Moment và kỳ vọng có điều kiện của các đại lượng ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN LÊ THỊ HOAN MOMENT VÀ KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA CÁC ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGÀNH CỬ NHÂN TOÁN VINH 2006 Mục lục Lời mở đầu §1 Các kiến thức chuẩn bị §2 Tính chất kỳ vọng moment §3 Kỳ vọng điều kiện 16 Kết luận 27 Tài liệu 28 Lời mở đầu Trong lý thuyết xác suất, khái niệm tính chất moment đại lượng ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng Đặc biệt, nghiên cứu định lý giới hạn, người ta thường đặt điều kiện moment Mặt khác, khái niệm kỳ vọng có điều kiện khái niệm Dựa khái niệm này, người ta xây dựng khái niệm Martingale số khái niệm liên quan khác Khóa luận trình bày khái niệm moment kỳ vọng có điều kiện đại lượng ngẫu nhiên tính chất chúng Với mục đích vậy, khóa luận chia làm ba phần: Phần Các kiến thức chuẩn bị Trong phần giới thiệu khái niệm lý thuyết xác suất phục vụ cho phần sau không gian xác suất, hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên Phần Tính chất moment Trong phần này, trình bày tính chất kỳ vọng moment đại lượng ngẫu nhiên chứng minh số mệnh đề liên quan đến kỳ vọng mở rộng Phần Kỳ vọng điều kiện Trong phần này, giới thiệu khái niệm kỳ vọng điều kiện nghiên cứu tính chất kỳ vọng điều kiện, đồng thời khác kỳ vọng điều kiện kỳ vọng thông thường Khóa luận hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo PGS TS Nguyễn Văn Quảng Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Em xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo, cô giáo khoa Toán bạn bè giúp đỡ em suốt trình học tập khoa Cuối cùng, hạn chế thời gian tài liệu nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp, giúp đỡ quý thầy cô bạn Vinh, tháng năm 2006 Tác giả §1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa Giả sử Ω = ∅, F tập Ω F gọi σ-đại số nếu: i) Ω ∈ F; ii) Nếu A ∈ F Ω \ A ∈ F; ∞ iii) Nếu {An } ⊂ F An ∈ F n=1 1.2 Định nghĩa Giả sử Ω = ∅, F σ-đại số tập Ω Hàm tập P : F → R gọi xác suất F nếu: i) P (A) ≥ 0, với A ∈ F; ii) P (Ω) = 1; iii) Nếu {An } ⊂ F, An ∩ Am = ∅, với n = m ∞ P( ∞ An ) = n=1 P (An ) n=1 1.3 Định nghĩa Giả sử Ω = ∅, F σ-đại số tập Ω P : F → R độ đo xác suất Khi ba (Ω, F, P ) gọi không gian xác suất 1.4 Tính chất a) P (∅) = 0; b) Nếu A ⊂ B P (A) ≤ P (B); c) Nếu A ⊂ B P (B \ A) = P (B) − P (A); d) P (A) + P (A) = 1; e) Nếu A, B ∈ F P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB); f) Nếu A, B, C ∈ F P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC); g) Nếu {An } ⊂ F ∞ P( ∞ An ) ≤ n=1 P (An ) n=1 h) Nếu {An } ⊂ F cho A1 ⊂ A2 ⊂ ⊂ An ⊂ ∞ An ) lim P (An ) = P ( n→∞ n=1 i) Nếu {An } ⊂ F cho A1 ⊃ A2 ⊃ ⊃ An ⊃ ∞ lim P (An ) = P ( n→∞ An ) n=1 1.5 Định nghĩa Hai biến cố A, B gọi độc lập P (AB) = P (A).P (B) 1.6 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất Khi ánh xạ đo X : Ω → R gọi đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) 1.7 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, X : Ω → R ĐLNN Ta gọi hàm PX : B(R) → R xác định PX (B) = P (X −1 (B)), với B ∈ B(R) phân phối xác suất X 1.8 Định nghĩa Giả sử X ĐLNN, hàm số F (x) = P (X < x) gọi hàm phân phối X 1.9 Định lý Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, X : Ω → R ĐLNN Đặt FX = {A = X −1 (B) : B ∈ B(R)} Khi FX σ-đại số 1.10 Định nghĩa (i) FX gọi σ-đại số sinh X (ii) Hai σ-đại số F1 , F2 gọi độc lập với A1 ∈ F1 , A2 ∈ F2 P (A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 ) (iii) Hai ĐLNN X, Y gọi độc lập FX , FY độc lập Tổng quát, dãy ĐLNN X1 , X2 , , Xn , gọi độc lập với n ≥ 1, F(X1 , X2 , , Xn ) F(Xn+1 , Xn+2 , , ) độc lập (Trong F(X1 , X2 , , Xn ) ( tương ứng F(Xn+1 , Xn+2 , , )) σ- đại số bé mà X1 , X2 , , Xn (tương ứng Xn+1 , Xn+2 , ,) đo được) 1.11 Bổ đề (Bất đẳng thức Markov) Giả sử X ĐLNN, với > ta có P (|X| > ) ≤ E|X|r r , với r > 1.12 Định nghĩa Giả sử µ độ đo, ν hai hàm tập cộng tính xác định không gian đo (Ω, F) Ta nói ν liên tục tuyệt đối µ, với A ∈ F mà µ(A) = ν(A) = Ký hiệu ν 1.13 Định lý (Radon - Nikodym) Giả sử ν µ µ Khi đó, tồn hàm đo khả tích X : Ω → R cho với A ∈ F Xdµ ν(A) = A 1.14 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, X : Ω → R đại lượng ngẫu nhiên Kỳ vọng X, ký hiệu EX số xác định công thức XdP EX = Ω 1.15 Chú ý Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X tồn không tồn Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X tồn tích phân vế phải Định nghĩa 1.14 tồn 1.16 Ý nghĩa Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X giá trị trung bình theo xác suất đại lượng ngẫu nhiên Trong trường hợp X nhận giá trị với xác suất kỳ vọng trung bình cộng 1.17 Các tính chất a) Nếu X ≥ EX ≥ 0; b) Nếu X = c = const EX = c; c) Nếu tồn EX với c ∈ R ta có E(cX) = cEX; d) Cho X, Y ĐLNN, ta có E(X ± Y ) = EX ± EY e) Cho X, Y ĐLNN, với a, b ∈ R, ta có: E(aX + bY ) = aEX + bEY f) Cho X, Y ĐLNN, X, Y độc lập EXY = EX.EY Tổng quát, Nếu X1 , X2 , , Xn họ ĐLNN độc lập E(X1 X2 Xn ) = EX1 EX2 EXn g) Nếu X rời rạc có bảng phân phối X x1 x2 xn P p1 p2 pn EX = x1 p1 + x2 p2 + + xn pn + h) Nếu X ĐLNN liên tục có hàm mật độ p(x) +∞ EX = xp(x)dx −∞ i) Nếu f : R → R đo  X rời rạc P (X = xi ) = pi ;   i f (xi )pi , E[f (x)] = +∞  f (x)p(x)dx, X liên tục có hàm mật độ p(x)  −∞ 1.18 Định nghĩa i) Cho X ĐLNN số r > Khi số EX r = X r dP, (nếu tồn tại) Ω gọi moment cấp r X ii) Số E|X − EX|r = |X − EX|r dP, (nếu tồn tại) Ω gọi moment trung tâm cấp r X (iii) Số E|X|r = |X|r dP, (nếu tồn tại) Ω gọi moment tuyệt đối bậc r X 1.19 Nhận xét i) Moment bậc kỳ vọng ii) Moment trung tâm bậc hai phương sai §2 Tính chất kỳ vọng moment 2.1 Mệnh đề Giả sử X Y hai ĐLNN Khi tồn E(max{X, Y }) E(min{X, Y }), a) Tồn E|X|, E|Y |; b) EX + EY = E(max{X, Y }) + E(min{X, Y }) Chứng minh a) Ta có |X| ≤ max{X, Y } + min{X, Y } |Y | ≤ max{X, Y } + min{X, Y } đó, E|X| ≤ E (max{X, Y } + min{X, Y }) E|Y | ≤ E (max{X, Y } + min{X, Y }) hay E|X| ≤ E(max{X, Y }) + E(min{X, Y }) E|Y | ≤ E(max{X, Y }) + E(min{X, Y }) Theo giả thiết, tồn E(max{X, Y }) E(min{X, Y }) nên từ bất đẳng thức trên, suy tồn E|X|, E|Y | b) Ta có X + Y = max{X, Y } + min{X, Y } nên EX + EY = E(max{X, Y }) + E(min{X, Y }) 2.2 Mệnh đề Giả sử X ĐLNN nhận giá trị nguyên không âm có kỳ vọng hữu hạn Khi ∞ P (X ≥ n) EX = n=1 2.9 Mệnh đề Giả sử X ĐLNN dương, không suy biến có kỳ vọng hữu hạn Khi ≤E EX X Chứng minh Áp dụng Bất đẳng thức H¨older ta có: X X 1=E X ≤E EX suy ≤E EX X 2.10 Mệnh đề (Mở rộng Mệnh đề 2.9) Giả sử X Y ĐLNN độc lập, nhận giá trị dương Khi đó, với r ≥ 0, ta có: E X Y r EX r ≥ EY r Chứng minh Theo Mệnh đề 2.9, ta có: EX r = EX r E r EY Yr ≥ EX r EY r Vậy, E X Y r EX r ≥ EY r 2.11 Mệnh đề Giả sử X1 , X2 , , Xn ĐLNN có kỳ vọng hữu hạn, Yk = X1 + + Xk (k = 1, , n) Khi đó, với > ta có n E|Yk | P ( max |Yk | > ) ≤ k=1 1≤k≤n Chứng minh Ta có P ( max |Yk | > ) = P ({|Y1 | > } ∪ ∪ {|Yn | > }) 1≤k≤n = P ({|Y1 | > } ∪ ∪ {|X1 + + Xn | > }) ≤ P (|X1 || + + |Xn | > ) 14 Từ áp dụng bất đẳng thức Markov, ta nhận được: E(|X1 | + + |Xn |) E|X1 | + + E|Xn | P ( max |Yk | > ) ≤ = 1≤k≤n hay n E|Yk | P ( max |Yk | > ) ≤ 1≤k≤n 15 k=1 §3 Kỳ vọng điều kiện 3.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, X : Ω → R ĐLNN khả tích (E|X| < ∞) G σ-đại số F Khi đó, ĐLNN Y gọi kỳ vọng có điều kiện X Y i) Y G-đo được; ii) Với A ∈ G, ta có Y dP = A XdP A Ta thường ký hiệu Y = E(X/G) hay Y = E G X 3.2 Chú ý 1) Nếu X, Y ĐLNN cho (Ω, F, P ) G σ-đại số sinh Y E(X/G) ký hiệu E(X/Y ) gọi kỳ vọng điều kiện ĐLNN X ĐLNN Y 2) Nếu X1 , X2 , ĐLNN xác định (Ω, F, P ) G σ-đại số sinh chúng E(X/G) ký hiệu E(X/X1 , X2 , ) 3) Nếu X = IA , A ∈ G, E(X/G) ký hiệu P (A/G) gọi xác xuất điều kiện biến cố A σ-đại số G E(IA /X1 , X2 , ) ký hiệu P (A/X1 , X2 , ) gọi xác suất điều kiện biến cố A ĐLNN X1 , X2 , 3.3 Các tính chất kỳ vọng điều kiện Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, ĐLNN có kỳ vọng (khả tích nửa khả tích) G ⊂ F σ-đại số Khi ta có tính chất sau: 3.3.1 Mệnh đề Nếu E|X| < ∞ tồn Y = E(X/G) Chứng minh Xét hàm tập ν : G → R cho công thức: XdP, với A ∈ G ν(A) = A 16 (1) Do E|X| < ∞ suy ν P Theo Định lý Radon-Nikodym suy tồn ĐLNN Y G-đo cho ν(A) = Y dP (2) A Từ (1) (2) ta có Y dP = A XdP A Vậy Y = E(X/G) 3.3.2 Mệnh đề Nếu X = c số thì: E(X/G) = E(c/G) = c(h.c.c) c số Chứng minh Ta có Y = c G-đo Mặt khác với A ∈ G, ta có Y dP = A cdP = A XdP A suy Y = c = E(c/G) 3.3.3 Mệnh đề Nếu X ≥ Y (h c c) E(X/G) ≥ E(Y /G)(h.c.c) Chứng minh Đặt Z = E(X/G), T = E(Y /G), Z, T G-đo Hơn với A ∈ G, ta có XdP ≥ ZdP = A A Y dP = A A suy ZdP ≥ A T dP A Vậy, E(X/G) ≥ E(Y /G)(h.c.c) 17 T dP 3.3.4 Mệnh đề Với a, b số aX + bY xác định ta có E(aX + bY /G) = aE(X/G) + bE(Y /G) Chứng minh Đặt Z = E(X/G), T = E(Y /G) Z, T G-đo aZ + bT G-đo Mặt khác, với A ∈ G ta có (aZ + bT )dP = a A ZdP + b A = a T dP A XdP + b A Y dP A (aX + bY )dP = A Tức lập luận ta suy E(aX + bY /G) = aE(X/G) + bE(Y /G) 3.3.5 Mệnh đề i) Nếu X G độc lập, E(X/G) = EX ii) E[E(X/G)] = EX Chứng minh i)Ta có Y = EX G-đo vì: Y −1 (B) = ∅, Ω, EX ∈ /B EX ∈ B Mặt khác, với A ∈ G, ta có X IA độc lập, Y dP = A EXdP = EX A dP = P (A)EX A 18 Mặt khác XdP = A XIA dP = E(XIA ) = E(X)E(IA ) Ω = EX IA dP = EX Ω dP = EXP (A) = P (A)EX A Vậy, Y dP = A XdP, hay E(X/G) = EX A ii) Vì Ω ∈ G nên ta có E[E(X/G)] = E(X/G)dP = Ω XdP = EX Ω 3.3.6 Mệnh đề i) (Tính chất hút) Nếu G1 ⊂ G2 E(X/G1 ) = E[E(X/G1 )/G2 ] = E[E(X/G2 )/G1 ] ii) Nếu X G-đo E(X/G) = X Chứng minh i) Đặt E(X/G1 ) = Y , E(X/G2 ) = Z Khi đó, Y = E(Y /G2 ) Y = E(Z/G1 ) Thật vậy, ta có Y = E(X/G1 ) suy Y G-đo Do G1 ⊂ G2 nên Y G2 -đo Mặt khác với A ∈ G2 ta có Y dP = Y dP A A Y = E(Y /G2 ) Tương tự ta có Y = E(Z/G1 ) Vậy, ta có E(X/G1 ) = E[E(X/G1 )/G2 ] = E[E(X/G2 )/G1 ] ii) Ta có theo giả thiết Y = X G-đo Mặt khác, với A ∈ G, ta có Y dP = XdP A A Vậy, E(X/G) = X 19 3.3.7 Mệnh đề Nếu E|XY | < ∞, E|Y | < ∞, Xlà G-đo E(XY /G) = XE(Y /G) (∗) Chứng minh Ta có X.E(Y /G) G-đo Hơn nữa, với A ∈ G, trước hết ta chứng minh đẳng thức (*) với X = IA , A ∈ G Thật vậy, từ X = IA ta có XE(Y /G) = IA E(Y /G)dP = A A E(X/G)dP AA = Y dP = AA IA Y dP = A XY dP A Từ suy X.E(Y /G)dP = XY dP A A Vậy, E(XY /G) = XE(Y /G), tức (∗) với X = IA Từ suy (∗) với hàm đơn giản Bây X đo X = lim hn , với {hn } dãy hàm đơn giản, Mệnh đề chứng minh 3.3.8 Định lý hội tụ đơn điệu B-Levi i) Nếu dãy Xn ↑ X(h c c) tồn n ∈ N cho E(Xn ) < ∞ E(Xn /G) ↑ E(X/G)(h.c.c) ii) Nếu dãy Xn ↓ X(h c c) tồn n ∈ N cho E(Xn ) < ∞ E(Xn /G) ↓ E(X/G)(h.c.c) Chứng minh Ta chứng minh cho tính chất thứ Giả sử tồn n0 để EXn0 < ∞ Khi đó, ta có ≤ Xn + Xn0 ↑ X + Xn0 Theo Định lý Lơbe hội tụ đơn điệu, ta có lim E[(Xn + Xn0 )/G]dP = lim n E(Xn + Xn0 )dP n A A = lim (Xn + Xn0 )dP = n A lim E(Xn + Xn0 ) = (X + Xn0 )dP n A A 20 Từ đó, kết hợp với tính tuyến tính tích phân, ta có lim E(Xn /G)dP = A E(X/G)dP, với A ∈ G XdP = n A A Vậy lim E(Xn /G) = E(X/G)(h.c.c) n Trường hợp lại, ta chứng minh tương tự 3.3.9 Bổ đề Fatou Giả sử tồn Y khả tích, i) Nếu Xn ≤ Y (h c c) với n ≥ E(lim Xn /G) ≤ lim E(Xn /G)(h.c.c) ii) Nếu Xn ≥ Y (h c c) lim E(Xn /G) ≤ E(lim Xn /G)(h.c.c) Chứng minh hai tính chất tương tự chứng minh Định lý hội tụ đơn điệu B-Levi 3.3.10 Định lý hội tụ bị chặn Lebesgue Giả sử Y khả tích |Xn | < Y (h c c) Khi đó, Xn → X(h c c), E(lim Xn /G) = lim E(Xn /G)(h.c.c) n n 3.3.11 Mệnh đề Giả sử G = {A, A, Ω, ∅}, < P (A) = p < XdP = a1 , XdP = a2 A A Khi a1 a2 IA + I p 1−p A Chứng minh Đặt Y = E(X/G) Khi Y G-đo được, suy Y có E(X/G) = dạng Y = b1 IA + b2 IA Mặt khác ta có E(Y IA ) = Y dP = A XdP = a1 A 21 Hơn nữaY IA = b1 IA suy E(Y IA ) = b1 P (A) Kết hợp với ta có b1 P (A) = a1 b1 = a1 a1 = P (A) p Tương tự ta có b2 = a2 a2 = P (A) − p Vậy Y = E(X/G) = a1 a2 IA + I p 1−p A 3.3.12 Mệnh đề Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất, G σ-đại số F, X ĐLNN có phương sai hữu hạn, DE(X/G) ≤ DX Chứng minh Ta có DX = EX − (EX)2 DE(X/G) = E[E(X/G)]2 − [E(E(X/G))]2 = E[E(X/G)]2 − (EX)2 Mặt khác lại có ≤ E[X − E(X/G)]2 = EX − E[E(X/G)]2 suy EX − E[E(X/G)]2 ≥ Vậy DE(X/G) ≥ EX − (EX)2 = DX 3.3.13 Mệnh đề Giả sử G1 , G2 , dãy không giảm σ-đại số, X ĐLNN có kỳ vọng hữu hạn, với P sup |E(X/Gk )| > ≤ > ta có E|X| 1≤k≤n Chứng minh Đặt A = ω : sup |E(X/Gk )| > 1≤k≤n A1 = {ω : |E(X/G1 )| > } Aj = ω: sup |E(X/Gk )| ≤ , |E(X/Gj )| > 1≤k≤j−1 22 n Aj , Aj ∈ Gj , j = 1, , , n Khi Aj ∩ Ai = ∅ với i = j, A = j=1 nên n E|X| ≥ n XdP = E(X/Gj )dP ≥ XdP = j=1 A A n j j=1 A suy E|X| ≥ P (A) hay P (A) ≤ j=1 j E|X| P (Aj ) = P (A) Vậy sup |E(X/Gk )| > P ≤ E|X| 1≤k≤n 3.3.14 Mệnh đề Nếu X ĐLNN X σ-đại số G độc lập với với hàm Borel ϕ(X) mà E|ϕ(X)| < ∞ E(ϕ(X)/G) = E(ϕ(X)) Chứng minh Nếu X G độc lập ϕ(X) G độc lập Do E(ϕ(X)/G) = E(ϕ(X)) Ngược lại, giả sử với hàm Borel ϕ(X) mà E(ϕ(X)) < ∞ ta có E(ϕ(X)/G) = E(ϕ(X)) Khi với tập Borel A bất kỳ, xét ϕ(X) = IA X = IX∈A Khi với B ∈ G ta có: IA XdP = P (B)E(IA X) = P (B)P (X ∈ A) P (B ∩ X ∈ A) = B suy ra, X G độc lập Liên quan dến khái niệm kỳ vọng, ta biết đến khái niệm phương sai (variance) covariance cụ thể, chúng xác định sau: DX := E(X − EX)2 = EX − (EX)2 Cov(X, Y ) := E[(X − EX)(Y − EY )] Mối quan hệ phương sai covarian thể qua đẳng thức DX = Cov(X, X) 23 Đối với kỳ vọng có điều kiện ta có khái niệm liên quan tương tự Chúng định nghĩa sau: 3.3.15 Định nghĩa Cho X, Y ĐLNN xác định (Ω, F, P ) cho EX < ∞, EY < ∞ G σ-đại số F Ta định nghĩa D(X/G) := E(X − E(X/G)2 ) Cov[(X, Y )/G] := E[(X − E(X/G))(Y − E(Y /G))] D(X/G) gọi phương sai (hay variance) có điều kiện X σ -đại số G ký hiệu V ar(X/G) Cov[(X, Y )/G] gọi covariance có điều kiện X, Y σ -đại số G Mối liên hệ phương sai covarian kỳ vọng kỳ vọng điều kiện thể thông qua hai Mệnh đề sau: 3.3.16 Mệnh đề Với điều kiện trang bị Định nghĩa 3.3.15, ta có DX = ED(X/G) + DE(X/G) Chứng minh Ta có ED(X/G) + DE(X/G) = E[E(X − E(X/G))2 /G] + E[E(X/G)]2 − [E(E(X/G))]2 = E[(X − 2XE(X/G) + E(X/G))/G] + E[E(X/G)]2 − (EX)2 = EX + 2E{E(X/G)[E(X/G) − X]} − (EX)2 = DX + 2E{E(X/G)[E(X/G) − X]} 24 (3) Vì E(X/G) G-đo dược nên kết hợp với tính chất 3.3.5 ta E{E(X/G)[E(X/G) − X]} = E{E(E(X/G)[E(X/G) − X])/G} = E{E(X/G)E[E(X/G) − X]/G} = E{E(X/G)[E(E(X/G))/G − E(X/G)]} = E{E(X/G)[E(X/G) − E(X/G)]} = Thay vào (3) ta ED(X/G) + DE(X/G) = DX 3.3.17 Mệnh đề Với điều kiện Định nghĩa 3.3.15, ta có Cov(X, Y ) = ECov[(X, Y )/G] + Cov[E(X/G), E(Y /G)] Chứng minh Ta có ECovG(X, Y ) + Cov[E(X/G), E(Y /G)] = E[(X − E(X/G))(Y − E(Y /G))] + E[(E(X/G) − EX)(E(Y /G) − EY )] = E{XY − Y E(X/G) − XE(Y /G) + E(X/G)E(Y /G) + E(X/G)E(Y /G) − E(X/G)EY − EXE(Y /G) + EXEY } = E{(X − EX)(Y − EY ) + [E(Y /G) − EX][E(X/G) − EY ] + [E(Y /G) − Y ][E(X/G) − EX]} = Cov(X, Y ) + E[E(X/G) − X][E(Y /G) − EY ] + E[E(Y /G) − Y ][E(X/G) − EX] Ta có E[E(X/G) − X][E(Y /G) − EY ] = E{E[E(X/G) − X][E(Y /G) − EY ]/G} = E{[E(Y /G) − EY ]E[(E(X/G) − X)/G]} = E{[E(Y /G) − EY ][E(E(X/G))/G − E(X/G)]} = E{[E(Y /G) − EY ][E(X/G) − E(X/G)]} = 25 Tương tự ta chứng minh được: E[E(X/G) − Y ][E(X/G) − EX] = Từ ta suy Cov(X, Y ) = ECov[(X, Y )/G] + Cov[E(X/G), E(Y /G)] 26 Kết luận Khóa luận nêu vấn đề sau: 1) Nhắc lại số khái niệm tính chất lý thuyết xác suất cần thiết không gian xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên 2) Giới thiệu tính chất moment đại lượng ngẫu nhiên, mối liên hệ moment phương sai 3) Chứng minh tính chất kỳ vọng điều kiện, đồng thời khác kỳ vọng điều kiện kỳ vọng 27 Tài liệu [1] David Williams, Probability with martingales, Cambridge University, Press 1991 1999 [2] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 1999 [3] Đào Văn Phong, Hàm số thực, Nxb Giáo dục, 1976 [4] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên, Lý thuyết xác suất, Nxb Giáo dục, 2001 28 [...]... lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết xác suất cần thiết như không gian xác suất, đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên 2) Giới thiệu các tính chất về các moment của đại lượng ngẫu nhiên, mối liên hệ giữa moment và phương sai 3) Chứng minh các tính chất của kỳ vọng điều kiện, đồng thời chỉ ra sự khác nhau căn bản giữa kỳ vọng điều kiện và kỳ vọng 27 Tài liệu [1]... 1≤k≤n 15 k=1 §3 Kỳ vọng điều kiện 3.1 Định nghĩa Giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất, X : Ω → R là ĐLNN khả tích (E|X| < ∞) và G là σ -đại số con của F Khi đó, ĐLNN Y gọi là kỳ vọng có điều kiện của X đối với Y nếu i) Y là G-đo được; ii) Với mọi A ∈ G, ta có Y dP = A XdP A Ta thường ký hiệu là Y = E(X/G) hay Y = E G X 3.2 Chú ý 1) Nếu X, Y là các ĐLNN đã cho trên (Ω, F, P ) và G là σ -đại số sinh bởi... số G E(IA /X1 , X2 , ) được ký hiệu là P (A/X1 , X2 , ) và được gọi là xác suất điều kiện của biến cố A đối với các ĐLNN X1 , X2 , 3.3 Các tính chất của kỳ vọng điều kiện Giả sử (Ω, F, P ) là không gian xác suất, các ĐLNN đều có kỳ vọng (khả tích hoặc nửa khả tích) G ⊂ F là σ -đại số con nào đó Khi đó ta có các tính chất sau: 3.3.1 Mệnh đề Nếu E|X| < ∞ thì tồn tại duy nhất Y = E(X/G) Chứng minh... ) và gọi là kỳ vọng điều kiện của ĐLNN X đối với ĐLNN Y 2) Nếu X1 , X2 , là các ĐLNN được xác định trên (Ω, F, P ) và G là σ -đại số sinh bởi chúng thì E(X/G) được ký hiệu là E(X/X1 , X2 , ) 3) Nếu X = IA , A ∈ G, thì E(X/G) được ký hiệu là P (A/G) và được gọi là xác xuất điều kiện của biến cố A đối với σ -đại số G E(IA /X1 , X2 , ) được ký hiệu là P (A/X1 , X2 , ) và được gọi là xác suất điều. .. nghĩa Cho X, Y là các ĐLNN xác định trên (Ω, F, P ) sao cho EX 2 < ∞, EY 2 < ∞ và G là σ -đại số con nào đó của F Ta định nghĩa D(X/G) := E(X − E(X/G)2 ) Cov[(X, Y )/G] := E[(X − E(X/G))(Y − E(Y /G))] D(X/G) được gọi là phương sai (hay variance) có điều kiện của X đối với σ -đại số G và cũng được ký hiệu V ar(X/G) Cov[(X, Y )/G] được gọi là covariance có điều kiện của X, Y đối với σ -đại số G Mối liên... Cov[(X, Y )/G] được gọi là covariance có điều kiện của X, Y đối với σ -đại số G Mối liên hệ giữa phương sai và covarian của kỳ vọng và kỳ vọng điều kiện được thể hiện thông qua hai Mệnh đề sau: 3.3.16 Mệnh đề Với các điều kiện trang bị trong Định nghĩa 3.3.15, ta có DX = ED(X/G) + DE(X/G) Chứng minh Ta có ED(X/G) + DE(X/G) = E[E(X − E(X/G))2 /G] + E[E(X/G)]2 − [E(E(X/G))]2 = E[(X 2 − 2XE(X/G) + E(X/G))/G]... A) P (B ∩ X ∈ A) = B suy ra, X và G độc lập Liên quan dến khái niệm kỳ vọng, ta đã biết đến các khái niệm phương sai (variance) và covariance cụ thể, chúng được xác định như sau: DX := E(X − EX)2 = EX 2 − (EX)2 Cov(X, Y ) := E[(X − EX)(Y − EY )] Mối quan hệ giữa phương sai và covarian được thể hiện qua đẳng thức DX = Cov(X, X) 23 Đối với kỳ vọng có điều kiện ta cũng có các khái niệm liên quan tương... 2.9 Mệnh đề Giả sử X là ĐLNN dương, không suy biến có kỳ vọng hữu hạn Khi đó 1 ≤E EX 1 X Chứng minh Áp dụng Bất đẳng thức H¨older ta có: 1 X X 1=E 1 X ≤E EX suy ra 1 ≤E EX 1 X 2.10 Mệnh đề (Mở rộng của Mệnh đề 2.9) Giả sử X và Y là các ĐLNN độc lập, nhận các giá trị dương Khi đó, với mọi r ≥ 0, ta có: E X Y r EX r ≥ EY r Chứng minh Theo Mệnh đề 2.9, ta có: EX r = EX r E r EY 1 Yr ≥ EX r 1 EY r Vậy, E... là ĐLNN có kỳ vọng không và phương sai hữu hạn Khi đó 1 E|X| ≤ (DX + 1) 2 Chứng minh Ta có: 0 ≤ (E|X| − 1)2 = E|X|2 − 2E|X| + 1 = DX + 1 − 2E|X| Suy ra DX + 1 − 2E|X| ≥ 0 hay 1 E|X| ≤ (DX + 1) 2 10 Vậy, 1 E|X| ≤ (DX + 1) 2 2.4 Mệnh đề Giả sử X, Y là các ĐLNN độc lập nhận các giá trị nguyên không âm và E|X| < ∞ Khi đó ∞ P (X ≥ n).P (Y ≥ n) E(min{X, Y }) = n=1 Chứng minh Theo Mệnh đề 2.2 ta có: ∞ P (min{X,... DY 2.8 Mệnh đề Giả sử X1 , , Xn là các ĐLNN có moment bậc r với 0 < r ≤ 1 Khi đó E|X1 + + Xn |r ≤ E|X1 |r + + E|Xn |r Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức |a + b|r ≤ |a|r + |b|r , với mọi 0 < r ≤ 1, ta có E|a + b|r ≤ E(|a|r + |b|r ) = E(|a|r ) + E(|b|r ) Khi đó, với X1 , , Xn là các ĐLNN có moment bậc 0 < r ≤ 1, ta có: E|X1 + X2 |r ≤ E|X1 |r + E|X2 |r và E|X1 + X2 + X3 |r ≤ E|X1 + X2 |r + E|X3 ... phối đại lượng ngẫu nhiên Phần Tính chất moment Trong phần này, trình bày tính chất kỳ vọng moment đại lượng ngẫu nhiên chứng minh số mệnh đề liên quan đến kỳ vọng mở rộng Phần Kỳ vọng điều kiện. .. xác suất, X : Ω → R đại lượng ngẫu nhiên Kỳ vọng X, ký hiệu EX số xác định công thức XdP EX = Ω 1.15 Chú ý Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X tồn không tồn Kỳ vọng đại lượng ngẫu nhiên X tồn tích phân... suất, đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên 2) Giới thiệu tính chất moment đại lượng ngẫu nhiên, mối liên hệ moment phương sai 3) Chứng minh tính chất kỳ vọng điều kiện, đồng