Vành Goldie phải nửa nguyên tố với các điều kiện DCC

Tr-ớc hết ta nêu định nghĩa của khái niệm vành Goldie.

Định nghĩa 3. Vành R đ-ợc gọi là vành Goldie phải nếu R là một vành có chiều Goldie phải hữu hạn và thỏa mãn điều kiện ACC đối với các linh hóa tử phải.

Từ định nghĩa trên đây ta thấy rằng mọi vành Noether phải luôn là vành Goldie phải. Tuy nhiên có những vành Goldie phải nh-ng không phải là vành Noether vì điều kiện ACC chỉ thỏa mãn đối với các iđêan phải linh hóa tử chứ không thỏa mãn cho mọi iđêan phải.

Mệnh đề 12. Giả sử R là vành Goldie phải nửa nguyên tố thế thì các phần tử giản -ớc trái của R là phần tử giản -ớc đ-ợc.

Chứng minh. Vì R là vành Goldie phải nên R thỏa mãn ACC đối với linh hóa tử phải. theo mệnh đề 2, iđêan suy biến phải Z của R là luỹ linh. Do R

không suy biến phải. Vì vành R là vành Goldie phải nên R có chiều Goldie hữu hạn. Từ tính chất không suy biến phải và có chiều Goldie phải hữu hạn của R, theo mệnh đề 6 ta có kết luận mọi phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái cũng là phần tử giản -ớc đ-ợc.

Mệnh đề 13. Giả sử R là một vành Goldie phải nửa nguyên tố và I là một iđêan phải cốt yếu của R. Khi đó I chứa một phần tử giản -ớc đ-ợc của R.

Chứng minh. Chúng ta chỉ ra rằng Ichứa một phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái sau đó áp dụng mệnh đề 12 ở trên. Theo mệnh đề 3, ta có I không phải là iđêan phải linh (nil). Giả sử a1 là một phần tử không lũy linh của Ivới r a 1

là lớn nhất có thể đ-ợc. Chúng ta có    2

1 1

r a r a và a12là một phần tử không lũy linh của I. Theo cách chọn của a1 chúng ta có    2

1 1

r a r a . Nếu

 1 0

r a  thì a1 là phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái và ta có điều phải chứng minh. Nếu r a 1 0 thì r a 1  I 0, do I cốt yếu trong R. Do đó tồn tại một phần tử a2 không luỹ linh thuộc r a 1 I. Chọn a2 là một phần tử không lũy linh thuộc r a 1 I sao cho r a 2 là lớn nhất (theo quan hệ bao hàm) có thể đ-ợc. Khi đó    2

2 2

r a r a . Giả sử a r1 1a r2 2với các phần tử nào đó

1, 2

r r R. Bởi vì a a1 2 0 chúng ta có a r12 1 0. Điều này dẫn đến a r1 10. Do đó tổng a R1 a R2 là tổng trực tiếp. Lí luận t-ơng tự ta có

 1 2  1  2 .

r a a r a r a Nếu r a 1a20 chúng ta có a1a2là phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái và dừng lại. Nếu không, giả sử a3 là một phần tử không lũy linh của r a 1a2Ivới r a 3 lớn nhất có thể đ-ợc. Khi đó

   2

3 3

r a r a và tổng a R1 a R2 a R3 là trực tiếp (Bởi vì

1 2 1 3 2 3 0

a a a a a a  ). Do đó r a 1a2 a3  r a1 r a 2 r a 3 . Bởi vì

hạn buớc. Khi đó ta chọn đ-ợc các phần tử a1, ,an của I sao cho

 1 n 0

r a  a  và áp dụng mệnh đề 12 ta suy ra điều phải chứng minh. 

Hệ quả 14. Một vành Goldie phải nửa nguyên tố thoả mãn DCC đối với linh hóa tử phải.

Hệ quả 15. Giả sử R là một vành Goldie phải nửa nguyên tố. Giả sử I là một iđêan phải cốt yếu của R và giả sử aR, khi đó aIchứa một phần tử giản -ớc đ-ợc của R.

Mệnh đề 16. Giả sử R là một vành Goldie phải nửa nguyên tố và giả sử Ilà một iđêan phải cốt yếu của R, thế thì I đ-ợc sinh ra nh- là một iđêan phải bởi tập những phần tử giản -ớc đ-ợc của R thuộc I.

Chứng minh. Giả sử Tlà một iđêan phải của Rđ-ợc sinh ra bởi tập những phần tử giản -ớc đ-ợc của R thuộc I. Chúng ta biết rằng Ichứa ít nhất một phần tử giản -ớc đ-ợc, c chẳng hạn. Bởi vì cR là một iđêan phải cốt yếu của R nên Tcũng vậy. Giả sử aI thế thì at là giản -ớc đ-ợc với mỗi

tT . Vì thế a t Tvậy a T . 