Về một số lớp vành thoả nãm điều kiện chuỗi đối với linh hoá tử

1 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh ==== o0o ==== ngô văn nghĩa Về số lớp vành thỏa mãn điều kiện chuỗi linh hóa tử Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mã số : 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Cán hớng dẫn khoa học TS chu trọng Vinh 2009 mở đầu Trong nghiên cứu vành điều kiện chuỗi đóng vai trò nh công cụ thông dụng hữu ích Có nhiều lớp vành đợc nghiên cứu nhờ sử dụng điều kiện chuỗi môđun Trong chơng trình học tập bậc Sau đại học chuyên ngành Đại số Lý thuyết số chuyên đề Lý thuyết vành Lý thuyết môđun gợi mở số vấn đề cấu trúc đại số Qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, đợc biết gần có nhiều ngời nghiên cứu số lớp vành thỏa mãn điều kiện chuỗi linh hóa tử Với mong muốn đợc tiếp tục học tập, tích lũy thêm kiến thức rèn luyện khả tự học, làm quen với nguồn t liệu lĩnh vực lý thuyết vành môđun, chọn đề tài luận văn là: Về số lớp vành thỏa mãn điều kiện chuỗi linh hóa tử Luận văn chủ yếu nhằm tìm hiểu kiến thức thuộc lĩnh vực chọn, hệ thống hóa kiến thức tìm hiểu đợc, xếp lại thành tài liệu chuyên đề có tính hệ thống Đây công việc không dễ dàng tác giả Vì kiến thức liên quan với diện rộng lớn Nhiều chứng minh kết tác giả sử dụng nhiều t liệu tạp chí mà tác giả điều kiện tìm đọc đợc Vì không tránh khỏi chỗ việc trình bày, hệ thống hóa cha đợc thực rõ ràng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đợc chia thành chơng: Chơng Trình bày khái niệm tính chất iđêan vành, linh hoá tử tập hợp vành, môđun cốt yếu, môđun suy biến, môđun nội xạ, điều kiện chuỗi kiến thức liên quan Chơng Tập trung tìm hiểu số lớp vành sau: Vành nửa nguyên tố với điều kiện chuỗi, vành Goldie nửa nguyên tố, vành hữu hạn trực giao đếm đợc linh hóa tử phải Luận văn hoàn thành trờng Đại học Vinh vào tháng 12 năm 2009 Nhờ hớng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo TS Chu Trọng Thanh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và biết ơn sâu sắc tới thầy, ngời tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi tới thầy giáo, cô giáo tổ Đại số, khoa Toán, khoa Đào tạo sau đại học- trờng Đại học Vinh lời cảm ơn chân thành.Tác giả xin cảm ơn trờng THPT Bắc Quỳnh Lu tạo điều kiện để tác giả đợc theo học chơng trình đào tạo sau đại học Xin cảm ơn bạn bè ngời thân động viên, khích lệ tác giả hoàn thành chơng trình học tập nghiên cứu Mặc dầu cố gắng trình nghiên cứu, tham khảo tài liệu nh tiếp thu ý kiến đóng góp nhng luận văn khó tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong tiếp tục nhận đợc ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn Vinh, tháng 12 năm 2009 Ngô Văn Nghĩa chơng kiến thức chuẩn bị Việc nghiên cứu tính chất vành xuất phát từ điều biết hay đợc thừa nhận có (tức tiên đề) vành đó, xuất phát từ điều biết hay điều kiện giả thiết có môđun thuộc lớp môđun vành đợc chọn trớc Những tính chất ban đầu vành môđun đóng vai trò công cụ để tìm hiểu vành Vì chơng trình bày khái niệm sở vành môđun với tính chất đối tợng Những kiến thức sở hệ thống hóa, xếp lại chủ yếu dựa theo tài liệu tham khảo đợc liệt kê cuối luận văn Chúng ta bắt đầu với kiến thức sở vành 1.1 số kiến thức sở vành Trong luận văn vành nói đến đợc giả thiết vành kết hợp Đối với vành R cho trớc phần tử đơn vị có đợc kí hiệu 1.1.1 Một số khái niệm iđêan vành Định nghĩa Giả sử R vành cho trớc I iđêan R Iđêan I đợc gọi iđêan nguyên tố (prime) với iđêan A, B vành R cho AB I suy A I B I Iđêan I vành R đợc gọi iđêan hoàn toàn nguyên tố (completely prime) với phần tử a, b vành R mà ab I suy a I b I Iđêan I vành R đợc gọi iđêan nửa nguyên tố (semiprime) I giao họ iđêan nguyên tố Vành R đợc gọi vành nguyên tố iđêan R iđêan nguyên tố Vành R đợc gọi vành nửa nguyên tố iđêan R iđêan nửa nguyên tố Đối với vành giao hoán hai khái niệm iđêan nguyên tố iđêan hoàn toàn nguyên tố trùng Trong phần sau mục dẫn chứng minh khẳng định vành iđêan hoàn toàn nguyên tố iđêan nguyên tố nhng chiều ngợc lại không Định nghĩa Iđêan M vành R đợc gọi iđêan tối đại (maximal) R chứa thực M M không bị chứa thc iđêan khác R Iđêan I vành R đợc gọi iđêan tối tiểu (minimal) I không chứa thực iđêan R Chúng nhắc khái niệm tổng, tích hai tập hợp A B khác rỗng vành R nh sau: A + B = {a + b| a A, b B}; AB = {ni=1 aibi, n N} Tổng hai tập hợp xác định nh hoàn toàn tự nhiên đơn giản nhng tích hai tập hợp có phần phức tạp Rõ ràng tích AB chứa phần tử dạng tích ab, với a A, b B Ngoài phần tử AB chứa tổng số hữu hạn tích phần tử nh Khái niệm tích iđêan lũy thừa iđêan đợc nói đến phần sau đợc hiểu theo nghĩa tích tập hợp vành xác định Mệnh đề sau cho thấy mối quan hệ khái niệm iđêan nguyên tố iđêan tối đại vành có đơn vị Mệnh đề Trong vành có đơn vị iđêan tối đại nguyên tố Chứng minh Giả sử M tối đại vành có đơn vị R , A, B iđêan R cho AB M , A M ta chứng minh B M Giả sử ngợc lại B M Vì M iđêan tối đại R A M nên ta có A + M = R Tơng tự có B + M = R Theo giả thiết, vành R có đơn vị nên R.R = R Vì ta có: R = ( A + M ) ( B + M ) = AB + AM + BM + M = AB + M Từ giả thiết AB M M bị chứa thực R, đẳng thức AB + M = R xẩy Vì ta phải có B M Mệnh đề sau cho dấu hiệu nhận biết iđêan iđêan nguyên tố vành có đơn vị Mệnh đề Giả sử P iđêan vành có đơn vị R Khi phát biểu sau tơng đơng: (a) P iđêan nguyên tố; (b) Với iđêan trái I , J R cho I J P , suy I P J P ; (c) Mọi x, y R cho xRy P x P y P Trong (b) thay iđêan trái iđêan phải Chứng minh Trớc hết ta chứng minh ( a ) ( b ) Giả sử có (a) I , J iđêan trái R cho I J P Khi IR, JR iđêan R Từ giả thiết IJ P, ta có IR.JR = IJR P Do P iđêan nguyên tố, ta có IR P JR P Vì R có đơn vị nên I IR J JR Vì ta có I P J P, tức (b) Ta chứng minh ( b ) ( c ) Giả sử có (b) x, y R cho xRy P Khi R vành có đơn vị nên Rx, Ry iđêan trái R ( Rx ) ( Ry ) = R ( xRy ) P Điều suy Rx P Ry P Vì x Rx y Ry nên từ Rx P Ry P ta có x P y P Ta chứng minh ( c ) ( a ) Giả sử (c) I , J iđêan R cho với I P, J P ta chứng minh IJ P Vì I P nên tồn x I \ P Vì J P nên tồn yJ \ P Khi theo (c) ta có xRy P Vì x I nên xR I, yJ nên xRy IJ Do xRy IJ xRy P nên ta có IJ P Vậy P nguyên tố Mệnh đề ( a ) Trong vành iđêan hoàn toàn nguyên tố iđêan nguyên tố ( b ) Trong vành giao hoán iđêan nguyên tố iđêan hoàn toàn nguyên tố Chứng minh (a) Giả sử P iđêan hoàn toàn nguyên tố I , J iđêan R cho IJ P, I P, ta chứng minh J P Từ I P ta suy tồn phần tử x I \ P Vì IJ P xI nên xJ P Do với yJ ta có xy P Do P iđêan hoàn toàn nguyên tố R nên ta có x P y P Vì x P nên ta có y P Vì phần tử J thuộc P nên J P (b) Giả sử R vành giao hoán, ta chứng minh iđêan nguyên tố iđêan hoàn toàn nguyên tố Thật vậy, giả sử P iđêan nguyên tố x, y phần tử thuộc R cho xy P ta chứng minh xP yP Vì xy P nên xyR P Do R vành giao hoán nên xyR = xRy xRy P Do P iđêan nguyên tố nên suy x P y P Vậy P iđêan hoàn toàn nguyên tố Định nghĩa Iđêan nguyên tố P đợc gọi iđêan nguyên tố tối tiểu P không chứa thực iđêan nguyên tố Mệnh đề Mọi iđêan nguyên tố vành R chứa iđêan nguyên tố tối tiểu Chứng minh Giả sử P iđêan nguyên tố vành R Xét họ F tất iđêan nguyên tố chứa P Khi P F nên F Giả sử J F tập thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm Lấy Q giao tất phần tử thuộc J Khi Q P Ta chứng minh Q iđêan nguyên tố Với x, y R cho xRy Q ta chứng minh x Q y Q Giả sử x Q ta chứng minh y Q Vì x Q nên tồn P J cho xP Khi xP, với P P Với P J cho P P ' tính thứ tự J ta có P ' P Từ xRy Q P ' xRy P ' x P ' y P ' Vì x P ' y P ' Vì P' P y P Mặt khác xRy Q xRy P" , P" J P" P ' Vậy y A, A J y Q hay Q nguyên tố Vì Q giao tất iđêan thuộc J nên Q bé J theo quan hệ bao hàm Theo Bổ Zorn ngợc F có phần tử tối tiểu Vậy P chứa iđêan nguyên tố tối tiểu Mệnh đề sau cho ta cách xây dựng iđêan nguyên tố vành dựa vào tập hợp khép kín phép nhân Mệnh đề Giả sử R vành, X tập hợp R cho X khép kín với phép nhân, X không chứa phần tử Giả sử P iđêan R tối đại iđêan R có giao với X rỗng Khi P iđêan nguyên tố Chứng minh: Ta chứng minh R P vành nguyên tố, giả sử I=I ' P ,J =J ' ' ' R P iđêan vành P ( I , J iđêan R chứa P ) với IJ = R P ta chứng minh I ' = P J ' = P Giả sử I ' , J ' iđêan R chứa thực P Do tính tối đại P (với tính chất không giao với X ) ta có I ' X , J ' X x I ' X , y J ' X ' ' ' ' ' ' ' ' xy X , xy I J I J X I J P, I J R P nguyên tố Suy P nguyên tố Mệnh đề Iđêan P vành R nguyên tố R P vành nguyên tố Chứng minh ( ) Giả sử P iđêan nguyên tố, giả sử I , J iđêan R Sao cho IJ = ; R P P Ta cần chứng minh: I = J = I iđêan R P nghĩa tồn I ' iđêan R cho I ' ' chứa P I = I P J iđêan R P nghĩa tồn J ' iđêan R cho J ' ' chứa P J = J P ' ' IJ = ; R P I J P , Do P nguyên tố, Suy I ' P J' P ' ' Vì I ' P, J ' P I ' = P J ' = P Hay I = I P , J = J P I = J = R P Vậy R P vành nguyên tố Nếu P iđêan R cho R P nguyên tố Ta có iđêan nguyên tố R P mà = R P A, B iđêan R AB P , ( A + P) Khi P , ( A + P) ( B + P) P P ( B + P) iđêan R P P = ( AB + AP + PB + P ) P =0 10 Suy A P B P Đối với iđêan nửa nguyên tố ta có mệnh đề tơng tự nh mệnh đề nhận biết iđêan nguyên tố Lập luận chứng minh đợc thực tơng tự Mệnh đề Giả sử P iđêan vành có đơn vị R Khi phát biểu sau tơng đơng: ( a) P iđêan nửa nguyên tố ( b) Với iđêan trái I R cho I2 P suy I P ( c) Mọi x R cho xRx P x P Trong (b) thay iđêan trái iđêan phải Định nghĩa Iđêan I vành R đợc gọi iđêan lũy linh (nilpotent) tồn n N cho I n = Iđêan I vành R đợc gọi iđêan linh (nil) phần tử I phần tử lũy linh Chú ý In chứa tất tích a1 a2 an, thuộc I, với i = 1, 2, , n tổng hữu hạn tích nh Ta có In = xảy a1a2 an = 0, với I Từ điều suy hệ sau Hệ Nếu I iđêan lũy linh phần tử I phần tử lũy linh Hệ khẳng định iđêan lũy linh iđêan linh Tuy nhiên điều ngợc lại không trờng hợp tổng quát: Tồn vành mà có iđêan linh nhng không lũy linh 1.1.2 Linh hóa tử tập hợp vành Định nghĩa Cho vành R A tập hợp R 30 X P Điều trực tiếp Y = r ( Ai X ) R P thỏa mãn i i ACC DCC linh hóa tử phải với i ( B + Pi ) Tập Bi = I Ai Chúng ta i Pi cốt yếu nh iđêan phải cốt yếu R P Giả sử K iđêan phải R cho i K Bi Pi K Bi = Bi Pi = Vì k I Ai = K Ai = ( B + Pi ) Do K l ( Ai ) tức K Pi Điều kéo theo i Pi iđêan phải cốt yếu R P Vì tồn xi Bi cho a + xi c ( Pi ) Chú ý i xi I Pj với j i Tập phần tử c = a + x1 + L + xn c a + I Giả sử y R với cy = trờng hợp đặc biệt có cy p1 Nhng xi y P1 với i Vì ( a + x1 ) y P1 Nhng a + x1 c ( P1 ) có y P1 Tơng tự y Pi với i y = Do r ( c ) = Tơng tự l ( c ) = Vậy c phần tử giản ớc đợc 2.2.3 Vành Goldie phải nửa nguyên tố với điều kiện DCC Trớc hết ta nêu định nghĩa khái niệm vành Goldie Định nghĩa Vành R đợc gọi vành Goldie phải R vành có chiều Goldie phải hữu hạn thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải Từ định nghĩa ta thấy vành Noether phải vành Goldie phải Tuy nhiên có vành Goldie phải nhng vành Noether điều kiện ACC thỏa mãn iđêan phải linh hóa tử không thỏa mãn cho iđêan phải Mệnh đề 12 Giả sử R vành Goldie phải nửa nguyên tố phần tử giản ớc trái R phần tử giản ớc đợc 31 Chứng minh Vì R vành Goldie phải nên R thỏa mãn ACC linh hóa tử phải theo mệnh đề 2, iđêan suy biến phải Z R luỹ linh Do R nửa nguyên tố nên từ tính luỹ linh Z ta suy Z = Vì R vành không suy biến phải Vì vành R vành Goldie phải nên R có chiều Goldie hữu hạn Từ tính chất không suy biến phải có chiều Goldie phải hữu hạn R, theo mệnh đề ta có kết luận phần tử giản ớc đợc bên trái phần tử giản ớc đợc Mệnh đề 13 Giả sử R vành Goldie phải nửa nguyên tố I iđêan phải cốt yếu R Khi I chứa phần tử giản ớc đợc R Chứng minh Chúng ta I chứa phần tử giản ớc đợc bên trái sau áp dụng mệnh đề 12 Theo mệnh đề 3, ta có I iđêan phải linh (nil) Giả sử a1 phần tử không lũy linh I với r ( a1 ) lớn đợc Chúng ta có r ( a1 ) r ( a1 ) a12 phần tử không lũy linh I Theo cách chọn a1 có r ( a1 ) = r ( a1 ) Nếu r ( a1 ) = a1 phần tử giản ớc đợc bên trái ta có điều phải chứng minh Nếu r ( a1 ) r ( a1 ) I , I cốt yếu R Do tồn phần tử a2 không luỹ linh thuộc r ( a1 ) I Chọn a2 phần tử không lũy linh thuộc r ( a1 ) I cho r ( a2 ) lớn (theo quan hệ bao hàm) đợc Khi r ( a2 ) = r ( a2 ) Giả sử a1r1 = a2 r2 với phần tử r1 , r2 R Bởi a1a2 = có a12 r1 = Điều dẫn đến a1r1 = Do tổng a1R + a2 R tổng trực tiếp Lí luận tơng tự ta có r ( a1 + a2 ) = r ( a1 ) r ( a2 ) Nếu r ( a1 + a2 ) = có a1 + a2 phần tử giản ớc đợc bên trái dừng lại Nếu không, giả sử a3 phần tử không lũy linh r ( a1 + a2 ) I với 32 r ( a3 ) lớn đợc Khi r ( a3 ) = r ( a32 ) tổng a1R + a2 R + a3 R trực tiếp (Bởi a1a2 = a1a3 = a2 a3 = ) Do r ( a1 + a2 + a3 ) = r ( a1 ) r ( a2 ) r ( a3 ) Bởi R có chiều Goldie phải hữu hạn nên trình phải dừng sau số hữu hạn buớc Khi ta chọn đợc phần tử a1 ,L, an I cho r ( a1 + L + an ) = áp dụng mệnh đề 12 ta suy điều phải chứng minh Hệ 14 Một vành Goldie phải nửa nguyên tố thoả mãn DCC linh hóa tử phải Hệ 15 Giả sử R vành Goldie phải nửa nguyên tố Giả sử I iđêan phải cốt yếu R giả sử a R , a + I chứa phần tử giản ớc đợc R Mệnh đề 16 Giả sử R vành Goldie phải nửa nguyên tố giả sử I iđêan phải cốt yếu R , I đợc sinh nh iđêan phải tập phần tử giản ớc đợc R thuộc I Chứng minh Giả sử T iđêan phải R đợc sinh tập phần tử giản ớc đợc R thuộc I Chúng ta biết I chứa phần tử giản ớc đợc, c chẳng hạn Bởi cR iđêan phải cốt yếu R nên T Giả sử a I a + t giản ớc đợc với t T Vì a + t T a T 2.3 Vành hữu hạn trực giao đếm đợc linh hóa tử phải Trong mục hệ thống hóa số kết vành có đếm đợc linh hóa tử thỏa mãn điều kiện ACC DCC iđêan linh hóa tử phải số điều kiện hữu hạn khác phần tử lũy đẳng trực giao 2.3.1 Điều kiện hữu hạn trực giao vành 33 Trong mục xét mối quan hệ tính hữu hạn trực giao điều kiện chuỗi tăng (ACC) linh hóa tử phải điều kiện chuỗi giảm (DCC) linh hóa tử phải Trớc tiên ta định nghĩa vài khái niệm Định nghĩa Tập hợp {ei, i I} phần tử lũy đẳng vành R đợc gọi tập hợp lũy đẳng trực giao eiej = 0, với i j Vành R đợc gọi thỏa mãn điều kiện hữu hạn trực giao R không chứa tập hợp gồm vô hạn phần tử lũy đẳng trực giao khác Mệnh đề 17 Giả sử R vành phát biểu sau tơng đơng: (a) R thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng (ACC) (tơng ứng thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm (DCC)) linh hóa tử phải; (b) R hữu hạn trực giao R thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng (tơng ứng thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm) linh hóa tử phải không chứa luỹ đẳng khác không Chứng minh (a) suy (b) hiển nhiên Ta chứng minh (b) suy (a) Giả sử R hữu hạn trực giao R thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng linh hóa tử phải không chứa luỹ đẳng khác không Giả sử I1 I L chuỗi tăng linh hoá tử phải Từ R hữu hạn trực giao, I = i I i không chứa tập vô hạn gồm luỹ đẳng trực giao Do tồn luỹ đẳng e I cho ( e ) I không chứa luỹ đẳng khác không Khi e I j j Theo giả thiết e , ( e ) I j ( e ) I j +1 L chuỗi tăng linh hoá tử phải không chứa luỹ đẳng khác không Khi tồn k j cho ( e ) I k = ( e ) I k +1 = L Từ e I j , I m = eR ( e ) I m với m j Từ I k = eR ( e ) I k = eR ( e ) I k + m = I k + m với m 34 Tiếp theo ta giả sử R hữu hạn trực giao R thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm linh hóa tử phải không chứa luỹ đẳng khác không Giả sử I1 I L chuỗi giảm linh hóa tử phải Từ R hữu hạn trực giao, I = Ii I i chứa luỹ đẳng e cho ( e ) I không chứa luỹ đẳng khác không Chúng ta thấy tồn số nguyên dơng j cho linh hóa tử phải ( e ) I j không chứa luỹ đẳng khác không Khi tồn k j cho ( e ) I k = ( e ) I k +1 = L I k = eR ( e ) I k = eR ( e ) I k +m = I k + m m Ví dụ sau chứng tỏ điều kiện R vành hữu hạn trực giao thỏa mãn ACC (tơng ứng DCC) linh hóa tử phải không chứa lũy đẳng khác 0) (b) định lý độc lập với bỏ đợc Ví dụ Giả sử F trờng giả sử A = Ai Ai = F [ x ] i =1 vành đa thức trờng F Khi A thoả mãn ACC (tơng ứng DCC ) linh hóa tử phải không chứa lũy đẳng khác không, nhng A hữu hạn trực giao không thỏa mãn ACC cho tất linh hóa tử phải Tiếp theo giả sử R vành A sinh i =1 Si 1A , Si = xF [ x ] iđêan Ai sinh x i = 1,2,L Khi R vành có luỹ đẳng 1A nên R thỏa mãn điều kiện hữu hạn trực giao nhng R không thỏa mãn điều kiện ACC (tơng ứng DCC ) linh hóa tử phải không chứa lũy đẳng khác không Vành Baer vành tựa Baer vành đợc định nghĩa thông qua điều kiện iđêan linh hóa tử phải hay trái Sau định nghĩa suy số kết vành 35 Định nghĩa Một vành R đợc gọi vành Baer iđêan linh hóa tử phải trái đợc sinh phần tử lũy đẳng Vành R đợc gọi vành tựa Baer linh hóa tử phải iđêan R đợc sinh lũy đẳng R Sau hệ trực tiếp định lý liên quan đến vành Baer thuộc tính hữu hạn trực giao Hệ 18 Đối với vành R cho trớc, phát biểu sau tơng đơng: (a) Mọi linh hóa tử phải khác không R chứa luỹ đẳng khác không R hữu hạn trực giao; (b) R vành Bear hữu hạn trực giao; (c) Mọi linh hóa tử phải khác không R chứa luỹ đẳng khác không R thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải Một vành Bear đếm đợc có số đếm đợc linh hóa tử phải Khái quát hơn, linh hóa tử phải vành đếm đợc R linh hóa tử phải tập hợp hữu hạn R R chứa số đếm đợc linh hóa tử phải Ngời ta chứng minh đợc vành đếm đợc thỏa mãn điều kiện DCC linh hóa tử chứa số đếm đợc linh hóa tử phải Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 19 Các phát biểu sau tơng đơng: (a) R vành thoả mãn điều kiện DCC linh hóa tử phải; (b) Đối với tập S khác rỗng R tồn tập hợp hữu hạn ( ) S ' S cho r ( S ) = r S ' Chứng minh Chứng minh (a) (b) Giả sử S khác rỗng R , giả sử a1 S Nếu r ( S ) ỉ r ( a1 ) , tồn a2 S cho r ( a1 ) r ( a1 , a2 ) tiếp tục trình thu đợc chuỗi giảm thực 36 linh hóa tử phải Từ R thỏa mãn điều kiện DCC linh hóa tử phải, r ( S ) = r ( a1 , a2 ,L an ) , với a1 , a2 ,L, an S Chứng minh (b) (a) Giả sử r ( S1 ) r ( S2 ) L chuỗi giảm linh hóa tử phải dễ thấy i r ( Si ) = r ( i Si ) Theo giả thiết, tồn ' tập hữu hạn S ' Ui Si cho r ( S ) = r ( Ui Si ) Vì S ' hữu ' hạn nên tồn i1 < i2 < L < ik cho S Si1 Si2 L Sik Khi ( ) ( ) r Sik = r Sik + j j = 1,2,L, Hệ 20 Nếu vành đếm đợc R thỏa mãn điều kiện ACC DCC linh hóa tử phải R có số đếm đợc linh hóa tử phải Chứng minh Nếu R thỏa mãn điều kiện DCC linh hóa tử phải tập linh hóa tử phải đếm đợc theo mệnh đề 19 Nếu R thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải R thoả mãn điều kiện DCC linh hóa tử trái Thế tập hợp linh hóa tử trái đếm đợc Vì có tơng ứng 1-1 tập hợp linh hóa trái tập hợp linh hóa phải nên tập hợp linh hóa tử phải đếm đợc Trong phần hệ thống hóa số kiến thức đến vành nửa nguyên tố có liên quan đến điều kiện ACC DCC linh hóa tử Phần sau hệ thống hóa số kiến thức liên quan đến vành nửa nguyên tố có số đếm đợc linh hóa tử phải 2.3.2 Về vành nửa nguyên tố với số đếm đợc linh hóa tử phải Trớc hết nhắc lại khái niệm số lũy linh tập hợp vành Định nghiã Cho R vành A tập hợp R Ta nói A có số lũy linh giới nội tồn số nguyên dơng n cho phần tử a A có an = 37 Khi A = R ta nói vành R có số lũy linh giới nội Đôi ngời ta sử dụng cách nói vắn tắt R có số giới nội thay cho cách nói đầy đủ R có số lũy linh giới nội Mệnh đề sau liên quan đến vành nửa nguyên tố có số giới nội Đối với họ tập hợp vành R cho trớc ta có khái niệm độc lập theo linh hóa tử phải nh sau Định nghĩa Cho R vành {Si, i I} họ tập hợp R Họ cho đợc gọi độc lập theo linh hóa tử phải với tập hợp J, K phân biệt I có r(iJSi) r( iKSi) Vì tập hợp tập tập hợp đếm đợc tập hợp có lực lợng continum nên ta có hệ sau Mệnh đề 21 Nếu R có số đếm đợc linh hoá phải (tơng ứng linh hoá tử phải iđêan) Khi R họ vô hạn tập (tơng ứng họ iđêan) R độc lập theo linh hóa tử phải Mệnh đề 22 Giả sử R vành nửa nguyên tố đếm đợc R vành tựa Bear R tổng trực tiếp hữu hạn vành nguyên tố Chứng minh Hiển nhiên tổng trực tiếp hữu hạn vành nguyên tố vành tựa Baer Đảo lại giả sử R vành tựa Bear Khi từ R đếm đợc nên R có số đếm đợc linh hóa tử phải iđêan Khi theo mệnh đề 21, R có chiều Goldie hữu hạn, gọi số chiều n Do R chứa tổng trực tiếp gồm n hạng tử I1 I L I n I i iđêan khác không R Đặt Rk = r ( I ik i ) với k = 1,2,L, n , Ri vành nguyên tố R = R1 R2 L Rn Mệnh đề sau cho đặc trng vành nửa nguyên tố đếm đợc với số lũy linh giới nội có đếm đợc linh hóa tử phải 38 Mệnh đề 23 Giả sử R vành nửa nguyên tố đếm đợc có số giới nội Khi mệnh đề sau tơng đơng: (a) R có số đếm đợc linh hóa tử phải; (b) Tồn số dơng n cho chuỗi tăng linh hóa tử phải R có nhiều n bao hàm thức; (c) R thỏa mãn điều kiện AAC linh hóa tử phải Chứng minh (a) (b) Theo mệnh đề 21, R có chiều Goldie hữu hạn Do ta có iđêan I1 , I ,L, I m R cho I1 I L I m iđêan (phải) cốt yếu R Chúng ta r ( I i ) iđêan nguyên tố R với i = 1,2,L, m Giả sử I , J iđêan R cho IJ r ( I i ) giả sử I i I Khi ( I1 L I i I i I I i+1 L I m ) I i J = Từ ( I1 L I i I i I I i +1 L I m ) iđêan cốt yếu phải R Từ R không suy biến theo kết j Hannah, dẫn theo [8], ta có I i J = Do r ( I i ) iđêan nguyên tố R Chúng ta có Ini=1 r ( I i ) = r ( I1 I L I m ) = Do R đợc n R nhúng vào i =1 r ( I ) Giả sử k số luỹ linh R số i R r ( I i ) k theo kết E P Armendariz, dẫn theo [8], theo kết j Hannah, dẫn theo [8], chuỗi tăng linh hóa tử phải R r ( I i ) có nhiều k bao hàm thức Từ R đợc nhúng n R vào i =1 r ( I ) , chuỗi tăng linh hóa tử phải R có nhiều i mk bao hàm thức 39 (b) (c) hiển nhiên (c) (a) Đợc suy từ hệ 20 2.3.3 Vành P-nội xạ với điều kiện chuỗi linh hóa tử Định nghĩa Cho M môđun phải vành R M đợc gọi môđun Pnội xạ với iđêan phải I R, đồng cấu R-môđun phải từ I vào M mở rộng đợc thành đồng cấu từ R vào M Điều kiện nêu định nghĩa phát biểu d ới dạng sau: môđun M P-nội xạ với phần tử a thuộc R, đồng cấu R-môđun phải f từ aR vào M đợc cho dới dạng phép nhân với phần tử m M Một vành R đợc gọi P- nội xạ phải RR P- nội xạ Khái niệm xuất lần báo Ikeda Nakayama vào năm 1954 Đây mở rộng khái niệm môđun nội xạ dựa theo dấu hiệu Baer cách thay điều kiện iđêan phải iđêan phải Chúng ta biết vành R quy von Neumann iđêan phải R hạng tử trực tiếp R Từ suy vành quy von Neuman P- nội xạ phải Vành quy vành không suy biến Sau số đặc trng vành P-nội xạ phải Mệnh đề 24 Đối với vành R phát biểu sau tơng đơng: (a) R vành P-nội xạ; (b) l(r(a)) = Ra, với phần tử a R; (c) r(a) r(b), với a, b R suy Rb Ra; (d) l(bR r(a)) = l(b) + Ra, với a, b R; (e) Nếu f : aR R, a R, đồng cấu R môđun f(a) Ra Chứng minh (a) (b).Ta luôn có Ra l(r(a)) Nếu b l(r(a)) r(a) r(b) Do f: aR R đợc xác đinh f(ar) = br ánh xạ Thế 40 f cho phép nhân bên trái với phần tử c đó, c R, (a) Khi b = f(a) = ca Ra (b) (c) Nếu r(a) r(b) b l(r(a)) Do b Ra, (b) Điều suy Rb Ra (c) d) Giả sử x l(bR r(a)) Khi r(ab) r(xb) nên xb = rab phần tử r R Vì x - l(b), hay x = l(b) + Điều chứng tỏ l(bR r(a)) l(b) + Ra Bao hàm thức ngợc lại luôn Vậy ta có đẳng thức l(bR r(a)) = l(b) + Ra, với a, b R (d) (e) Giả sử f: aR R đồng cấu R-môđun f(a) = d Khi r(a) r(d), nên d l(r(a)) Nhng l(r(a)) = Ra nên d Ra (e) (a) Giả sử f : aR R theo (e) ta có f ( a ) = ca , với phần tử c thuộc R Khi f cho phép nhân vào bên trái phần tử c Vì (a) Mệnh đề 25 Giả sử R vành Baer quy với | R |< c (c lực lợng continuum) Khi R vành artin nửa đơn Chứng minh Định lý đợc chứng minh R thỏa mãn ACC iđêan trái Giả sử Re1 Re L chuỗi tăng nghiêm ngặt en = en với n Rõ ràng en en+1 = en với n Ta đặt f1 = e1 , f n+1 = f n + en+1 en +1 f n Kiểm tra đợc Ren = Rf n f n f n+1 = f n+1 f n = f n với n Vì thế, theo phơng pháp quy nạp ta có, f n f m = f m f n = f n với m > n Đặt g n = f n f n+1 Thế g n = g n với n g m g n = m n Chú ý g n , từ Rf n = Ren Re n+1 = Rf n+1 Với tập S khác rỗng tập hợp số tự nhiên, chọn lũy đẳng hS R cho linh hóa tử phải { gi : i S } ( hS ) R Rõ ràng gi hS = g i với i S , ( hS ) g k = g k ( tức hS g k = ) với k S Chú ý hS g k = keo theo g k hS g k = g k hS g k Vì S 41 T tập khác tập hợp số tự nhiên, hS hT Điều mâu thuẫn với giả thiết | R |< c Từ suy điều phải chứng minh Mệnh đề sau cho số đặc trng vành P-nội xạ phải không suy biến phải có chiều Goldie hữu hạn Mệnh đề 26 Giả sử R vành P- nội xạ phải không suy biến phải mệnh đề sau tơng đơng: (a) R thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải; (b) R có chiều Goldie phải hữu hạn ; (c) R vành Artin nửa đơn Chứng minh (a) (c) Theo kết Ikeda Nakayama, dẫn theo [8] , vành R P- nội xạ phải iđêan trái R linh hóa tử trái Từ R thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải, R thoả mãn điều kiện DCC linh hóa tử trái Do R thoả mãn điều kiện DCC iđêan trái R vành hoàn thiện phải Theo kết đợc trình bày [Stentrom], R nửa nguyên sơ Giả sử Jacobson J ( R ) , giả sử r ( a ) tối đại tập { r ( x ) | x J ( R ) } Từ R không suy biến trái, r ( a ) cốt yếu Từ ta chọn phần tử b khác không b R cho r ( a ) bR = Từ R nửa artinian phải giả sử bR iđêan phải tối tiểu R Do ab , bR abR Từ r ( ab ) r ( b ) r ( b ) iđêan phải tối đại R , r ( b ) = r ( ab ) Do Rb = l ( r ( b ) ) = l ( r ( ab ) ) = Rab Do b = cab với c c R , b r ( a aca ) Suy r ( a ) ỉ r ( a aca ) Từ r ( a ) tối đại tập { r ( x ) | x J ( R ) } , kết luận a aca = Khi 42 J ( R ) chứa luỹ đẳng khác không ac, điều mâu thuẫn Từ suy J ( R ) = 0, R vành Artin nửa đơn (c) (b) hiển nhiên, môđun Artin có chiều Goldie hữu hạn (b) (a) Giả sử Q kí hiệu vành thơng bên phải tối đại R Ta biết Q vành quy von Neumann Từ RR R - môđun cốt yếu QR từ RR có chiều Goldie hữu hạn, QQ có chiều Goldie hữu hạn Từ Q vành quy, suy Q vành Artin nửa đơn Từ Q thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải, vành R Ta tổng quát hóa nh sau : Mệnh đề 27 Một vành Baer P- nội xạ phải đếm đợc vành artin nửa đơn Chứng minh Ta biết vành Baer không suy biến phải không suy biến trái Từ chứng minh mệnh đề 25 thấy vành Bear đếm đợc vành thỏa mãn điều kiện hữu hạn trực giao Theo hệ 18 trên, R thỏa mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải Từ kết luận mệnh đề đợc suy từ mệnh đề 26 Hệ 28 Giả sử R vành P- nội xạ phải nguyên tố có số giới nội Khi R vành artin đơn Kết luận chơng Trong chơng khai thác số t liệu lý thuyết vành môđun liên quan đến số lớp vành thỏa mãn điều kiện chuỗi linh hóa tử Chúng xếp chứng minh chi tiết số kết có nhằm tìm hiểu học hỏi thêm số kiến thức, rèn luyện khả tự học, bớc đầu tiếp xúc với t liệu vành môđun 43 kết luận Luận văn hệ thống hóa lại số kiến thức sở vành môđun Chúng tập trung chủ yếu vào phần tử đặc biệt, iđêan đặc biệt vành Chúng hệ thống lại số khái niệm công cụ thờng dùng nghiên cứu vành môđun nh điều kiện chuỗi, chiều Goldie, mở rộng cốt yếu phạm trù môđun Trên sở kiến thức chuẩn bị đó, tìm hiểu số kiến thức đợc công bố sách chuyên khảo báo khoa học xuất năm gần Vành nửa nguyên tố thỏa mãn ACC, DCC iđêan linh hóa tử phải Vành Goidie phải nửa nguyên tố với điều kiện DCC Vành hữu hạn trực giao đếm đợc linh hóa tử phải Vành nửa nguyên tố với số đếm đợc linh hóa tử phải Vành P-nội xạ với điều kiện chuỗi linh hóa tử 44 tài liệu tham khảo A Tiếng Việt [1] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số giáo trình sau đại học NXBGD [2] Nguyễn Tiến Quang Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết Môđun Vành, NXB Giáo dục B Tiếng Anh [3] F W Anderson and K R Fuller (1974), Rings and Categories of modules, Springer Verlag New York- Heidelberg Berlin [4] W K Nicholson and M F Yousif (2003), Quasi-Frobenius Rings, Cambridge University [5] A.W Chatter and C R Hajarnavis (1980), Rings with chain conditions, Pitman London [6] N V Dung, D V Huynh, P R Smith and R Wisbauer (1994), Extending modules, Pitman London [7] R Wisbauer (1991), Foudations of module and ring theory, Gordon and Breach Science Publishers [8] Yasuyuki Hirano and Hong Kee Kim (2005), Coutable rings with ACC on annihilators, Bull, KMS , 42 N.3, 527 534 [9] K.M Rangaswamy, Regular and Baer rings, Proc Amer Math Soc 42 (1974), 354-358 [10] Bo Stentrom (1975), Ring of Quotients, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York [...]... Sik + j đối với mỗi j = 1,2,L, Hệ quả 20 Nếu một vành đếm đợc R thỏa mãn điều kiện ACC hoặc DCC đối với linh hóa tử phải khi đó R chỉ có một số đếm đợc các linh hóa tử phải Chứng minh Nếu R thỏa mãn điều kiện DCC đối với linh hóa tử phải thì tập các linh hóa tử phải là đếm đợc theo mệnh đề 19 Nếu R thỏa mãn điều kiện ACC đối với linh hóa tử phải thì R thoả mãn điều kiện DCC đối với linh hóa tử trái... Một vành Bear đếm đợc chỉ có một số đếm đợc các linh hóa tử phải Khái quát hơn, nếu mỗi linh hóa tử phải của một vành đếm đợc R là một linh hóa tử phải của một tập hợp hữu hạn nào đó của R thì khi đó R chỉ chứa một số đếm đợc các linh hóa tử phải Ngời ta đã chứng minh đợc rằng một vành đếm đợc thỏa mãn điều kiện DCC đối với linh hóa tử chỉ chứa một số đếm đợc các linh hóa tử phải Ta có mệnh đề sau Mệnh... mãn ACC đối với iđêan linh hoá tử phải Vành nửa nguyên tố là vành có iđêan 0 là iđêan nửa nguyên tố Đối với các vành nửa nguyên tố thỏa mãn điều kiện ACC đối với các iđêan suy biến phải ta có tính chất sau đây về các iđêan linh Mệnh đề 3 Giả sử R là một vành nửa nguyên tố thoả mãn điều kiện ACC đối với linh hóa tử phải Khi đó R không có iđêan một phía khác không linh (nil) Chứng minh Giả sử I là một iđêan... a + t là giản ớc đợc với mỗi t T Vì thế a + t T vậy a T 2.3 Vành hữu hạn trực giao và đếm đợc linh hóa tử phải Trong mục này chúng tôi hệ thống hóa một số kết quả về các vành có đếm đợc linh hóa tử thỏa mãn điều kiện ACC hoặc DCC đối với các iđêan linh hóa tử phải và một số điều kiện hữu hạn khác đối với các phần tử lũy đẳng trực giao 2.3.1 Điều kiện hữu hạn trực giao của vành 33 Trong mục này... quan đến các vành nửa nguyên tố có một số đếm đợc các linh hóa tử phải 2.3.2 Về vành nửa nguyên tố với một số đếm đợc linh hóa tử phải Trớc hết chúng tôi nhắc lại khái niệm về chỉ số lũy linh của một tập hợp trong một vành Định nghiã 6 Cho R là một vành và A là một tập hợp con của R Ta nói A có chỉ số lũy linh giới nội nếu tồn tại số nguyên dơng n sao cho mọi phần tử a của A luôn có an = 0 ... chung là điều kiện chuỗi Các điều kiện chuỗi lúc đầu đợc phát biểu cho tập hợp đợc sắp thứ tự Khi áp dụng các điều kiện chuỗi cho các môđun hay vành trong đó quan hệ thứ tự đợc chọn là quan hệ bao hàm ta nhận đợc các lớp môđun thỏa mãn điều kiện chuỗi (đối với quan hệ bao hàm) Ngày nay điều kiện chuỗi đã trở thành một công cụ để 18 mô tả tính chất các vành và môđun Sau đây chúng tôi nhắc lại một số khái... trực giao và điều kiện chuỗi tăng (ACC) đối với linh hóa tử phải và điều kiện chuỗi giảm (DCC) đối với linh hóa tử phải Trớc tiên ta định nghĩa một vài khái niệm Định nghĩa 4 Tập hợp {ei, i I} các phần tử lũy đẳng của một vành R đợc gọi là tập hợp các lũy đẳng trực giao nếu eiej = 0, với i j Vành R đợc gọi là thỏa mãn điều kiện hữu hạn trực giao nếu R không chứa tập hợp gồm vô hạn phần tử lũy đẳng... nghĩa thông qua các điều kiện đối với các iđêan linh hóa tử phải hay trái Sau đây chúng ta định nghĩa và suy ra một số kết quả về các vành này 35 Định nghĩa 5 Một vành R đợc gọi là vành Baer nếu mỗi iđêan linh hóa tử phải và trái đợc sinh bởi một phần tử lũy đẳng Vành R đợc gọi là vành tựa Baer nếu linh hóa tử phải của mọi iđêan của R đều đợc sinh bởi một lũy đẳng của R Sau đây là một hệ quả trực tiếp... tối tiểu nếu và chỉ nếu nó là một iđêan linh hóa tử Chứng minh (a) Để đơn giản, ta gọi một iđêan nguyên tố và là một linh hóa tử là một nguyên tố linh hóa tử Đầu tiên ta chỉ ra rằng mọi iđêan linh hóa tử của R chứa một tích các nguyên tố linh hóa tử Giả sử ngợc lại, thế thì có một iđêan linh hóa tử A tối đại với thuộc tính nó không chứa một tích các nguyên tố linh hóa tử Bởi vì A không nguyên tố nên... phần tử lũy đẳng trực giao khác 0 Mệnh đề 17 Giả sử R là một vành khi đó các phát biểu sau đây là tơng đơng: (a) R thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng (ACC) (tơng ứng thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm (DCC)) đối với linh hóa tử phải; (b) R là hữu hạn trực giao và R thỏa mãn điều kiện chuỗi tăng (tơng ứng thỏa mãn điều kiện chuỗi giảm) đối với linh hóa tử phải không chứa các luỹ đẳng khác không Chứng minh (a) ... iđêan vành, linh hoá tử tập hợp vành, môđun cốt yếu, môđun suy biến, môđun nội xạ, điều kiện chuỗi kiến thức liên quan Chơng Tập trung tìm hiểu số lớp vành sau: Vành nửa nguyên tố với điều kiện chuỗi, ... đợc lớp môđun thỏa mãn điều kiện chuỗi (đối với quan hệ bao hàm) Ngày điều kiện chuỗi trở thành công cụ để 18 mô tả tính chất vành môđun Sau nhắc lại số khái niệm môđun vành với điều kiện chuỗi. .. mãn điều kiện ACC linh hóa tử phải Một vành Bear đếm đợc có số đếm đợc linh hóa tử phải Khái quát hơn, linh hóa tử phải vành đếm đợc R linh hóa tử phải tập hợp hữu hạn R R chứa số đếm đợc linh