Về một số lớp vành thoả mãn điều kiện mọi idêan nguyên tố đều là iđêan tối đại

1 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh ==== o0o ==== ngun träng thiƯn VỊ mét sè lớp vành thoả mÃn điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mà số : 60.46.05 luận văn thạc sĩ toán học Cán h-ớng dẫn khoa học TS chu träng Vinh – 2009 Môc lôc Trang Mở đầu Ch-¬ng KiÕn thøc c¬ së 1.1 Các phần tử đặc biƯt cđa vµnh 1.2 Các iđêan đặc biệt vành 1.3 Đặc tr-ng số lớp vành 1.4 Mét sè kh¸i niệm vành 14 Ch-¬ng VỊ mét sè líp vành thoả mÃn điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại 16 2.1 VÒ vành 2-primal 16 2.2 Vành với điều kiện R-môđun trái đơn suy biến p-nội xạ 21 2.3 Vành với điều kiện R/P(R) vành  - chÝnh quy 25 KÕt luËn 30 Tài liệu tham khảo 31 Mở đầu Nghiên cứu cấu trúc vành thông qua việc khảo sát cấu trúc nh- vành con, iđêan, phần tử luỹ đẳng, phần tử luỹ linh, h-ớng nghiên cứu đà đ-ợc hình thành từ lâu lí thuyết vành cổ điển Ngày bên cạnh h-ớng nghiên cứu đà hình thành h-ớng nghiên cứu vành thông qua điều kiện lớp môđun Cả hai h-ớng đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm thu đ-ợc nhiều kết Trong cấu trúc vành, iđêan nguyên tố iđêan tối đại từ lâu đà đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm nghiên cứu trở thành công cụ để mô tả cấu trúc vành Đối với vành có đơn vị iđêan tối đại iđêan nguyên tố Tuy nhiên chiều ng-ợc lại lúc Đà có nhiều lớp vành thoả mÃn điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại đà đ-ợc nghiên cứu nh- vành chính, vành Ơclit Trong năm gần có nhiều công trình nghiên cứu điều kiện vành để iđêan nguyên tố iđêan tối đại, báo [7] cđa Chan Yong Hong, Nam Kyun Kim vµ Tai Keun Kwak (2000) đà số lớp vành thoả mÃn điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại Nhận thấy vấn đề xét báo có nhiều điều hấp dẫn, chọn đề tài nghiên cứu luận văn : Về số lớp vành thoả mÃn điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn có ch-ơng Ch-ơng Kiến thức sở Trong ch-ơng hệ thống hoá số kiến thức lí thuyết vành liên quan đến đề tài luận văn Nội dung ch-ơng gồm: 1.1 Các phần tử đặc biệt vành 1.2 Các iđêan đặc biệt vành 1.3 Đặc tr-ng số lớp vành 1.4 Một số khái niệm vành Ch-ơng Về số lớp vành thoả mÃn điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại Trong ch-ơng đề cập đến số lớp vành có liên quan đến điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại Nội dung ch-ơng gồm: 2.1 Về vành 2-primal 2.2 Vành với điều kiện R-môđun trái đơn suy biến p-nội xạ 2.3 Vành với điều kiện R/P(R) vành - quy Luận văn hoàn thành Tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn thầy giáo TS Chu Trọng Thanh Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo h-ớng dẫn, ng-ời đà giao đề tài thực luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới thầy giáo: PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS Nguyễn Thành Quang, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Mai Văn T-, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, thầy cô giáo tổ Đại số, khoa Toán, khoa Sau Đại học đà động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập nh- việc hoàn thành luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn Tr-ờng THPT Anh Sơn quan tác giả công tác đà tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập hoàn thành luận văn Mặc dù tác giả đà cố gắng nh-ng hiểu biết hạn chế thân nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận đ-ợc góp ý, bảo quý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Vinh, tháng 12 năm 2009 Nguyễn Trọng Thiện ch-ơng kiến thức sở Trong suốt luận văn vành đ-ợc giả thiết vành kết hợp Tính chất giao hoán phần tử đơn vị cần đến việc chứng minh số mệnh đề Trong tr-ờng hợp kí hiệu phần tử đơn vị giả thiết khác đ-ợc nói rõ Ch-ơng dành cho việc trình bày số kiến thức sở vành môđun Những kiến thức cần thiết cho việc trình bày nội dung cđa ch-¬ng Cịng cã mét sè kiÕn thøc không hoàn toàn cần thiết cho ch-ơng nh-ng nằm hệ thống trọn vẹn với kiến thức khác nên hệ thống hóa lại ch-ơng T- liệu dùng để viết ch-ơng sách chuyên khảo số tài liệu tham khảo đ-ợc liệt kê cuối luận văn 1.1 Các phần tử đặc biệt vành Trong nghiên cứu vành việc phát phần tử đặc biệt vành cung cấp nhiều thông tin bổ ích Chính phần tử đặc biệt vành có vai trò nh- công cụ giúp mô tả cấu trúc tính chất vành Việc tìm hiểu phần tử đặc biệt vành tự có nhiều điều hấp dẫn 1.1.1 Định nghĩa i) Phần tử a vành R đ-ợc gọi luỹ đẳng an a, n * ii) Phần tử luỹ đẳng a vành R đ-ợc gọi luỹ đẳng trung tâm a giao hoán đ-ợc với phần tử vành đà cho iii) C ( R) a R | xa ax, x R đ-ợc gọi tâm vành R Nh- a phần tử luỹ đẳng trung tâm a luỹ đẳng thuộc tâm vành Nhận xét Chúng ta nhận thấy phần tử a vành R phần tử lũy đẳng a2 = a Nhận xét cho phép đơn giản hóa việc kiểm tra tính lũy đẳng phần tử vành cho tr-ớc 1.1.2 Định nghĩa i) Phần tử x R đ-ợc gọi phần tư l linh nÕu tån t¹i nℕ * cho x n Số nguyên d-ơng bé n cho x n  gọi bc lu linh ca x Nếu x phần tử luỹ linh ta nói x có bc luỹ linh vô hạn Nếu x phần tử luỹ linh với bậc hữu hạn x -ớc ii) Phần tử aR đ-ợc gọi phần tử lũy linh chặt chẽ d·y tuú ý a0, a1, a2, , an, … víi a = a0, ai+1 aiRai, i tồn chØ sè n cho an+i = víi mäi i 1.1.3 Định nghĩa Phần tử a vành R đ-ợc gọi phần tử quy tồn b  R cho aba  a §iỊu kiện phát biểu d-ới dạng khác: aaRa Vành R đ-ợc gọi vành quy von Neumann phần tử phần tử quy Sau ta gọi tắt vành quy von Neumann vành quy Vành quy lớp vành đ-ợc nhiều ng-ời quan tâm thu đ-ợc nhiều kết Chúng hệ thống hóa số kết phần sau Tùy thuộc vào đặc điểm phần tử b định nghĩa tính quy phần tử a mà ta có khái niệm riêng khái niệm phần tử quy vành quy loại Chẳng hạn b phần tử khả nghịch thoả aba a ta gọi a phần tử quy khả nghịch Vành R có phần tử quy khả nghịch đ-ợc gọi vành quy khả nghịch Xung quanh khái niệm phần tử quy nhiều tác giả đà định nghĩa khái niệm khác có liên quan sử dụng thuật ngữ khác cho khái niệm Sau hệ thống hóa số khái niệm nh- 1.1.4 Định nghĩa Phần tử a vành R đ-ợc gọi phần tử quy mạnh tồn phần tử b thuộc R cho a2b = a Vành R đ-ợc gọi vành quy mạnh phần tử R phần tử quy mạnh 1.1.5 Định nghĩa Phần tử a vành R đ-ợc gọi phần tử -chính quy tồn số nguyên d-ơng n phần tử b thuéc R cho anban = an Vµnh R đ-ợc gọi vành -chính quy phần tử R phần tử -chính quy Chú ý số n nói định nghĩa phụ thuộc vào phần tử a Nếu ta ràng buộc số n = chung cho phần tử vành khái niệm vành -chính quy trở thành vành quy Cũng giống nh- tr-ờng hợp vành quy, điều kiện định nghĩa vành -chính quy R phát biểu d-ới dạng: phần tử a R tồn số nguyên d-ơng n (n phụ thuộc a) cho ananRan 1.2 iđêan đặc biệt vành Các iđêan vành có vai trò quan trọng việc mô tả cấu trúc vành Từ thuộc tính iđêan ta suy đ-ợc nhiều tính chất vành Trong mục hệ thống hóa lại số khái niệm tính chất số loại iđêan vành R Đó Iđêan nguyên tố, Iđêan tối đại, Iđêan tối tiểu, Iđêan lũy linh Sau ta có định nghĩa iđêan nguyên tố, iêan hon ton nguyên tố, iêan nửa nguyên tố 1.2.1 Định nghĩa Cho R vành I iđêan R i) I đ-ợc gọi iđêan nguyên tố I R iđêan A, B R mà AB I A I B I ii) I đ-ợc gọi iêan hon tồn nguyªn tè với x, y  R cho xy I x I y I iii) I đ-ợc gọi iêan nửa nguyên tố I giao họ iđêan nguyên tố Để thuận tiện cho việc tính toán, mệnh đề sau cho ta dạng phát biểu t-ơng đ-ơng với điều kiện định nghĩa iđêan nguyên tố iđêan nửa nguyên tố 1.2.2 Mệnh đề Trong vành R có đơn vị, P iđêan R Các phát biểu sau t-ơng đ-ơng a P iđêan nguyên tố b Với iđêan trái I J cña R cho IJ  P , suy I  P hc J  P  c  Mäi x, y  R cho xRy P x P y P Trong phát biểu b) thay iđêan trái iđêan phải Chứng minh a b Giả sử I J iđêan trái R cho IJ P ; IR, JR iđêan R Ta cã IR.JR  IJR  P  IR  P JR P Do P iđêan nguyên tè, suy I  P hc J  P  b    c  Gi¶ sö x, y  R cho xRy  P Rx, Ry iđêan trái R vµ  Rx  Ry   R  xRy   P   Rx  P  hc  Ry  P   x  P hc yP  c    a  Gi¶ sử I , J iđêan R cho víi I  P, J  P ta chøng minh IJ  P V× I  P  x  I | P; J  P  y  I | P Khi ®ã theo (c) ta cã xRy  P V× xR  I , y  J  xRy  IJ  IJ  P Vậy P iđêan nguyên tố Giữa thuộc tính nguyên tố thuộc tính hoàn toàn nguyên tố iđêan vành có mối liên hệ với Mệnh đề sau cho ta rõ thêm mối liên hƯ ®ã 1.2.3 MƯnh ®Ị  a  Trong mét vành bất kì, iđêan hoàn toàn nguyên tố iđêan nguyên tố b Trong vành giao hoán, iđêan nguyên tố iđêan hoàn toàn nguyên tố Chứng minh Chứng minh (a) Giả sử P iđêan hoàn toàn nguyên tố, I , J iđêan R cho IJ  P vµ I  P Ta chøng minh J  P Ta cã tõ I  P  x I \ P v× IJ  P  xJ  P  y  J xy P Do P iđêan hoàn toàn nguyên tố x P y P, y  J  J  P VËy P iđêan nguyên tố Chứng minh (b) Giả sử R vành giao hoán P iđêan nguyên tố R ta chứng minh P hoàn toàn nguyên tè Víi x, y  R cho xy  P ta chøng minh x thc P hc y thc P Tõ gi¶ thiÕt xy thuéc P , ta cã xyR  P Do R lµ vµnh giao hoán nên xyR xRy xRy P , P iđêan nguyên tố suy x P y P Vậy P iđêan hoàn toàn nguyên tố 1.2.4 Định nghĩa Cho R vành M iđêan R M đ-ợc gọi iđêan tối đại R R chứa thực M M không bị chứa thực iđêan khác R Giữa iđêan nguyên tố iđêan tối đại có mối liên hệ Mệnh đề sau cho ta thấy rõ mối liên hệ vành có đơn vị 1.2.5 Mệnh đề Trong vành R có đơn vị iđêan tối đại iđêan nguyên tố Chứng minh Giả sử M tối đại R A, B iđêan R cho AB M , A  M ta chøng minh B  M Giả sử ng-ợc lại B M V× 10 A  M  A  M  R Tõ B  M  B  M  R  R  ( A  M )( B  M )  AB  AM  MB  M  AB  M  AB  M R AB M trái giả thiết AB  M VËy B  M hay M lµ iđêan nguyên tố Chúng ta đà biết có số lớp vành thoả mÃn điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại nh- vành chính, vành Ơclit Mệnh đề sau nói tối đại iđêan nguyên tố vành 1.2.6 Mệnh đề Trong vành chính, iđêan nguyên tố khác iđêan tối đại Chứng minh Giả sử R vành chính, P iđêan nguyên tố khác vành R, P = (a) với a  R Gi¶ sư P  I  R, I iđêan R P I Vì R vành nên iđêan R iđêan chính, I = (b) Vì a P suy a I hay a = bc P Ta cã b  (a) v× nÕu b  (a) (b) (a), vô lý P I, P  I Nh- vËy b  P mµ P nguyªn tè nªn c P = (a), suy c = ax, x R, tõ ®ã ta cã bc = bax hay a = bax, v× vËy bx = 1, mà I = (b) nên bx = I Vậy I = R 1.2.7 Định nghĩa Iđêan I vành R đ-ợc gọi iđêan tối tiểu I I không chứa thực iđêan khác R Một iđêan nguyên tố khác không chứa thực iđêan nguyên tố khác đ-ợc gọi iđêan nguyên tố tối tiểu Sau ta có mệnh đề tồn iđêan nguyên tố tối tiểu iđêan nguyên tố vành R 1.2.8 Mệnh đề Mọi iđêan nguyên tố vành R chứa iđêan nguyên tố tối tiểu Chứng minh Giả sử P iđêan nguyên tố vành, xét họ tập tất iđêan nguyên tố chứa P Khi P nên Giả sử J , tuyến tính theo quan hệ bao hàm LÊy Q   A ®ã Q  P AJ 19 Điều kiện định nghĩa vành 2-primal R t-ơng đ-ơng với điều kiện: iđêan nguyên tố tối tiểu R hoàn toàn nguyên tè, theo [9, Lemma 2] NhËn xÐt: Ng-êi ta chøng minh đ-ợc vành giao hoán vành phần tử luỹ linh khác không vành 2-primal, theo [7] 2.1.2 Định nghĩa Cho iđêan nguyên tố P vành R đặt OP = {aR | bR \ P: ab = 0} vµ OP = {aR | nN*: anOP} Trong tr-ờng hợp tổng quát, OP không tập hợp iđêan nguyên tố P OP OP Điều đ-ợc minh hoạ ví dụ sau 2.1.3 Ví dụ Cho R vành ma trận tr-ờng F Thế 0 P iđêan nguyên tố vành R Thật vậy, iđêan R 0 tập hợp tất ma trận có phần tử thuộc iđêan F Vì F tr-ờng nên F có iđêan F Do R có iđêan P (phần tử 0) v R Giả sử A, B hai iđêan R cho AB P (tức AB phần tử R) Khi A = P B = P Vì A = R vµ B = R ta cã AB = R P Vậy P iđêan nguyên tố Tuy nhiên ta thÊy r»ng víi 0  0  0  th× a  R ; b   R ab   0  0 Do P iđêan hoàn toàn nguyên tè Ta cã b  R \ P Suy a  OP  OP , nh-ng a  P Do OP không tập hợp iđêan nguyên tố P 2.1.4 Định nghĩa Cho vµnh R vµ A lµ tËp cđa vµnh R , ta cã: (a) TËp hỵp l  A  x  R | xa  0, a  A đ-ợc gọi linh hóa tử trái A R (b) TËp hỵp r  A  x R | ax 0, a A đ-ợc gọi linh hóa tử phải A R 20 (c) TËp hỵp An  A  l A r A đ-ợc gọi linh hãa tư cđa A R Ta lu«n cã l(A) iđêan trái R; r(A) iđêan phải R An(A) iđêan hai phía R 2.1.5 Định nghĩa Môđun A môđun M đ-ợc gọi cốt yếu (hay lớn) M với môđun B M ta có A B ( Một cách t-ơng đ-ơng, A B B ) Khi ta nói M mở réng cèt u cđa A vµ kÝ hiƯu A * M 2.1.6 Mệnh đề Cho M iđêan trái tối đại vành R cho M chứa thực iđêan nguyên tố P vành R Nếu OP P M iđêan trái cốt yếu R Chứng minh Vì M iđêan trái tối đại vành R, M chứa thực iđêan nguyên tố P vành R nªn aM cho aR\ P Ta chøng minh M cốt yếu R ph-ơng pháp phản chứng Giả sử M không cốt yếu R tồn iđêan trái I R cho I khác MI = Lấy phần tử bI Đặt J = Rb ta có J I, MI = nªn MJ = Do M tối đại bM nên M J = R Do tồn uM vJ cho = u+v ta cã u = u.1 = u(u+v) = u2+uv L¹i cã u = 1.u = (u+v).u = u2+vu Từ đẳng thức suy u2+vu = u2+uv Tõ ®ã suy uv-vu = hay uv = vu Mặt khác uvJ vu M mà MJ = nªn uv = vu = Do ®ã u2 = u T-¬ng tù ta cịng cã v2 = v Vậy u, v phần tử luỹ đẳng Víi mäi xM ta cã x = x.1 = x.(u+v) = xu+xv vµ x = 1.x = (u+v)x = ux+vx V× vËy ta cã xu+xv = ux+vx, suy xv = xu Do xv  J, xu  M suy xv = hay Ml(v) L¹i cã víi mäi y  l(v) ta cã yv = ®ã y=y.1=y(u+v)=yu+yv Do yv = nªn y = yu M §iỊu nµy kÐo theo l(v)M VËy M = l(v) Theo chứng minh ta có vM nên vP, lại có a  M nªn av = suy a  OP Do OP  P suy aP Trái giả thiết 21 2.1.7 Hệ Cho R vành 2-primal Nếu M iđêan trái tối đại vành R cho M chứa thực iđêan nguyên tố P vành R M iđêan trái cốt yếu R Điều kiện '' M iđêan trái tối đại cđa vµnh R cho M chøa thùc sù mét iđêan nguyên tố P vành R Mệnh đề 2.1.6 Hệ 2.1.7 không thừa Điều kiện '' OP P '' Mệnh đề 2.1.6 '' R vành 2-primal'' Hệ 2.1.7 không thừa Ví dụ sau minh hoạ điều ®ã F 2.1.8 VÝ dơ (1) Cho F lµ mét tr-êng Chóng ta xÐt vµnh R   0 a b c + Khi R vành 2-primal Thật vậy, đặt A F F  , ®ã A luü linh nÕu n ℕ * : An  a   - Ta cã b   a b   a2   c   c   a  An    c  ab  bc  x c2 cn   an   An      , x F Khi ®ã 0 b  0 b  0 b  0 0      A   A luü 0  0  0   0   A  0 F  (1)  0  linh VËy N ( R) - Kiểm tra iđêan nguyên tố cña R F Ta cã   F VËy   F  F  F   F  F    F F  vµ    F  F    F  lµ iđêan T-ơng tự ta tìm đ-ợc F  F  F   0   F   F  0 F  ; F 0 iđêan R Mặt khác R có hai iđêan v R Vậy R có iđêan 22 F F F ;  ;  F   0   0; R;  F  Ta kiểm tra đ-ợc iđêan nguyên tố R  F  0 F  0 F   ®ã P( R)    (2) ;   F   0  F lµ   Tõ (1) vµ (2) ta cã N (R)  P(R) VËy R lµ vành 2-primal F Theo ta có iđêan tối đại F F   ;   F  0 F + Tuy nhiên iđêan trái tối đại M    cđa R kh«ng cèt u 0 F  F Ta cã   F  F  F   0  F  0  0  F    0 iđêan trái Kiểm tra t-ơng 0 F  0 F   F ;  ;  F   0   tự ta đ-ợc iđêan trái 0; R;  F  F  ;   F F iđêan trái tối đại M không cốt yếu R F   F nh-ng   0 F Vì iđêan nguyên tố cđa R lµ    0   0 0 F   0  0 F  F  0 F   nªn M ;   F  kh«ng chøa thực iđêan nguyên tố vành R (2) Trong vÝ dô 2.1.3, OP   P ( R vành 2-primal ) a 0  M   | a , b F iđêan trái tối đại vành R cho M chøa thùc  b  0 iđêan nguyên tố P cđa vµnh R , P    Tuy nhiên M không 0 phải iđêan trái cốt yếu R 2.1.9 Định nghĩa Một vành R đ-ợc gọi quy yếu trái (phải) với a R tồn số nguyên d-ơng n n(a) (n phụ thuéc vµo a ) cho a n  Ra n Ra n (a n Ra n R) 23 Vµnh R lµ   chÝnh quy yÕu nÕu nã quy yếu phía trái phải 2.1.10 Định lí Nếu R vành 2-primal vµ R / P( R) lµ mét vµnh  quy yếu phải iđêan nguyên tố R iđêan tối đại Chứng minh Cho P iđêan nguyên tố R Khi tồn iđêan nguyên tố tối tiểu X P , X hoàn toàn nguyên tố Đặt R R / X Khi R miền qui yếu phải Lấy phần tử a R Khi tồn k ℕ * cho ak(y-1) = 0, víi mét phÇn tư y R ak R Do ®ã R / X vành đơn Vậy X iđêan tối đại P iđêan tối đại 2.2 Vành với điều kiện R-môđun trái đơn suy biến p-nội xạ 2.2.1 Định nghĩa Giả sử R vành có đơn vị Một R-môđun trái M đ-ợc gọi p-nội xạ Nếu với iđêan trái I với đồng cấu : I M tồn R đồng cấu *: R  M më réng cđa  - Mét vµnh R đ-ợc gọi p-nội xạ trái RR p-nội xạ - Định lí Wedderburn Artin nói vành R miền đơn R -môđun trái p-nội xạ Sử dụng thuộc tính p-nội xạ ng-ời ta chứng minh đ-ợc vành R qui von Neumann R -môđun trái p-nội xạ - Cho vành R , môđun M ®ã ng-êi ta chøng minh ®-ỵc Z(M) = {x  M| I*RR : Ix = 0} môđun M 2.2.2 Định nghĩa Cho môđun M vành R, ta có: 1) Môđun Z M đ-ợc gọi môđun suy biến M 2) NÕu Z  M   M th× ta gọi M môđun suy biến 3) Nếu Z M ta gọi M môđun không suy biến 24 2.2.3 Định lí Cho P iđêan nguyên tố vành R với OP P Nếu R-môđun trái đơn suy biến p-nội xạ P tối đại Chứng minh Chúng ta cần chứng minh RaR + P = R, aR\P Giả sử ng-ợc lại tồn iđêan tối đại M R chứa RaR P Hơn M iđêan trái tối đại vành R Giả sử M iđêan trái tối đại vành R Khi tồn iđêan trái tối đại K cđa R cho M  K ThÕ th× K cốt yếu R Mệnh đề 2.1.6 Vì iđêan trái K tối đại R nên R-môđun trái R / K đơn Lại K cốt yếu nên R-môđun th-ơng R / K môđun suy biến Theo giả thiết R / K pnội xạ Vì R - đồng cấu từ Ra vào R / K , mở rộng đ-ợc thành ánh xạ tõ R vµo R / K Cho f : Ra R / K xác định f (ra)  r  K , r  R NÕu  sa; r , s  R th×  sa   (r  s)a  v× r  s  OP  P  K V× vËy r  K  s  K Từ f định nghĩa R -đồng cấu trái Do R / K p-nội xạ, nên tồn bR cho 1+K = f(a) = ab+K Do ®ã  ab  K , suy K , mâu thuẫn Do M iđêan trái tối đại R R / M p-nội xạ Bằng ph-ơng pháp chứng minh t-ơng tự nh- ta có P iđêan tối đại cđa vµnh R VÝ dơ sau chØ r»ng điều kiện '' R -môđun trái đơn suy biến pnội xạ '' Định lí 2.2.3 không thõa 2.2.4 VÝ dơ Cho R  ℤ lµ vµnh số nguyên P iđêan nguyên tố cña R Ta cã P  p ℤ, p p số nguyên tố VËy OP  { a ℤ | ab  0; b ℤ \ p ℤ }  {0} vµ OP P Nh-ng iđêan nguyên tố không tối đại Bây ta xét -môđun đơn suy biến /2 Khi không p-nội xạ Thật vậy, f : /2 xác định f (4n)  n  2ℤ 25 kh«ng thĨ më réng thành h : /2 ph-ơng pháp nh- chứng minh Định lí 2.2.3 2.2.5 Mệnh đề Cho R vành mà R -môđun trái đơn suy biến p-nội xạ Khi iđêan hoàn toàn nguyên tố R tối đại Chứng minh Cho P iđêan hoàn toàn nguyên tố R Ta chứng minh P iđêan tối đại R phản chứng Ta giả sử P iđêan tối đại R Thế tồn iđêan tối đại M R cho RaR  P  M , a  R \ P Ta chứng minh M iđêan trái tối đại R Nếu nh- tồn iđêan trái tối đại K cña R cho M  K ThÕ K cốt yếu Mệnh đề 2.1.6 Từ R / K p-nội xạ, R -đồng cấu từ Ra vào R / K , tồn ánh xạ R vào R / K Cho f : Ra  R / K xác định f (ra) r K , r R Khi f đ-ợc xác định Nếu sa; r , s R th×  sa   (r  s)a  suy r  s  P  K V× vËy r  K  s K Do R / K p-nội xạ nªn c  R cho  K  f (a)  ac  K , v× vËy  ac  K , suy 1 K Ta gặp mâu thuẫn Vậy M iđêan trái tối đại cốt yếu R Do R / M p-nội xạ Bằng ph-ơng pháp chứng minh t-ơng tự nh- ta có P iđêan tối đại R 2.2.6 Hệ Cho R vành 2-primal Nếu R -môđun trái đơn suy biến p-nội xạ iđêan nguyên tố R tối đại Nói riêng, vành th-ơng nguyên tố R miền đơn Chứng minh Cho R vành 2-primal Theo Mệnh đề 2.2.5 thuộc tính iđêan nguyên tố tối tiểu R hoàn toàn nguyên tố, iđêan nguyên tố R tối đại Vì iđêan nguyên tố R hoàn toàn nguyên tố vành có hệ số nguyên tố R miền đơn Từ kết Định lí 2.2.3 Mệnh đề 2.2.5 thu đ-ợc kết sau 26 2.2.7 Mệnh đề Cho R vành mà iđêan trái tối đại cốt yếu iđêan 2phía Khi có khẳng định sau (1) Giả thiết OP P , iđêan nguyên tố P R Nếu R môđun trái đơn suy biến p-nội xạ iđêan nguyên tố R iđêan trái tối đại (2) Nếu R -môđun trái đơn suy biến p-nội xạ iđêan hoàn toàn nguyên tố R iđêan trái tối đại Chứng minh Chứng minh t-ơng tự nh- chứng minh Định lí 2.2.3 Mệnh đề 2.2.5 Điều kiện '' R -môđun trái đơn suy biến p-nội xạ '' Mệnh đề 2.2.5, Hệ 2.2.6, Mệnh đề 2.2.7 không thừa 2.2.8 Ví dụ Trong ví dụ 2.2.4, vành R giao hoán 2-primal, nh-ng iđêan hoàn toàn nguyên tố không tối đại Chú ý môđun đơn suy biến / không p-nội xạ Những vÝ dơ sau chØ r»ng cã tån t¹i mét vành mà iđêan trái cốt yếu 2-phía iđêan nguyên tố tối đại (2-phía ), nh-ng R -môđun trái đơn suy biến không cần p-nội xạ Điều so sánh với với ý thø mƯnh ®Ị 2.2.7 a b   2.2.9 VÝ dô Cho T    | a , b  Z  Khi ®ã T lµ mét vµnh giao  a  hoán vành ma trận  trªn Z , Mat2 (Z2 ) , Z vành số nguyên mođun Cho R tập hợp tất dÃy cña Mat2 (Z2 ) , R = { an | an Mat2 (Z2 ) , an phần tử T } Khi R vành với phÐp to¸n: an  bn  an  bn ; an bn anbn Hơn R PI -vành nửa nguyên tố mà tất iđêan trái tối đại cốt yếu 2-phía, nh-ng không 27 qui von Neumann Từ R vành qui mạnh (Một vành R đ-ợc gọi qui mạnh với a R tồn số nguyên d-ơng n n(a) phơ thc vµo a cho a n R a n1R ) Mọi iđêan nguyên tố cực đại, theo [8, Theorem 2.3] Tuy nhiên có tồn R -môđun trái đơn suy biến không p-nội xạ, theo kết đà biết là: R PI -vành R vành quy von Neumann R vành nửa nguyên tố cho môđun trái đơn suy biến p-nội xạ, theo [11, Corollary 7] Điều kiện '' OP P , iđêan nguyên tố P R '' Mệnh đề 2.2.7 (1) cần thiết 2.2.10 VÝ dô Cho R1  { an | an  Mat2 (Z2 ) , an phần tử T1 } , a   ®ã T1    | a  Z  Khi ®ã R1 lµ mét vµnh cđa vµnh R vÝ dơ  a    2.2.9 Chó ý R1 PI - vành nửa nguyên tố, qui von Neumann Nh- môđun trái đơn suy biến p- nội xạ Ta có 0 0  P   an  R1 | a1 iđêan nguyên tố cđa R1 vµ ta cã thĨ kiĨm 0 0  tra đ-ợc P iđêan trái tối đại cña R1 0  0  0  B©y giê xÐt x    , 0 0 , 0 0 ,       0  0  0 0 vµ y   , ,  , , x, y  R1 \ P 0  0 0 0 0 0  0  Ta cã xy    P ,  ,  P Suy x  OP VËy OP  0  0 2.3 Vành với điều kiện R/P(R) vành quy 2.3.1 Định nghĩa i) Một vành R đ-ợc gọi quy yếu trái (phải) I2=I với I iđêan trái (phải) R, hay xRxRx (xxRxR), xR 28 Vµnh R chÝnh quy yếu quy yếu trái phải ii) Một vành đ-ợc gọi rút gọn phần tử luỹ linh khác không Định lý sau cho số đặc tr-ng vành rút gọn quy yếu có đặc tr-ng đ-ợc phát biểu qua điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại 2.3.2 Định lí Cho R vành rút gọn Các điều kiện sau t-ơng đ-ơng (1) R quy yếu (2) R quy yếu phải (3) Mọi iđêan nguyên tố R tối đại Chứng minh (1) (2) Hiển nhiên (2) (3) Do Định lí 2.1.10 (3) (1) Chúng ta giả sử iđêan nguyên tố R tối đại ta chứng minh R quy yếu Ta đà biết vành rút gọn vành 2primal nên iđêan nguyên tố tối tiểu vành rút gọn iđêan hoàn toàn nguyên tố Theo giả thiết, iđêan nguyên tố R tối đại nên iđêan nguyên tố iđêan hoàn toàn nguyên tố Giả sử phần tö a  R NÕu RaR  R a a1 aRaR Chúng ta giả sử RaR R Khi RaR bị chứa iđêan tối đại, iđêan tối đại Lấy T hợp tất iđêan nguyên tố chứa a Đặt S R \ T Vì iđêan nguyên tố hoàn toàn nguyên tố ta có S tập đóng kín với phép nhân Lấy F hệ đóng kín với phép nh©n sinh bëi tËp a  S B©y giê chóng ta chøng tá r»ng  F Gi¶ sử điều không đúng, tập hợp đ-ợc thứ tự phận gồm iđêan không giao với F quan hệ bao hàm Theo Bổ đề Zorn thu đ-ợc iđêan M tối đại không giao với F Khi M iđêan nguyên tố iđêan tối đại, theo giả thiết Từ aM, tồn pM 29 vµ cRaR cho p+c = Suy r»ng pT Thế pS F, nên pFM n n = , mâu thuẫn Vậy 0F, a s1a s2 a t st , si  S , n1, n2 , , nt ℕ * n Thế theo giả thiết R rút gọn, s  S : as  Chó ý iđêan thực chứa a s Từ RaR RsR R LÊy a0  RaR vµ s0  RsR cho a0  s0  Ta cã aa0 as0 a Vì iđêan hoàn toàn nửa nguyên tố aRsR Vậy a  aa0  aRaR T-¬ng tù ta cã a  a0a  RaRa VËy R lµ chÝnh quy yếu 2.3.3 Định lí Cho R vành 2-primal Các điều kiện sau t-ơng đ-ơng (1) R / P( R) lµ chÝnh quy yÕu (2) R / P( R) quy yếu phải (3) Mọi iđêan nguyên tố R tối đại Chứng minh (1) (2) Hiển nhiên (2) (3) Do Định lí 2.3.2 (3)  (1) Chóng ta gi¶ sư r»ng mäi iđêan nguyên tố R tối đại Khi iđêan nguyên tố R / P( R) tối đại Từ R vành 2-primal, R / P( R) rút gọn đ-ợc Theo Định lí 2.3.2 ta cã R / P( R) lµ chÝnh quy yếu 2.3.4 Định lí Cho P iđêan hoàn toàn nguyên tố vành R Nếu R / P( R) lµ mét vµnh   chÝnh quy yếu trái (phải) P iđêan trái tối đại R Chứng minh Cho P iđêan hoàn toàn nguyên tố vành R với aR \ P Tr-íc hÕt ta gi¶ thiÕt r»ng R / P( R) lµ mét vµnh   chÝnh quy yếu trái Khi P RaR R, a R \ P Nếu không iđêan M tối đại 2-phía R cho P  RaR  M , a  R \ P Từ R R / P( R) vành quy yếu trái Khi Ra n  Ra n Ra n , n ℕ * Tõ Ra n  Ma n 30 suy a n  ba n , b  M suy (1  b )a n  ®ã (1  b)a n  P Do P hoàn toàn nguyên tố nên a P,(1 b) P M Điều mâu thuẫn víi gi¶ thiÕt aR \ P Do vËy P iđêan tối đại R Chứng minh t-ơng tự cho tr-ờng hợp R / P( R) vành quy yếu phải Chúng ta có P iđêan tối đại R 2.3.5 Hệ Cho R vành 2-primal Khi mệnh đề sau t-ơng đ-ơng (1) R / P( R) lµ mét vµnh   chÝnh quy yếu trái ( phải ) (2) Mọi iđêan nguyên tố R tối đại (3) R / J ( R) vành quy yếu trái ( phải ) J ( R) linh, J ( R) Jacobson R Chøng minh (1)  (2) Gi¶ sư R / P( R) lµ mét vµnh   chÝnh quy yÕu phải (trái) P iđêan nguyên tố tối tiĨu cđa R Do R lµ mét vµnh 2-primal nên P iđêan hoàn toàn nguyên tố Theo Định lí 2.1.10, P iđêan tối đại R (2) (3) Theo Định lí 2.3.2 (3)  (1) Do R lµ mét vµnh 2-primal vµ J ( R) lµ linh chóng ta cã P( R)  J ( R) VËy ta cã (1) Điều kiện '' R vành 2-primal '' Hệ 2.3.5 không thừa Ví dụ sau tồn vành 2-primal cho iđêan nguyên tố R tối đại, nh-ng quy yếu trái không quy yếu phải Mặc dầu R / P( R) quy yếu trái phải 2.3.6 Ví dụ Cho W1[ F ] đại số Weyl thứ tr-ờng F đặc số không Khi W1[ F ] miền đơn nh-ng thể Bây 31 W  F  W1  F  cho R  Khi R vành 2-primal mà iđêan W F nguyên tố R cực đại Ta có R / P( R) quy yếu nên R quy yếu Nh-ng R không quy yếu trái phải Thật vËy, gäi W1[ F ]  F[ ,  ] vành đa thức với hệ số , cho     Khi ®ã W1[ F ] miền Noether đơn Xét phần tư   vµnh R lµ a   , ta kiểm tra đ-ợc a k a k Ra k R, k ℕ * V× vËy R   0 kh«ng   chÝnh quy yÕu phải T-ơng tự ta kiểm tra đ-ợc R không qui yếu trái Do R không quy yếu trái phải Ta W1[ F ] có nguyên tố P( R) R Vì R / P( R)  W1[ F ]  W1[ F ] 0   chÝnh quy yÕu, nªn R / P( R) quy yếu Hơn kiểm tra đ-ợc P( R) N ( R) R vành 2-primal 32 kết luận Luận văn hệ thống hóa ®-ỵc mét sè vÊn ®Ị sau: Mét sè kiÕn thức lí thuyết vành liên quan đến lớp vành nguyên tố, quy, vành đơn, phần tử iđêan đặc biệt vành khái niệm vành Tìm hiểu hệ thống hãa mét sè kÕt qu¶ míi, chøng minh chi tiÕt số mệnh đề ví dụ liên quan đến lớp vành thoả mÃn điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại, là: vành 2-primal, vành với điều kiện R-môđun trái đơn suy biến p-nội xạ, vành với điều kiện R/P(R) vành quy Các kết đ-ợc Chan Yong Hong, Nam Kyun Kim and Tai Keun Kwak trình bày báo [7] năm 2000 Jin Yong Kim and Hai Lan Jin trình bày báo [9] năm 2007 Qua việc nghiên cứu đề tài hiểu biết thêm số kiến thức lí thuyết vành môđun 33 TàI liệu tham khảo tiếng việt [1] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số ( Giáo trình sau đại học), NXB Giáo dục Nguyễn Hữu Việt H-ng (1999), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lí thuyết Môđun Vành, NXB Giáo dục tiếng anh [4] E P Armendariz and J W Fisher (1973), Regular P I rings, Proc Amer Math Soc 39, 247-251 [5] G F Birkenmeier, J Y Kim and J K Park (1994), A connection between weak regularity and the simplicity of prime factor rings, Proc Amer Math Soc 122, 53-58 [6] G F Birkenmeier, J Y Kim and J K Park (1997), Regularity conditions and the simplicity of prime factor rings, J Pure and Appl Algebra 115, 213-230 [7] Chan Yong Hong, Nam Kyun Kim and Tai Keun Kwak (2000), On rings whose prime ideals are maximal, Bull Korean Math Soc 37, No 1, pp 1-9 [8] J W Fisher and R L Snider (1974), On the von Neumann regularity of rings with regular prime factor rings, Pacific J Math 54, no 1, 135-144 [9] Jin Yong Kim and Hai Lan Jin (2007), On weak  -regularity and the simplicity of prime factor rings, Bull Korean Math Soc 44, No 1, pp 151-156 [10] G Y Shin (1973), Prime ideals and sheaf representation of a pseudo symmetric ring, Trans Amer Math Soc 184, 43-60 [11] R Yue Chi Minh (1976), On von Neumann regular rings II, Math Scand 39, 167-170 ... Ch-ơng Về số lớp vành thoả mÃn điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại Trong ch-ơng đề cập đến số lớp vành có liên quan đến điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại Nội dung ch-ơng gồm: 2.1 Về vành. .. M iđêan nguyên tố Chúng ta đà biết có số lớp vành thoả mÃn điều kiện iđêan nguyên tố iđêan tối đại nh- vành chính, vành Ơclit Mệnh đề sau nói tối đại iđêan nguyên tố vành 1.2.6 Mệnh đề Trong vành. .. Sè LớP vành THOả MÃN ĐIềU KIệN iđêan nguyên tố iđêan tối đại Trong ch-ơng đà có kết luận vành có đơn vị iđêan tối đại iđêan nguyên tố Trong giáo trình đại học đà gặp số lớp vành có tính chất: iđêan