ra: + Xét tam giác vng CIJ có: d ( AB, CB ') = IH = Vậy IH = d ( AB, CB ') = IH IC + IJ = 3a + a = 10 3a ⇒ IH = a 30 10 a 30 10 Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên a Tính d ( AD, SB ) Giải: + Vì AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, SB ) = d ( AB,( SBC )) + Gọi O giao điểm AC BD I, J trung điểm AD BC + Trong mp(SIJ) kẻ IH ⊥ SJ ,( H ∈ SJ ) (1) SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ BC   ⇒ BC ⊥ ( SIJ ) IJ / / AB ⇒ IJ ⊥ BC  ⇒ IH ⊥ BC (2) Theo giả thiết ta có: IH ⊥ ( SBC ) hay Từ (1), (2) suy ra: d ( AD, SB ) = IH 37 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian S SIJ = + Xét tam giác SIJ có: a , SJ = SB − BJ = SO = SA2 − AO = a d ( AD, SB) = IH = Vậy 1 SO.IJ IH SJ = SO.IJ ⇒ IH = 2 SJ Với: IJ=a, IH = Suy ra: SO.IJ 2a 21 = SJ 2a 21 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAD tam giác đều, (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính d ( SA, BD) Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song song với BD Gọi O giao điểm AC BD; I, M trung điểm AD OD; N giao điểm d IM + Ta có: d ( SA, BD) = d (( SA, d ), BD) = = d ( M ,( SA, d )) + Trong mp(SMN) kẻ MH ⊥ SN (1), (H ∈ SN) SI ⊥ AD Theo giả thiết:   ⇒ SI ⊥ ( ABCD) ⇒ SI ⊥ d (*) ( SAD) ⊥ ( ABCD)    BD ⊥ AO  ⇒ d ⊥ MN (**) AO / / MN  Mặt khác ta có: d / / BD suy ra: MH ⊥ ( SA, d ) Từ (*), (**) suy ra: d ⊥ ( SMN ) ⇒ d ⊥ MH (2) Từ (1), (2) 38 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian S SMN = + Xét tam giác SMN có: SI = 1 SI MN MH SN = SI MN ⇒ MH = 2 SN a a a 10 , MN = AO = , SN = SI − IN = 2 d ( SA, BD) = Vậy MH = Do đó, với SI MN a 15 = SN a 15 Ví dụ 4: (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng tai B, AB=BC=2a, hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính d ( AB, SN ) Giải: + Gọi I trung điểm BC Do MN//BC nên N trung điểm AC Do đó, IN//AB hay + Trong mp(ABC) kẻ Trong mp(SAJ) kẻ d ( AB, SN ) = d ( AB,( SNI )) AJ ⊥ IN ,( J ∈ IN ) (*) AH ⊥ SJ ,( H ∈ SJ ) (1) + Theo giải thiết ta có: ( SAB ) ⊥ ( ABC )   ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ IN (**) ( SAC ) ⊥ ( ABC )  IN ⊥ ( SAJ ) ⇒ IN ⊥ AH (2) Từ (*), (**) ta có: Từ (1), (2) ta có: AH ⊥ ( SIN ) ⇒ d ( AB, SN ) = AH · (( SBC ),( ABC )) = SBA = 600 ⇒ SA = AB.tan 600 = 2a AJ = BI = a + Ta có: ; 39 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian + Xét tam giác vng SAJ có: d ( AB, SN ) = AH = Vậy AH = SA2 + AJ = 13 12a ⇒ AH = a 12 13 a 156 13 3.3 Bài tập Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, SA=a, cạnh lại SA ⊥ SC Tính a Chứng minh: d ( S ,( ABCD)) Bài tập 2: (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vng B, AB=a, AA’=2a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính d ( A,( IBC )) · Bài tập 3: Cho hình chóp SABC, SA = 3a, SA ⊥ ( ABC ), AB = 2a, ABC = 120 Tính d ( A,( SBC )) Bài tập 4: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang , ·ABC = BAD · = 900 , BA=BC=a, AD=2a, SA ⊥ ( ABCD) , SA = a Gọi H hình chiếu d ( H ,( SCD )) A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, đường cao SO=a Tính Bài tập · BCD = 600 d ( AD, SB) : (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân B, BA=BC=a, AA ' = a Gọi M trung điểm BC Tính d ( AM , B ' C ) 40 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Bài tập 7: (B-2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC Chứng minh rằng: MN ⊥ BD Tính d ( MN , AC ) Bài tập 8: Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) OA BC b) AI OC Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a, SA  (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD b) AC SD Bài tập 10: Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC ⊥ (BHK), HK ⊥ (SBC) c) Xác đònh đường vuông góc chung BC SA Bài tập 11: a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC dường vuông góc chung AB CD đường nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD b) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vuông góc chung AB CD AC = BD, AD = BC Bài tập 12: Cho hình vuông ABCD cạnh a, I trung điểm a AB Dựng IS  (ABCD) IS = Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: 41 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian a) NP AC b) MN AP Bài tập 13: Cho hình chóp SABCD, có SA  (ABCD) SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) cách (SAD) khoảng a Bài tập 14: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) AA = a, đáy ABC tam giác vuông A có BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB  (ACCA) tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) b) M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD) 42 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự a 2 E, F Cho biết AD cách (P) khoảng , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) diện tích tứ giác BCFE Bài tập 16: Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 60 0, nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mp(ABD) b) Tính khoảng cách AC BD Bài tập 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a · BAD = 600 Gọi O giao điểm AC BD Đường thẳng SO ⊥ (ABCD) SO = BE 3a Gọi E trung điểm BC, F trung điểm a) Chứng minh (SOF) ⊥ (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) 43 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian C KẾT LUẬN Qua đề tài này, lần khẳng định tầm quan trọng hình học khơng gian Tốn học nói chung Tốn học phổ thơng nói riêng Việc tiếp thu tốt phần đòi hỏi người học có tính tưởng tượng phong phú, ngồi giáo viên cần trang bị cho em lớp dạng tốn cách giải tương ứng Trên số kinh nghiệm thân đúc kết q trình giảng dạy, có nhiều thiếu sót mong q thầy đóng góp ý kiến đề tài hồn thiện vào áp dụng Xin chân thành cảm ơn! 44 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Anh Trường (2013), Tài liệu tổng ơn tập hình học khơng gian Nhà xuất đại học quốc gia hà nội Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức (2001), Phân loại phương pháp giải tốn hình học khơng gian Nhà xuất đại học quốc gian Thành phố Hồ Chí Minh diendantoanhoc.net Đồng hới, ngày 09 tháng 05 năm 2014 Người viết sáng kiến kinh nghiệm: Lê Duy Hiền Ý KIẾN VÀ XẾP LOẠI CỦA TỔ TỐN: Ý KIẾN VÀ XẾP LOẠI CỦA HĐKH NHÀ TRƯỜNG: 45 ... R )  Định lý 6: Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian B NỘI DUNG I Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, đ ường th ẳng vng góc với đường thẳng,... Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 a ⊥ b ⇔ (a, b) = 900 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian +) Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm... với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) D lấy 14 Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với Bài tập 13: Cho hình