Tổng của các đại lượng ngẫu nhiên độc lập

Mục lục Trang Lời mở đầu 2 Phần 1: Những kiến thức cơ sở 3 Phần 2: Một số bất đẳng thức cơ bản và sự hội tụ của 8 chuỗi các đại lợng ngẫu nhiên độc lập. 2.1.Một số bất đẳng thức cơ bản 8 2.2.Sự hội tụ của chuỗi các đại lợng ngẫu nhiên 17 độc lập Phần 3: Một số mệnh đề về tổng các đại lợng ngẫu 23 nhiên độc lập Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 Lời mở đầu 1 Trong lý thuyết xác suất, tổng của các đại lợng ngẫu nhiên độc lập đóng một vai trò quan trọng. Sự hội tụ của tổng các đại lợng ngẫu nhiên đóng vai trò then chốt trong Luật số lớn và một số vấn đề khác. Mục đích của khoá luận này là nghiên cứu các vấn đề xung quanh tổng của các đại lợng ngẫu nhiên độc lập, từ đó áp dụng vào chứng minh một số mệnh đề liên quan đến sự hội tụ của tổng đó. Khoá luận bao gồm 3 phần: Phần 1: Những kiến thức cơ sở Trong phần này, chúng tôi trình bày những kiến thức có liên quan đến nội dung của khoá luận. Phần 2: Một số bất đẳng thức cơ bản và sự hội tụ của tổng các đại lợng ngẫu nhiên độc lập Trong phần này chúng tôi trình bày một số bất đẳng thức cơ bản và một số dạng hội tụ của chuỗi các đại lợng ngẫu nhiên độc lập. Phần 3: Một số mệnh đề về tổng của các đại lợng ngẫu nhiên độc lập ở phần này chúng tôi đa ra một số mệnh đề về sự hội tụ của chuõi các đại lợng ngẫu nhiên độc lập và cách chứng minh chúng. Khoá luận này đợc hoàn thành tại trờng Đại học Vinh vào tháng 5 năm 2007 dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Quảng. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn, ngời đã tận tình chỉ bảo cho tác giả hoàn hoàn thành khoá luận này. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán của trờng Đại học Vinh cùng các thầy cô trong tổ xác suất nói riêng, các thầy cô giáo giảng dạy tại khoaToán nói chung và gia đình, bạn bè đã giúp đỡ tác giả trong suốt khoá học cũng nh trong thời gian thực hiện khoá luận này. Do còn hạn chế về năng lực và khả năng tự nghiên cứu của bản thân nên khoá luận không thể tránh khỏi những thiếu xót, kính mong đợc sự góp ý của quý thầy cô và bạn bè để khoá luận đạt đợc kết quả tốt hơn. Vinh, tháng 5 năm 2007 Tác giả Phần 1 2 Những kiến thức cơ sở 1.1 .Định nghĩa. Giả sử , P ( ) là họ tất cả các tập con của . Khi đó F P ( ) gọi là - đại số nếu: i) F ii) A F suy ra \ A = A F iii)Nếu A n F (n=1,2, ) thì = 1n n A F 1.2. Định nghĩa. Giả sử , F là một - đại số các tập con của . nh xạ P: F R gọi là một độ đo xác suất trên F nếu : i) P(A) 0, A F ii) P( )=1 iii) Nếu A n F (n=1,2 .); A i A j = (i j) thì P( = 1n n A )= = 1 )( n n AP 1.3.Định nghĩa. Giả sử , F là một -đại số các tập con của và P: F R là độ đo xác suất. Khi đó bộ ba ( , F, P) gọi là một không gian xác suất. 1.4. Định nghĩa. Giả sử ( , F, P) là không gian xác suất. B )( R là -đại số Borel trên R. Khi đó ánh xạ X: R đợc gọi là một đại lợng ngẫu nhiên (ĐLNN) nếu )( 1 BX F, với mọi B B )R( . 1.5. Định nghĩa. Hai biến cố A, B gọi là độc lập nếu P(AB)=P(A)P(B) 1.6.Định nghĩa. Họ hữu hạn các biến cố A 1 ,A 2 , ,A n gọi là độc lập (toàn cục) 3 nếu với mọi 2 k n và mọi bộ k chỉ số 1 i 1 < <i k n ta có ).() .().() ( 2 1 2 1 k iii k iii APAPAPAAAP = Họ tuỳ ý các biến cố ( ) Ii i A gọi là độc lập (toàn cục) nếu mọi họ con của nó đều hữu hạn. 1.7. Định nghĩa. Họ các -đại số (F i ) Ii F gọi là độc lập (độc lập đôi một) nếu với mọi i A F i thì ( ) Ii i A là họ biến cố độc lập (độc lập đôi một). Họ ĐLNN ( ) Ii i X gọi là độc lập nếu họ -đại số ( F ) Iii X độc lập. 1.8.Định nghĩa: Giả sử dãy (X n ) là dãy ĐLNN xác định trên ( , F, P) . Ta nói (X n ) hội tụ hầu chắc chắn về ĐLNN X nếu: ( ) ( ) { } 1: = X n XP , kí hiệu: XX cch n ( ) n . 1.9. Định lý. Dãy ĐLNN (X n ) hội tụ hầu chắc chắn(h.c.c) đến ĐLNN X, kí hiệu XX n h.c.c nếu với mọi 0 > : )(0) (sup n XX P k nk 1.10.Hệ quả. Nếu chuỗi <> = ))( 1 n n XXP với mọi 0 > thì XX cch n 1.11. Định nghĩa. Dãy (X n ) gọi là hội tụ theo xác suất đến ĐLNN X, kí hiệu X n X P , nếu với mọi 0 > : P( 0) > XX n (n ) 4 1.12. Định nghĩa. Dãy (X n ) gọi là hội tụ theo trung bình cấp r (r >0) đến ĐLNN X, kí hiệu X n X L r nếu : E )(0 n r n XX 1.13. Định nghĩa. Giả sử X n có hàm phân phối F n (x) , X có hàm phân phối F(x) và C(F) là tập tất cả x R mà tại đó F(x) liên tục. Khi đó, nếu ( ) ( ) xx n FF n = lim với mọi )(FCx thì ta nói X n hội tụ theo phân phối đến X, kí hiệu X n X D . 1.14. Định nghĩa. Dãy ĐLNN (X n ) gọi là dãy Cauchy h.c.c nếu với mọi 0 > thì 0) ( , ( sup lim => lk XX P nlk n 1.15. Định nghĩa. Dãy (X n ) đợc gọi là dãy Cauchy theo xác suất nếu với mọi 0 > bất kỳ: ),(0 ) > nmXXP mn 1.16.Định nghĩa. Dãy (X n ) đợc gọi là dãy Cauchy theo trung bình bậc p nếu với mọi 0 > bất kỳ: 5 ),(0 nmXXE p mn 1.17.Bổ đề (Bất đẳng thức Markov) Giả sử < r XE )0( > r . Khi đó với mọi 0 > ta có: P r r XE )X( 1.18.Bổ đề (Bất đẳng thức Chebyshev ) Giả sử EX 2 < . Khi đó, với mọi 0 > ta có: P 2 DX )EXX( 1.19.Bổ đề Borel cantelli . Giả sử (A n ) là dãy các biến cố bất kỳ. a) Nếu = < 1 )( n n AP thì 0sup(lim ) = n A n P b) Nếu = = 1 n n )A(P và dãy (A n ) độc lập thì 1sup(lim ) = n A n P ( ở đây = = = 1 suplim n nm n AA n n ) 1.20. Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ h.c.c. Dãy (X n ) hội tụ h.c.c khi và chỉ khi dãy( X n ) cơ bản h.c.c 1.21.Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ theo xác suất. Dãy (X n ) hội tụ theo xác suất khi và chỉ khi nó cơ bản theo xác suất. 1.22.Hệ quả (Định lý lebesgue về hội tụ bị chặn) 6 Giả sử X p X n và < ) sup( n X n E thì EXEXXXE nn ;0 1.23. Định nghĩa. Giả sử ( , F ,P) là không gian xác suất, X: R là ĐLNN . Khi đó tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại ) gọi là kì vọng của X ký hiệu EX . Vậy = XdPEX 1.24.Tính chất. a) Nếu X 0 thì 0EX b) Nếu X=c thì EX=c c) E(aX+bY)=aEX+bEY d) Nếu X là đại lợng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị x 1 ,x 2 .,x n , .với các xác suất tơng ứng p 1 . ,p 2 , ,p n , thì: EX= i p ii x . e) Nếu X là ĐLNN liên tục có hàm mật độ p(x) thì = + )()( xdxxpEX g) Nếu X và Y là hai ĐLNN độc lập thì : EXY=EX.EY Tổng quát: Nếu (X n ) là dãy ĐLNN độc lập thì với mọi số tự nhiên n >1 ta có E(X 1 .X 2 .X n )=EX 1 .EX 2 . EX n 1.25. Định nghĩa: Hàm số = )t( x Ee itX =E(cost X+isintX), Rt đợc gọi là hàm đặc trng của ĐLNN X. 7 Phần 2 Một số bất đẳng thức cơ bản và sự hội tụ của tổng các đại lợng ngẫu nhiên độc lập 2.1. Các bất đẳng thức cơ bản 8 Giả sử (X n ) là dãy các đại lợng ngẫu nhiên (ĐLNN), ta ký hiệu S n là tổng của n ĐLNN đầu tiên = = n 1k kn XS 2.1.1. Bất đẳng thức Kolmogorov 2.1.1.1.Định lý. Giả sử (X n ) là dãy các ĐLNN độc lập EX k =0 và DX k = +< 2 k ; k=1,2, ,n. Khi đó: a)Với mọi 0 > : 2 k k n 1k nk1 DX )S(maxP = b) Nếu tồn tại c > 0 nào đó mà 1 1 )max( = cSP k nk thì ( ) = + n k k DX c SP k nk 1 2 1) max( Chứng minh. a) Đặt { } = 11 SA ; { } <= 212 , SSA ; ; { } ;, .,2,, ., 1 nkSSA kk =<= { } = k SA nk1 max Suy ra A= )ji(AA;A jik n 1k = = 9 Ta cã : 2 nn 2 nn n 1k n 1k kk ES)ES(ESDS)X(DDX 2 =−=== ∑ ∑ = = (v× ES n =0 ) suy ra Ak IESESDX n n k n 2 1 2 ≥= ∑ = MÆt kh¸c         == ∑∑ = = n 1k 2 n n 1k 2 n 2 n k A k AA I.SEIESIES       +−= ∑ = n 1k k A 2 kkn I.)SSS(E k kk k kk A knAA A 2 kn k n A k A 2 kA 2 kn I.ES )SS(I.ES.2I.ES)SS(E S( 2I.SI.)SS(E n 1k 2 k n 1k k 2 k n 1k I S I s k ∑ ∑ ∑ = = = ≥       −++−=             −++−= V× (S n -S k )vµ S k .I k A ®éc lËp; E( S n -S k )=0 nªn ES k I k A (S n -S k )= ES k I k A E(S n -S k )=0 Vµ E(S n -S k ) 2 I k A 0 ≥ do ®ã ∑∑∑ ∑∑∑ === == ε=ε=ε=ε= ε≥≥= = n 1k n 1k n 1k n 1k 2 k 2 n n k k )A(P)A(P)I(EEI IEIESESDX 2 k 2 A 2 A 2 A 2 A n 1k 1 kk kk Suy ra 2 1 )( ε ∑ = ≤ n k k DX AP hay 2 n 1k k DX )S nk1 (maxP k ε ≤ε≥ ≤≤ ∑ = b) Ta cã ES n 2 I A =ES n 2 - ES n 2 A I ≥ ES n 2 - 2 ε P( A ) 10 . và một số dạng hội tụ của chuỗi các đại lợng ngẫu nhiên độc lập. Phần 3: Một số mệnh đề về tổng của các đại lợng ngẫu nhiên độc lập ở phần này chúng tôi. về tổng các đại lợng ngẫu 23 nhiên độc lập Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 Lời mở đầu 1 Trong lý thuyết xác suất, tổng của các đại lợng ngẫu nhiên độc