Phân phối ổn định và các phương pháp ước lượng chỉ số đuôi của phân phối ổn định

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN PHÚC KHANG PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG CHỈ SỐ ĐUÔI CỦA PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG SƠN Vinh, 2010 1 LỜI CẢM ƠN! - Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình và hết lòng giúp đỡ của TS Lê Hồng Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu - Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong khoa Toán của trường Đại học Vinh, đặc biệt là PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, PGS.TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hoà, quý thầy cô khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh, các bạn học viên cao học Toán khoá 16 đã tạo điều kiện giúp đỡ và góp ý chân thành để tác giả hoàn thành luận văn - Cuối cùng, tác giả xin ghi nhớ công lao to lớn của gia đình và người thân đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu Vì thời gian có hạn, bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn quan tâm vấn đề này Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả Nguyễn Phúc Khang 2 MỤC LỤC Trang Mục lục Lời cảm ơn 2 Mở đầu 2 Chương I ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH 22 1 Định nghĩa và hàm mật độ, hàm phân phối của phân phối ổn định 1.1 Các định nghĩa về phân phối ổn định Định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định nghĩa 1.1.3 Định nghĩa 1.1.4 Định nghĩa 1.1.5 Định nghĩa 1.1.6 1.2 Hàm mật độ và hàm phân phối của phân phối ổn định Định lý 1.2.1 Định lý 1.2.2 Hệ quả 1.2.2 Định lý 1.2.3 2 Các tính chất cơ bản của phân phối ổn định 2.1 Moment và tính chất đuôi “heavy-tail” Định lý 2.1.1 Định lý 2.1.2 2.2 Các phép toán của đại lượng ngẫu nhiên ổn định 3 Mệnh đề 2.2.1 Mệnh đề 2.2.2 2.3 Định lý giới hạn trung tâm dạng tổng quát Định lý 2.3.1 Định lý 2.3.2 Chương II ƯỚC LƯỢNG CHỈ SỐ ĐUÔI CỦA PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH 2.1 Mô phỏng đại lượng ngẫu nhiên của phân phối ổn định Định lý 2.1.1 Bổ đề 2.1.3 Định lí 2.1.4 2.2 Các phương pháp ước lượng chỉ số ổn định 2.2.1 Phương pháp ước lượng Hill 2.2.2 Phương pháp ước lượng Zolotarev 2.2.3 Phương pháp ước lượng DPR KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 4 MỞ ĐẦU Phân phối ổn định là một lớp phân phối xác suất phong phú với tính chất đuôi “heavy-tail” và nhiều tính chất toán học thú vị khác, cùng với định lý giới hạn trung tâm Lớp các phân phối ổn định được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như kinh tế, tài chính, bảo hiểm,…và nó đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà khoa học Trong thời gian gần đây, một trong những tính chất đặc trưng của phân phối ổn định đó là tính chất đuôi “heavy-tail”, nghĩa là đuôi của phân phối ổn định “nặng” hơn đuôi của phân phối chuẩn Tuy nhiên việc nghiên cứu phân phối ổn định gặp nhiều khó khăn hơn so với phân phối chuẩn Vì một thực tế rằng, người ta không đưa ra biểu thức giải tích cụ thể của hàm mật độ, hàm phân phối Mặc dù vậy cùng với sự phát triển của công nghệ thông tin, việc tính toán các giá trị hàm mật độ, hàm phân phối có thể thực hiện được th ông qua các phần mềm chuyên dụng Với những ứng dụng rộng rãi của phân phối  - ổn định, việc ước lượng chỉ số đuôi  của phân phối là cần thiết và có nhiều ý nghĩa thực tiễn Như chúng ta đã biết, ước lượng Hill là một trong những công cụ phổ biến nhất dùng để ước lượng tham số đuôi của những phân phối có tính chất heavy-tail B Hill đã công bố công trình nghiên cứu của mình về phương pháp ước lượng này năm 1975 Tuy nhiên một nhược điểm của phương pháp ước lượng Hill là cần phải khảo sát một mẫu có cỡ rất lớn, đặc tính này của ước lượng Hill là một khó khăn lớn cho các nhà thống kê khi áp dụng vào thực tế Tuy nhiên, trong những năm cuối thế kỷ XX, đầu thế kỷ XXI, nhiều nhà nghiên cứu thống kê đã cải tiến lại phương pháp Hill thành nhiều mô hình ước lượng khác nhau phù hợp với từng phân phối heavy-tail, điển hình như P Hall trong [7], S Resnick và C Starica trong [16], E Hausler và J Teugels trong [8] 5 Dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Lê Hồng Sơn, chúng tôi đã chọn đề tài:” Phân phối ổn định và các phương pháp ước lượng chỉ số đuôi của phân phối ổn định ” Ngoài phần mở đầu, kết luân, luận văn được trình bày thành hai chương: Chương 1 Đại cương về phân phối ổn định Chương này trình bày những khái niệm cơ bản và các công cụ cần thiết để nghiên cứu về phân phối ổn định Chương 2 Các phương pháp ước lượng chỉ số đuôi của phân phối ổn định Trình bày 3 phương pháp về ước lượng chỉ số đuôi của phân phối ổn định Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của TS Lê Hồng Sơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong khoa Toán của trường Đại học Vinh, đặc biệt là PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, PGS.TS Phan Đức Thành, TS Nguyễn Trung Hoà, quý thầy cô khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh, các bạn học viên cao học Toán khoá 16 đã tạo điều kiện giúp đỡ và góp ý chân thành để tác giả hoàn thành luận văn Cuối cùng tác giả xin ghi nhớ công lao to lớn của gia đình và người thân đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu Vì thời gian có hạn, bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn quan tâm vấn đề này Vinh, tháng 12 năm 2010 Tác giả 6 KẾT LUẬN: Luận văn đã thu được các kết quả chính sau: 1 Đã trình bày có hệ thống các khái niệm cơ bản của phân phối ổn định 2 Dùng công cụ Excel để mô phỏng các đại l ượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định 3 Sử dụng các phương pháp ước lượng Hill, Zolotarev và DPR để đánh giá ước lượng của tham số mũ  của phân phối ổn định Hướng mở của luận văn: 1 Tiếp tục nghiên cứu các phương pháp ước lượng khác, sử dụng các phần mềm ứng dụng khác để mô phỏng các đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định và ước lượng tham số mũ của phân phối ổn định 2 Sử dụng các phần mềm đã có để mô phỏng và ước lượng tham số mũ của các model toán học, như model: ARMA, ARCH, GARCH 7 Chương 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH Phân phối ổn định là một lớp phân phối xác suất phong phú với tính chất đuôi “heavy-tail” và nhiều tính chất toán học thú vị khác Lớp phân phối này được mô tả bởi Paul Levy trong các công trình nghiên cứu của ông về tổng của các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối năm 1920 Một tính chất quan trọng của phân phối chuẩn được nêu trong định lý giới hạn trung tâm dạng tổng quát Định lý phát biểu rằng, phân phối giới hạn của tổng chuẩn hóa các đại lượng ngẫu nhiên cùng phân phối nếu có thì chỉ có thể là phân phối ổn định Từ tính chất quan trọng đó, cùng với các nghiên cứu sau này về phân phối giới hạn, lớp các phân phối này đã được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết xác suất cũng như trong lý thuyết thống kê toán học Tuy nhiên, việc nghiên cứu lớp các phân phối ổn định gặp rất nhiều khó khăn vì một thực tế rằng: trừ một số trường hợp đặc biệt như phân phối Gauss, Cauchy, Levy… nói chung hàm mật độ và hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên ổn định không có biểu thức giải tích cụ thể Tuy nhiên phân phối ổn định mô tả khá đầy đủ thông qua hàm đặc trưng Ngoài ra với sự phát triển của khoa học kỹ thuật đã có nhiều chương trình máy tính đáng tin cậy để tính toán các giá trị của hàm phân phối và hàm mật độ của phân phối ổn định Trong chương này, chúng tôi trình bày các định nghĩa và một số tính chất cơ bản của phân phối ổn định Đặc biệt mô tả cụ thể tính chất đuôi heavy-tail của phân phối ổn định 1 Định nghĩa và hàm mật độ, hàm phân phối của phân phối ổn định 1.1 Các định nghĩa về phân phối ổn định Như chúng ta đã biết, một tính chất quan trọng của đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn (hay phân phối Gauss) là tổng của hai đại lượng ngẫu nhiên có cùng phân phối chuẩn cũng là một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối 8 chuẩn Nghĩa là, nếu đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, X1 và X 2 độc lập có cùng phân phối với X và bất kỳ hằng số dương a, b, luôn tồn tại số dương c và d  R sao cho: d (1.1) aX1 bX 2 cX  d, Như ta đã biết, phân phối chuẩn là một trường hợp đặc biệt của lớp các phân phối ổn định Tuy nhiên, tính chất đặc trưng (1.1) của phân phối chuẩn cũng đúng đối với lớp các phân phối ổn định Tính chất đó thể hiện qua các định nghĩa sau của phân phối ổn định Định nghĩa 1.1.1 Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn định nếu với mọi X1 và X 2 độc lập có cùng phân phối với X và với bất kỳ hằng số dương a , b, luôn tồn tại số dương c và d  R sao cho (1.1) thỏa mãn Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn định theo nghĩa hẹp nếu (1.1) đúng với d 0 Định nghĩa 1.1.2 Hai đại lượng ngẫu nhiên X và Y được gọi là đồng dạng nếu tồn tại các hằng số A  0 và B  R sao cho d X  AY  B d bằng nhau theo nghĩa phân phối "  " Khi đó, đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn có thể được phát biểu rằng: Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối ổn định nếu với mọi X1 và X 2 độc lập có cùng phân phối với X , thì với mọi hằng số dương a và b, aX1  bX 2 luôn đồng dạng với X Như chúng ta đã biết, phân phối ổn định, trừ một số trường hợp đặc biệt như phân phối Gauss, phân phối Cauchy hay phân phối Levy, đều không có biểu thức giải tích cụ thể cho hàm mật độ và hàm phân phối Tuy nhiên, lớp các phân phối ổn định có thể được mô tả một cách đầy đủ thông qua công cụ hàm đặc trưng, (xem [14]) 9 Định nghĩa 1.1.3 Đại lượng ngẫu nhiên X đươc gọi là  - ổn định nếu hàm đặc trưng của X có dạng: exp    t  1 i  tan  sign ( t)  i  t  ,2   1,    1,  ( t )    2    exp    t 1 i  sign (t) ln t   i  t  ,      với 0   2,  1  1,   0,   R,  1, u 0,  u 0, Sign (u )  0, u  0  1,  Khi đó ta viết X ~ S(;  ;; ) Nhận xét: định nghĩa 1.1.3 cho thấy rằng, một đại lượng ngẫu nhiên có phân phối ổn định nói chung phụ thuộc vào 4 tham số: tham số ổn định hoặc tham số mũ đặc trưng   (0; 2]; tham số về độ lệch   [ 1; 1] ; tham số địa phương   0 và tham số định vị   R Phân phối của X là đối xứng quanh gốc tọa độ O khi  0 và  0 , trong trường hợp này hàm đặc trưng X có dạng đơn giản:  ( t ) e  t  Sau đây ta mô tả một số trường hợp đặc biệt của phân phối ổn định Ví dụ 1 Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Gauss, kí hiệu N ( ,  2) , nếu có một hàm mật độ f (x)  1 exp   (x  )2  2  , với x  R 2a   4a  Dễ dàng nhận thấy, phân phối Gauss là một phân phối 2  ổn định, với ( 2,  0,   2 a ,  ), nghĩa là X ~ S (2; 0; 2  ; ) Ví dụ 2 Đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Cauchy, kí hiệu Cauchy ( ,  ) , nếu hàm mật độ ... cụ cần thiết để nghiên cứu phân phối ổn định Chương Các phương pháp ước lượng số đuôi phân phối ổn định Trình bày phương pháp ước lượng số đuôi phân phối ổn định Luận văn hoàn thành trường... II ƯỚC LƯỢNG CHỈ SỐ ĐUÔI CỦA PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH 2.1 Mô đại lượng ngẫu nhiên phân phối ổn định Định lý 2.1.1 Bổ đề 2.1.3 Định lí 2.1.4 2.2 Các phương pháp. .. CƯƠNG VỀ PHÂN PHỐI ỔN ĐỊNH 22 Định nghĩa hàm mật độ, hàm phân phối phân phối ổn định 1.1 Các định nghĩa phân phối ổn định Định nghĩa 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Định