Vành nửa nguyên tố với ACC và DCC đối với iđêan linh hóa tử phải Mệnh đề 9 Giả sử R là một vành nửa nguyên tố với ACC (t-ơng ứng DCC)

Mệnh đề 9. Giả sử Rlà một vành nửa nguyên tố với ACC (t-ơng ứng DCC) đối với iđêan linh hóa tử. Khi đó ta có các kết luận sau:

(a) Rchỉ có một số hữu hạn iđêan nguyên tố tối tiểu.

(b) Nếu P1, ,Pnlà các iđêan nguyên tố tối tiểu của R thế thì

1 n 0

P  P  .

(c) Một iđêan nguyên tố của Rlà tối tiểu nếu và chỉ nếu nó là một iđêan linh hóa tử.

Chứng minh. (a) Để đơn giản, ta gọi một iđêan nguyên tố và là một linh hóa tử là một nguyên tố linh hóa tử. Đầu tiên ta chỉ ra rằng mọi iđêan linh hóa tử của R chứa một tích các nguyên tố linh hóa tử. Giả sử ng-ợc lại, thế thì có một iđêan linh hóa tử A tối đại với thuộc tính nó không chứa một tích các nguyên tố linh hóa tử. Bởi vì A không nguyên tố nên có các iđêan B và C

của Rchứa thực sự A và BCA. Từ l(A)A = 0, ta có l A BC  0. Vì thế có thể lấy Cr l A B   . T-ơng tự chúng ta có thể lấy Bl Cr A  . Suy ra B

và C là các iđêan linh hóa tử chứa thực sự A và BCA.Vì thế mỗi B và C

chứa một tích các nguyên tố linh hóa tử và do đó BC = A cũng vậy. Điều này là mâu thuẫn với cách chọn A.

(b) Bởi vì iđêan 0 của Rlà một linh hóa tử do đó theo câu (a) ta có các linh hóa tử P1, ,Pn của R sao cho PP1 2 Pn 0. Chúng ta có

1 1 2

(P Pn)n PP Pn nên suy ra P1 Pn 0.

(c) Nếu P là một iđêan nguyên tố cực tiểu của R thế thì PP1 2 Pn P

vì thế Pi  P với một chỉ số i nào đó. Do đó Pi P.

Để hoàn thành chứng minh chúng ta giả sử rằng Plà một iđêan nguyên tố linh hoá tử và chỉ ra rằng Plà iđêan nguyên tố tối tiểu. Giả sử P'là một iđêan nguyên tố của R sao cho P' P. Giả sử rằng   '

l P P thế thì

 

l P  P vì thế   2

0

l P  . Vì vậy l P 0. Do đó PR điều này là không đúng. Vì thế l(P)  P’. Mặt khác 0 =   '

l P PP mà l(P)  '

P nên

'

PP . Vì vậy P' P. 

Các mệnh đề sau đây khẳng định về sự tồn tại các phần tử giản -ớc đ-ợc của vành nguyên tố và vành nửa nguyên tố R thỏa mãn điều kiện ACC và DCC trong mỗi lớp ghép theo iđêan phải cốt yếu của R.

Mệnh đề 10. Giả sử Rlà một vành nguyên tố thỏa mãn ACC và DCC đối với linh hóa tử phải, giả sử I là một iđêan phải cốt yếu của Rvà a là một phần tử của R, thế thì aI chứa một phần tử giản -ớc đ-ợc của R.

Chứng minh. Lấy phần tử x I sao cho r(a+x) bé nhất có thể đ-ợc. Đặt c = a+x. Giả sử B là một iđêan phải của R với B  cR = 0. Lấy phần tử b  B I

ta có a+b  a+I. Vì cR  bR = 0 nên r(c+b) = r(c)  r(b). Vì vậy r(c+b) 

r(c). Theo cách chọn phần tử c, ta có r(c+b) = r(c). Do đó r(c)  r(b) đối với mọi phần tử b  B  I. Do đó (B  I)r(c) = 0. Vì R là vành nguyên tố nên

0

B I hoặc r(c) = 0. Nếu r(c) = 0 ta có c là phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái. Nếu B  I = 0thì ta phải có B = 0, vì I cốt yếu trong R. Khi đó ta có cR cốt yếu

trong R. Điều này cũng kéo theo c là phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái. Nh- vậy trong mọi tr-ờng hợp ta luôn có kết luận c là phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái.

Kết thúc phần chứng minh trên ta có kết luận a+I chứa phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái. Chọn d là phần tử giản -ớc đ-ợc bên trái của a+I sao cho l(d)

bé nhất có thể đ-ợc. Tồn tại một R-môđun con phải Y của I sao choYdR0

và dR  Y cốt yếu trong R (Y cũng là môđun con của R). Giả sử A là một iđêan trái của R sao cho A  Rd = 0 và y  A  Y. Khi đó ta có Rd  Ry = 0 nên

l(d+y) = l(d)  l(y). Vì d+y a+I và bởi vì dR  yR = 0, ta có r(d+y) = r(d)

 r(y) = 0. Theo cách chọn phần tử d ta có l(d) = l(d+y) nên l(d)  l(y). Do đó l(d)(A  Y) = 0 nên cũng có l(d)YA = 0. Thế thì Al(d)Y = 0. Vì vậy

Al(d)(dR  Y) = 0. Nh-ng vì dR  Y cốt yếu trong R và R không suy biến phải nên Al(d) = 0. Điều này kéo theo A = 0 hoặc l(d) = 0. Ta suy ra đ-ợc l(d) = 0 nhờ lập luận t-ơng tự với lập luận trong phần trên.

Mệnh đề 11. Giả sử Rlà một vành nửa nguyên tố thỏa mãn ACC và DCC đối với linh hóa tử phải. Giả sử I là một iđêan phải cốt yếu của Rvà a là một phần tử của R, thế thì aI chứa một phần tử giản -ớc đ-ợc của R.

Chứng minh. Giả sử P1, ,Pn là những iđêan nguyên tố cực tiểu của R. Thế thì P1 Pn 0 và mỗi Pi là một iđêan linh hóa tử. Với mỗi i, tập hợp Ai l P   i r Pi , khi đó Ai là giao của những Pj với ji.

Giả sử X là một iđêan trái của R với Pi  X Với mỗi i, giả sử Y là một iđêan phải của R sao cho Pi Y và

i

Y

P là linh hóa tử phải trong

i

R

Pcủa X Pi. Điều đó trực tiếp chỉ ra rằng Y r A X i  và vì thế

i

R

P thỏa

Tập Bi  I Ai. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng  i i i B P P  là cốt yếu nh- là một iđêan phải cốt yếu của

i

R

P. Giả sử K là một iđêan phải của R sao cho

i i

K B P thế thì KBi 0 bởi vì Bi  Pi 0. Vì thế k  I Ai 0 bởi vậy

0

i

K A .

Do K l A i tức là K Pi. Điều đó kéo theo rằng  i i

i

B P P P



là một iđêan phải cốt yếu của

i

R

P. Vì thế tồn tại xiBisao cho a xi c P i . Chú ý rằng xi I Pj với mọi ji. Tập các phần tử c   a x1 xn thế thì

c a I. Giả sử yR với cy0 thế thì trong tr-ờng hợp đặc biệt chúng ta có cyp1. Nh-ng x yi P1 với mọi i1. Vì thế ax y1 P1.

Nh-ng a x1 c P 1 vì thế chúng ta có yP1. T-ơng tự yPi với mọi i vì thế y0. Do đó r c 0. T-ơng tự l c 0. Vậy c là phần tử giản -ớc đ-ợc. 