Vành với điều kiện R/P(R) là một vành  chính quy

2.3.1. Định nghĩa. i) Một vành R đ-ợc gọi là chính quy yếu trái (phải) nếu I2=I với I là iđêan trái (phải) của R, hay xRxRx (xxRxR), xR.

28

Vành R chính quy yếu nếu nó chính quy yếu cả trái và phải.

ii) Một vành đ-ợc gọi là rút gọn nếu nó không có phần tử luỹ linh khác không.

Định lý sau đây cho một số đặc tr-ng của vành rút gọn chính quy yếu trong đó có một đặc tr-ng đ-ợc phát biểu qua điều kiện mọi iđêan nguyên tố là iđêan tối đại.

2.3.2. Định lí.Cho R là một vành rút gọn. Các điều kiện sau là t-ơng đ-ơng. (1) R là chính quy yếu.

(2) R là  chính quy yếu phải.

(3) Mọi iđêan nguyên tố của R là tối đại. Chứng minh. (1)(2) Hiển nhiên.

(2)(3). Do Định lí 2.1.10.

(3)(1). Chúng ta giả sử mọi iđêan nguyên tố của R là tối đại và ta chứng minh R là chính quy yếu. Ta đã biết mọi vành rút gọn đều là vành 2- primal nên mọi iđêan nguyên tố tối tiểu của vành rút gọn là iđêan hoàn toàn nguyên tố. Theo giả thiết, mọi iđêan nguyên tố của R là tối đại nên mỗi iđêan nguyên tố đều là iđêan hoàn toàn nguyên tố. Giả sử phần tử a0 trong R. Nếu RaRR thì a a1 aRaR. Chúng ta giả sử RaRR. Khi đó RaR bị chứa trong một iđêan tối đại, nó cũng là iđêan tối đại. Lấy T là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố chứa a. ĐặtS R T\ . Vì mọi iđêan nguyên tố là hoàn toàn nguyên tố ta có S là tập đóng kín với phép nhân. Lấy F là hệ đóng kín với phép nhân sinh bởi tập  a S. Bây giờ chúng ta chứng tỏ rằng 0F. Giả sử điều này không đúng, thế thì tập hợp đ-ợc sắp thứ tự bộ phận gồm các iđêan không giao với F bởi quan hệ bao hàm. Theo Bổ đề Zorn chúng ta thu đ-ợc một iđêan M là tối đại không giao với F. Khi đó M là một iđêan nguyên tố và cũng là một iđêan tối đại, theo giả thiết. Từ aM, tồn tại pM

29

và cRaR sao cho p+c = 1. Suy ra rằng pT. Thế thì pS  F, nên pFM = , mâu thuẫn. Vậy 0F, do đó 1 2

1 2 1 2

0a s a sn n ...a s snt t, iS n n, , ,...,ntℕ* . Thế thì theo giả thiết R rút gọn,  s S as: 0. Chú ý rằng một iđêan thực sự không thể chứa cả a và s. Từ đó RaRRsRR. Lấy a0RaR và s0RsR

sao cho a0 s0 1. Ta có aa0 as0 a. Vì  0 là iđêan hoàn toàn nửa nguyên tố aRsR0. Vậy aaa0aRaR. T-ơng tự ta có aa a0 RaRa. Vậy R là chính quy yếu.

2.3.3. Định lí. Cho R là một vành 2-primal. Các điều kiện sau t-ơng đ-ơng. (1) R P R/ ( ) là chính quy yếu.

(2) R P R/ ( ) là  chính quy yếu phải. (3) Mọi iđêan nguyên tố của R là tối đại. Chứng minh. (1)(2) Hiển nhiên.

(2)  (3). Do Định lí 2.3.2.

(3)  (1). Chúng ta giả sử rằng mọi iđêan nguyên tố của R là tối đại. Khi đó mọi iđêan nguyên tố của R P R/ ( ) là tối đại. Từ đó R là một vành 2-primal, R P R/ ( ) là rút gọn đ-ợc. Theo Định lí 2.3.2 ta có R P R/ ( ) là chính quy yếu.

2.3.4. Định lí. Cho P là một iđêan hoàn toàn nguyên tố của một vành R. Nếu R P R/ ( ) là một vành  chính quy yếu trái (phải) thì P là một iđêan trái tối đại của R.

Chứng minh. Cho P là một iđêan hoàn toàn nguyên tố của một vành

R với a R P \ . Tr-ớc hết ta giả thiết rằng R P R/ ( ) là một vành  chính quy yếu trái. Khi đó PRaRR a, R P\ . Nếu không thì một iđêan M tối đại 2-phía của R sao cho PRaRM a, R P\ . Từ đó RR P R/ ( ) là một vành  chính quy yếu trái. Khi đó RanRa Ran n,nℕ*

30

suy ra an ba bn, M suy ra (1b a) n 0 do đó (1b a) nP. Do P là hoàn toàn nguyên tố nên aP,(1  b) P M . Điều này mâu thuẫn với giả thiết a R P \ . Do vậy P là một iđêan tối đại của R. Chứng minh t-ơng tự cho tr-ờng hợp R P R/ ( ) là một vành  chính quy yếu phải. Chúng ta cũng có P

là một iđêan tối đại của R.

2.3.5. Hệ quả. Cho R là một vành 2-primal. Khi đó các mệnh đề sau t-ơng đ-ơng.

(1) R P R/ ( ) là một vành  chính quy yếu trái ( phải ). (2) Mọi iđêan nguyên tố của R là tối đại.

(3) R J R/ ( ) là một vành  chính quy yếu trái ( phải ) và J R( ) là linh, trong đó J R( ) là căn Jacobson của R.

Chứng minh. (1)(2). Giả sử R P R/ ( ) là một vành  chính quy yếu phải (trái) và P là một iđêan nguyên tố tối tiểu của R. Do R là một vành 2-primal nên P là một iđêan hoàn toàn nguyên tố . Theo Định lí 2.1.10, P là một iđêan tối đại của R.

(2)(3). Theo Định lí 2.3.2

(3)(1). Do R là một vành 2-primal và J R( ) là linh chúng ta có

( ) ( )

P R J R . Vậy ta có (1).

Điều kiện '' R là một vành 2-primal '' trong Hệ quả 2.3.5 là không thừa. Ví dụ sau chỉ ra rằng tồn tại một vành 2-primal sao cho mọi iđêan nguyên tố của R đều tối đại, nh-ng không phải  chính quy yếu trái cũng không  chính quy yếu phải. Mặc dầu R P R/ ( ) là  chính quy yếu trái và phải.

2.3.6. Ví dụ. Cho W F1[ ] là đại số Weyl thứ nhất trên một tr-ờng F đặc số không. Khi đó W F1[ ] là một miền đơn nh-ng nó không phải là thể. Bây giờ

31 cho       1 1 1 0 W F W F R W F     

  . Khi đó R là một vành 2-primal mà mọi iđêan nguyên tố của R là cực đại. Ta có R P R/ ( ) là chính quy yếu nên R là

 chính quy yếu. Nh-ng R không  chính quy yếu cả trái và phải.

Thật vậy, gọi W F1[ ]F[ , ]  là vành đa thức với hệ số ,  sao cho

1

   . Khi đó W F1[ ] là một miền Noether đơn. Xét các phần tử trong vành R là 0 0 a       , ta kiểm tra đ-ợc , k k k a a Ra R  k ℕ*. Vì vậy R

không  chính quy yếu phải. T-ơng tự ta cũng kiểm tra đ-ợc R không

 chính qui yếu trái. Do đó R không  chính quy yếu cả trái và phải. Ta có căn nguyên tố P R( ) của R là 0 1[ ]

0 0

W F

 

 

 . Vì R P R/ ( ) W F1[ ]W F1[ ] chính quy yếu, nên R P R/ ( ) là  chính quy yếu.

Hơn nữa chúng ta có thể kiểm tra đ-ợc P R( )N R( ) do đó R là một vành 2-primal.

32

kết luận

Luận văn hệ thống hóa đ-ợc một số vấn đề sau:

1. Một số kiến thức về lí thuyết vành liên quan đến các lớp vành nguyên tố, chính quy, vành đơn, các phần tử và iđêan đặc biệt của vành và các khái niệm về căn của vành.

2. Tìm hiểu và hệ thống hóa một số kết quả mới, chứng minh chi tiết một số mệnh đề và các ví dụ liên quan đến các lớp vành thoả mãn điều kiện mọi iđêan nguyên tố đều là iđêan tối đại, đó là: các vành 2-primal, vành với điều kiện mọi R-môđun trái đơn suy biến là p-nội xạ, vành với điều kiện R/P(R) là một vành  chính quy.

 Các kết quả này đ-ợc Chan Yong Hong, Nam Kyun Kim and Tai Keun Kwak trình bày trong bài báo [7] năm 2000 và Jin Yong Kim and Hai Lan Jin trình bày trong bài báo [9] năm 2007.

 Qua việc nghiên cứu đề tài chúng tôi hiểu biết thêm một số kiến thức về lí thuyết vành và môđun.

33

TàI liệu tham khảo

tiếng việt

[1] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số ( Giáo trình sau đại học), NXB Giáo dục. 2 Nguyễn Hữu Việt H-ng (1999), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục .

[3] Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lí thuyết Môđun và Vành, NXB Giáo dục.

tiếng anh

[4] E. P. Armendariz and J. W. Fisher (1973), Regular P. I. rings, Proc. Amer. Math. Soc 39, 247-251.

[5] G. F. Birkenmeier, J. Y. Kim and J. K. Park (1994), A connection between weak regularity and the simplicity of prime factor rings, Proc. Amer. Math. Soc. 122, 53-58.

[6] G. F. Birkenmeier, J. Y. Kim and J. K. Park (1997), Regularity conditions and the simplicity of prime factor rings, J. Pure and Appl. Algebra 115, 213-230.

[7] Chan Yong Hong, Nam Kyun Kim and Tai Keun Kwak (2000), On rings whose prime ideals are maximal, Bull. Korean Math. Soc. 37, No. 1, pp. 1-9. [8] J. W. Fisher and R. L. Snider (1974), On the von Neumann regularity of

rings with regular prime factor rings, Pacific J. Math. 54, no. 1, 135-144. [9] Jin Yong Kim and Hai Lan Jin (2007), On weak -regularity and the

simplicity of prime factor rings, Bull. Korean Math. Soc. 44, No. 1, pp. 151-156.

[10] G. Y. Shin (1973), Prime ideals and sheaf representation of a pseudo symmetric ring, Trans. Amer. Math. Soc. 184, 43-60.

[11] R. Yue Chi Minh (1976), On von Neumann regular rings II, Math. Scand. 39, 167-170.