Phương pháp và các dạng toán về quan hệ vuông góc trong không gian - rất hay

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α). +) Định nghĩa 6: Góc giữa h[r]

1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP VỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN – RẤT HAY II Cơ sở lý thuyết

2.1 Các định nghĩa

+) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 a b ( , )a b 900

+) Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a( )   b ( ) : ab

+) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 ( ) ( ) (( ),( ))  900

+) Định nghĩa 4: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song (hoặc trùng) với a b

+) Định nghĩa 5:

Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (α) 900

Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (α) góc a hình chiếu a’ mặt phẳng (α) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (α)

+) Định nghĩa 6: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng

+) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆)

+) Định nghĩa 8: Khoảng cách đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (α)

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

+) Định nghĩa 10: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

2.2 Các định lý thường sử dụng

Định lý 1: , ( ) ( )

, a b

a b P d P

d a d b

 



  



  

Định lý 2:

( ) ( )

( ) a P

d P d a

a P          

Định lý 3: + ( ) ' ( ) '/ / d P d P d d      + ( ) / /( ) ( ) ( ) P Q d Q d P       + / /( ) ' ' ( ) d P d d d P     

Định lý 4: ( ) ( ) ( ) ( ) d P P Q d Q       

Định lý 5:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q P Q d Q d P d               

Định lý 6:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

P Q

P R R

3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

B NỘI DUNG

I Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với đường thẳng, mặt phẳng vng góc với mặt phẳng

1.1 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng

1.1.1 Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý để chứng minh Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý số trường hợp đặc biệt

1.1.2 Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giácvvuông C, SA(ABC)

a) Chứng minh rằng: BC (SAC)

b) Gọi E hình chiếu vng góc A SC Chứng minh rằng: AE(SBC)

c) Gọi mp(P) qua AE vuông góc với (SAB), cắt SB D Chứng minh rằng:

( )

SB P

d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF (SAB)

Giải: a) Ta có: BC  AC (gt) (1)

Mặt khác,

( )

(2)

( )

SA ABC

SA BC

BC ABC

 

 



 

Từ (1) (2) suy ra: BC(SAB) b) Ta có: AESC (3) (gt)

Theo a) BC (SAB) AEBC (4)

Từ (3) (4) suy ra: AE(SBC) F

C S

B A

E D

4 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

c) Ta thấy: ( )P (ADE)

Theo b) AE (SBC)BC AE (5)

Trong mp(ADE) kẻ EH AD H, AD Vì ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (6)

ADE SAB

ADE SAB AD EH SAB SB EH EH AD            

Từ (5) (6) suy ra: SB(ADE) hay SB( )P

d) Từ ( ) (7)

( ) SA ABC AF SA AF ABC       

Theo c) SB(ADE) AF SB (8) Từ (7) (8) suy ra: AF (SAB)

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, tam giác SAB tam giác đều,

(SAB)(ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Chứng minh rằng:

( )

FC  SID Giải: Ta có:

( ) ( ) ( )

( )

(1)

SI AB

SAB ABCD SI ABCD

SI SAB SI CF           

Mặt khác, xét hai tam giác vng ADI DFC có: AI=DF, AD=DC Do đó,

AID DFC

   từ ta có: 1

0

2 2

0 90 90 90 I F

D C F D

5 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Hay CF ID (2)

Từ (1) (2) suy ra: FC(SID)

1.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc

1.2.1 Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý cách chứng minh vng góc có hình học phẳng

1.2.2 Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vng A B,

( )

SA ABCD , AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vng

Giải: Ta có:

( )

(1)

( )

SA ABCD

SA CD

CD ABCD

  



 

+ Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do đó,

0 45

ACI  (*) Mặt khác, CID tam giác vuông cân I nên:

0 45 BCI  (*)

Từ (*) (**) suy ra: ACD900 hay ACCD (2)

Từ (1) (2) suy ra: CD(SAC)CDSC hay ∆SCD vuông C

Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, E điểm đối

xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC CMR:

MN BD

Giải: Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD

D I

B C

6 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Ta có: IN / /AC BD IN(1)

AC BD

 



 

Mặt khác, / / / / (*)

/ /

IM BE

IM PO

BE PO

   

Mà POBD(**) (vì: BPD tam giác cân P O trung điểm BD)

Từ (*) (**) ta có: BDIM(2)

Từ (1) (2) ta có:

( )

BD IMN BDMN

Các điểm cần ý giải ví dụ 2:

+ Chọn mp(IMN) với I trung điểm AB ( BD AC nên chọn mp chứa MN vng góc với BD mp(IMN))

+ Sử dụng giả thiết trung điểm để chứng minh song song

+ Sử dụng định lý: a/ /b b c

a c



  

 

Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, tam giác SAD đều,

(SAD)(ABCD) Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh rằng: AM BP

Giải: Gọi I giao diểm AN BP, H

là trung điểm AD, K giao điểm AN BH

Xét hai tam giác vuông ABN BCP có: AB=BC, BN=CP Suy ra,

ABN BCP

  

,

BAN CBP ANB BPC

   mà

P

I O

N M

E

D

C B

A S

K

H I

P

M

N

B S

A

7 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

0

90 90

BAN  ANB CBPANB hay AN  BP (1)

Vì ∆SAD nên: ( ) ( ) (*)

( )

SH AD

SAD ABCD SH BP BP ABCD

 



  



 

Mặt khác, tứ giác ABNH hình chử nhật nên K trung điểm HB hay MK / /SH(**)

Từ (*) (**) suy ra: BPMH(2)

Từ (1), (2) suy ra: BP(AMN)BP AM

1.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 1.3.1 Phương pháp: Sử dụng định lý

1.3.2.Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD

là hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng:

(SBD)(ABCD)

Giải:+ Ta có: ACBD(1) (giả thiết) + Mặt khác, SO AC(2) (SAC tam giác

cân A O trung điểm AC nên SO là đường cao tam giác)

+ Từ (1) (2) suy ra: AC(SBD)mà

( )

AC  ABCD nên (SBD)(ABCD)

Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD

có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, 2

ADa , SA(ABCD) Gọi M trung điểm AD, I giao điểm AC BM Chứng minh rằng: (SAC)(SMB)

Giải:

O

C

B A

D S

I

M D

S

A

8 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

+ Ta có: SA(ABCD)SABM (1)

+ Xét tam giác vng ABM có: tanAMB AB 2 AM

  Xét tam giác vng ACD có:

1 tan

2

CD CAD

AD

  Ta có:

0

0

cot cot(180 ( )) cot( ) 0

90

AIM AMB CAD

AMB CAD AIM

   

  

 

Hay BM  AC (2)

+ Từ (1) (2) suy ra: BM (SAC) mà BM (SAC) nên (SAC)(SMB)

1.4 Bài tập:

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm

của BC, D điểm đối xứng với A qua I, ( ), 6 2 a

SD ABC SD Chứng minh rằng:

a) (SBC)(SAD)

b) (SAB)(SAC)

Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng tâm O SA  (ABCD) Gọi H, I,

K hình chiếu vng góc A SB, SC, SD a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC)

b) CMR: AH, AK vng góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng

c) CMR: HK  (SAC) Từ suy HK  AI

Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA  (ABC)

a) Chứng minh: BC  (SAB)

9 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB =

SD

a) Chứng minh: SO  (ABCD)

b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC CMR: IJ  (SBD)

Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác Gọi I trung điểm

BC

a) Chứng minh: BC  (AID)

b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh: AH  (BCD)

Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi H hình

chiếu vng góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằng: a) BC  (OAH)

b) H trực tâm tam giác ABC c) 12 12 12 12

OH OA OB OC

d) Các góc tam giác ABC nhọn

Bài tập 7: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác

đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh SIJ chứng minh SI  (SCD), SJ  (SAB)

b) Gọi H hình chiếu vuông góc S IJ CMR: SH  AC

c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM  SA Tính AM theo a

Bài tập 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác

10 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

b) Chứng minh: AC  SK CK  SD

Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3, mặt bên

SBC vuông B, mặt bên SCD vng D có SD = a a) Chứng minh: SA  (ABCD) tính SA

b) Đường thẳng qua A vng góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác định giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK  (SBC), AL  (SCD)

c) Tính diện tích tứ giác AKHL

Bài tập 10: Gọi I điểm đường tròn (O;R) CD dây cung (O) qua I

Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E điểm đối tâm D đường tròn (O) Chứng minh rằng:

a) Tam giác SDE vuông S b) SD  CE

c) Tam giác SCD vuông

Bài tập 11: Cho MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vng góc

với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC

a) Chứng minh: CC (MBD)

b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm BCD

Bài tập 12: Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên

đường thẳng vng góc vơi mp(ABC) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với

Bài tập 13: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) (ABD) vng góc với đáy

11 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

a) Chứng minh: AB  (BCD)

b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vng góc với mp(ADC)

c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC CMR: OH  (ADC)

Bài tập 14: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng, SA  (ABCD)

a) Chứng minh (SAC)  (SBD)

b) Gọi BE, DF hai đường cao SBD CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC)

Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD)

Gọi M, N điểm cạnh BC, DC cho BM =

2

a, DN = 3

a Chứng minh mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với

Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB CC vng góc với

mp(ABC)

a) Chứng minh (ABB)  (ACC)

b) Gọi AH, AK đường cao ABC ABC Chứng minh mặt phẳng (BCCB) (ABC) vng góc với mặt phẳng (AHK)

Bài tập 17: Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Gọi (P) mặt phẳng qua

BC vng góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho SABC hình chóp có mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo 

2 

  Gọi H, I, J hình chiếu vng góc S BC, AB, AC

a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ

b) Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị 

Bài tập 18: Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm

12 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

D

B C

A S a) Mặt phẳng (ABC)  (BCD)

b) Mặt phẳng (ABC)  (ACD)

Bài tập 19: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD) ; M

và N hai điểm nằm cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y

a) Chứng minh điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vng góc với MN  (SAM) Từ suy hệ thức liên hệ x y

b) Chứng minh điều kiện cần đủ để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) có số đo 300 a(x + y) + 3xy = a2 3

Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A

bằng 600, cạnh SC =

a SC  (ABCD) a) Chứng minh (SBD)  (SAC)

b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA K Tính độ dài IK c) Chứng minh BKD900 từ suy (SAB)  (SAD)

II Các dạng tốn góc

2.1 Dạng 1: Góc hai đường thẳng

2.1.1 Phương pháp xác định góc hai đường thẳng a b chéo

Cách 1: (a,b)=(a’,b’) a’, b’ hai đường thẳng cắt song song với a

và b Tức là, chọn hai đường thẳng cắt song song với a b

Cách 2: (a,b)=(a,b’) b’

đường thẳng cắt đường thẳng a song song với b Tức chọn a (hoặc b) điểm A từ chọn đường thẳng qua A song song với b (hoặc a)

13 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

2a 2a

a 3

I N

M

B D

C A

2.1.2 Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SAa 3,SABC Tính góc hai đường thẳng SD BC?

Giải: Ta có: BC//AD BC/ /AD SAD 900

SA BC



 



  Do đó,

(SD BC, )(SD AD, )SDA

Xét tam giác vSAD vng A ta có: tanSDA SA 3 SDA 600 AD

   

Vậy góc hai đường thẳng SD BC 600

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2a Gọi M, N trung điểm BC

AD, MN a 3 Tính góc hai đường thẳng AB CD?

Giải: Gọi I trung điểm BD Ta có:

/ /

( , ) ( , )

/ /

IN AC

AB CD IM IN

IM CD



 





Xét tam giác IMN có:

, 3

IM IN a MN a Do đó,

2

2

2 3 1

cos

2 2

120 a a MIN

a MIN



  

 

Vậy: (AB CD, ) 180 1200 600 Các điểm cần ý giải ví dụ 2:

14 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

+ Một số em đồng (IM IN, ) MINlà chưa xác mà

0 ( , ) 180 MIN IM IN MIN       Đến ta giải quết theo hai hướng:

- Chứng minh góc MIN 900

- Tính cụ thể góc MIN sau dựa vào giá trị góc MIN để kết luận giá trị góc hai đường thẳng AB CD

Ví dụ 3: (A-2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC

tam giác vng A, ABa AC, a 3 Hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABC) trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’?

Giải: Gọi H trung điểm BC

Ta có: '/ / ' ( ', ' ') ' '/ / ( ', ) AA BB

AA B C B C BD

BB BD       Hay,

cos( ', ' ') cos( ', ) cos '

AA B C BB BD HBB

 



Xét tam giác A’B’H có

0

' 90 , ' '

A  A B a,

2 2 ' ' ' 3 2 A H AA AH

BC AA a           

, HB' A H' A B' '2 2a

Do đó,

2 2

' ' 1 cos '

15 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Vậy cos( ', ' ') cos ' 1 4 AA B C  HBB 

Các điểm cần ý giải ví dụ 3:

+ Áp dụng cách để giải toán

+ Điểm mấu chốt tốn tìm độ dài HB’ thơng qua nhận xét A’H vng góc với mp(A’B’C’)

2.2 Dạng 2: Góc đường thẳng mặt phẳng

2.2.1.Phương pháp xác định góc đường thẳng d mặt phẳng (P)

+ Tìm I  d ( )P

+ Tìm A thuộc d kẻ AH vng góc với (P) + ( ,( ))d P AIH

2.2.2.Các ví dụ mẫu:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, (SAB)(ABCD), H trung điểm AB, SH=HC, SA=AB Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD)

Giải: + Ta có: 1 ,

2 2

a AH  AB

SA ABa,

2 5

2 a SH HC  BH BC 

Vì

2

2

4

a

SA AH   AH nên tam giác SAH vuông A hay SA AB mà

(SAB)(ABCD) Do đó,

( )

SA ABCD AC hình chiếu vng góc SC lên mp(ABCD)

a H

D

B C

16 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

+ Ta có: (SC ABCD,( ))SCA, tan 2 2 SA SCA

AC

  Vậy góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) góc có tang 2

2

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt

phẳng đáy, SAa 6 Tính sin góc giữa: a) SC (SAB)

b) AC (SBC)

Giải:

a) Ta có: BC AB (gt) SABC (vì

( )

SA ABCD ) BC(SAB) đó: SB hình chiếu vng góc SC mp(SAB) (SC SAB,( ))BSC Ta có:

2

sin( ,( )) sin

2

SC SAB BSC

BC a

SC SA AC

  

  



b) + Trong mp(SAB) kẻ

(H SB)

AH SB  Theo a)

( )

BC SAB  AH BC nên

( )

AH  SBC hay CH hình chiếu vng góc AC mp(SBC) (AC SBC,( )) ACH

 

+ Xét tam giác vng SAB có: 1 2 12 12 72 . 6 6 AH a 7 AH  AB  SA  a  

+ Vậy sin( ,( )) sin 21

7 AH AC SBC ACH

AC

  

D

B C

A S

17 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

2.3 Dạng 3: Góc hai mặt phẳng

2.3.1.Phương pháp xác định góc hai mặt phẳng cắt (P) (Q)

+ Tìm giao tuyến ( )P ( )Q  

+ Trong (P) tìm a vng góc với ∆, (Q) tìm b vng góc với ∆ a,b cắt I + ((P),(Q))=(a,b)

Chú ý: Trong số trường hợp u cầu tính góc hai mặt phẳng có thể áp dụng cơng thức hình chiếu để tính

Cơng thức hình chiếu: Gọi hình (H) có diện tích S; hình (H’) hình chiếu (H) mặt

phẳng (α) có diện tích S’; φ góc mặt phẳng chứa (H) mp(α) Lúc đó, ta có cơng thức sau: S'S.cos

2.3.2 Các ví dụ mẫu

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a

Tính số đo góc (BA’C) (DA’C)

Giải: + Kẻ BH  A C' , (HA'C)(1) + Mặt khác, ta có: BD AC (gt),

' ( ) '

AA  ABCD AA BD

( ') '

BD ACA BD A C

    (2)

Từ (1) (2) suy ra:

' ( ) '

A C  BDH  A C DH Do đó,

((BA C' ),(DA C' ))(HB HD, ) + Xét tam giác vng BCA’ có:

2 2

1 1 1 3

' 2

2 2

. .

3 3

BH BC BA a

BH a DH a

  

   

C' B'

D'

C A'

A D

B

18 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

+ Ta có:

2 2 cos 120 2 BH BD BHD BHD BH      

Vậy ((BA C' ),(DA C' )) 600 Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng

ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cân AB=AC=a, BAC1200, BB’=a, I trung điểm CC’ Tính cosin góc hai mp(ABC) (AB’I)

Giải: + Ta thấy tam giác ABC hình

chiếu vng góc tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC) Gọi φ góc hai

mặt phẳng (ABC) (AB’I) Theo cơng thức hình chiếu ta có:

' cos ABC AB I S S  

+ Ta có:

2

1 3

. . .sin120

2 4

ABC

a

S  AB AC 

2 5

, 2 a

AI  AC CI  AB' AB2 BB'2 a 2, ' ' '2 '2 13. 2 a IB  B C IC 

Suy ra: Tam giác AB’I vuông A nên

2 ' 1 10 . '. 2 4 AB I a

S  AB AI 

Vậy ' 3 cos 10 ABC AB I S S  

2.4 Bài tập

Bài tập 1: (B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a,

, 3,( ) ( )

SAa SBa SAB  ABCD Gọi M, N trung điểm AB BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN?

19 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2 3 3 a

Tính góc SA mp(ABC)

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC, SA(ABC)

a) Xác định góc (ABC) (SBC)

b) Giả sử tam giác ABC vuông B xác định góc hai mp (ABC) (SBC)

Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a,

SA=SB=SC=SD=a Tính cosin góc (SAB) (SAD)

Bài tập 5: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O; SO 

(ABCD) Gọi M, N trung điểm cạnh SA BC Biết

0

(MN ABCD,( )) 60 a) Tính MN SO

b) Tính góc MN (SBD)

Bài tập 6: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a; SA  (ABCD)

SA = a Tính góc giữa:

a) SC (ABCD) b) SC vaø (SAB) c) SB vaø (SAC) d) AC vaø (SBC)

Bài tập 7: Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy tam giác cạnh a, AA  (ABC)

Đường chéo BC mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300 a) Tính AA

b) Gọi N trung điểm cạnh BB Tính góc MN (BAC)

Bài tập 8: Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC tam giác vng cân A; AA 

(ABC) Đoạn nối trung điểm M AB trung điểm N BC có độ dài a, MN hợp với đáy góc  mặt bên BCCB góc 

20 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

b) Chứng minh rằng: cos = 2sin

Bài tập 9: Cho hình chóp SABC, có đáy ABC tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA

 (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB AC a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC)

b) Tính góc mặt phẳng (SEF) (SBC)

Bài tập 10: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn

đường kính AB = 2a; SA  (ABCD) SA = a a) Tính góc mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (SCD)

Bài tập 11: Cho hình vng ABCD cạnh a, SA  (ABCD) SA = a Tính góc

các cặp mặt phẳng sau:

a) (SBC) (ABC) b) (SBD) (ABD) c) (SAB) vaø (SCD)

Bài tập 12: Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = 3

a ; SA  (ABCD) vaø SO =

a

a) Chứng minh ASC vuông

b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC)

III Các dạng toán khoảng cách

21 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

+ Tìm mp(Q) chứa M vng góc với mp(P) theo giao tuyến ∆

+ Từ M hạ MH vng góc với ∆ (H) + MH = d(M,(P))

Cách 2:

+ Kẻ ∆//(P) Ta có: d(M,(P))= d(∆,(P))

+ Chọn N  Lúc đó, d M, P   d( ,(P))=dN, P  Cách 3:

+ Nếu MN( )P I Ta có:   

 

 

d M, P

d , P

MI

N  NI

+ Tính dN, P  MI NI

+ d M, P   MI.dN, P 

NI 

Chú ý: Điểm N ta phải chọn cho tìm khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P) dễ tìm khoảng cách từ M đến mp(P)

3.1.2 Các ví dụ mẫu *) Ví dụ cho cách 1:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có

cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc α Tính

( ,( ))

d A SBC theo a α

Giải: + Gọi I trung điểm BC

+ Ta có: SI BC BC (SAI)

AI BC

  



  SIA

I A

B

C S

22 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

+ Kẻ AH SI (H SI) mà SI (SAI)(SBC) nên AH (SBC) Do đó,

( ,( ))

d A SBC  AH

+ Mặt khác, xét tam giác vuông AHI có: 3

.sin .sin 2 a

AH AI   

Vậy, ( ,( )) 3.sin

2 a

d A SBC  AH  

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD

là hình vng cạnh a, SA(ABCD), SA=2a, a) Tính d A SBC( ,( ))

b) Tính d A SBD( ,( ))

Giải: a) Kẻ AH SB (H SB) (1)

Ta có: SA(ABCD)SABC (*) AB BC (gt) (**) Từ (*) (**) suy ra:

( ) BC AH (2)

BC  SAB  

Từ (1) (2) ta có: AH (SBC) hay d A SBC( ,( )) AH

+ Mặt khác, xét tam giác vng SAB có: 1 2 12 12 52 2

4 5

a AH

AH  AB  SA  a  

Vậy, ( ,( )) 2 5 a d A SBC 

b) Gọi O ACBD

Kẻ AK SB (KSO) (1)

Ta có: SA(ABCD)SABD (*) ACBD (gt) (**) Từ (*) (**) suy ra:

( ) BC AK (2)

BD SAC  

O

D

C B

A S

23 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Từ (1) (2) ta có: AK (SBD) hay d A SBD( ,( ))AK

+ Mặt khác, xét tam giác vng SAO có: 2 2 12 92

4

a AK

AK  AO SA  a  

Vậy, ( ,( ))

a

d A SBD 

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB đều,

(SAB)(ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Tính d I SFC( ,( ))

Giải: Gọi K  FCID + Kẻ IH SK (HK) (1)

+ Ta có:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

SAB ABCD

SAB ABCD AB

SI ABCD

SI SAB

SI AB

 



    



 



 

(*)

SI FC

 

+ Mặt khác, Xét hai tam giác vng AID DFC có: AI=DF, AD=DC Suy ra,

AID DFC

    AIDDFC ADI, DCF mà

0

90 90

AIDADI  DFC ADI  hay FC ID (**)

+ Từ (*) (**) ta có: FC(SID)IH FC (2) Từ (1) (2) suy ra: IH (SFC)

hay d I SFC( ,( ))IH

+ Ta có:

2 2

3 5 1 1 1 5 5

, ,

2 2 5

3 5 10

a a a

SI ID DK

DK DC DF a a

IK ID DK

      

   

K F

I

C S

B

A D

24 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –

Anh – Sử - Địa tốt nhất! J

I

M

B S

D

A C

H

Do đó, 12 12 12 322 3 2

9 8

a IH

IH  SI  IK  a   Vậy,

3 2 ( ,( ))

8 a d I SFC 

*) Ví dụ cho cách 2:

Ví dụ 1: (B-2011) Cho lăng trụ

ABCD.A’B’C’D’, ABCD hình chữ nhật, ABa AD, a 3 Hình chiếu vng góc A’ (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Tính d B( ',( 'A BD))

Giải: + Gọi O giao điểm AC

và BD

Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD) Do

đó, d B( ',( 'A BD))d B C A BD( ' ,( ' ))d C A BD( ,( ' ))+ Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ

, (H BD) (1)

CH BD  Mặt khác, ' ( )

' (2) A O ABCD

A O CH 

 

Từ (1) (2) suy ra: CH ( 'A BD)d B( ',( 'A BD))CH

+ Xét tam giác vng BCD có: 1 2 12 12 42 3

3 4

a CH

CH  BC CD  a  

Vậy: ( ',( ' )) 3

4 a d B A BD CH 

Ví dụ 2: (A-2013) Cho hình chóp S.ABC

có đáy ABC tam giác vng A,

30

ABC  , SBC tam giác cạnh a, (SBC)(ABC) Tính d C SAB( ,( ))

Giải: + Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình

chữ nhật ABDC Gọi M, I, J trung điểm BC, CD AB Lúc đó, CD//(SAB) hay

C' B'

D'

O

C B

D A

A'

25 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

E

B M

A

D C

S

H

( ,( )) ( ,( )) ( ,( ))

d C SAB d CD SAB d I SAB + Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ

, (H SJ) (1)

IH SJ 

Mặt khác, ta có: ( )

( ) (2)

IJ AB

SM ABC AB SM AB SIJ AB IH

 



   

   

Từ (1) (2) suy ra: IH (SAB) hay d C SAB( ,( ))IH

+ Xét tam giác SIJ có:

2

SIJ

SM IJ

S IH SJ SM IJ IH

SJ

    Với:

0 .sin 30

2 a

IJ AC BC  , 3 2 a

SM  , 2 13

4 a

SJ  SM MJ 

Do đó: . 39

13 SM IJ a IH

SJ

  Vậy ( ,( )) 39

13 a d C SAB 

*) Ví dụ cho cách 3:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB=AD=a,

CD=2a, SD(ABCD), SD=a a) Tính d D SBC( ,( ))

b) Tính d A SBC( ,( ))

Giải: Gọi M trung điểm CD, E giao

điểm hai đường thẳng AD BC a) Trong mặt phẳng (SBD) kẻ

, (H SB) (1)

DH SB 

+ Vì 1

2

BM AD CDTam giác BCD vuông B hay BC BD (*) Mặt khác,

( ) (**)

26 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

M B

C

A

S

N H

( ) (2)

BC  SBD BCDH Từ (1) (2) suy ra: DH (SBC) hay

( ,( ))

d D SBC DH

+ Xét tam giác vng SBD có: 1 2 12 1 2 32 2 3

2 3

a DH

DH  SD  BD  a  

Vậy, ( ,( )) 2 3

3 a d D SBC 

b) Ta có: ( ,( )) 1 ( ,( )) 1 ( ,( )) 3

( ,( )) 2 2 3

d A SBC AE AB a

d A SBC d d SBC

d D SBC  DE CD    

Vậy, ( ,( )) 3

3 a d A SBC 

Ví dụ 3: (D-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA=3a,

BC=4a, (SBC)(ABC SB), 2a 3,SBC300 Tính d B SAC( ,( ))

Giải: + Trong mặt phẳng (SBC) kẻ SM BC (MBC); mặt phẳng (ABC) kẻ

(N C)

MN  AC A ; mặt phẳng (SMN) kẻ MH SN (NSN) Suy ra,

( ) ( ,( ))

MH  SAC d M SAC MH

+ Ta có: SM SB.sin 300 a 3,

.cos30

BM SB  aCM a,

5

AB CM a

MN

AC

  Xét tam giác vuông SMN có:

2 2

1 1 1 28 3

9 28

3 ( ,( ))

28

a MH

MH SM MN a

a d M SAC

    

27 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

+ Mặt khác, ta có:

( ,( ))

4 ( ,( ))

6 ( ,( )) 4 ( ,( ))

7 d B SAC BC

d M SAC MC

a d B SAC d M SAC

 

  

Vậy ( ,( )) 6

7 a d B SAC 

3.2.Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo

3.2.1 Cách tính khoảng cách hai đường thẳng chéo d d’ Cách 1:

+ Xác định đường thẳng vng góc chung d d’ + Tính độ dài đoạn vng góc chung

Cách 2:

+Tìm mp(P) chứa d’ song song với d

+ Khi d d d( , ')d d P( ,( ))d A P( ,( )) với A điểm thuộc d

Chú ý: mp(P) có sẵn phải dựng (Cách dựng: qua điểm

'

Bd dựng đường thẳng ∆ song song với d, lúc mp(P)≡(d’,∆)) 3.2.2 Các ví dụ mẫu

*) Ví dụ cho cách

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB=a, tất

cạnh cịn lại 3a Tính d AB CD( , ) Giải:

+ Gọi I, J trung điểm CD AB + Vì ACD ACD tam giác nên:

, ( ) (1)

CDAI CDBI CD AIB CDIJ

J

I B

C

28 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Mặt khác, ACD ACD nên tam giác AIB cân I Do đó, IJ AB (2)

+ Từ (1), (2) suy ra: IJ đường vng góc chung AB CD

+ Ta có:

2 2

2 3 26

2 2

a a a

IJ  AI AJ       

 

 

Vậy ( , ) 26

2

a

d AB CD 

Ví dụ 2: (A_2010) Cho hình chóp S.ABCD

có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M, N trung điểm AB AD, H

là giao điểm CN DM, SH (ABCD SH), a Tính d DM SC( , )

Giải: + Trong mp(SCH) kẻ HKSC(1), (K SC)

+ Mặt khác, ( ) (*)

( )

SH ABCD

SH DM

DM ABCD

 

 



 

Xét hai tam giác vuông AMD DNC có AM=DN, AD=DC AMD DNC Từ ta

có: 0

0

90 90

90

AMD DNC

ADM DCN DNC ADM NHD

AMD ADM

 



     



  

hay DM CN (**)

Từ (*), (**) suy ra: DM (SCH)DM HK (2)

Từ (1), (2) suy ra: HK đoạn vng góc chung DM SC

+ Ta có: HCD DCN

2

2

2

3

CD a a

HC

CN CD DN

   



H

M N

C S

D

A B

29 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Xét tam giác vng SHC ta có:

2 2

1 1 15

5

a HK

HK  HC HS  a  

Vậy ( , ) 15

5

a

d DM SC HK 

*) Ví dụ cho cách

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’,

đáy ABC tam giác cạnh a, ' 2 2 a AA  Tính d AB CB( , ')

Giải: + Gọi I, J trung điểm AB

và A’B’ + Ta có:

/ /( ' ') ( , ') ( ,( ' ')) ( ,( ' '))

AB CA B d AB CB d AB CA B

d I CA B

  



+ Trong mp(CIJ) kẻ IH CJ (1), (H CJ)

Ta có: A B' '(IJ) (vì ABC A’B’C’ hình

lăng trụ đứng) IC A B' ' (vì ∆ABC tam giác đều) nên

' ' ( ) ' ' (2)

A B  CIJ IH A B

Từ (1), (2) suy ra: IH (CA B' ') hay d AB CB( , ')IH

+ Xét tam giác vng CIJ có:

2 2 2

1 1 10 30

10

3

a IH

IH  IC  IJ  a a  a  

Vậy ( , ') 30

10

a

d AB CB IH 

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác

S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên a 2 Tính d AD SB( , )

J I

C'

B' A

B

C

A'

H

J

I O

B S

A

D C

30 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Giải: + Vì AD / / SBC d AD SB( , )d AB SBC( ,( ))+ Gọi O giao điểm AC BD I, J trung điểm AD BC

+ Trong mp(SIJ) kẻ IH SJ H,( SJ) (1)

Theo giả thiết ta có:

( )

( )

/ /

(2)

SO ABCD SO BC

BC SIJ

IJ AB IJ BC

IH BC

   

 



  

 

Từ (1), (2) suy ra:

( )

IH  SBC hay d AD SB( , )IH

+ Xét tam giác SIJ có:

2

SIJ

SO IJ

S IH SJ SO IJ IH

SJ

    Với: IJ=a,

2 2

,

2

a

SO SA AO a SJ  SB BJ  Suy ra: 21

7

SO IJ a

IH

SJ

 

Vậy ( , ) 21

7

a

d AD SB IH 

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAD tam

giác đều, (SAD) vng góc với mặt phẳng đáy Tính d SA BD( , )

Giải: + Qua A kẻ đường thẳng d song

song với BD Gọi O giao điểm AC BD; I, M trung điểm AD OD; N giao điểm d IM

+ Ta có:

( , ) (( , ), ) ( ,( , ))

d SA BD d SA d BD d M SA d

 



+ Trong mp(SMN) kẻ

(1), (H SN)

MH SN 

N

M

I O

C S

D

A B

31 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Theo giả thiết: ( ) (*)

( ) ( )

SI AD

SI ABCD SI d

SAD ABCD

 

   



  Mặt khác ta có:

/ /

(**) / /

d BD

BD AO d MN

AO MN       

Từ (*), (**) suy ra: d (SMN) d MH (2) Từ (1), (2)

suy ra: MH (SA d, )

+ Xét tam giác SMN có:

2

SMN

SI MN

S MH SN SI MN MH

SN

    với

2

3 10

, ,

2

a a a

SI  MN  AO SN  SI IN  Do đó, 15

5

SI MN a

MH

SN

 

Vậy ( , ) 15

5 a d SA BD 

Ví dụ 4: (A-2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông tai B, AB=BC=2a,

hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính d AB SN( , )

Giải: + Gọi I trung điểm BC

Do MN//BC nên N trung điểm AC Do đó, IN//AB hay d AB SN( , )d AB SNI( ,( )) + Trong mp(ABC) kẻ AJ IN J,( IN) (*)

Trong mp(SAJ) kẻ AH SJ H,( SJ) (1)

+ Theo giải thiết ta có:

( ) ( )

( ) (**)

( ) ( )

SAB ABC

SA ABC SA IN

SAC ABC

 

   



 

Từ (*), (**) ta có: IN (SAJ)IN AH (2) Từ (1), (2) ta có: AH (SIN)d AB SN( , ) AH + Ta có:

0

32 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

+ Xét tam giác vuông SAJ có:

2 2

1 1 13 12

13

12 AH a

AH  SA  AJ  a  

Vậy ( , ) 156

13

a

d AB SN  AH 

3.3 Bài tập

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD, SA=a, cạnh cịn lại 3 2 a

Chứng minh: SASC Tính d S ABCD( ,( ))

Bài tập 2: (D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác vuông

B, AB=a, AA’=2a Gọi M trung điểm A’C’, I giao điểm AM A’C Tính

( ,( ))

d A IBC

Bài tập 3: Cho hình chóp SABC, SA3 ,a SA(ABC AB), 2 ,a ABC1200 Tính

( ,( ))

d A SBC

Bài tập 4: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang ,

90

ABC BAD , BA=BC=a, AD=2a, SA(ABCD), SAa 2 Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính d H SCD( ,( ))

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a,

60

BCD đường cao SO=a Tính d AD SB( , )

Bài tập 6: (D-2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng

cân B, BA=BC=a, AA'a 2 Gọi M trung điểm BC Tính d AM B C( , ' )

Bài tập 7: (B-2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh

a, E điểm đối xứng với D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC Chứng minh rằng: MN BD Tính d MN AC( , )

Bài tập 8: Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC = a Gọi I trung điểm

33 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, SA 

(ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD b) AC SD

Bài tập 10: Cho tứ diện SABC có SA  (ABC) Gọi H, K trực tâm tam

giác ABC SBC

a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC  (BHK), HK  (SBC)

c) Xác định đường vng góc chung BC SA

Bài tập 11: a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC dường

vng góc chung AB CD đường nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD

b) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD tứ diện ABCD đường vng góc chung AB CD AC = BD, AD = BC

Bài tập 12: Cho hình vng ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS 

(ABCD) vaø IS =

2

a Gọi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng:

a) NP vaø AC b) MN vaø AP

Bài tập 13: Cho hình chóp SABCD, có SA  (ABCD) SA = a 6, đáy ABCD nửa

34 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với mp(SAD) cách (SAD) khoảng

4

a

Bài tập 14: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) AA = a, đáy ABC tam

giác vuông A có BC = 2a, AB = a

a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC)

c) Chứng minh AB  (ACCA) tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC)

Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD)

SA = 2a

a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD)

b) M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD)

c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự E, F Cho biết AD cách (P) khoảng

2

a , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) diện tích tứ giác BCFE

Bài tập 16: Cho hai tia chéo Ax, By hợp với góc 600, nhận AB = a làm đoạn

vng góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mp(ABD)

b) Tính khoảng cách AC BD

Bài tập 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD600 Gọi

O giao điểm AC BD Đường thẳng SO  (ABCD) SO =

4

35 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa tốt nhất!

a) Chứng minh (SOF)  (SBC)