Về một số lớp vành thoả nãm điều kiện chuỗi đối với linh hoá tử

1 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh ==== o0o ==== ngô văn nghĩa Về số lớp vành thỏa mÃn điều kiện chuỗi linh hóa tử Chuyên ngành: Đại số lí thuyết số Mà số : 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học C¸n bé h-íng dÉn khoa häc TS chu träng Vinh 2009 mở đầu Trong nghiên cứu vành điều kiện chuỗi đóng vai trò nh- công cụ thông dụng hữu ích Có nhiều lớp vành đà đ-ợc nghiên cứu nhờ sử dụng điều kiện chuỗi môđun Trong ch-ơng trình học tập bậc Sau đại học chuyên ngành Đại số Lý thuyết số chuyên đề Lý thuyết vành Lý thuyết môđun đà gợi mở số vấn đề cấu trúc đại số Qua việc nghiên cứu tài liệu tham khảo, đ-ợc biết gần có nhiều ng-ời nghiên cứu số lớp vành thỏa mÃn điều kiện chuỗi linh hóa tử Với mong muốn đ-ợc tiếp tục học tập, tích lũy thêm kiến thức rèn luyện khả tự học, làm quen với nguồn tliệu lĩnh vực lý thuyết vành môđun, chọn đề tài luận văn là: Về số lớp vành thỏa mÃn điều kiện chuỗi linh hóa tử Luận văn chủ yếu nhằm tìm hiểu kiÕn thøc thc lÜnh vùc ®· chän, hƯ thèng hãa kiến thức tìm hiểu đ-ợc, xếp lại thành tài liệu chuyên đề có tính hệ thống Đây công việc không dễ dàng tác giả Vì kiến thức liên quan với mét diƯn réng lín NhiỊu chøng minh cđa c¸c kÕt tác giả đà sử dụng nhiều t- liệu tạp chí mà tác giả điều kiện tìm đọc đ-ợc Vì không tránh khỏi chỗ việc trình bày, hệ thống hóa ch-a đ-ợc thực rõ ràng Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đ-ợc chia thành ch-ơng: Ch-ơng Trình bày khái niệm tính chất iđêan vành, linh hoá tử tập hợp vành, môđun cốt yếu, môđun suy biến, môđun nội xạ, điều kiện chuỗi kiến thức liên quan Ch-ơng Tập trung tìm hiểu số lớp vành sau: Vành nửa nguyên tố với điều kiện chuỗi, vành Goldie nửa nguyên tố, vành hữu hạn trực giao đếm đ-ợc linh hóa tử phải Luận văn hoàn thành tr-ờng Đại học Vinh vào tháng 12 năm 2009 Nhờ h-ớng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo TS Chu Trọng Thanh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và biết ơn sâu sắc tới thầy, ng-ời đà tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi tới thầy giáo, cô giáo tổ Đại số, khoa Toán, khoa Đào tạo sau đại họctr-ờng Đại học Vinh lời cảm ơn chân thành.Tác giả xin cảm ơn tr-ờng THPT Bắc Quỳnh L-u đà tạo điều kiện để tác giả đ-ợc theo học ch-ơng trình đào tạo sau đại học Xin cảm ơn bạn bè ng-ời thân đà động viên, khích lệ tác giả hoàn thành ch-ơng trình học tập nghiên cứu Mặc dầu đà cố gắng trình nghiên cứu, tham khảo tài liệu nh- tiếp thu ý kiến đóng góp nh-ng luận văn khó tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong tiếp tục nhận đ-ợc ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn Vinh, tháng 12 năm 2009 Ngô Văn Nghĩa ch-ơng kiến thức chuẩn bị Việc nghiên cứu tính chất vành xuất phát từ điều đà biết hay đ-ợc thừa nhận đà có (tức tiên đề) vành đó, xuất phát từ điều đà biết hay điều kiện giả thiết đà có môđun thuộc lớp môđun vành đ-ợc chọn tr-ớc Những tính chất ban đầu vành môđun đóng vai trò công cụ để tìm hiểu vành Vì ch-ơng trình bày khái niệm sở vành môđun với tính chất đối t-ợng Những kiến thức sở hệ thống hóa, xếp lại chủ yếu dựa theo tài liệu tham khảo đ-ợc liệt kê cuối luận văn Chúng ta bắt đầu với kiến thức sở vành 1.1 số kiến thức sở vành Trong luận văn vành nói đến đ-ợc giả thiết vành kết hợp Đối với vành R cho tr-ớc phần tử đơn vị có đ-ợc kí hiệu 1.1.1 Một số khái niệm iđêan vành Định nghĩa Giả sư R lµ mét vµnh cho tr-íc vµ I lµ iđêan R Iđêan I đ-ợc gọi iđêan nguyên tố (prime) với iđêan A, B vành R cho AB I suy A I B I Iđêan I vành R đ-ợc gọi iđêan hoàn toàn nguyên tè (completely prime) nÕu víi mäi phÇn tư a, b cđa vµnh R mµ ab  I suy a I b I Iđêan I vành R đ-ợc gọi iđêan nửa nguyên tố (semiprime) I giao họ iđêan nguyên tố Vành R đ-ợc gọi vành nguyên tố iđêan R iđêan nguyên tố Vành R đ-ợc gọi vành nửa nguyên tố iđêan R iđêan nửa nguyên tố Đối với vành giao hoán hai khái niệm iđêan nguyên tố iđêan hoàn toàn nguyên tố trùng Trong phần sau mục dẫn chứng minh khẳng định vành iđêan hoàn toàn nguyên tố iđêan nguyên tố nh-ng chiều ng-ợc lại không Định nghĩa Iđêan M vành R đ-ợc gọi iđêan tối đại (maximal) R chứa thực M M không bị chứa th-c iđêan khác R Iđêan I vành R đ-ợc gọi iđêan tối tiểu (minimal) I không chứa thực iđêan R Chúng nhắc khái niệm tổng, tích hai tập hợp A B khác rỗng vành R nh- sau: A + B = {a + b| a  A, b  B}; AB = {ni=1 aibi, n  N} Tổng hai tập hợp xác định nh- hoàn toàn tự nhiên đơn giản nh-ng tích hai tập hợp có phần phức tạp Rõ ràng tích AB chứa phần tử dạng tích ab, với a A, b B Ngoài phần tử AB chứa tổng số hữu hạn tích phần tử nh- Khái niệm tích iđêan lũy thừa iđêan đ-ợc nói đến phần sau đ-ợc hiểu theo nghĩa tích tập hợp vành xác định Mệnh đề sau cho thấy mối quan hệ khái niệm iđêan nguyên tố iđêan tối đại vành có đơn vị Mệnh đề Trong vành có đơn vị iđêan tối đại nguyên tố Chứng minh Giả sử M tối đại vành có đơn vị R , A, B iđêan R cho AB M , A  M ta chøng minh B  M Giả sử ng-ợc lại B M Vì M iđêan tối đại R A  M nªn ta cã A + M = R T-¬ng tù cịng cã B + M = R Theo giả thiết, vành R có đơn vị nên R.R = R V× vËy ta cã: R   A  M  B  M   AB  AM  BM  M  AB  M Từ giả thiết AB M M bị chứa thực R, đẳng thức AB M R xẩy Vì ta phải có B M Mệnh đề sau cho dấu hiệu nhận biết iđêan iđêan nguyên tố vành có đơn vị Mệnh đề Giả sử P iđêan vành có đơn vị R Khi phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (a) P iđêan nguyên tố; (b) Với iđêan trái I , J cña R cho IJ  P , suy I  P hc J  P ; (c) Mäi x, y  R cho xRy P x P y P Trong (b) thay iđêan trái iđêan ph¶i Chøng minh Tr-íc hÕt ta chøng minh  a    b  Gi¶ sư cã (a) I , J iđêan trái R cho IJ P Khi IR, JR iđêan R Từ giả thiết IJ P, ta cã IR.JR  IJR  P Do P iđêan nguyên tố, ta có IR P JR P Vì R có đơn vị nên I IR J JR Vì ta cã I  P hc J  P, tøc (b) Ta chứng minh b c Giả sử có (b) x, y  R cho xRy  P Khi R vành có đơn vị nên Rx, Ry iđêan trái R Rx  Ry   R  xRy   P Điều suy Rx P Ry P Vì x Rx y Ry nên từ Rx  P hc Ry  P ta cã x  P hc y  P Ta chøng minh  c    a  Gi¶ sư (c) I , J iđêan R cho víi I  P, J  P ta chøng minh IJ  P V× I  P nên tồn x I \ P Vì J P nên tồn yJ \ P Khi theo (c) ta cã xRy  P V× x I nên xR I, yJ nên xRy  IJ Do xRy  IJ vµ xRy  P nªn ta cã IJ  P VËy P nguyªn tè Mệnh đề a Trong vành iđêan hoàn toàn nguyên tố iđêan nguyên tố b Trong vành giao hoán iđêan nguyên tố iđêan hoàn toàn nguyên tố Chứng minh (a) Giả sử P iđêan hoàn toàn nguyên tố I , J iđêan R cho IJ  P, I  P, ta chøng minh J  P Tõ I  P ta suy tån phần tử x I \ P Vì IJ P xI nên xJ P Do với mäi yJ ta cã xy  P Do P iđêan hoàn toàn nguyên tố R nên ta có x P y P Vì x P nên ta có y P Vì phần tử J thuộc P nên J P (b) Giả sử R vành giao hoán, ta chứng minh iđêan nguyên tố iđêan hoàn toàn nguyên tố Thật vậy, giả sử P iđêan nguyên tố x, y phÇn tư thc R cho xy  P ta chứng minh xP yP Vì xy P nên xyR P Do R vành giao hoán nªn xyR  xRy  xRy  P Do P iđêan nguyên tố nên suy x P y P Vậy P iđêan hoàn toàn nguyên tố Định nghĩa Iđêan nguyên tố P đ-ợc gọi iđêan nguyên tố tối tiểu P không chứa thực iđêan nguyên tố Mệnh đề Mọi iđêan nguyên tố vành R chứa iđêan nguyên tố tối tiểu Chứng minh Giả sử P iđêan nguyên tố vành R Xét họ F tất iđêan nguyên tố chứa P Khi P F nên F Giả sử J F tập thø tù tun tÝnh theo quan hƯ bao hµm LÊy Q giao tất phần tử thuộc J Khi ®ã Q  P Ta chøng minh Q iđêan nguyên tố Với x, y R cho xRy  Q ta chøng minh x Q y Q Giả sử x  Q ta chøng minh y  Q Vì x Q nên tồn P J cho xP’ Khi ®ã xP’’, víi mäi P’’  P’ Víi mäi P  J cho P  P' tính thứ tự J ta cã P'  P Tõ xRy  Q  P '  xRy  P '  x P ' y P ' Vì x P'  y  P' V× P'  P y P Mặt khác xRy Q  xRy  P" , P"  J vµ P"  P' VËy y  A, A  J  y Q hay Q nguyên tố Vì Q giao tất iđêan thuộc J nên Q bÐ nhÊt J theo quan hƯ bao hµm Theo Bổ Zorn ng-ợc F có phần tử tối tiểu Vậy P chứa iđêan nguyên tố tối tiểu Mệnh đề sau cho ta cách xây dựng iđêan nguyên tố vành dựa vào tập hợp khép kín phép nhân Mệnh đề Giả sử R vành, X tập hợp cđa R cho X khÐp kÝn víi phÐp nhân, X không chứa phần tử Giả sử P iđêan R tối đại iđêan R có giao với X rỗng Khi P iđêan nguyên tố Chứng minh: Ta chứng minh R I I ' P ,J J ' P P lµ iđêan vành R P ) với IJ R P P vành nguyên tố, giả sử ( I ' , J ' iđêan cña R chøa ta chøng minh I '  P J ' P Giả sử I ' , J ' iđêan R chứa thực P Do tính tối đại P (với tÝnh chÊt kh«ng giao víi X ) ta cã I '  X  , J '  X     x  I '  X ,  y  J '  X ®ã xy  X , xy  I ' J '  I ' J '  X    I ' J '  P, I ' J '  R tố Suy P nguyên tố P nguyên Mệnh đề Iđêan P vành R nguyên tố R P vành nguyên tố Chứng minh Giả sử P iđêan nguyên tố, giả sử I , J iđêan R Sao cho IJ  ;  R Ta cÇn chøng minh: I  hc J  P P I iđêan R I ' chứa P vµ I  I ' P P R cho J iđêan R J ' chứa P J J nghĩa tồn I ' iđêan ' P P nghĩa tồn J ' iđêan R cho IJ  ;  R  I ' J ' P , Do P nguyên tố, Suy I '  P hc P J'  P I '  P, J '  P  I '  P V× J J ' P  I  hc J  R P NÕu P iđêan R cho R tố R P mà R J' P VËy R P P Hay  A  P Khi ®ã P , P  A  P P iđêan R B P P Suy A  P hc B  P P , nguyên tố Ta có iđêan nguyên P B P ' vành nguyên tố A, B iđêan R AB  P ,  I I P  AB  AP  PB  P  P 0 10 Đối với iđêan nửa nguyên tố ta có mệnh đề t-ơng tự nhmệnh đề nhận biết iđêan nguyên tố Lập luận chứng minh đ-ợc thực t-ơng tự Mệnh đề Giả sử P iđêan vành có đơn vị R Khi phát biểu sau t-ơng đ-ơng: a P iđêan nửa nguyên tố b Với iđêan trái I R cho I2 P suy c I  P Mäi x  R cho xRx  P th× x  P Trong (b) thay iđêan trái iđêan phải Định nghĩa Iđêan I vành R đ-ợc gọi iđêan lũy linh (nilpotent) tồn n N cho I n Iđêan I vành R đ-ợc gọi iđêan linh (nil) phần tử I phần tử lũy linh Chú ý In chứa tất tÝch a1 a2 an, thuéc I, víi mäi i = 1, 2, , n tổng hữu hạn tích nh- Ta có In = xảy a1a2 an = 0, víi mäi I Từ điều suy hệ sau Hệ Nếu I iđêan lũy linh phần tử I phần tử lũy linh Hệ khẳng định iđêan lũy linh iđêan linh Tuy nhiên điều ng-ợc lại không tr-ờng hợp tổng quát: Tồn vành mà có iđêan linh nh-ng không lũy linh 1.1.2 Linh hóa tử tập hợp vành Định nghĩa Cho vành R A tập hợp R TËp hỵp l  A  x  R | xa 0, a A đ-ợc gọi linh hãa tư tr¸i cđa A R 29 TËp Bi  I  Ai Chóng ta sÏ chØ iđêan phải cốt yếu R Pi Bi  Pi  Pi lµ cèt yÕu nh- lµ Giả sử K iđêan phải R cho K  Bi  Pi thÕ th× K  Bi  bëi v× Bi  Pi  V× thÕ k  I  Ai  bëi vËy K  Ai  Do K  l  Ai  tøc lµ K Pi Điều kéo theo iđêan phải cèt yÕu cña R Pi  Bi  Pi  Pi Vì tồn xi Bi cho a  xi  c  Pi  Chó ý r»ng xi  I  Pj với j i Tập phần tử c  a  x1   xn thÕ th× c  a  I Gi¶ sư y  R với cy tr-ờng hợp ®Ỉc biƯt chóng ta cã cy  p1 Nh-ng xi y  P1 víi mäi i  V× thÕ  a  x1  y  P1 Nh-ng a  x1  c  P1  có y P1 T-ơng tù y  Pi víi mäi i v× thÕ y  Do ®ã r  c   T-¬ng tù l  c   Vậy c phần tử giản -ớc đ-ợc 2.2.3 Vành Goldie phải nửa nguyên tố với điều kiện DCC Tr-ớc hết ta nêu định nghĩa khái niệm vành Goldie Định nghĩa Vành R đ-ợc gọi vành Goldie phải R vành có chiều Goldie phải hữu hạn thỏa mÃn điều kiện ACC linh hóa tử phải Từ định nghĩa ta thấy vành Noether phải vành Goldie phải Tuy nhiên có vành Goldie phải nh-ng vành Noether điều kiện ACC thỏa mÃn iđêan phải linh hóa tử không thỏa mÃn cho iđêan phải Mệnh đề 12 Giả sử R vành Goldie phải nửa nguyên tố phần tử giản -ớc trái R phần tử giản -ớc đ-ợc Chứng minh Vì R vành Goldie phải nên R thỏa mÃn ACC linh hóa tử phải theo mệnh đề 2, iđêan suy biến phải Z R luỹ linh Do R nửa nguyên tố nên tõ tÝnh luü linh cña Z ta suy Z = Vì R vành 30 không suy biến phải Vì vành R vành Goldie phải nên R có chiều Goldie hữu hạn Từ tính chất không suy biến phải có chiều Goldie phải hữu hạn cđa R, theo mƯnh ®Ị ta cã kÕt ln phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái phần tử giản -ớc đ-ợc Mệnh đề 13 Giả sử R vành Goldie phải nửa nguyên tố I iđêan phải cốt yếu R Khi I chứa phần tử giản -ớc đ-ợc cđa R Chøng minh Chóng ta chØ r»ng I chứa phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái sau áp dụng mệnh đề 12 Theo mệnh đề 3, ta có I iđêan phải linh (nil) Giả sử a1 phần tử kh«ng lịy linh cđa I víi r  a1  lớn đ-ợc Chúng ta có r  a1   r  a12  vµ a12 phần tử không lũy linh I Theo c¸ch chän cđa a1 chóng ta cã r  a1   r  a12  NÕu r a1 a1 phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái ta có điều phải chøng minh NÕu r  a1   th× r  a1   I  , I cốt yếu R Do tồn phần tử a2 không luỹ linh thuộc r a1 I Chọn a2 phần tử kh«ng lịy linh thc r  a1   I cho r  a2  lµ lín nhÊt (theo quan hệ bao hàm) đ-ợc Khi r  a2   r  a2  Giả sử a1r1 a2r2 với phần tử ®ã r1, r2  R Bëi v× a1a2  có a12r1 Điều dÉn ®Õn a1r1  Do ®ã tỉng a1R a2 R tổng trực tiếp Lí luận t-ơng tù ta cã r  a1  a2   r  a1   r  a2  NÕu r  a1  a2   chóng ta có a1 a2 phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái dừng lại Nếu không, giả sử a3 phần tử không lũy linh r a1  a2   I víi r  a3 lớn đ-ợc r a3  r  a32  vµ tỉng a1R  a2 R a3 R trực tiếp Khi (Bởi v× a1a2  a1a3  a2a3  ) Do ®ã r  a1  a2  a3   r  a1   r  a2   r  a3  Bëi v× R cã chiỊu Goldie phải hữu hạn nên trình phải dừng sau số hữu 31 hạn buớc Khi ta chọn đ-ợc phần tử a1, , an I cho r  a1   an   áp dụng mệnh đề 12 ta suy điều phải chứng minh Hệ 14 Một vành Goldie phải nửa nguyên tố thoả mÃn DCC linh hãa tư ph¶i HƯ qu¶ 15 Gi¶ sư R vành Goldie phải nửa nguyên tố Giả sử I iđêan phải cốt yếu R giả sử a R , a I chứa phần tử giản -ớc đ-ợc R Mệnh đề 16 Giả sử R vành Goldie phải nửa nguyên tố giả sử I iđêan phải cốt yếu R , I đ-ợc sinh nh- iđêan phải tập phần tử giản -ớc đ-ợc R thuộc I Chứng minh Giả sử T iđêan phải R đ-ợc sinh tập phần tử giản -ớc đ-ợc R thuộc I Chúng ta biÕt r»ng I chøa Ýt nhÊt mét phÇn tư giản -ớc đ-ợc, c chẳng hạn Bởi cR iđêan phải cốt yếu R nên T Giả sử a I a t giản -ớc đ-ợc với t T V× thÕ a  t T vËy a T 2.3 Vành hữu hạn trực giao đếm đ-ợc linh hóa tử phải Trong mục hệ thống hóa số kết vành có đếm đ-ợc linh hóa tử thỏa mÃn điều kiện ACC DCC iđêan linh hóa tử phải số điều kiện hữu hạn khác phần tử lũy đẳng trực giao 2.3.1 Điều kiện hữu hạn trực giao vành Trong mục chóng ta sÏ xÐt mèi quan hƯ gi÷a tÝnh h÷u hạn trực giao điều kiện chuỗi tăng (ACC) linh hóa tử phải điều kiện chuỗi giảm (DCC) linh hóa tử phải Tr-ớc tiên ta định nghĩa vài khái niệm Định nghĩa Tập hợp {ei, i I} phần tử lũy đẳng vành R đ-ợc gọi tập hợp lũy đẳng trực giao eiej = 0, với i j 32 Vành R đ-ợc gọi thỏa mÃn điều kiện hữu hạn trực giao R không chứa tập hợp gồm vô hạn phần tử lũy đẳng trực giao khác Mệnh đề 17 Giả sử R vành phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (a) R thỏa mÃn điều kiện chuỗi tăng (ACC) (t-ơng ứng thỏa mÃn điều kiện chuỗi giảm (DCC)) linh hóa tử phải; (b) R hữu hạn trực giao R thỏa mÃn điều kiện chuỗi tăng (t-ơng ứng thỏa mÃn điều kiện chuỗi giảm) linh hóa tử phải không chứa luỹ đẳng khác không Chứng minh (a) suy (b) hiển nhiên Ta chứng minh (b) suy (a) Giả sử R hữu hạn trực giao R thỏa mÃn điều kiện chuỗi tăng linh hóa tử phải không chứa luỹ đẳng khác không Giả sử I1 I chuỗi tăng linh hoá tử phải Từ R hữu hạn trùc giao, I  i Ii kh«ng chøa tËp v« hạn gồm luỹ đẳng trực giao Do tồn luỹ đẳng e I cho e I không chứa luỹ đẳng khác không Khi e I j j Theo giả thiết e , 1  e  I j  1  e I j chuỗi tăng linh hoá tử phải không chứa luỹ đẳng khác không Khi tồn k j cho 1  e  I k  1  e  I k 1  Tõ e  I j , I m  eR  1  e  I m víi mäi m  j Tõ ®ã I k  eR  1  e  I k  eR  1  e  I k m  I k m víi mäi m  Tiếp theo ta giả sử R hữu hạn trực giao R thỏa mÃn điều kiện chuỗi giảm linh hóa tử phải không chứa luỹ đẳng khác không Giả sử I1 I R hữu hạn trực giao, I chuỗi giảm linh hóa tử phải Từ I chứa luỹ đẳng e cho e I i i không chứa luỹ đẳng khác không Chúng ta thấy tồn số nguyên d-ơng j cho linh hóa tử phải e I j không chứa luỹ 33 đẳng khác không Khi tồn k j cho 1  e  I k  1  e  I k 1  ®ã I k  eR  1  e  I k  eR  1  e  I k m  I k m ®èi víi mäi m  Ví dụ sau chứng tỏ điều kiện R vành hữu hạn trực giao thỏa mÃn ACC (t-ơng ứng DCC) linh hóa tử phải không chứa lũy đẳng khác 0) (b) định lý độc lập với bỏ đ-ợc Ví dụ Giả sử F tr-ờng giả sử A Ai Ai F x i vành đa thức tr-ờng F Khi A thoả mÃn ACC (t-ơng ứng DCC ) linh hóa tử phải không chứa lũy đẳng khác không, nh-ng A hữu hạn trực giao không thỏa mÃn ACC cho tất linh hãa tư ph¶i TiÕp theo gi¶ sư r»ng R lµ vµnh cđa A sinh bëi i 1 Si 1A , Si xF x iđêan Ai sinh x i 1,2, Khi R vành có luỹ đẳng 1A nên R thỏa mÃn điều kiện hữu hạn trực giao nh-ng R không thỏa mÃn điều kiện ACC (t-ơng ứng DCC ) linh hóa tử phải không chứa lũy đẳng khác không Vành Baer vành tựa Baer vành đ-ợc định nghĩa thông qua điều kiện iđêan linh hóa tử phải hay trái Sau định nghĩa suy số kết vành Định nghĩa Một vành R đ-ợc gọi vành Baer iđêan linh hóa tử phải trái đ-ợc sinh phần tử lũy đẳng Vành R đ-ợc gọi vành tựa Baer linh hóa tử phải iđêan R đ-ợc sinh lũy đẳng R Sau hệ trực tiếp định lý liên quan đến vành Baer thuộc tính hữu hạn trực giao 34 Hệ 18 Đối với vành R cho tr-ớc, phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (a) Mọi linh hóa tử phải khác không R chứa luỹ đẳng khác không R hữu hạn trực giao; (b) R vành Bear hữu hạn trực giao; (c) Mọi linh hóa tử phải khác không R chứa luỹ đẳng khác không R thỏa mÃn điều kiện ACC linh hóa tử phải Một vành Bear đếm đ-ợc có số đếm đ-ợc linh hóa tử phải Khái quát hơn, linh hóa tử phải vành đếm đ-ợc R linh hóa tử phải tập hợp hữu hạn R R chứa số đếm đ-ợc linh hóa tử phải Ng-ời ta đà chứng minh đ-ợc vành đếm đ-ợc tháa m·n ®iỊu kiƯn DCC ®èi víi linh hãa tư chứa số đếm đ-ợc linh hóa tử phải Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 19 Các phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (a) R vành thoả mÃn điều kiện DCC linh hóa tử phải; (b) Đối với tập S khác rỗng R tồn tập hợp hữu hạn   S ' cña S cho r  S   r S ' Chøng minh Chøng minh (a) (b) Giả sử S khác rỗng R , giả sử a1 S NÕu r  S  Ø r  a1 , tồn a2 S cho r  a1  Ù r  a1 , a2 tiếp tục trình thu đ-ợc chuỗi giảm thực linh hóa tử phải Tõ tháa m·n ®iỊu kiƯn R r  S   r  a1, a2 , DCC trªn linh hãa tử phải, an , với a1, a2 , , an  S Chøng minh (b)  (a) Gi¶ sư r  S1   r  S2 chuỗi giảm linh hóa tử ph¶i chóng ta dƠ thÊy r»ng i r  Si   r  i Si  Theo gi¶ thiết, tồn tập hữu hạn S ' hạn nên tồn i1 i2     i Si cho r  S '   r  i Si  Vì S ' hữu ik cho S '  Si1  Si2  r Sik  r Sik j j 1,2, , Sik Khi 35 Hệ 20 Nếu vành đếm đ-ợc R thỏa mÃn điều kiện ACC DCC linh hóa tử phải R có số đếm đ-ợc linh hóa tử phải Chứng minh Nếu R thỏa mÃn điều kiện DCC linh hóa tử phải tập linh hóa tử phải đếm đ-ợc theo mệnh ®Ị 19 NÕu R tháa m·n ®iỊu kiƯn ACC ®èi với linh hóa tử phải R thoả mÃn điều kiện DCC linh hóa tử trái Thế tập hợp linh hóa tử trái đếm đ-ợc Vì có t-ơng ứng 1-1 tập hợp linh hóa trái tập hợp linh hóa phải nên tập hợp linh hóa tử phải đếm đ-ợc Trong phần đà hệ thống hóa số kiến thức đến vành nửa nguyên tố có liên quan đến điều kiện ACC DCC linh hóa tử Phần sau hệ thống hóa số kiến thức liên quan đến vành nửa nguyên tố có số đếm đ-ợc linh hóa tử phải 2.3.2 Về vành nửa nguyên tố với số đếm đ-ợc linh hóa tử phải Tr-ớc hết nhắc lại khái niƯm vỊ chØ sè lịy linh cđa mét tËp hỵp vành Định nghià Cho R vành A tập hợp R Ta nãi A cã chØ sè lịy linh giíi néi tồn số nguyên d-ơng n cho phần tử a A có an = Khi A = R ta nãi vµnh R cã chØ số lũy linh giới nội Đôi ng-ời ta sử dụng cách nói vắn tắt R có số giới nội thay cho cách nói đầy đủ R có số lũy linh giới nội Mệnh đề sau liên quan đến vành nửa nguyên tố có số giới nội Đối với họ tập hợp vành R cho tr-ớc ta có khái niệm độc lập theo linh hóa tử phải nh- sau Định nghĩa Cho R lµ mét vµnh vµ {Si, i  I} họ tập hợp R Họ đà cho đ-ợc gọi độc lập theo linh hóa tử phải với tập hợp J, K phân biệt I có r(iJSi) r( iKSi) 36 Vì tập hợp tập tập hợp đếm đ-ợc tập hợp có lực l-ợng continum nên ta có hệ sau Mệnh đề 21 Nếu R có số đếm đ-ợc linh hoá phải (t-ơng ứng linh hoá tử phải iđêan) Khi R họ vô hạn tập (t-ơng ứng họ iđêan) R độc lập theo linh hóa tử phải Mệnh đề 22 Giả sử R vành nửa nguyên tố đếm đ-ợc R vành tựa Bear R tổng trực tiếp hữu hạn vành nguyên tố Chứng minh Hiển nhiên tổng trực tiếp hữu hạn vành nguyên tố vành tựa Baer Đảo lại giả sử R vành tựa Bear Khi từ R đếm đ-ợc nên R có số đếm đ-ợc linh hóa tử phải iđêan Khi theo mệnh đề 21, R có chiều Goldie hữu hạn, gọi số chiều n Do ®ã R chøa mét tỉng trùc tiÕp gåm n hạng tử I1 I I i iđêan khác không R Đặt Rk r k 1,2, I ik i , n , Ri vành nguyên tố R R1 R2 In với Rn Mệnh đề sau cho đặc tr-ng vành nửa nguyên tố đếm đ-ợc với số lũy linh giới nội có đếm đ-ợc linh hóa tử phải Mệnh đề 23 Giả sử R vành nửa nguyên tố đếm đ-ợc có số giới nội Khi mệnh đề sau t-ơng đ-ơng: (a) R có số đếm đ-ợc linh hóa tử phải; (b) Tồn số d-ơng n cho chuỗi tăng linh hóa tử phải R cã nhiỊu nhÊt n bao hµm thøc; (c) R tháa mÃn điều kiện AAC linh hóa tử phải Chøng minh (a)  (b) Theo mƯnh ®Ị 21, R có chiều Goldie hữu hạn Do ta có iđêan I1, I , , I m R cho I1  I   I m iđêan (phải) cốt yếu R Chúng ta sÏ chØ r»ng r  I i  iđêan nguyên tố R với 37 i  1,2, , m Gi¶ sư I , J iđêan R cho IJ r I i giả sử I i I  Khi ®ã  I1  Tõ  I1   Ii1  Ii I  Ii 1   Ii1  Ii I  Ii1   I m  Ii J   I m iđêan cốt yếu phải R Tõ R kh«ng suy biÕn theo mét kÕt qu¶ cđa j Hannah, dÉn theo [8], ta cã I i J Do r I i iđêan nguyên tố R n i 1 Chóng ta cịng sÏ cã nhóng vµo in1 R R r  Ii  r  Ii  r  Ii   r  I1  I   I m   Do R đ-ợc Giả sử k chØ sè l linh cđa R ®ã chØ sè k theo kết E P Armendariz, dẫn theo [8], theo mét kÕt qu¶ cđa j Hannah, dÉn theo [8], chuỗi tăng linh hóa tử phải R vµo in1 R r  Ii  r  Ii  chØ cã nhiỊu nhÊt k bao hµm thøc Tõ R đ-ợc nhúng , chuỗi tăng linh hãa tư ph¶i R chØ cã nhiỊu nhÊt mk bao hàm thức (b) (c) hiển nhiên (c) (a) Đ-ợc suy từ hệ 20 2.3.3 Vành P-nội xạ với điều kiện chuỗi linh hóa tử Định nghĩa Cho M môđun phải vành R M đ-ợc gọi môđun P- nội xạ với iđêan phải I R, đồng cấu R-môđun phải từ I vào M mở rộng đ-ợc thành đồng cấu từ R vào M Điều kiện nêu định nghĩa phát biểu d-ới dạng sau: môđun M P-nội xạ với phần tử a thuộc R, đồng cấu R-môđun phải f từ aR vào M đ-ợc cho d-ới dạng phép nhân với phần tử m M 38 Một vành R đ-ợc gọi P- nội xạ phải RR P- nội xạ Khái niệm xuất lần báo Ikeda Nakayama vào năm 1954 Đây mở rộng khái niệm môđun nội xạ dựa theo dấu hiệu Baer cách thay điều kiện iđêan phải iđêan phải Chúng ta biết r»ng vµnh R lµ chÝnh quy von Neumann vµ iđêan phải R hạng tử trực tiếp R Từ suy r»ng mäi vµnh chÝnh quy von Neuman lµ P- néi xạ phải Vành quy vành không suy biến Sau số đặc tr-ng vành P-nội xạ phải Mệnh đề 24 Đối với vành R phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (a) R vành P-nội xạ; (b) l(r(a)) = Ra, với phÇn tư a cđa R; (c) r(a)  r(b), víi a, b  R suy Rb  Ra; (d) l(bR  r(a)) = l(b) + Ra, víi mäi a, b  R; (e) NÕu f : aR  R, a R, đồng cấu R môđun f(a)  Ra Chøng minh (a)  (b).Ta lu«n lu«n cã Ra  l(r(a)) NÕu b  l(r(a)) th× r(a) r(b) Do f: aR R đ-ợc xác đinh f(ar) = br ánh xạ Thế f cho phép nhân bên trái với phần tử c đó, c R, (a) Khi ®ã b = f(a) = ca  Ra (b)  (c) NÕu r(a)  r(b) th× b  l(r(a)) Do b Ra, (b) Điều suy Rb  Ra (c)  d) Gi¶ sư x l(bR r(a)) Khi r(ab) r(xb) nên xb = rab phần tử r R Vì x - l(b), hay x = l(b) + Điều chứng tỏ l(bR r(a)) l(b) + Ra Bao hàm thức ng-ợc lại luôn Vậy ta có đẳng thức l(bR  r(a)) = l(b) + Ra, víi mäi a, b  R (d)  (e) Gi¶ sư f: aR  R đồng cấu R-môđun f(a) = d Khi r(a) r(d), nên d l(r(a)) Nh-ng l(r(a)) = Ra nên d Ra 39 (e)  (a) Gi¶ sư f : aR  R theo (e) ta cã f  a   ca , với phần tử c thuộc R Khi f cho phép nhân vào bên trái phần tử c Vì (a) Mệnh đề 25 Giả sử R vành Baer quy với | R | c (c lực l-ợng continuum) Khi R vành artin nửa đơn Chứng minh Định lý đ-ợc chứng minh R thỏa mÃn ACC iđêan trái Giả sử Re1 Re2 chuỗi tăng nghiêm ngặt en en với mäi n Râ rµng lµ enen1  en víi n Ta đặt f1 e1, f n1  f n  en1  en1 f n Kiểm tra đ-ợc Ren Rf n f n f n1  f n1 f n  f n với n Vì thế, theo ph-ơng pháp quy n¹p ta cã, f n f m  f m f n  f n víi mäi m  n Đặt gn f n f n1 ThÕ th× g n  g n víi mäi n vµ gm gn  nÕu m  n Chó ý r»ng g n  , tõ Rf n  Ren  Ren1  Rf n1 Với tập S khác rỗng tập hợp số tự nhiên, chọn lũy đẳng hS R cho linh hãa tư ph¶i cđa  gi : i  S lµ 1  hS  R Râ rµng lµ gi hS  gi víi mäi i  S , vµ 1  hS  gk  gk ( tøc lµ hS gk  ) víi mäi k  S Chó ý r»ng hS gk  keo theo gk hS gk  v× thÕ gk hS  gk V× thÕ nÕu S T tập khác tập hợp số tự nhiên, hS hT Điều mâu thuẫn với giả thiết | R | c Từ suy điều phải chứng minh Mệnh đề sau cho số đặc tr-ng vành P-nội xạ phải không suy biến phải có chiều Goldie hữu hạn Mệnh đề 26 Giả sử R vành P- nội xạ phải không suy biến phải mệnh đề sau t-ơng đ-ơng: (a) R tháa m·n ®iỊu kiƯn ACC ®èi víi linh hãa tư ph¶i; (b) R chØ cã chiỊu Goldie ph¶i hữu hạn ; (c) R vành Artin nửa đơn Chøng minh (a)  (c) Theo mét kÕt qu¶ cđa Ikeda vµ Nakayama, dÉn theo [8] , mét vµnh R P- nội xạ phải iđêan trái R linh hóa tử trái Từ R thỏa mÃn điều kiện ACC linh hóa 40 tử phải, R thoả mÃn điều kiện DCC linh hóa tử trái Do R thoả mÃn điều kiện DCC iđêan trái R vành hoàn thiện phải Theo kết đ-ợc trình bày [Stentrom], R nửa nguyên sơ Giả sử Jacobson J  R   , gi¶ sư r  a tối đại tập r x  |  x  J  R  Từ R không suy biến trái, r a cốt yếu Từ ta chọn phần tử b khác không b R cho r  a   bR  Từ R nửa artinian phải giả sử bR iđêan phải tối tiểu cña R Do ab  , bR  abR Tõ r  ab   r  b r b iđêan phải tối đại R , r b r ab  Do ®ã Rb  l  r  b    l  r  ab    Rab Do ®ã b  cab víi c c R , b  r  a  aca  Suy r  a  Ø r  a  aca  Tõ r  a  lµ tèi ®¹i tËp r  x  |  x  J  R  , chóng ta kÕt luËn r»ng a  aca  Khi ®ã J R chứa luỹ đẳng khác không ac, điều mâu thuẫn Từ suy J R 0, R vành Artin nửa đơn (c) (b) hiển nhiên, môđun Artin có chiều Goldie hữu hạn (b) (a) Giả sử Q kí hiệu vành th-ơng bên phải tối đại R Ta đà biÕt r»ng Q lµ mét vµnh chÝnh quy von Neumann Từ RR R - môđun cốt yếu QR từ RR có chiều Goldie hữu hạn, QQ có chiều Goldie hữu hạn Từ Q lµ vµnh chÝnh quy, suy Q lµ vµnh Artin nửa đơn Từ Q thỏa mÃn điều kiện ACC linh hóa tử phải, vành R  Ta cã thĨ tỉng qu¸t hãa nh- sau : Mệnh đề 27 Một vành Baer P- nội xạ phải đếm đ-ợc vành artin nửa đơn Chứng minh Ta đà biết vành Baer không suy biến phải không suy biến trái Từ chứng minh mệnh đề 25 thấy vành Bear đếm đ-ợc vành thỏa mÃn điều kiện hữu hạn trực giao Theo hệ 41 18 trên, R tháa m·n ®iỊu kiƯn ACC ®èi víi linh hãa tư phải Từ kết luận mệnh đề đ-ợc suy từ mệnh đề 26 Hệ 28 Giả sử R vành P- nội xạ phải nguyên tố có số giới nội Khi R vành artin đơn Kết luận ch-ơng Trong ch-ơng khai thác số t- liệu lý thuyết vành môđun liên quan đến số lớp vành thỏa mÃn điều kiện chuỗi linh hóa tử Chúng đà xếp chứng minh chi tiết số kết đà có nhằm tìm hiểu học hỏi thêm số kiến thức, rèn luyện khả tự học, b-ớc đầu tiếp xúc với t- liệu vành môđun 42 kết luận Luận văn đà hệ thống hóa lại số kiến thức sở vành môđun Chúng tập trung chủ yếu vào phần tử đặc biệt, iđêan đặc biệt vành Chúng hệ thống lại số khái niệm công cụ th-ờng dùng nghiên cứu vành môđun nh- điều kiện chuỗi, chiều Goldie, mở rộng cốt yếu phạm trù môđun Trên sở kiến thức chuẩn bị đó, đà tìm hiểu số kiến thức đ-ợc công bố sách chuyên khảo báo khoa học xuất năm gần Vành nửa nguyên tố thỏa mÃn ACC, DCC iđêan linh hóa tử phải Vành Goidie phải nửa nguyên tố với điều kiện DCC Vành hữu hạn trực giao đếm đ-ợc linh hóa tử phải Vành nửa nguyên tố với số đếm đ-ợc linh hóa tử phải Vành P-nội xạ với điều kiện chuỗi linh hóa tử 43 tài liệu tham khảo A Tiếng Việt [1] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số giáo trình sau đại học NXBGD [2] Nguyễn Tiến Quang Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết Môđun Vành, NXB Giáo dục B Tiếng Anh [3] F W Anderson and K R Fuller (1974), Rings and Categories of modules, Springer – Verlag New York- Heidelberg Berlin [4] W K Nicholson and M F Yousif (2003), Quasi-Frobenius Rings, Cambridge University [5] A.W Chatter and C R Hajarnavis (1980), Rings with chain conditions, Pitman London [6] N V Dung, D V Huynh, P R Smith and R Wisbauer (1994), Extending modules, Pitman London [7] R Wisbauer (1991), Foudations of module and ring theory, Gordon and Breach Science Publishers [8] Yasuyuki Hirano and Hong Kee Kim (2005), Coutable rings with ACC on annihilators, Bull, KMS , 42 N.3, 527 – 534 [9] K.M Rangaswamy, Regular and Baer rings, Proc Amer Math Soc 42 (1974), 354-358 [10] Bo Stentrom (1975), Ring of Quotients, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York ... linh hóa tử phải Vành Goidie phải nửa nguyên tố với điều kiện DCC Vành hữu hạn trực giao đếm đ-ợc linh hóa tử phải Vành nửa nguyên tố với số đếm đ-ợc linh hóa tử phải Vành P-nội xạ với điều kiện. .. đ-ợc lớp môđun thỏa mÃn điều kiện chuỗi (đối với quan hệ bao hàm) Ngày điều kiện chuỗi đà trở thành 18 công cụ để mô tả tính chất vành môđun Sau nhắc lại số khái niệm môđun vành với điều kiện chuỗi. .. [8] , vành R P- nội xạ phải iđêan trái R linh hóa tử trái Từ R thỏa mÃn điều kiện ACC linh hóa 40 tử phải, R thoả mÃn điều kiện DCC linh hóa tử trái Do R thoả mÃn điều kiện DCC iđêan trái R vành