Tr-ớc hết chúng tôi nhắc lại khái niệm về chỉ số lũy linh của một tập hợp trong một vành.
Định nghiã 6. Cho R là một vành và A là một tập hợp con của R. Ta nói A có chỉ số lũy linh giới nội nếu tồn tại số nguyên d-ơng n sao cho mọi phần tử a của A
luôn có an = 0.
Khi A = R ta nói vành R có chỉ số lũy linh giới nội.
Đôi khi ng-ời ta sử dụng cách nói vắn tắt “R có chỉ số giới nội” thay cho cách nói đầy đủ “R có chỉ số lũy linh giới nội”. Mệnh đề sau đây liên quan đến các vành nửa nguyên tố có chỉ số giới nội.
Đối với một họ tập hợp con của vành R cho tr-ớc ta có khái niệm độc lập theo linh hóa tử phải nh- sau.
Định nghĩa 7. Cho R là một vành và {Si, i I} là một họ các tập hợp con của
R. Họ đã cho đ-ợc gọi là độc lập theo linh hóa tử phải nếu với các tập hợp con
Vì tập hợp các tập con của một tập hợp đếm đ-ợc là một tập hợp có lực l-ợng continum nên ta có hệ quả sau.
Mệnh đề 21. Nếu Rchỉ có một số đếm đ-ợc các linh hoá phải (t-ơng ứng các linh hoá tử phải của iđêan). Khi đó R không có một họ vô hạn các tập con (t-ơng ứng họ các iđêan) của R độc lập theo các linh hóa tử phải.
Mệnh đề 22. Giả sử R là một vành nửa nguyên tố đếm đ-ợc thì R là một vành tựa Bear nếu và chỉ nếu R là tổng trực tiếp hữu hạn của các vành nguyên tố.
Chứng minh. Hiển nhiên một tổng trực tiếp hữu hạn của các vành nguyên tố là một vành tựa Baer. Đảo lại giả sử rằng Rlà một vành tựa Bear. Khi đó từ
R là đếm đ-ợc nên Rchỉ có một số đếm đ-ợc các linh hóa tử phải của các iđêan. Khi đó theo mệnh đề 21, thì R chỉ có chiều Goldie hữu hạn, gọi số chiều đó là n. Do đó R chứa một tổng trực tiếp gồm n hạng tử I1 I2 In
trong đó mỗi Iilà một iđêan khác không của R. Đặt Rk ri k Ii với mỗi
1,2, ,
k n, thì khi đó mỗi Rilà vành nguyên tố và RR1R2 Rn. Mệnh đề sau đây cho các đặc tr-ng của vành nửa nguyên tố đếm đ-ợc với chỉ số lũy linh giới nội có đếm đ-ợc linh hóa tử phải.
Mệnh đề 23. Giả sử R là một vành nửa nguyên tố đếm đ-ợc có chỉ số giới nội. Khi đó các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng:
(a) R chỉ có một số đếm đ-ợc các linh hóa tử phải;
(b) Tồn tại một chỉ số d-ơng n sao cho mọi chuỗi tăng các linh hóa tử phải trong Rcó nhiều nhất n bao hàm thức;
(c) R thỏa mãn điều kiện AAC đối với linh hóa tử phải.
Chứng minh. (a) (b). Theo mệnh đề 21, R có chiều Goldie hữu hạn. Do đó ta có các iđêan đều I I1, ,2 ,Im của R sao cho I1 I2 Imlà iđêan (phải) cốt yếu của R. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng r I i là iđêan nguyên tố của R với mỗi
1,2, ,
i m. Giả sử I J, là các iđêan của R sao cho IJ r I i và giả sử rằng
0
i
I I . Khi đó I1 Ii1I Ii Ii1 ImI Ji 0.
Từ I1 Ii1I Ii Ii1 Im là một iđêan cốt yếu phải của R. Từ
R không suy biến theo một kết quả của j. Hannah, dẫn theo [8], ta có 0
i
I J . Do đó mỗi r I i là một iđêan nguyên tố của R.
Chúng ta cũng sẽ có ni1r I i r I1 I2 Im0. Do đó R đ-ợc nhúng vào 1 n i i R r I
. Giả sử k là chỉ số luỹ linh của R khi đó chỉ số của mỗi
i
R
r I bằng hoặc kém hơn k theo một kết quả của E. P. Armendariz, dẫn theo
[8], vì thế theo một kết quả của j. Hannah, dẫn theo [8], mọi chuỗi tăng các linh hóa tử phải trong i
R r I chỉ có nhiều nhất k bao hàm thức. Từ R đ-ợc nhúng vào 1 n i i R r I
, mỗi một chuỗi tăng các linh hóa tử phải trong R chỉ có nhiều nhất mkbao hàm thức.
(b) (c) là hiển nhiên.
(c) (a). Đ-ợc suy ra từ hệ quả 20 ở trên.